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AP2 METODOS ESTATISTICOS 1 VARIOS ANOS

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AP2 - 2009-1.pdf
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
2a AVALIAC¸A˜O PRESENCIAL
1o Semestre de 2009
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. (2,0 pontos) Duas ma´quinas A e B produzem 3000 pec¸as em um dia. A ma´quina A produz 1000
pec¸as, das quais 3% sa˜o defeituosas. A ma´quina B produz as demais, das quais 1% sa˜o defeituosas.
Da produc¸a˜o total de um dia, uma pec¸a e´ escolhida ao acaso:
a) Qual a probabilidade de ela ser defeituosa?
b) Sabendo que a pec¸a escolhida na˜o e´ defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida
pela ma´quina B ?
2. (2,0 pontos) Um dado e´ lanc¸ado duas vezes. Considere os eventos:
A : o resultado do 1o lanc¸amento e´ par;
B : o resultado do 2o lanc¸amento e´ par;
C : a soma dos resultados e´ par.
Qual(is) do(s) pares de eventos e´(sa˜o) independente(s)? A e B , A e C , B e C .
3. (1,0 ponto) Dois times de voˆley A e B disputam uma se´rie de 10 partidas. A chance de A
vencer uma partida e´ de 60%. Qual a probabailidade de A vencer pelo menos 9 das 10 partidas?
4. (2,0 pontos) Em uma pequena loja, o nu´mero de produtos vendidos por dia por um vendedor e´
uma varia´vel aleato´ria cujas probabilidades esta˜o na tabela abaixo:
Nu´mero de produtos 0 1 2 3 4 5 6
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05
A comissa˜o que o vendedor recebe esta´ distribu´ıda da seguinte forma: Se ele vende ate´ 2 produtos por
dia, ganha uma comissa˜o de $10,00 por produto vendido. A partir da terceira venda, a comissa˜o passa
a ser de $50,00 por produto.
a) Qual o nu´mero me´dio de produtos vendidos por este vendedor por dia?
b) Qual a comissa˜o me´dia deste vendedor?
5. (2,0 pontos) Uma prova e´ composta de 5 (cinco) questo˜es de mu´ltipla escolha com 4 (quatro)
alternativas por questa˜o, sendo uma correta. Para que um aluno seja aprovadom e´ necessa´rio que ele
acerte pelo menos 60% da prova. Se ele errar 80% da prova ou mais, ele sera´ reprovado.
a) Qual a probabilidade de um aluno que faz esta prova no aleatoriamente “no chute” ser reprovado?
b) Qual a variaˆncia do nu´mero de questo˜es corretas de um aluno que faz esta prova “no chute”?
6. (1,0 ponto) Um psico´logo estima que para convencer um cliente sa˜o necessa´rias ate´ quatro sesso˜es,
com func¸a˜o de probabilidade dada por: p(x) = x
10
, onde x e´ o nu´mero de sesso˜es. Determine
E(3X + 2)2 .
1
Soluc¸o˜es:
1.
Como A fabrica 1000 das 3000 pec¸as, enta˜o P (A) = 1000
3000
= 1
3
. Como B fabrica as demais, enta˜o
fabrica 2000 pec¸as das 3000. Logo: P (B) = 2000
3000
= 2
3
.
Como 3% das pec¸as da ma´quina A e 1% da ma´quina B sa˜o defeituosas, enta˜o:
Seja o evento D : a pec¸a e´ defeituosa. Consequentemente: D e´ o evento: a pec¸a na˜o e´ defeituosa.
Logo: P (D|A) = 0, 03 e P (D|B) = 0, 01
a) Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P (D) = P (A)P (D|A)+P (B)P (D|B) = 1
3
×0, 03+2
3
×0, 01 = 0, 03
3
+
0, 02
3
=
0, 03 + 0, 02
3
=
0, 05
3
= 0, 0167.
b)Queremos a probabilidade de uma pec¸a vir da ma´quina B dado que ela na˜o e´ defeituosa.
Usaremos a fo´rmula de probabilidade condicional: P (B|D) = P (B∩D)
P (D)
= P (B)P (D|B)
P (D)
.
Temos que P (D) = 0, 0167 e sabemos que P (D) = 1− P (D) . Assim,
P (D) = 1− P (D) = 1− 0, 0167 = 0, 9833.
Temos tambe´m que 1% das pec¸as da ma´quina B sa˜o defeituosa, logo: 99% das pec¸as na˜o sa˜o defeitu-
osas. Logo:
P (D|B) = 0, 99.
Usando estes resulatdos acima, temos:
P (B|D) = P (B)P (D|B)
P (D)
=
2
3
× 0, 99
0, 9833
=
0, 66
0, 9833
= 0, 67.
2. O espac¸o amostral do lanc¸amento de dois dados e´:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
O espac¸o amostral da soma dos resultados obtidos e´:
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10 11
7 8 9 10 11 12
Temos que P (A) = 18
36
= 0, 5 , P (B) = 18
36
= 0, 5 e P (C) = 18
36
= 0, 5 .
Os eventos A ∩B , A ∩ C e B ∩ C sa˜o:
A ∩B : Os dois lanc¸amentos, 1o e 2o , sa˜o pares. Isso ocorre com os pares: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2),
(4,4), (4,6), (6,2), (6,4) e (6,6). Sa˜o 9 das 36 possibilidades.
2
Assim:
P (A ∩B) = 9
36
=
1
4
= 0, 25.
Outro evento:
A∩C : O 1o lanc¸amento e´ par e a soma tambe´m. Isso ocorre com os pares: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2),
(4,4), (4,6), (6,2), (6,4) e (6,6). Sa˜o 9 das 36 possibilidades.
Assim:
P (A ∩ C) = 9
36
=
1
4
= 0, 25.
Outro evento:
B ∩C : O 2o lanc¸amento e´ par e a soma tambe´m. Isso ocorre com os pares: (2,2), (2,4), (2,6), (4,2),
(4,4), (4,6), (6,2), (6,4) e (6,6). Sa˜o 9 das 36 possibilidades.
Assim:
P (B ∩ C) = 9
36
=
1
4
= 0, 25.
Para que dois eventos X e Y sejam independentes e´ necessa´rio que P (X)P (Y ) = P (X ∩ Y ) .
No nosso caso temos:
P (A)P (B) = 0, 5× 0, 5 = 0, 25
P (A)P (C) = 0, 5× 0, 5 = 0, 25
P (B)P (C) = 0, 5× 0, 5 = 0, 25
Logo: todos os pares de eventos sa˜o independentes.
3.
Seja X o evento: “nu´mero de partidas que o time A vence”.
Temos 10 partidas, onde a probabilidade de A vencer cada uma delas e´ 0,6.
X segue uma distribuic¸a˜o binomial de probabilidade. Onde n = 10 e p = 0, 6 . Estamos interessados
em: P (X ≥ 9) .
P (X ≥ 9) = P (X = 9) + P (X = 10) =
(
10
9
)
(0, 6)9 (0, 4)1 +
(
10
10
)
(0, 6)1 0 (0, 4)0
= 10× (06)9 × 0, 4 + 1× (0, 6)10× 1 = 0, 0403 + 0, 006 = 0, 0463.
4.
a) Calculemos diretamente pela tabela a esperanc¸a do nu´mero de produtos vendidos.
Seja X : nu´mero de produtos vendidos e seja Y : comissa˜o recebida.
E(X) = 0× 0, 1 + 1× 0, 4 + 2× 0, 2 + 3× 0, 1 + 4× 0, 1 + 5× 0, 05 + 6× 0, 05
= 0 + 0, 4 + 0, 4 + 0, 3 + 0, 4 + 0, 25 + 0, 3 = 2, 05.
b)
Como a comissa˜o depende do nu´mero de vendas, enta˜o podemos montar a tabela de distribuic¸a˜o da
comissa˜o.
Note que se ele na˜o vende, na˜o recebe comissa˜o. Se ele vende 1, recebe $ 10,00. Se ele vende 2, recebe
2 × 10=$20,00. Se vende 3, recebe $50,00 por cada, ou seja, recebe $150,00 e assim por diante.
Comissa˜o 0 10 20 150 200 250 300
Probabilidade 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05
3
Logo:
E(Y ) = 0× 0, 1 + 10× 0, 4 + 20× 0, 2 + 150× 0, 1 + 200× 0, 1 + 250× 0, 05 + 300× 0, 05
= 0 + 4 + 4 + 15 + 20 + 12, 5 + 15 = 70, 5.
Resposta: $70,50.
5.
a) Como a prova tem 5 questo˜es, enta˜o cada uma vale 20% da nota. Assim, errar 80% ou mais significa
errar 4 ou 5 questo˜es.
Observe que errar 4 ou 5 questo˜es e´ o mesmo que acertar 0 ou 1 questa˜o.
Temos um caso de distribuic¸a˜o binomial, onde n = 5 e p = 1
4
, pois cada questa˜o tem 4 alternativas
onde apenas uma esta´ correta.
Seja X o nu´mero de questo˜es certas. Estamos querendo, enta˜o P (X ≤ 1) .
P (X ≤ 1) = P (X = 0) + P (X = 1) =
(
5
0
)(
1
4
)0(
3
4
)5
+
(
5
1
)(
1
4
)1(
3
4
)4
= 1× 1× (0, 75)5 + 5× 0, 25× (0, 75)4 = 0, 2373 + 0, 3955 = 0, 6328.
b)
Como estamos com uma distribuic¸a˜o binomial, enta˜o a variaˆncia se da´ pela seguinte fo´rmula:
V AR(X) = n× p× (1− p) = 5× 1
4
× 3
4
=
15
16
