Aula 2- Fluxo_de fluidos em meios porosos Modo de Compatibilidade

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14/03/2013
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Fluxo de Fluidos em Meios 
Porosos
PERMEABILIDADE
A permeabilidade é a propriedade que caracteriza a facilidade com que o meio poroso 
permite o fluxo de fluidos em reposta a um dado gradiente de pressão.
É uma medida da condutividade do material poroso para um dado fluido.
Lei de Darcy 
L
q h-hKA 21=
Q = vazão de água
K = constante de proporcionalidade 
característica do meio poroso
A = área transversal da amostra
L = comprimento da amostra
Δh = h1 – h2 = diferença de altura dos 
níveis d’água dos manômetros
Propriedades das rocha
1 e 2 representam entrada e saída do meio poroso
PERMEABILIDADE
Lei de Darcy 
L
q h-hKA 21=
µ
γ kK =
Q = vazão de água
K = constante de proporcionalidade 
característica do meio poroso
A = área transversal da amostra
L = comprimento da amostra
Δh = h1 – h2 = diferença de altura dos níveis 
d’água dos manômetros
K=Permeabilidade
µ= Viscosidade
γ= Peso especifico 
Propriedades das rocha
P
L
q ∆=
µ
AK 
 
PERMEABILIDADE
Lei de Darcy 
11 hγ=P
P = Pressão
Propriedades das rocha
22 hγ=P
γ
 P-Ph-h 2121 =
( )LP −= 13 hγ
( )LPPP −−=−=∆ 2123 hhγ
PERMEABILIDADE
Lei de Darcy 
L
q h-hKA 21=
µ
γ kK =
Q = vazão de água
K = constante de proporcionalidade 
característica do meio poroso
A = área transversal da amostra
L = comprimento da amostra
Δh = h1 – h2 = diferença de altura dos níveis 
d’água dos manômetros
k=Permeabilidade
µ= Viscosidade
γ= Peso especifico 
Propriedades das rocha
P
L
q ∆=
µ
Ak 
 
L
q h-hkA 21
µ
γ
=
Potencial
- Representa a “energia potencial” de um determinado fluido, ou 
seja, a parcela gravitacional nas equações de fluxo. Pode ser 
definido de duas formas:
Onde:
z e z0 são alturas em relação a um nível de referência arbitrário,
P e P0 são pressões atuantes nos níveis z e z0,
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Potencial
( )o
P
P
zz
dp
−+=Φ ∫
0
γ
( ) ( )oo zzPP −+−=Φ γ
( ) ( )oatmoo zzPzzPP −+=−+= γγ
( )( ) ( ) 0=−+−−+=Φ oatmoatm zzPzzP γ
γ
Em termos de hidrostática
Potencial
z
p
+=Φ
γ
- Em termos de altura (m): 
Onde γγγγ é o peso específico = ρρρρ g
- Em termos de pressão (Pa): zp γ+=Φ
( )o
P
P
zz
dp
−+=Φ ∫
0
γ
Aplicação do Conceito de Potencial
( )o
P
P
zz
dp
−+=Φ ∫
1
2
1 γ
( ) LPP +−=Φ
γ
21
1
( ) 02
2
2 =−+=Φ ∫ o
P
P
zz
dp
γ
( )LhP −= 11 γ γ22 hP =
( )[ ]
21
21
1 hhL
hLh
−=+
−−
=Φ
γ
γγ
2121 hh −=Φ−Φ=∆Φ
L
q h-hkA 21
µ
γ
=
L
q kA ∆Φ=
µ
γ
1 e 2 representam entrada e saída do meio poroso
Potencial / Fluxo inclinado
( )
o
P
P
zz
dp
−+=Φ ∫
1
0
1 γ
( )
o
P
P
zz
dp
−+=Φ ∫
2
0
2 γ
( )
1
1
1 z
PP o +−=Φ
γ
( )
2
2
2 z
PP o +−=Φ
γ
( )222 zhP −= γ
Em termos de altura manométrica
( )111 zhP −= γ
21 Φ−Φ=∆Φ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21212121 zzPPzzPPPP oo −+−=−+−+−=∆Φ γγγ
Potencial / Fluxo inclinado
21 hh −=∆Φ
L
q kA ∆Φ=
µ
γ
( ) ( )[ ] ( ) 21212211 hhzzzhzh −=−+−−−=∆Φ γ
γγ
L
q h-hkA 21
µ
γ
=
Potencial / Fluxo horizontal
( ) ( )
o
P
P
o
P
P
zz
dp
zz
dp
−+−−+=Φ−Φ=∆Φ ∫∫ 2121
2
0
1
0
γγ
∫=∆Φ
1
2
P
P
dp
γ
Mesmo nível (horizontal) z1=z2
L
q kA ∆Φ=
µ
γ
Fluidos incompressíveis peso específico é constante
21 PP −=∆Φ
L
Pq P-kA 21
µ
γ
=
A
P1
P2
L
q
Z1=z2
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Lei de Darcy Generalizada
A
q
v = dl
d
v
 k Φ
−=
µ
γ
L
q kA ∆Φ−=
µ
γ
( )o
P
P
zz
dp
−+=Φ ∫
0
γ dl
dz
dl
dp
dl
d
+=
Φ
γ
1






