Aula 17 Construção de Gráficos

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula n
o
17: Construção de Gráficos.
Objetivos da Aula
• Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráfico de uma função.
1 Gráficos
Separamos alguns exemplos de construção de gráficos de funções utilizando o cálculo diferencial. Para
isso, em todos os exemplos seguiremos o seguinte roteiro.
(1) Domínio - verificar sempre em que pontos a função está definida ou não está definida;
(2) Simetria - verificar se a função é par ou ímpar. No caso de trabalharmos com funções periódicas,
determinar o período, caso exista.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais - Utilizar a primeira
derivada para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento e o teste da primeira derivada
para determinar os máximos e mínimos locais;
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão - Utilizar a segunda derivada para determinar a concavidade da
função e também os pontos de inflexão;
(5) Assíntotas - Utilizar os limites no infinito para determinar a existência de assíntotas horizontais;
verificar os pontos em que a função não está definida para determinar as assíntotas verticais e utilizar
o conteúdo da seção anterior para determinar as assíntotas oblíquas, caso existam;
(6) Raízes e Interseção com o eixo y - determinar as raízes da função e o ponto de interseção com o
eixo y, caso existam;
(7) Esboçar o gráfico.
Observação 1. Sempre que determinarmos os extremos relativos e os pontos de concavidade se faz neces-
sário determinar o valor da função nesses pontos para que possamos representá-los no gráfico.
Observação 2. Na procura por raízes de uma função, podemos utilizar diversos métodos que já foram
ensinados como o Método de Briot-Ruffini, a divisão de polinômios, as relações entre raízes e coeficientes
de um polinômio e até mesmo o Teorema do Valor Intermediário. Um resultado pouco conhecido talvez
mas que pode nos auxiliar, é o seguinte:
Proposição 1. Considere o polinômio anx
n + an−1xn−1 + · · ·+ a2x2 + a1x+ a0. Se ele possui uma raiz
inteira x (uma de suas raízes é um número inteiro) então x divide o termo independente a0
Exemplo 1. Esboce o gráfico da função f(x) = x3 − x2 − x+ 1
Solução: Vamos seguir sempre o roteiro mencionado no início dessa seção.
(1) Domínio. Como f é uma função polinomial, então Df = R.
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(2) Simetria. Note que
f(−x) = (−x)3 − (−x)2 − (−x) + 1 = −x3 − x2 + x+ 1
Como f(−x) 6= f(x) e f(−x) = −f(x), então f não é par nem ímpar.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Vamos determinar
a função f ′ e estudar o seu sinal. Desse modo,
f ′(x) = 3x2 − 2x− 1
Agora, vamos determinar as raízes de f ′. Dessa forma, utilizando a fórmula de Bháskara, temos que
as raízes são x = 1 e x = −1
3
. Então, estudando o sinal da função f ′, temos o seguinte diagrama
Figura 1: Estudo do Crescimento/Decrescimento de f(x) = x3 − x2 − x+ 1
Logo, f é crescente em
(
−∞,−1
3
)
∪ (1,+∞) e decrescente em
(
−1
3
, 1
)
.
Pelo teste da primeira derivada, −1
3
é máximo local e 1 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão. Vamos determinar a função f ′′ e estudar o seu sinal. Sendo
assim,
f ′′(x) = 6x− 2
Logo, a raiz de f ′′ é x =
1
3
. Estudando o sinal de f ′′, temos o seguinte diagrama
Figura 2: Estudo da Concavidade de f(x) = x3 − x2 − x+ 1
Logo, f tem concavidade para baixo em
(
−∞, 1
3
)
e para cima em
(
1
3
,+∞
)
.
Analisando a concavidade de f , podemos notar que x =
1
3
é um ponto de inflexão de f .
(5) Assíntotas.
Verticais. Como f está definido em R, então f não apresenta assíntotas verticais.
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Horizontais. Para verificar se existem assíntotas horizontais, devemos calcular os limites lim
x→+∞ f(x) e limx→−∞ f(x).