= 0, 9375.
6.
A distribuic¸a˜o de X sera´:
x 1 2 3 4
p(x) 1
10
2
10
3
10
4
10
Consequentemente:
E(X) = 1× 1
10
+ 2× 2
10
+ 3× 3
10
+ 4× 4
10
=
1
10
+
4
10
+
9
10
+
16
10
=
30
10
= 3.
Agora a distribuic¸a˜o de X2 .
x2 1 4 9 16
p(x) 1
10
2
10
3
10
4
10
E(X2) = 1× 1
10
+ 4× 2
10
+ 9× 3
10
+ 16× 4
10
=
1
10
+
8
10
+
27
10
+
64
10
=
100
10
= 10.
Estamos interessados em E(3X + 2)2 .
E(3X +2)2 = E(9X2+12X +4) = 9E(X2) + 12E(X) + 4 = 9× 10+ 12× 3+ 4 = 90+ 36+ 4 = 130.
4
AP2 - 2009-2.pdf
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
2a AVALIAC¸A˜O PRESENCIAL
2o Semestre de 2009
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Versa˜o Tutor
1. (1,0 ponto) Em certa linha de montagem, treˆs ma´quinas B1 , B2 e B3 produzem 30%, 45% e
25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experieˆncia anterior, que 2%, 3% e 2% dos produos
feitos por cada ma´quina, respectivamente, sa˜o defeituosos. Suponha que um produto ja´ acabado seja
selecionado aleatoriamente. Qual a probabiidade que ele na˜o apresente defeito?
2.(1,5 ponto) Uma indu´stria emprega treˆs planos anal´ıticos para criar e desenvolver certo produto.
Devido aos custos, os treˆs planos sa˜o usados em momentos variados na proporc¸a˜o de 30%, 20% e 50%
para os planos 1, 2 e 3 respectivamente. O ı´ndice de defeito para cada procedimento e´ de 1%, 3% e 2%
respectivamente. Se selecionarmos um produto aleatoriamente e verificarmos que o mesmo apresenta
defeito, qual foi o prova´vel plano usado e, consequentemente, responsa´vel pelo defeito?
3.(2,0 pontos) Considere uma varia´vel aleato´ria X tal que a sua func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada
tem os pontos: FX(0) =
1
16
, FX(1) =
5
16
, FX(2) =
22
32
, FX(3) =
15
16
e FX(4) = 1 .
a) Determine E(X) ;
b) Determine V ar(X) .
4. (2,0 pontos) Determine a distribuic¸a˜o de probabilidades para o nu´mero de CDs de jazz selecionados
quando quatro CDs sa˜o selecionados aleatoriamente e sem reposic¸a˜o de uma colec¸a˜o que consiste em
cinco CDs de jazz, dois CDs de mu´sica cla´ssica e treˆs CDs de rock. Determine tambe´m o nu´mero
esperado de CDs de jazz selecionados.
5. (2,0 pontos) Uma grande rede varejista compra certo tipo de equipamento eletroˆnico de um
fabricante. A indicac¸a˜o do fabricante e´ que 3% dos equipamentos sa˜o defeituosos.
a) O inspetor da rede seleciona 20 itens de um carregamento. Qual e´ a probabilidade de que haja
pelo menos um item defeituoso?
b) Suponha que a rede varejista receba 10 carregamentos por meˆs e o inspetor selecione aleatoria-
mente 20 equipamentos de cada carregamento. Qual e´ a probabilidade de que haja treˆs carregamentos
com pelo menos um item com defeito?
6. (1,5 ponto) Seja X uma varia´vel aleato´ria de uma distribuic¸a˜o Binomial de probabilidade com
me´dia 12 e desvio padra˜o 2 e seja Z = X−6
3
. Determine:
a) O nu´mero de experimentos independentes de Bernoulli de X;
b) A probabilidade de sucesso em cada experimento Bernoulli de X;
c) O nu´mero esperado de sucessos da varivel Z.
1
Soluc¸o˜es:
1)
As probabilidades de um produto vir de cada uma das treˆs ma´quinas sa˜o, respectivamente:
Pr(B1) = 0, 30, P r(B2) = 0, 45 e Pr(B3) = 0, 25.
As probabilidades de um produto ser defeituoso dado que vem de cada ma´quina, respectivamente, sa˜o:
Pr(D|B1) = 0, 02, P r(D|B2) = 0, 03 e Pr(D|B3) = 0, 02.
Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade de um produto ser defeituoso e´:
Pr(D) = Pr(B1)Pr(D|B1) + Pr(B2)Pr(D|B2) + Pr(B3)Pr(D|B3)
= 0, 30× 0, 02 + 0, 45× 0, 03 + 0, 25× 0, 02 = 0, 006 + 0, 0135 + 0, 005 = 0, 0245.
No entanto, estamos interessados na probabilidade de o produto na˜o apresentar defeito. Ou seja,
Pr(D) = 1− Pr(D) = 1− 0, 0245 = 0, 9755.
2)
As probabilidades de a empresa empregar cada um dos treˆs planos anal´ıticos sa˜o, respectivamente:
Pr(1) = 0, 30, P r(2) = 0, 20 e Pr(3) = 0, 50.
As probabilidades de um produto estar defeituoso dado que o plano utilizado foi 1, 2 ou 3, sa˜o,
respectivamente:
Pr(D|1) = 0, 01, P r(D|2) = 0, 03 e Pr(D|3) = 0, 02.
A probabilidade de ter sido udado o plano 1, dado que o produto apresenta defeito e´, segundo o
Teorema de Bayes:
Pr(1|D) = Pr(1)Pr(D|1)
Pr(1)Pr(D|1) + Pr(2)Pr(D|2) + Pr(3)Pr(D|3)
=
0, 30× 0, 01
0, 30× 0, 01 + 0, 20× 0, 03 + 0, 50× 0, 02
=
0, 003
0, 003 + 0, 006 + 0, 01
=
0, 003
0, 019
= 0, 1579.
A probabilidade de ter sido udado o plano 2, dado que o produto apresenta defeito e´, segundo o
Teorema de Bayes:
Pr(2|D) = Pr(2)Pr(D|2)
Pr(1)Pr(D|1) + Pr(2)Pr(D|2) + Pr(3)Pr(D|3)
=
0, 20× 0, 03
0, 30× 0, 01 + 0, 20× 0, 03 + 0, 50× 0, 02
2
=
0, 006
0, 003 + 0, 006 + 0, 01
=
0, 006
0, 019
= 0, 3158.
A probabilidade de ter sido udado o plano 3, dado que o produto apresenta defeito e´, segundo o
Teorema de Bayes:
Pr(3|D) = Pr(3)Pr(D|3)
Pr(1)Pr(D|1) + Pr(2)Pr(D|2) + Pr(3)Pr(D|3)
=
0, 50× 0, 02
0, 30× 0, 01 + 0, 20× 0, 03 + 0, 50× 0, 02
=
0, 01
0, 003 + 0, 006 + 0, 01
=
0, 01
0, 019
= 0, 5263.
Como a probabilidade de ter sido o plano 3, dado que o produto apresentou defeito foi a maior , enta˜o
o plano 3 e´ o mais prova´vel.
3)
Para determinarmos E(X) e V ar(X) , precisamos da distribuic¸a˜o de probabilidade de X . Para
isso, encontremos as func¸o˜es de probabilidade aplicadas aos pontos onde X esta´ definida. Assim:
fX(0) = FX(0) =
1
16
fX(1) = FX(1)− FX(0) = 516 − 116 = 416
fX(2) = FX(2)− FX(1) = 1116 − 516 = 616
fX(3) = FX(3)− FX(2) = 1516 − 1116 = 416
fX(4) = FX(4)− FX(3) = 1616 − 1516 = 116
Assim, a distribuic¸a˜o de X e´:
X 0 1 2 3 4
fX(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
a)
E(X) = 0× 1
16
+ 1× 4
16
+ 2× 6
16
+ 3× 4
16
+ 4× 1
16
=
0 + 4 + 12 + 12 + 4
16
=
32
16
= 2.
b)
Para encontrar V ar(X) , precisamos encontrar E(X2) .
A distribuic¸a˜o de X2 e´:
X2 0 1 4 9 16
fX(x
2) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
3
Assim,
E(X2) = 0× 1
16
+ 1× 4
16
+ 4× 6
16
+ 9× 4
16
+ 16× 1
16
=
0 + 4 + 24 + 36 + 16
16
=
80
16
= 5.
V ar(X) = E(X2)− E2(X) = 5− (2)2 = 5− 4 = 1.
4)
Temos 10 CDs, dos quais 5 sa˜o de jazz e destes 10, 4 sera˜o retirados sem reposic¸a˜o.
Admita o evento J : o CD e´ de jazz (Consequentemente, J sra´ o evento: o CD na˜o e´ de jazz).
Defina X a varia´vel aleato´ria que conta o nu´mero de CDs de jazz.
Assim, X pode assumir os valores:
X = 0 , quando os 4 CDs selecionados na˜o forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J
X = 1 , quando um dos 4 CDs selecionados for de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J
X = 2 , quando dois dos CDs selecionados forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J
X = 3 , quando treˆs dos CDs selecionados forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J ou J J J J ou J J J J ou J J J J
X = 4 , quando os 4 CDs selecionados forem de jazz.
Na seguinte situac¸a˜o:
J J J J
Assim,
Pr(X = 0) =
5
10
× 4
9
× 3
8
× 2
7
=
120
5040
= 0, 0238.
P r(X = 1) = 4× 5
10
× 5
9
× 4
8
× 3
7
= 4× 300
5040
=
1200
5040
= 0, 2381.
P r(X = 2) = 6× 5
10
× 4
9
× 5
8
× 4
7
= 6× 400
5040
=
2400
5040
= 0, 4762.
4
