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14/03/2013 1 Fluxo de Fluidos em Meios Porosos 2 Equações Governantes - Formulações matemáticas que descrevem os processos dentro do Sistema. Condições de Contorno – estabelecem como o sistema se relaciona com o exterior. Condições Iniciais – descrevem o estado de equilíbrio no instante t=0. Modelo Matemático Completo Equação da Difusividade Hidráulica • Meio poroso homogêneo e isotrópico; • Fluxo estritamente horizontal e isotérmico; • Poço penetrando totalmente a formação; • Permeabilidade constante; • Pequenos gradientes de pressão; • Fluido com compressibilidade pequena e constante, e viscosidade constante; • Rocha com compressibilidade pequena e constante; • Forças gravitacionais desprezíveis; • Fluidos e rochas não reagentes entre si. Revisando a Matemática Gradiente No cálculo vetorial o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço. O gradiente da função f, ∇f, ou grad f, é um vetor definido por: →→→→→→ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ k z fj y fi x ffk z j y i x f A função f(x,y,z) é uma função definida e derivável em todos os pontos (x, y, z) de uma dada região do espaço (isto é, f define um campo escalar derivável). O ∇f é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função e a direção em que esta máxima variação acontece. Revisando a Matemática DIVERGENTE (Divergência) O operador divergência é definido como a variação do fluxo líquido do campo vetorial através de uma superfície de um volume em uma região. O divergente de uma função vetorial V, é dado por ∇.V, ou div V, é um vetor definido por: ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ →→→→ k z Vj y Vi x VV 321. ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ →→→→→→→ kVjViVk z j y i x V 321. Revisando a Matemática 14/03/2013 2 Dessa forma a função V (x,y,z) = V1i + V2j + V3k deve ser definida e derivável em todos os pontos (x, y, z) numa da região do espaço (isto é, V define um campo vetorial derivável). A divergência de um campo vetorial, dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai – fluxo que entra) por unidade de volume. ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ →→→→ k z Vj y Vi x VV 321. Revisando a Matemática 8 Equação da Continuidade Para o desenvolvimento das equações será utilizado um elemento de meio poroso através do qual está ocorrendo o fluxo de um fluido, cuja saturação é igual a 100%, ou seja, é o único fluido presente no meio. Elemento no meio poroso 9 Equação da Continuidade 10 Equação da Continuidade 11 Balanço de Massa (MASSA QUE ENTRA - MASSA QUE SAI) + MASSA INJETADA/PRODUZIDA = MASSA ACUMULADA Equação da Continuidade 12 Equação da Continuidade MASSA QUE ENTRA: MASSA QUE SAI: MASSA INJETADA OU PRODUZIDA: MASSA ACUMULADA: ( ) tAm xxxx ∆∆− 2/& ( ) tAm xxxx ∆∆+ 2/& tqm∆ ( ) ( )[ ] xAxttt ∆−∆+ ρφρφ 14/03/2013 3 13 Equação da Continuidade b m zyx V q t m z m y m x − ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − )()()()( ρφ&&& b m V q t u − ∂ ∂ =⋅∇− )(ρφρr 14 Equação da Darcy ( )gpku rr ρ µ +∇−= ( )zpku ∇−∇−= γ µ r Φ∇−= l rl l kk u µ r ( )zp ll ∇−∇=Φ∇ γ 15 Equação da Difusividade Hidráulica 16 Equação da Difusividade Hidráulica ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = tct p scs p p c ρ ρ ρρρ ρ 1 1 1 t p c t f ∂ ∂ = ∂ ∂ φφ tc c t f ∂ ∂ = ∂ ∂ ρ ρ φφ 1 ( ) ( ) t p c tc c t cc cttt t t f ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ += ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ρφρφρφφρρφφρ 17 Equação da Difusividade Hidráulica ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ 22 2 2 2 2 2 21 s p c s p c c k s p s c s p c c k s p c sc k sc k sc k ss pk s ssssss ρρ µ ρρ µ ρ µ ρ µ ρ µµ ρ 0 18 Equação da Difusividade Hidráulica Para meio poroso homogêneo e isotrópico (kx = ky = kz = k), compressibilidade e viscosidade do fluido constantes e pequenos gradientes de pressão: t p k c z p y p x p t ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ φµ 2 2 2 2 2 2 Introduzindo um termo fonte (ou sumidouro) e reescrevendo de forma independente do sistema de unidades: q k B t p k c p t µµφ − ∂ ∂ =∇2 14/03/2013 4 19 Escoamento Multifásico 20 Óleo → Água → Gás → Escoamento Multifásico ( )[ ] o o o ooo qB S t zp − ∂ ∂ =∇−∇⋅∇ φγλ ( )[ ] w w w www qB S t zp − ∂ ∂ =∇−∇⋅∇ φγλ ( ) ( )[ ] fgos g g o o s gggooos qqRB S S B R t zpzpR −− + ∂ ∂ =∇−∇+∇−∇⋅∇ φγλγλ 1=++ gwo SSS ( )wwoowc SfppP =−= ( )gogogc SfppP =−= onde: k B k ll rl l µ λ = = z y x k k k k
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