Então,
lim
x→+∞ f(x) = limx→+∞x
3 − x2 − x+ 1 = lim
x→+∞x
3
(
1− 1
x
− 1
x2
+
1
x3
)
= +∞.1 = +∞
e
lim
x→−∞ f(x) = limx→−∞x
3 − x2 − x+ 1 = lim
x→−∞x
3
(
1− 1
x
− 1
x2
+
1
x3
)
= −∞.1 = −∞
Portanto, f não apresenta assíntotas horizontais.
Oblíquas. Note que
f(x)
x
=
x3 − x2 − x+ 1
x
= x2 − x− 1 + 1
x
Logo,
lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞x
2 − x− 1 + 1
x
= lim
x→+∞x
2(1 +
1
x
− 1
x2
+
1
x3
) = +∞.1 = +∞
e também que
lim
x→−∞
f(x)
x
= lim
x→−∞x
2 − x− 1 + 1
x
= lim
x→−∞x
2(1− 1
x
− 1
x2
+
1
x3
) = −∞.1 = −∞
Com esses resultados, podemos concluir que f não possui assíntotas oblíquas.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y.
Por inspeção, note que 1 é uma raiz de f(x). Se tratando de uma função polinomial, podemos utilizar
o Método de Briot-Ruffini ou a divisão usual de polinômios para descobrir que x3 − x2 − x + 1 =
(x− 1)2(x+ 1). Logo, f(x) = (x− 1)2(x+ 1), e portanto, as raízes de f são −1 e 1 (note que 1 é
uma raiz dupla).
A interseção com o eixo y é feita fazendo x = 0 na expressão da função. Logo,
f(0) = 03 − 02 − 0 + 1 = 1
Logo, o ponto de interseção com o eixo y é o ponto (0, 1)
(7) Esboçar o gráfico. Notamos primeiramente que
f
(
−1
3
)
=
32
27
f(1) = 0
f
(
1
3
)
=
16
27
f(−1) = 0
Assim, o gráfico é dado por
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Figura 3: Grafico de f(x) = x3 − x2 − x+ 1
�
Exemplo 2. Esboce o gráfico de f(x) = x4 − 2x2
Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R
(2) Simetria. Observe que
f(−x) = (−x)4 − 2(−x)2 = x4 − 2x2 = f(x)
Então f é uma função par.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando a
primeira derivada, temos que
f ′(x) = 4x3 − 4x
Calculando as raízes da primeira derivadas, temos que
f ′(x) = 0 ⇒ 4x(x2 − 1) = 0 ⇒ x = 0 oux = 1oux = −1
Estudando o sinal de f ′ podemos construir o seguinte diagrama e exibir os intervalos de crescimento
e descrescimento de f .
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Figura 4: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) = x4 − 2x2
Então, f é decrescente em (−∞,−1)∪ (0, 1) e crescente em (−1, 0)∪ (1,∞). Utilizando o diagrama
acima, segue do teste da primeira derivada que −1 e 1 são mínimos locais e 0 é máximo local.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão. Para estudar a concavidade, devemos estudar o sinal da função
f ′′. Sendo assim, note que
f ′′(x) = 12x2 − 4
Logo
f ′′(x) = 0 ⇒ 12x2 − 4 = 0 ⇒ 4(3x2 − 1) ⇒ 4(
√
3x− 1)(
√
3x+ 1)
Sendo assim, as raízes são x = −
√
3
3
e x =
√
3
3
. Dessa forma, utilizando o diagrama abaixo, podemos
determinar a concavidade de f .
Figura 5: Concavidade de f(x) = x4 − 2x2
Então, f possui concavidade para cima em
(
−∞,
√
3
3
)
∪
(√
3
3
,+∞
)
e possui concavidade para
baixo em
(
−
√
3
3
,
√
3
3
)
. Utilizando o diagrama acima, podemos perceber que x = −
√
3
3
e x =
√
3
3
são pontos de inflexão de f .
(5) Assíntotas.
Verticais. Como o domínio de f é R, então não há assíntotas verticais.