Pr(X = 3) = 4× 5
10
× 4
9
× 3
8
× 5
7
= 4× 300
5040
=
1200
5040
= 0, 2381.
P r(X = 4) =
5
10
× 4
9
× 3
8
× 2
7
=
120
5040
= 0, 0238.
Assim, a distribuic¸a˜o de X e´:
X 0 1 2 3 4
fX(x) 0,0238 0,2381 0,4762 0,2381 0,0238
E(X) = 0× 0, 0238 + 1× 0, 2381 + 2× 0, 4762 + 3× 0, 2381 + 4× 0, 0238
= 0 + 0, 2381 + 0, 9524 + 0, 7143 + 0, 0952 = 2.
O nu´mero esperado de CDs de jazz e´ de 2 CDs.
5)
a)
temos: p = 0, 03 e n = 20 em uma distribuic¸a˜o binomial de probabilidade
Pr(X ≥ 1) = 1− Pr(X < 1) = 1− Pr(X = 0) = 1− C20,0(0, 03)0(0, 97)20 = 1− 1× 1× (0, 97)20
= 1− (0, 97)20 = 1− 0, 54379 = 0, 45621.
b)
Neste segundo momento p = 0, 45621 (encontrado no item a)) e n = 10
.
Pr(X = 3) = C10,3(0, 45621)
3(0, 54379)7 =
10!
3!7!
× 0, 0949× 0, 0140
=
10× 9× 8× 7!
3× 2× 1× 7! × 0, 0013 =
10× 9× 8
6
× 0, 0013 = 720
6
× 0, 0013 = 120× 0, 0013 = 0, 156.
6)
Segundo o enunciado, E(X) = 12 e σX = 2 , que nos leva a V AR(X) = 4.
Como
X ∼ Binomial(n; p),
enta˜o:
E(X) = np = 12 e V AR(X) = np(1−p) = 4 . Assim, 12(1−p) = 4 o que implica em 12−12p = 4 ,
Logo: 12p = 8 e, consequentemente,
p =
2
3
.
Assim
np = 12⇒ n× 2
3
= 12⇒ n = 12× 3
2
=
36
2
= 18.
5
a)
o nu´mero de experimentos e´ n = 18.
b)
a probabilidade de sucesso e´ p = 2
3
.
c)
E(Z) = E
(
X − 6
3
)
=
1
3
E(X − 6) = 1
3
[E(X)− E(6)] = 1
3
(12− 6) = 1
3
× 6 = 6
3
= 2.
6
AP2 - 2010- 2.doc
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º Semestre de 2010
Prof. Moisés Lima de Menezes
(pode usar calculadora)
Versão Tutor
1. (2,0 pontos) Em uma indústria, três máquinas A, B e C produzem 6.000 peças em um dia. A máquina A produz 1.000 peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz 2.000, das quais 4% são defeituosas. A máquina C produz 3.000 peças, das quais 2% são defeituosas. Da produção total de um dia desta indústria, uma peça é escolhida ao acaso:
a) Qual a probabilidade de ela ser defeituosa?
b) Sabendo que a peça escolhida não é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida
pela máquina B ?
2. (2,0 pontos) Resolva estes itens sobre análise combinatória:
a) (0,5) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A e terminando com I?
b) (1,0) Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser formadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
c) (0,5) Quantos números com três algarismos distintos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9?
3. (3,0 pontos) Uma empresa que fornece computadores pelos correios tem 6 linhas telefônicas. Seja X o número de linhas em uso em determinado horário. Suponha que a distribuição de X seja a seguinte:
		x
		0
		1
		2
		3
		4
		5
		6
		p(x)
		0,1
		0,15
		0,2
		0,25
		0,2
		0,06
		0,04
Qual a probabilidade de no máximo 3 linhas estarem em uso?
Qual a probabilidade de pelo menos 3 linhas estarem em uso?
Qual a probabilidade de entre 2 e 5 linhas, inclusive, estarem em uso? 
Determine o número de linhas em uso esperado para este horário.
Qual a probabilidade de todas as linhas estarem em uso?
4. (1,0 ponto) Seja . Determine:
a) ;
b) .
5. (2,0 pontos). Um indivíduo que possui um seguro de automóvel de uma determinada empresa é selecionado aleatoriamente. Seja Y o número de infrações no trânsito nos quais o indivíduo foi reincidente nos últimos 3 anos. Y assume os valores 0, 1, 2 e 3 com probabilidades respectivas: 0,6, 0,25, 0,1 e 0,05. 
Determine o número esperado de infrações;
Suponha que o indivíduo com Y infrações reincidentes incorra em multa de US$100Y2. Calcule o valor esperado da multa. 
Solução:
1.
Como a máquina A produz 1.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina A é .
Como a máquina B produz 2.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina B é .
Como a máquina C produz 3.000 das 6.000 peças, então a probabilidade de uma peça ser da máquina C é .
Seja D o evento: peça defeituosa. As probabilidades de encontrar uma peça defeituosa em cada máquina, respectivamente, são:
, e .
a)
Para a solução deste item, usamos o teorema da Probabilidade Total.
b)
Agora, precisamos trabalhar com peças não defeituosas. 
Inicialmente, A probabilidade de uma peça selecionada aleatoriamente não ser defeituosa é o complementar de ela ser defeituosa. Assim, 
.
Pela probabilidade condicional, a probabilidade de uma peça, sabendo que não é defeituosa, ter vindo da máquina B, é dada por:
Note que (as peças não defeituosas fabricadas por B).
Assim, 
�
2.
a) 
Fixando a primeira letra com A e a última com I, temos apenas as outras 7 letras BCDEFGH para permutar. Então são 7! = 5040. 
Resposta: 5040.
b)
Neste caso, para cada grupo de 3 homens há todas as possibilidades de formação de grupos de 5 mulheres. Assim, 
i) para selecionar as 3 mulheres de um total de 18, temos 
ii) para selecionar os 5 homens de um total de 22, será .
Assim, para as comissões temos, 816 X 26.334 = 21.488.544.
Resposta: 21.488.544.
c) Como temos 5 algarismos, para formarmos os números de 3 algarismo distintos, teremos o seguinte esquema: 
Para o 1º algarismo temos 5 números possíveis;
Para o 2º algarismo temos apenas 4 números possíveis;
Para o 3º algarismo temos apenas 3 números possíveis;
Assim, a quantidade de números distintos de 3 algarismos é : 
Resposta: 60.
3.
Para o cálculo das probabilidades nesta questão consideremos a tabela abaixo:
		x
		0
		1
		2
		3
		4
		5
		6
		p(x)
		0,1
		0,15
		0,2
		0,25
		0,2
		0,06
		0,04
a)
Resposta: 0,70.
b) 
Resposta: 0,55.
c) 
Resposta: 0,71.
d)
Resposta: 2,64.
e) 
Resposta: 0,04.
4.
Como X tem distribuição binomial, então e .
a)
Resposta: 0,1224.
b)
Solução: 4.
5.
Seja Y o número de infrações. A distribuição de probabilidade é:
		Y
		0
		1
		2
		3
		p(Y)
		0,6
		0,25
		0,1
		0,05
a)
O número esperado de infrações é:
Resposta: 0,6.
b)
Precisamos da distribuição de Y2 para em seguida calcular a esperança e enfim encontrar o valor desejado.
		Y2
		0
		1
		4
		9
		p()
		0,6
		0,25
		0,1
		0,05
Como a multa é de US$100Y2,
Então a multa esperada é:
Resposta: US$110,00.
AP2 - 2011- 2.doc
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I
2a. AVALIAÇÃO PRESENCIAL
2º. Semestre de 2011
Prof. Moisés Lima de Menezes
(Pode usar calculadora)
Versão Tutor
1. (2,0 pontos) Assuma o experimento “lançar dois dados e verificar as faces voltadas para cima” onde x1 representa a face do dado 1 e x2 representa a face do dado 2 e sejam os eventos:
A = {( x1 , x2 ) | x1 + x2 < 8 };
B = {( x1 , x2 ) | x1 = x2 };
C = {( x1 , x2 ) | x1 > 1+ x2};
D = {( x1 , x2 ) | x1 =2 x2}.
Determine:
	a) (1,0) Pr (B | A);
	b) (1,0) Pr (D | C).
Solução:
Vamos ver o conjunto das possibilidades dos lançamentos dos dois dados.
		(1,1)
		(1,2)
		(1,3)
		(1,4)
		(1,5)
		(1,6)
		(2,1)
		(2,2)
		(2,3)
		(2,4)
		(2,5)
		(2,6)
		(3,1)
		(3,2)
		(3,3)
		(3,4)
		(3,5)
		(3,6)
		(4,1)
		(4,2)
		(4,3)
		(4,4)
		(4,5)
		(4,6)
		(5,1)
		(5,2)
		(5,3)
		(5,4)
		(5,5)
		(5,6)
		(6,1)
		(6,2)
		(6,3)
		(6,4)
		(6,5)
		(6,6)
O conjunto A está abaixo:
		(1,1)
		(1,2)
		(1,3)
		(1,4)
		(1,5)
		(1,6)
		(2,1)
		(2,2)
		(2,3)
		(2,4)
		(2,5)
		