+−=





+−=
Φ
−=
dl
dz
dl
dp
dl
dz
dl
dp
dl
d
v γ
µγµ
γ
µ
γ k1k k
θcos−=
dl
dz
Fluxo inclinado descendente
( ) ( )



−+
−
−=





−+−= θγ
µ
θγ
µ
cos
k
cos
k 12
l
PP
dl
dp
v
( )



+
−
= θγ
µ
cos
k 21
l
PP
v ( )



+
−
= θγ
µ
cos
kA 21
l
PPq
Fluxo Radial
dr
d
v
 k Φ
−= γ
µ dr
d
A
q k Φ
−= γ
µ
rhA θ= Área Transversal fluxo
dr
dz
dr
dp
dr
d
+=
Φ
γ
1
dr
d
rq kh Φ= γ
µ
θ






+=
dr
dz
dr
dp
rq 1kh
γ
γ
µ
θ
Fluxo Radial
piθ 2=
∫∫∫ +=
e
w
e
w
e
w
z
z
P
P
r
r
dzdp
r
dr
hk
q
pi
µ
2
( )we
w
e
PP
r
r
hkq −






=
ln
2
µ
pi
( )wewe
w
e zzPP
r
r
hk
q
−+−=




 γ
pi
µ ln
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Exercício
O esquema mostrado na Figura abaixo representa um tubo cilíndrico de área
transversal A, que contém na sua parte inferior um corpo poroso de
comprimento L e permeabilidade absoluta k. O tubo é preenchido com água
de peso específico g e viscosidade µ. A água, cuja altura inicial é h0, é
deixada escoar através do leito poroso.
Usando o conceito de potencial de fluxo, pede-se que sejam determinados:
(a) A equação da altura de água no interior do tubo (h) como uma função do
tempo.
(b) Um método para se calcular a permeabilidade absoluta do meio poroso a
partir de medições da altura de água como uma função do tempo.
Exercício
Solução:
L
q kA ∆Φ−=
µ
γ
dt
dq v−=
dt
dAq h −= Ldt
dA kAh ∆Φ=−
µ
γ
( ) ( )oo zzPP −+−=Φ γ
(a) A equação da altura de água no interior do tubo (h) como uma função do
tempo.
Considerando z0=0 e P0=Patm
( )
1
1
1 z
PP atm +−=Φ
γ
( )
2
2
2 z
PP atm +−=Φ
γ
( )[ ] hLPLhP atmatm =+−−+=Φ γγ
1
1
( )LhP −= γ1
( ) ( ) 0222 +−=+−=Φ γγ
atmatmatm PPzPP
Exercício
h=Φ−Φ=∆Φ 21
Z1=L
Z2=0
Ldt
dA kAh ∆Φ=−
µ
γ
L
h
dt
d
µ
γkh 
−=
t
kh 
0
d
Lh
d t
t
h
ho
∫∫
=
=
µ
γ
t
kln
Lh
h
o µ
γ
=





t
kln
Lh
h
o µ
γ
=











−= t
k
exp
L
hh o µ
γ
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Exercício
Z1=L
Z2=0
(b) Um método para se calcular a permeabilidade absoluta do meio poroso a partir
de medições da altura de água como uma função do tempo.
( ) tklnln
L
hh o µ
γ
−=
( ) t
303,2
klog
L
hLogh o µ
γ
−=
yy log303,2ln =
( ) mtlog += ohLogh
L
m
µ
γ
303,2
k
−=
M= Coeficiente angular da reta Logh versus t