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Horizontais. Calculando os limites no infinto, temos que
lim
x→+∞ f(x) = limx→+∞x
4 − 2x2 = lim
x→+∞x
4(1− 2
x2
) = +∞.1 = +∞
e
lim
x→−∞ f(x) = limx→−∞x
4 − 2x2 = lim
x→−∞x
4(1− 2
x2
) = +∞.1 = +∞
Então, não há assíntotas horizontais. Observe que se x → +∞ ou x → −∞, temos que
f(x)→ +∞
Oblíquas. A função
f(x)
x
é dada por
f(x)
x
=
x4 − 2x2
x
= x3 − 2x
Note que
lim
x→+∞x
3 − 2x = lim
x→+∞x
3
(
1− 2
x2
)
= +∞.1 = +∞
e que
lim
x→−∞x
3 − 2x = lim
x→−∞x
3
(
1− 2
x2
)
= −∞.1 = −∞
Com isso, podemos concluir que f não admiteassíntotas oblíquas.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Fazendo f(x) = 0, obtemos que
x4 − 2x2 = 0 ⇒ x2(x2 − 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = −
√
2 ou x =
√
2
Então as raízes são 0(raiz dupla), −√2 e √2. Agora, fazendo
f(0) = 04 − 202 = 0
notamos que a função intersecta o eixo y na origem.
(7) Esboçar o gráfico. Fazendo os seguintes cálculos
f(0) = 0 f(−
√
2) = 0
f(
√
2) = 0 f(−1) = −1
f(1) = −1 f
(√
3
3
)
= −5
9
f
(√
3
3
)
= −5
9
Sendo assim, o gráfico de f é dado por
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Figura 6: Gráfico de f(x) = x4 − 2x2
�
Exemplo 3. Esboce o gráfico da função f(x) = x3 − 3x2 + 3x.
Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R, pois f é uma função polinomial.
(2) Simetria. Observe que
f(−x) = (−x)3 − 3(−x)2 + 3(−x) = −x3 − 3x2 − 3x
como f(−x) 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x), então f não é par nem ímpar
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando a função
f ′, temos que
f ′(x) = 3x2 − 6x+ 3 = 3.(x2 − 2x+ 1) = 3(x− 1)2
Logo, a raiz de f ′ é igual a 1. Estudando o sinal de f ′, obtemos o seguinte diagrama:
Figura 7: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) = x3 − 3x2 + 3x
Então, f é crescente em R− 1. Logo, x = 1 não é ponto de máximo nem de mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão. Calculando f ′′
f ′′(x) = 6x− 6 = 6.(x− 1)
Logo, x = 1 é a raiz de f ′′. Estudando o sinal de f ′′, obtemos o seguinte quadro
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Figura 8: Concavidade de f(x) = x3 − 3x2 + 3x
(5) Assíntotas.
Verticais. Como Df = R, então f não apresenta assíntotas verticais.
Horizontais. Vamos calcular os limites de f para x→ +∞ e x→ −∞. Dessa forma,
lim
x→+∞ f(x) = limx→+∞x
3 − 3x2 + 3x = lim
x→+∞x
3
(
1− 3
x
+
3
x2
)
= +∞.1 = +∞
lim
x→−∞ f(x) = limx→−∞x
3 − 3x2 + 3x = lim
x→−∞x
3
(
1− 3
x
+
3
x2
)
= −∞.1 = −∞
logo, f não possui assíntotas horizontais.
Oblíquas. Calculando
f(x)
x
, obtemos que
f(x)
x
= x2 + 3x+ 3
Logo,
lim
x→+∞x
2 + 3x+ 3 = lim
x→+∞x
2
(
1 +
3
x
+
3
x2
)
= +∞.1 = +∞
lim
x→−∞x
2 + 3x+ 3 = lim
x→−∞x
2
(
1 +
3
x
+
3
x2
)
= +∞.1 = +∞
Sendo assim, f não possui assíntotas oblíquas.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Note que se f(x) = 0, então
x3 − 3x2 + 3x = 0
x(x2 − 3x+ 3) = 0
Logo, x = 0 ou x2 − 3x+ 3 = 0. Como o discriminante desta última equação é negativo, segue que
a única raiz de f é x = 0 e fica fácil notar que a interseção com o eixo y é na origem.