		(3,1)
		(3,2)
		(3,3)
		(3,4)
		
		
		(4,1)
		(4,2)
		(4,3)
		
		
		
		(5,1)
		(5,2)
		
		
		
		
		(6,1)
		
		
		
		
		
O conjunto B está abaixo: 
		(1,1)
		
		
		
		
		
		
		(2,2)
		
		
		
		
		
		
		(3,3)
		
		
		
		
		
		
		(4,4)
		
		
		
		
		
		
		(5,5)
(6,6)
�
O conjunto C está abaixo:
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		(3,1)
		
		
		
		
		
		(4,1)
		(4,2)
		
		
		
		
		(5,1)
		(5,2)
		(5,3)
		
		
		
		(6,1)
		(6,2)
		(6,3)
		(6,4)
		
		
O conjunto D está abaixo: 
		
		
		
		
		
		
		(2,1)
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		(4,2)
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		(6,3)
		
		
		
a) 
O conjunto 
é o conjunto onde os pares que aparecem simultaneamente em A e B. 
		(1,1)
		
		
		
		
		
		
		(2,2)
		
		
		
		
		
		
		(3,3)
		
		
		
Observe que apenas os pares (1,1), (2,2) e (3,3) aparecem nos dois conjuntos.
Logo: 
.
Sabemos que P(A) é o número de pares em destaque sobre o total em A.
Logo: 
.
Consequentemente:
b) de forma análoga pensamos em 
.
O conjunto 
é o conjunto onde os pares que aparecem simultaneamente em D e C. 
		
		
		
		
		
		
		
		(4,2)
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		
		(6,3)
		
		
		
Observe que os únicos pares que aparecem nos dois conjuntos são os pares (4,2) e (6,3).
Logo: 
.
Sabemos que P(C) é o número de pares em destaque sobre o total em C.
Logo: 
.
Conseqüentemente:
2. (2,0 pontos) Considere uma variável aleatória X de uma distribuição Binomial de probabilidade com média 12 e desvio padrão 2 e seja 
. Determine:
a) (0,7) O número de experimentos independentes de Bernoulli de X;
b) (0,6) A probabilidade de sucesso em cada experimento Bernoulli de X;
c) (0,7) O número esperado de sucessos da variável Z.
 
Solução:
Como X segue uma distribuição Binomial de Probabilidade, então:
Se média é igual a 12, então 
 Se desvio padrão é igual à 2, então a variância é igual à 4. Ou seja, 
Substituindo, chegamos a:
Substituindo o valor de p pela fórmula acima, obtemos:
a)
O que desejamos é o valor de n calculado acima:
n=18.
 
b)
Aqui o que se deseja é o valor de p, também calculado acima:
.
c)
Aqui o que se deseja é:
Logo:
3. (2,0 pontos) Em certa linha de montagem, quatro máquinas B1, B2, B3 e B4 produzem 30%, 20%, 15% e 35% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um produto já acabado seja selecionado aleatoriamente.
a) (1,0) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito?
b) (1,0) Percebendo-se defeito neste produto, qual a probabilidade que ele tenha sido produzido por B1 ou B4?
Solução:
Considere os seguintes eventos:
D: o produto apresenta defeito
N: o produto não apresenta defeito.
Temos então as seguintes probabilidades:
a)
Pede-se 
. Pelo Teorema da Probabilidade Total,
Logo:
b)
Aqui usemos o Teorema de Bayes. O que se pede é:
Logo:
.
4. (2,0 pontos) 
a) (1,0) Determine a distribuição de probabilidades para o número de CDs de jazz selecionados quando três CDs são selecionados aleatoriamente e com reposição de uma coleção que consiste em cinco CDs de jazz, dois CDs de música clássica e três CDs de rock. 
b) (1,0) Determine também o número esperado de CDs de jazz selecionados.
Solução:
a)
Seja X a variável número de CDs de JAZZ selecionados.
Se nesta coleção, serão selecionados 3 CDs, com reposição, então poderemos ter os seguintes valores par X:
0 CD de JAZZ (quando nenhum dos CDs selecionados forem de JAZZ)
1 CD de JAZZ (quando 1 CD de JAZZ e 2 CDs de outros tipos são selecionados)
2 CDs de JAZZ (quando 2 CDs de JAZZ e 1 CD de outro tipo são selecionados)
3 CDs de JAZZ (quando todos os três CDs selecionados são de JAZZ).
Considere os eventos: 
J: o CD é de JAZZ
N: o CD não é de JAZZ.
Teremos as seguintes possibilidades:
Para o caso em que nenhum CD de JAZZ é selecionado
 
		___
		___
		___
		 N
		 N
		 N
Para o caso em que 1 CD de JAZZ é selecionado
		___
		___
		___
		ou
		___
		___
		___
		ou
		___
		___
		___
		 J
		 N
		 N
		
		 N
		 J
		 N
		
		 N
		 N
		 J
Para o caso em que 2 CDs de JAZZ são selecionados
		___
		___
		___
		ou
		___
		___
		___
		ou
		___
		___
		___
		 J
		 J
		 N
		
		 N
		 J
		 J
		
		 J
		 N
		 J
Para o caso em que os 3 CDs selecionados são de JAZZ.
		___
		___
		___
		 J
		 J
		 J
Logo: a distribuição de probabilidades é:
		x
		0
		1
		2
		3
		Pr(x)
		0,125
		0,375
		0,375
		0,125
b) 
O número esperado é a esperança da variável X, ou seja,
5. (2,0 pontos) De 7 consoantes e 5 vogais, quantas palavras distintas podemos formar consistindo
de 4 consoantes diferentes e 3 vogais diferentes? (as palavras não precisam ter sentido).
Solução:
As 4 consoantes distintas pode ser escolhidas de C(7,4) maneiras. As 3 vogais distintas podem ser escolhidas de C(5,3) maneiras. Estas 7 letras podem permutar entre si de P7=7! maneiras.
Assim, o número de palavras possíveis nestas condições é igual à:
.
Logo:
1.764.000 palavras.
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AP2 - 2011-1.pdf
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2a. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2011 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
 
Versão Tutor (gabarito) 
 
1. (2,0 pontos) Se A e B são eventos independente, Pr(A)=0,25, Pr(B)=0,60, pede-se 
determinar: 
a. (0,6) )Pr( BA ∩ 
b. (0,7) )|Pr( BA 
c. (0,7) )Pr( BA ∩ 
 
Solução: 
a) Se A e B são independentes, então: . 
 
 
b) . 
Outra forma: Como A e B são independentes, então: 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) O chefe do setor de compras de uma empresa trabalha com 3 grandes 
distribuidoras de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, 
enquanto cada um dos outros dois distribuidores responde
por 15% dos pedidos. Dos 
registros gerias de compras, sabe-se que 6% dos pedidos chegam atrasados. A proporção dos 
pedidos com atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua 
vez, é o dobro da proporção do distribuidor 3. Calcule a porcentagem de pedido com atraso: 
a. (0,6) Do distribuidor 1; 
b. (0,7) Do distribuidor 2; 
c. (0,7) Do distribuidor 3. 
 
Solução: 
 
Sejam os eventos: 
A: a compra foi realizada através do distribuidor 1; 
B: a compra foi realizada através do distribuidor 2; 
C: a compra foi realizada através do distribuidor 3; 
D: O pedido chegou com atraso. 
Estamos interessados em Pr(D|A), Pr(D|B) e Pr(D|C). 
Temos: 
Pr(A)=0,70, Pr(B)=0,15 Pr(C)=0,15, Pr(D)=0,06. 
Mais ainda: 
 e . Logo: 
 
Pelo Teorema da Probabilidade Total, temos: 
 
 
 
Colocando todos em função de , temos: 
 
 
 
Substituindo os valores conhecidos, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
3. (2,0 pontos) Em determinada máquina ocorrem defeitos cujos tempo de reparo pode durar 1, 2, 
3, 4 ou 5 horas. Levando em consideração que a probabilidade de ocorrência de qualquer um 
dos defeitos é a mesma, determine: 
a. (0,5) A distribuição de probabilidade dos tempos de reparos; 
b. (1,0) O tempo médio de reparo e o desvio padrão deste tempo de reparo; 
c. (0,5) São 15 horas e o expediente do técnico se encerra às 17 horas. Determine a 
probabilidade de que o técnico não precise fazer hora extra para terminar o conserto 
desta máquina. 
 
 
Solução: 
 
a) Seja X a variável aleatória: “tempo de reparo de defeitos da máquina”. 
Os valores que X pode assumir são: 1, 2, 3,4 ou 5. 
As respectivas probabilidades de X assumir estes valores são as respectivas probabilidades de 
ocorrência dos referidos defeitos. Como estas ocorrências são equiprováveis e a soma das 
probabilidades tem que ser 1, então . 
Assim, a distribuição de probabilidades contendo os valores de X e as suas respectivas 
probabilidades é: 
X= x 1 2 3 4 5 
Pr(X = x) 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 
 
b) o tempo médio de reparo é a média da variável X. Ou seja: 
 
 
Tempo médio de reparo: 3 horas. 
 
Para o cálculo do desvio padrão, precisamos da variância calculada por: 
 
 
Para isso, precisamos da distribuição de X2. 
 
X2 1 4 9 16 25 
P( x2) 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 
Assim, será: 
 
 
Logo: 
 
Assim, o desvio padrão será a raiz quadrada da variância. 
 
 
 
 
c) Se o técnico só tem 2 horas, então queremos saber a probabilidade de o tempo de reparo ser 
menor ou igual à 2 duas horas. 
 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Quantos são os anagramas da palavra SIMULTANEO: 
 a. (0,5) Começando por consoante e terminando por vogal; 
 b. (0,5) Com as letras S, I, M juntas nesta ordem; 
 c. (0,5) Com a letra S no primeiro lugar ou a letra I no segundo lugar; 
 d. (0,5) Com a letra S no primeiro lugar ou a letra I no segundo lugar ou a letra M no 
terceiro lugar. 
 
Solução: 
 
a) Temos 5 consoantes e 5 vogais. Portanto, o primeiro e o último lugar poderão ter estas 
possibilidades, sobrando 8 letras para permutarem nos outros 8 lugares. 
 
_consoante_ __ __ __ __ __ __ __ __ _vogal_ 
5 8 7 6 5 4 3 2 1 5 
 
Logo: no de anagramas = 
 
b) Com as letras S, I, M juntas nesta ordem, podemos considerar como um único bloco ou uma 
“letra”: SIM. 
Assim, passamos a ter 8 posições para 8 “letras” como abaixo: 
 
_SIM_ __ __ __ __ __ __ __ 
8 7 6 5 4 3 2 1 
 
Logo: no de anagramas = 8!= 40.320 
 
c) Temos o seguinte: 
S no primeiro lugar: 
 
_S_ __ __ __ __ __ __ __ __ __ 
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 
 
Temos um lugar fixo e os outros 9 lugares para permutar. Total: 9! = 362.880 
 
I no segundo lugar: 
 
__ _I_ __ __ __ __ __ __ __ __ 
9 1 8 7 6 5 4 3 2 1 
 
Temos um lugar fixo e os outros 9 lugares para permutar. Total: 9! = 362.880 
 
 
S no primeiro lugar e I no segundo lugar: 
 
_S_ _I_ __ __ __ __ __ __ __ __ 
1 1 8 7 6 5 4 3 2 1 
 
Agora temos apenas 8 lugares para permutar. Total: 8! = 40.320 
 
O que queremos é S na primeira ou i na segunda, ou seja: n(S I), mas 
 
Logo: 
 
 
d) A situação agora é idêntica ao item anterior. Neste caso, consideremos união de 3 conjuntos 
onde: 
 
Já sabemos do item anterior que: 
 
 
 
O único conjunto que não foi visto no item anterior foi : 
 
_S_ _I_ _M_ __ __ __ __ __ __ __ 
1 1 1 7 6 5 4 3 2 1 
 
Ficando apenas 7 lugares para serem permutados: teremos: 7!=5.040. 
Logo: 
 
Logo: 
 
 
 
 
5. (2,0 pontos) A cada 50 tiros que um atirador faz, 10 são certeiros. Determine a probabilidade de 
este atirador: 
 a. (0,5) Acertar no máximo 1 tiro em 5 tentativas; 
 b. (0,5) Errar todos os tiros em 8 tentativas; 
 c. (0,5) Acertar pelo menos 6 de 7 tentativas; 
 d. (0,5) Se ele atira 30 vezes, quantos tiros espera-se que ele acerte? 
 
Solução: 
 
Note que a probabilidade de acerto em um tiro é: 
 
 
 
Seja X a variável aleatória que conta o número de acertos. Em n tentativas, temos uma 
distribuição binomial. 
 
a) n=5. 
 
 
 
 
b) n=8. 
 
Errar todos significa acertar zero. Então isso significa, 
 
 
 
 
 
c) n=7. 
 
Acertar pelo menos 6 tiros equivale a 
 
 
 
 
 
 
d) n=30. 
 
Com p=0,20. 
 
Estamos interessados na esperança da variável X. 
 
 
 
 
AP2 - 2012-2.pdf
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2012 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Ana pretende fazer um regime em que só come três frutas diferentes por refeição. 
Se ela tem em casa apenas uma maçã, uma pêra, uma banana, um caju e uma goiaba, quantos 
tipos de refeições diferentes ela pode preparar? É possível listar todos os tipos de refeições? Se 
sim, liste-os. Se não, justifique. 
 
Solução: 
 
Este é um problema de Combinação. Temos 5 frutas para escolher 3: Assim: 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 10. 
 