(7) Esboçar o gráfico. Calculando,
f(0) = 0 e f(1) = 1 (1)
obtemos que o gráfico de f é dado por
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Figura 9: Gráfico de f(x) = x3 − 3x2 + 3x
�
Exemplo 4. Esboce o gráfico de f(x) =
x2
x+ 1
Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R− {−1}
(2) Simetria. Observe que
f(−x) = (−x)
2
−x− 1 =
x2
−x− 1
Como f(−x) 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x), então f não é par nem ímpar.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando f ′,
obtemos que
f ′(x) =
(x2)′(x+ 1)− x2.(x+ 1)′
(x+ 1)2
=
2x(x+ 2)− x2.1
(x+ 1)2
=
x2 + 2x
(x+ 1)2
Sendo assim, note que (x + 1)2 > 0 para todo x ∈ Df . Logo, para estudarmos o sinal de f ′, basta
estudar o sinal de (x + 1)2. Assim, calculando as raízes do polinômio x2 + 2x, obtemos que x = 0
ou x = −2. Portanto, obtemos o seguinte quadro:
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Figura 10: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) =
x2
x+ 1
Então, f é crescente em (−∞,−2) ∪ (0,+∞) e decresce em (−2,−1) ∪ (−1, 0). Pelo teste da
primeira derivada, x = −2 é máximo local e x = 0 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão. Calculando f ′′, obtemos
f ′′(x) =
(x2 + 2x)′(x+ 1)2 − (x2 + 2x)[(x+ 1)2]′
(x+ 1)4
=
(2x+ 2)(x+ 1)2 − (x2 + 2x).2(x+ 1)
(x+ 1)4
=
(2x+ 2)(x+ 1)− 2(x2 + 2x)
(x+ 1)3
=
��2x2 +��2x+��2x+ 2−��2x2 −��4x
(x+ 1)3
=
2
(x+ 1)3
Logo, para analisar o sinal de f ′′ basta estudar o sinal de (x + 1)3. Logo, fazendo isso, temos o
seguinte quadro
Figura 11: Concavidade de f(x) =
x2
x+ 1
Então, f tem concavidade para cima em (−∞,−1) e para baixo (−1,+∞). Note que −1 não é um
ponto de inflexão.
(5) Assíntotas.
Verticais. Note que f possui uma assíntota vertical em x = −1. De fato, note que
lim
x→−1+
x2
x+ 1
=
[
1
0
]
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logo, note que limx→−1+ x2 = 1, limx→−1+ x+ 1 = 0 e que g(x) = x+ 1 > 0 para x→ −1+,
então,
lim
x→−1+
x2
x+ 1
= +∞
Analogamente, calculamos que
lim
x→−1−
x2
x+ 1
= −∞
Horizontais. Calculando os limites de f no infinito, obtemos que
lim
x→+∞
x2
x+ 1
=
[
+∞
+∞
]
Pela Regra de L'Hôspital, temos que
lim
x→+∞
x2
x+ 1
= lim
x→+∞
2x
1
= 2.+∞ = +∞
Analogamente, temos que
lim
x→+∞
x2
x+ 1
= −∞
Assim, f não admite assíntota horizontal.
Oblíquas. Determinando a função
f(x)
x
, obtemos que
f(x)
x
=
x2
x(x+ 1)
=
x
x+ 1
Logo, calculando
lim
x→+∞
x
x+ 1
=
[
+∞
+∞
]
Pela regra de L'Hôspital, temos que
imx→+∞
x
x+ 1
= lim
x→+∞
1
1
= 1
Analogamente, temos que
lim
x→−∞
x
x+ 1
= lim
x→−∞
1
1
= 1
Então m = 1. Agora, calculamos
lim
x→+∞[f(x)− x] = limx→+∞
[
x2
x+ 1
− x
]
= lim
x→+∞
[
��x
2 −��x2 − x
x+ 1
]
= lim
x→+∞
−x
x+ 1
=
[−∞
+∞
]
Pela regra de L'Hôspital, temos que
lim
x→+∞[f(x)− x] = limx→+∞
−1
1
= −1
Analogamente, obtemos
lim
x→−∞[f(x)− x] = −1
Portanto, a assíntota oblíqua de f é y = x− 1
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(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Note que se f(x) = 0, então
x2
x+ 1
= 0 ⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0
Assim, raiz de f é x = 0 e é fácil ver que a interseção com o eixo y também é na origem.