Como são apenas 10 possibilidades, é possível lista-las. Considere apenas a Primeira letra 
do nome de cada fruta: Assim, as frutas são: M, P, B, C, G. As possibilidades são: 
 
PBC, PBG, PBM, PCG, PCM, PGM, BCG, BCM, BGM, CGM 
 
 
2. (2,0 pontos) Em uma pesquisa realizada com 200 alunos de uma Faculdade foi obtida a seguinte 
tabela. 
Sexo 
Curso 
Administração C. Contábeis Psicologia MBA 
Masc. 45 22 29 38 
Fem. 35 16 3 12 
Se um aluno deste grupo for selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de ele: 
a) (0,5 pt) Ser aluno de MBA; 
b) (0,5 pt) Ser mulher cursando Administração; 
c) (0,5 pt) Ser aluno de C. Contábeis ou de Psicologia; 
d) (0,5 pt) Estudar Psicologia, dado que é homem. 
 
Solução: 
Considere os eventos: M: sexo masculino, F: sexo feminino; A: cursa administração, C: cursa 
Ciências Contábeis, P: cursa Psicologia e M: cursa MBA. 
a) Deseja-se . Que será o total de alunos que cursam MBA sobre o total geral (200). 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 0,25. 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
R: 0,175.
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 0,4. 
d) Deseja-se uma probabilidade condicional. 
 | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 0,216. 
 
3. (2,0 pontos) Uma linha de produção consiste em 4 máquinas A, B. C e D, cada uma responsável 
por 10%, 20%, 30% e 40% da produção das peças, respectivamente. Das produções de cada 
máquina, 3%, 1%, 4% e 2%, respectivamente, são de peças defeituosas. Uma peça é escolhida 
aleatoriamente. 
a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ser defeituosa? 
b) (1,0 pt) Sabendo que a peça não é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida 
pela máquina C? 
 
Solução: 
Temos os seguintes resultados: 
 
 | | | | 
a) Usemos o Teorema da Probabilidade Total. 
 | | | | 
 
 
R: 0,025. 
 
b) Temos que a probabilidade de uma peça ser não defeituosa é o complementar de ser defeituosa. 
Assim: ( ̅̅ ̅̅ ̅) 
Logo: 
 ( | ̅̅ ̅̅ ̅) 
 ̅̅ ̅̅ ̅| 
 ̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 0,295. 
 
 
4. (2,0 pontos) O retorno financeiro de um grupo de investidores está diretamente ligado ao 
resultado econômico. Se o resultado econômico for ótimo, então o retorno é de 25%, se o 
resultado econômico for bom, então o retorno é de 15%, se o resultado econômico for razoável, 
então o retorno é de 5% e se o resultado for ruim, então não há retorno. Sabendo que a 
probabilidade de o resultado econômico ser ótimo é de 20%, de ser bom é de 40%, de ser 
razoável é de 30% e de ser ruim é de 10%, então determine o retorno financeiro médio deste 
grupo. 
 
Solução: 
Podemos construir uma tabela de distribuição de probabilidades para estes dados: 
 
Resultado Ótimo Bom Razoável Ruim 
Retorno (xi) 25% 15% 5% 0% 
Probabilidade (pi) 20% 40% 30% 10% 
 
O retorno médio é a esperança (ou valor esperado) destes retornos. 
 
 ∑ 
R: 12,5%. 
 
 
5. (2,0 pontos) A probabilidade de um funcionário de uma metalúrgica ser promovido a gerente 
com menos de cinco anos de trabalho na empresa é 10%. Determine a probabilidade de em um 
grupo de seis funcionários: 
a) (0,5 pt) Nenhum ser promovido a gerente; 
b) (0,5 pt) Pelo menos um ser promovido a gerente; 
c) (0,5 pt) Todos serem promovidos a gerente; 
d) (0,5 pt) Exatamente 4 serem promovidos a gerente. 
 
Solução: 
Como o evento: o funcionário ser promovido não depende de o outro funcionário ser promovido, 
então temos uma situação de Distribuição Binomial de Probabilidade. 
Seja X a variável: número de funcionários promovidos, então . Ou seja, 
p=0,1 e n=6. 
 
a) (
 
 
) 
b) 
c) (
 
 
) 
d) (
 
 
) 
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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2013 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,5 pontos) Os itens vendidos na Lojak foram produzidos pelas fábricas e nas 
seguintes proporções: e . Segundo informações das próprias fábricas, 
os respectivos percentuais de itens defeituosos por lote são: e . Se um item 
for vendido com defeito, o cliente tem o direito de devolver o item e receber seu dinheiro de 
volta. 
a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de um cliente receber o dinheiro de volta por um produto 
vendido nesta loja? 
b) (1,5pt) Supondo que houve a devolução do produto à loja, qual a fábrica mais provável de tê-
lo produzido? 
 
Solução: 
Seja D o evento “o item é defeituoso”. Então, 
Também são dados do enunciado: 
 
a) Deseja-se a probabilidade de um produto ser defeituoso. Para isso, usa-se o Teorema da 
Probabilidade Total. 
 
 
 
b) Vamos testar esta probabilidade para as três fábricas: 
 i) 
 
ii) 
 
iii) 
 
Como a probabilidade é a maior das três, então a fábrica é a mais provável de ter 
produzido o item defeituoso. 
 
2. (2,0 pontos) Seja com em uma v.a . 
a) (1,0 pt) Determine o valor de para que seja uma função de probabilidade; 
b) (1,0 pt) Encontre . 
 
Solução: 
Para que seja uma função de probabilidade é necessário que . Como 
, então 
 
 
 
 
b) com o valor de definido, podemos montar a distribuição de probabilidade. Onde 
: 
 
X=x 0 1 2 3 
P(x) 0 1/6 2/6 3/6 
Assim a esperança de X será: 
 
 
3. (3,0 pontos) Se 30 dos 40 alunos de uma turma de Pós-graduação dizem estar satisfeitos com o 
professor de Estatística 
(I) Qual a probabilidade de em uma amostra de 5 alunos: 
a) (0,5 pt)Todos estarem insatisfeitos? 
b) (0,5 pt)Pelo menos um estar satisfeito? 
c) (0,5pt)Mais da metade não estarem satisfeitos? 
d) (0,5 pt)No máximo dois estarem satisfeitos? 
e) (0,5 pt)Exatamente 4 estarem satisfeitos? 
(II) (0,5 pt) Determine a variância do número de alunos satisfeitos. 
 
Solução: 
30 dos 40 alunos equivale a uma probabilidade de ¾ de sucesso. Conseqüentemente, a probabilidade 
de não satisfeitos é de ¼. 
 
Nota-se que o problema é de Distribuição Binomial de Probabilidade com e Então se X é 
a variável aleatória “número de alunos satisfeitos”, então: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) Mais da metade de 5 é mais que 2,5. Conseqüentemente, maior ou igual a 3. 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
II) 
 
 
 
4. (1,5 ponto) Em um experimento binomial obteve-se: e . Qual o número de provas 
realizadas e qual a probabilidade de sucesso de cada uma? 
 
Solução: 
Temos que e . Deseja-se encontrar n e p. 
 
Ao substituir por 12 na fórmula da variância, obtemos: 
 
 
Logo: 
 
 
Com este valor de p encontrado, substituindo na fórmula da esperança, temos: 
 
 
Logo: 
 
 
5. (1,0 ponto) O Gerente da CredFácil coletou dados de 100 de seus clientes. Dos 60 homens, 40 
possuem cartão de crédito (C). Das 40 mulheres, 30 tem cartão de crédito(C). Dez dos homens 
com cartão de crédito possuem balanço negativo (B), enquanto 15 das 40 mulheres possuem 
balanço negativo (B). Assumindo que pessoas sem cartão de crédito não tenham balanço 
negativo, o gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado 
aleatoriamente seja: 
a) (0,5 pt) Uma mulher com cartão de crédito; 
b) (0,5 pt) Um homem com balanço negativo. 
 
Solução: 
Vamos construir uma tabela com os dados no enunciado. 
 
 Homens (H) Mulheres (M) Total 
Com Cartão 40 30 70 
Sem Cartão 20 10 30 
Total 60 40 100 
 
a) 30 mulheres tem cartão de crédito, como são 100 clientes, então: 
 
 
b) São 10 homens com balaço negativo. Como são 100 clientes, então: aprobabilidade de ser um 
homem com balanço negativo será: 
 
 
 
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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
 
1. (2,0 pontos) A tabela abaixo apresenta o resultado de uma pesquisa feita em uma 
Universidade em relação ao nível de satisfação com o desempenho da Economia do Brasil 
no último ano. 
 
Resposta \ Curso Ciências Econômicas Administração Ciências Contábeis Total 
Satisfeito 20 15 15 50 
Insatisfeito 70 80 55 205 
Não soube opinar 5 5 5 15 
Total 95 100 75 270 
 
Um aluno será sorteado aleatoriamente para comentar sobre sua resposta. Determine a 
probabilidade de ele: 
a) (0,5 pt) Não estar satisfeito com o desempenho da Economia do Brasil no último 
ano; 
b) (0,5 pt) Ser aluno do Curso de Administração satisfeito com o desempenho da 
Economia do Brasil no último ano; 
c) (0,5 pt) Não saber opinar sobre o assunto dado que é aluno do Curso de Ciências 
Contábeis; 
d) (0,5 pt) Ser aluno do Curso de Ciências Econômicas ou ter opinado. 
 
 
Solução: 
 
Considere os eventos: 
 
A: O aluno é do Curso de Administração; 
C: O aluno é do Curso de Ciências Contábeis; 
E: O aluno é do Curso de Ciências Econômicas. 
S: O aluno opinou estar Satisfeito; 
I : O aluno opinou estar Insatisfeito; 
N: O aluno não soube opinar. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
Se ele opinou, opinou positiva ou negativamente. Então o conjunto dos alunos que opinou é a união 
dos que estão satisfeitos com os que estão insatisfeitos. 
Logo o evento: 
O: O aluno opinou equivale a (S+I). 
 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) Um aluno do Curso de Administração está fazendo estágio em uma Indústria 
de peças em que as mesmas são produzidas por 3 máquinas, onde a primeira (A) é 
responsável por 30% dos peças produzidas, a segunda (B) é responsável por 25% e a terceira 
(C), por 45%. Sabe-se de experiências anteriores que 1,5% das peças produzidas pela 
máquina A são defeituosas, que 2% das peças produzidas pela máquina B são defeituosas e 
que 1% das peças produzidas pela máquina C são defeituosas. Uma das atribuições deste 
estagiário é a de avaliar o desempenho das máquinas, para isso, uma peça será sorteada 
aleatoriamente para averiguação: 
a. (1,0 pt) Qual a probabilidade de a peça sorteada ser defeituosa? 
b. (1,0 pt) Sabendo que a peça sorteada é defeituosa, qual seria a máquina mais 
provável de tê-la produzida? 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: A peça foi produzida pela máquina A; 
B: A peça foi produzida pela máquina B; 
C: A peça foi produzida pela máquina C. 
D: A peça é defeituosa. 
São dados do Enunciado do problema: 
 
 
 
 
 
a) Teorema da Probabilidade Total: 
 
 
 
 
b) Teorema de Bayes aplicado a cada Máquina: 
 
 
 
 
 
Como a probabilidade referente à máquina B é a maior, ela é a mais provável de ter fabricado a 
peça. 
 
 
3. (2,0 pontos) Considere o problema da questão anterior e que este aluno tenha recebido uma 
caixa com 10 peças defeituosas produzidas neste dia, sendo 2 peças produzidas pela 
máquina A, 5 produzidas pela máquina B e 3 produzidas pela máquina C. Para uma 
demonstração a um grupo de candidatos a operadores de máquinas desta empresa, o aluno 
irá retirar aleatoriamente, na sequência, 3 peças desta caixa. Determine a probabilidade de as 
duas primeiras peças terem sido produzidas pela máquina B e a terceira ter sido produzida 
pela máquina A quando: 
a. (1,0 pt) As retiradas são feitas sem reposição; 
b. (1,0 pt) As retiradas são feitas com reposição. 
 
Solução: 
 
a) 
Considerando as retiradas sem reposição, o espaço amostral sempre irá diminuir de uma unidade 
a cada retirada. 
Assim: 
__1ª._ __2ª _ __3ª _ 
B B A 
 
 
b) 
Com as retiradas feitas com reposição, os eventos são independentes e o espaço amostral sempre 
permanecerá o mesmo. 
 
 
 
4. (2,0 pontos) Para se determinar um índice de crescimento de um país de acordo com o 
pregão na Bolsa de Valores do dia seguinte, uma variável aleatória X é estabelecida de 
modo que se a Bolsa fechar em alta, X=0 e o índice é positivo e se a Bolsa fechar em baixa 
ou permanecer inalterada, X=1 e o índice é negativo. Considere 
 
 
 
a função de distribuição de probabilidade de X. Determine: 
 
a. (0,7 pt) O valor de k para que f seja de fato uma função de distribuição probabilidade. 
b. (0,7 pt) A probabilidade de o índice de crescimento ser positivo amanhã. 
c. (0,6 pt) . 
 
Solução: 
 
a) 
Sabemos que a soma de todas as possíveis probabilidades na distribuição de probabilidades tem 
que ser igual á 1. 
 
Como os únicos valores que x assume são 0 e 1, então: 
 
 
Logo: 
 
 
b) 
Sabemos que o índice é positivo se e a probabilidade de X=0 será dada pela função de 
distribuição de probabilidade. 
 
 
 
c) 
Para o cálculo de vamos construir a tabela de distribuição de probabilidades de X. 
 
 0 1 
 ¾ ¼ 
 
Como vimos no item anterior, a probabilidade de X=0 é ¾, consequentemente, a probabilidade de 
X=1 será ¼. 
 
Assim: 
 
 
 
 
5. (2,0 pontos) Em uma indústria do setor automobilístico, 30% dos veículos produzidos são 
para exportação. Durante um período de uma semana (7 dias) durante o mês, um veículo é 
sorteado aleatoriamente por dia para inspeção. 
 
a. (0,7 pt) Determine a probabilidade de todos os veículos sorteados esta semana serem 
para exportação; 
b. (0,7 pt) Determine a probabilidade de pelo menos 2 veículos sorteados esta semana 
serem para exportação; 
c. (0,6 pt) Qual o número esperado de veículos para exportação sorteados estas semana? 
 
Solução: 
 
Os sorteios são independentes. Temos 7 sorteios e em cada sorteio a probabilidade de 
sucesso é 30%. Isto configura uma distribuição Binomial de Probabilidade com p=0,3 e 
n=7. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
 
 
Assim: 
 
 
c) 
 
 
Ou seja, espera-se que dos 7 veículos sorteados, 2 sejam para exportação. 
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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º. Semestre de 2014 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
 
Gabarito 
 
1. (2,0 pontos) De um grupo de 8 homens e 6 mulheres, deve-se formar uma comissão com 5 
pessoas. De quantas formas esta comissão pode ser feitas se: 
a) (0,5 pt) Não houver restrição? 
b) (0,5 pt) Deve ter 3 homens e 2 mulheres? 
c) (0,5 pt) Deve ter 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro, 1 primeiro-secretário e 1 
segundo secretário independente de sexo? 
d) (0,5 pt) Deve ter 2 homens, sendo 1 presidente e 1 segundo secretário e 3 mulheres sendo 1 
vice-presidente, 1 tesoureira e 1 primeira secretária? 
 
Solução: 
a) 
sem restrição, é considerado um grupo de 14 pessoas das quais serão sorteadas 5. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como e , então: 
 
 
 
 
 
b) 
Devemos escolher os homens e as mulheres separadamente e para cada homem escolhido há a 
quantidade escolhida entre as mulheres. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
Neste caso, a ordem da seleção
é importante, mas o sexo não. Assim, trata-se de um arranjo dentre 
todas as pessoas do grupo. 
 
 
 
 
 
 
d) 
Arranjo para os homens e arranjo para as mulheres: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (2,0 pontos) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filmes, dentre 3 
pesquisados, seguem na tabela abaixo: 
 
 Comédia Aventura Policial Total 
Homens 20 50 10 80 
Mulheres 10 20 20 50 
Total 30 70 30 130 
 
Uma pessoa é sorteada aleatoriamente. Determine a probabilidade de: 
a) (0,5 pt) Ela ser do sexo masculino; 
b) (0,5 pt) Ela ser uma mulher que goste de filmes de aventura; 
c) (0,5 pt) Ela preferir filme policial, sabendo-se a priori que é um homem; 
d) (0,5 pt) Gostar de filme de comédia ou ser uma mulher. 
Solução: 
Sejam os seguintes eventos: 
C: a pessoa gosta de Comédia; 
A: a pessoa gosta de Aventura; 
P: a pessoa gosta de Policial; 
H: a pessoa é do sexo masculino; 
M: a pessoa é do sexo feminino. 
 
a) 
Temos um total de 80 pessoas pesquisadas do sexo masculino de um total de 130. Assim: 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
Temos uma probabilidade condicional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
Probabilidade da União: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) O chefe do Setor de Compras de uma empresa trabalha com 3 grandes 
distribuidores de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, 
enquanto cada um dos outros 2 distribuidores responde por 15% dos pedidos. Dos registros 
gerais de compra, sabe-se que 6% dos pedidos chegam com atraso. A proporção de pedidos com 
atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da 
proporção do distribuidor 3. 
 
a) (1,0 pt) Qual o percentual de pedidos com atraso de cada distribuidor? 
b) (1,0 pt) Se um pedido chega com atraso, qual a probabilidade de ele ter sido entregue pelo 
distribuidor 2? 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
1:O pedido foi entregue pelo distribuidor 1; 
2: O pedido foi entregue pelo distribuidor 2; 
3: O pedido foi entregue pelo distribuidor 3; 
A: O pedido chegou com atraso; 
N: O pedido não chegou com atraso. 
São dados do enunciado: 
 
 
 
 
 
 
a) 
Pelo Teorema da Probabilidade Total, sabemos que: 
 
Sabemos também que: 
 
 
 
 e 
 
 
 
Assim, substituindo no Teorema da Probabilidade Total, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consequentemente: 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
b) 
Pelo Teorema de Bayes, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (2,5 pontos) Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos 
vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de 
probabilidades: 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Cada vendedor recebe comissões de vendas de acordo com a quantidade vendida. Se ele vende 
até três produtos por dia, ele recebe $10,00 por produto vendido. Se ele vende mais de três 
produtos pro dia, a comissão passa a ser de $30,00 por produto de modo que se ele vende 3 
produtos, recebe $30,00 de comissão, mas se ele vende 4 produtos, recebe $ 120,00 de comissão. 
 
a) (1,5 pt) Determine a variância do número de produtos vendidos por dia por 
funcionário; 
b) (1,0 pt) Determine a comissão média diária de cada funcionário. 
 
Solução: 
a) 
Para determinar a variância é necessário obter a média: 
 
 
 
 
Também é necessário calcular . Para isso, precisamos da distribuição de . 
 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
 0 1 4 9 16 25 36 
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
b) 
A distribuição das comissões será dada por: 
 
Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 
Comissão (C) 0 10 20 30 120 150 180 
Probabilidade de comissão 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 
 
Logo: 
 
 
 
 
A comissão média paga por funcionário é de $39,5. 
 
 
5. (1,5 ponto) Dois times de voleibol A e B disputam uma série de oito partidas. A probabilidade de 
o time A ganhar cada partida é de 60%. Determine a probabilidade de o time A ganhar a série. 
 
Solução: 
Para ganhar a série de 8 jogos, o time A precisa ganhar mais que o time B. Como no voleibol não há 
empates, então o time A ganha a série se vencer pelo menos 5 das 8 partidas. Assim, a probabilidade de 
ele vencer a série será a probabilidade de ele vencer 5, 6, 7 ou 8 das partidas, onde a vitória em uma 
partida independe das outras partidas. 
Logo: 
 
 
Observemos que, por conta da independência, o experimento é Binomial. Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade de o time A ganhar a série é de 59,41%. 
 
 
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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2015 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
1. (2,0 pontos) Ana possui em seu guarda-roupas 5 blusas, 3 saias, 4 bermudas, 2 calças compridas, 
4 vestidos, 6 pares de sapatos e 2 chapéus. Sabendo que para se produzir, ela não precisa 
necessariamente usar chapéu, mas precisa de um calçado, vestir a parte de baixo e parte de cima, de 
quantas formas Ana pode se produzir? 
 
Solução: 
 
Para se produzir, Ana precisa ver todas as combinações possíveis de roupas. Para isso, a 
combinação pode ser: 
 
Chapéu 
Blusa 
Vestido 
Saia Bermuda Calça 
Calçado 
 
Ou seja: o número de opções que Ana possui é uma combinação de Princípio Aditivo e 
Multiplicativo da contagem. 
 
Número de formas = número {Calçado e {[vestido] ou [(saia ou bermuda ou calça) e (blusa)]} e 
chapéu}. 
 
Os conectivos “e” e “ou” são representantes dos princípios multiplicativo e aditivo 
respectivamente. 
Assim: 
Número de formas= número {Calçado {[vestido] [(saia bermuda calça) (blusa)]} 
chapéu}.
Como na produção ela não precisa necessariamente usar chapéu, então existem 3 possibilidades de 
uso do chapéu: os 2 chapéus + a opção de não usar chapéu. 
 
Logo: 
Número de formas = 
 
 
 
 
 
Assim: 
Existem 900 formas de Ana se produzir. 
 
 
2. (2,0 pontos) As peças produzidas em uma indústria são provenientes de 3 máquinas I, II e III 
responsáveis pela produção de 32%, 43% e 25% das peças respectivamente. Sabe-se por 
experiência que os percentuais de peças defeituosas por máquina é de 2%, 2,5% e 3,5% 
respectivamente. Todo mês uma peça é selecionada aleatoriamente para inspeção. 
 a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de a peça ser defeituosa? 
 b) (1,0 pt) Ao selecionar a peça e verificar que ela é de fato defeituosa, qual a probabilidade 
de ela ter sido produzida pela máquina I? 
 
Solução: 
 
Considere o evento: 
D: a peça é defeituosa. 
Então temos: 
 
 
 
a) 
Neste item estamos interessados em saber P(D). Para isso, vamos usar o Teorema da 
Probabilidade Total. 
 
 
 
 
 
b) 
Neste caso estamos interessados em: P(I|D). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2,0 pontos) A um grupo de pessoas selecionada em um exame para admissão de uma grande 
empresa foram feitas perguntas sobre formação acadêmica e quais objetivos para o futuro. As 
informações coletadas indicam que todas têm ensino superior, sendo 50 graduadas em Economia, 
70 graduadas em Administração e 80 graduadas em Direito. Das pessoas graduadas em Direito, 20 
desejam fazer pós-graduação e as demais pretendem atuar no mercado de trabalho. Dos formados 
em Economia, 30 desejam fazer pós-graduação e todos os formados em Administração desejam 
entrar no mercado de trabalho. Se uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente, qual a 
probabilidade de ela: 
 a) (0,5 pt) ter com meta futura fazer uma pós-graduação? 
b) (0,5 pt) ser uma pessoa formada em Economia com interesse em ingressar no mercado de 
trabalho? 
 c) (0,5 pt) não ser formada em Administração ou preferir fazer pós-graduação? 
d) (0,5 pt) ter preferência por entrar no mercado de trabalho uma vez que tem graduação em 
Direito? 
 
Solução: 
Das informações do enunciado, podemos fazer uma tabela de contingencia: 
 
 Administração (A) Economia (E) Direito(D) Total 
Fazer pós-graduação (P) 0 30 20 50 
Mercado de Trabalho (M) 70 20 60 150 
Total 70 50 80 200 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. (2,0 pontos) A quantidade de produtos vendidos em um dia por um funcionário em uma 
determinada loja é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades: 
 
 0 1 2 3 4 5 6 
 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 0,05 
 
 a) (0,5 pt) Determine a quantidade média de produtos vendidos por dia; 
 b) (1,5 pt) Determine o desvio-padrão de . 
 
 
Solução: 
 
a) 
 
 
 
b) 
Para calcular o desvio-padrão, precisamos calcular a variância e para calcular a variância 
precisamos de e para isso precisamos da distribuição de 
 
 0 1 4 9 16 25 36 
 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 0,05 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
Então: 
 
 
5. (2,0 pontos) Uma pesquisa recente mostra que a cada 5 empresas, 2 são administradas por 
mulheres em uma determinada cidade. Uma amostra aleatória com 10 empresas desta cidade foi 
feita. Determine: 
 a) (0,5 pt) a probabilidade de pelo menos 1 destas 10 empresas ser administrada por uma 
mulher; 
 b) (0,5 pt) a probabilidade de todas as 10 empresas serem administradas por mulheres; 
 c) (0,5 pt) a probabilidade de exatamente 1 destas 10 empresas ser administrada por mulher; 
 d) (0,5 pt) o número esperado de empresas administradas por mulheres. 
 
Solução: 
O enunciado do problema indica a probabilidade de uma empresa ser administrada por uma 
mulher é de 40%. 
Seja X a variável aleatória que contabiliza o número de empresas administrada por mulheres nesta 
cidade, então: 
 
Ou seja: e 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
d)

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