(7) Esboçar o gráfico. Efetuando os cálculos abaixo,
f(−2) = −4 e f(0) = 0
Desse modo, o gráfico de f é dado por
Figura 12: Gráfico de f(x) =
x2
x+ 1
Exemplo 5. Esboce o gráfico da função f(x) =
x
x+ 1
Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R− {−1}.
(2) Simetria. Observe que
f(−x) = −x−x+ 1
Como f(−x) 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x), então f não é par e nem ímpar.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando f ′,
obtemos
f ′(x) =
(x)′(x+ 1)− x.(x+ 1)′
(x+ 1)2
=
�x+ 1−�x
(x+ 1)2
=
1
(x+ 1)2
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Estudando o sinal de f ′ temos que
Figura 13: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) =
x
x+ 1
Observe que f ′ não possui raiz, e que f ′(x) > 0 para todo x ∈ Df . Podemos concluir que f é
estritamente crescente e não possui extremantes locais.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão. Calculando f ′′.
f ′′(x) =
(1)′(x+ 1)2 − 1.[(x+ 1)2]′
(x+ 1)4
=
−2.(x+ 1)
(x+ 1)4
= − 2
(x+ 1)3
Estudando o sinal de f ′′, temos que
Figura 14: Concavidade de f(x) =
x
x+ 1
Logo, f é concava para cima em (−∞,−1) e para baixo em (−1,+∞). Note que −1 não é ponto
de inflexão.
(5) Assíntotas.
Verticais. Note que x = −1 é uma assintota vertical de f(x), pois
lim
x→−1+
x
x+ 1
=
[−1
0
]
E note que lim
x→−1+
x = −1, lim
x→−1+
x+ 1 = 0 e que g(x) = x+ 1 > 0 para x > −1, logo, segue
que
lim
x→−1+
x
x+ 1
= −∞
Analogamente, temos que
lim
x→−1−
x
x+ 1
= +∞
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Horizontais. Calculando os limites no infinito, temos que
lim
x→+∞x
x+ 1
=
[
+∞
+∞
]
Pela regra de L'Hôspital, temos que
lim
x→+∞
x
x+ 1
= lim
x→+∞
1
1
= 1
Analogamente, temos que lim
x→−∞
x
x+ 1
= 1. Então, y = 1 é uma assíntota horizontal de f .
Oblíquas. Determinando a função
f(x)
x
,
f(x)
x
=
x
x+ 1
x
=
1
x+ 1
Logo,
lim
x→+∞
1
x+ 1
= 0
E também,
lim
x→−∞
1
x+ 1
= 0
Logo, f não possui assíntotas oblíquas.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Fazendo f(x) = 0, temos que
x
x+ 1
= 0 ⇒ x = 0
Portanto, a raiz de f é 0 e a interseção com o eixo y é na origem.
(7) Esboçar o gráfico. O gráfico de f(x) é dado por
Figura 15: Gráfico de f(x) =
x
x+ 1
�
Exemplo 6. Esboce o gráfico da função f(x) = 3
√
x3 − x
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Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R.
(2) Simetria. Note que
f(−x) = 3
√
(−x)3 − (−x) = 3
√
−x3 + x = 3
√
−(x3 − x) = − 3
√
x3 − x = −f(x)
Então f é uma função ímpar.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais. Calculando f ′,
temos que
f ′(x) =
3x2 − 1
3 3
√
(x3 − x)2
Agora, note que (x3 − x)2 > 0 e portanto, o denominador (3 3√(x3 − x)2) > 0 (mas note que a
função derivada não está definida em x = −1, x = 0 e x = 1). Então, para estudarmos o sinal de
f ′, basta verificarmos o sinal de 3x2 − 1. Dessa forma, obtemos o seguinte diagrama
Figura 16: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) =
3
√
x3 − x
Logo, f é crescente em (−∞,−1)∪
(
−1,−
√
3
3
)
∪
(√
3
3
, 1
)
∪(1,+∞) e decrescente em
(
−
√
3
3
, 0
)
∪(
0,
√
3
3
)
. Pelo teste da 1
a
derivada, temos que x = −
√
3
3
é máximo local e x =
√
3
3
é mínimo
local.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão.
Calculando f ′′, temos que
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f ′′(x) =
(3x2 − 1)′(3 3√(x3 − x)2)− (3x2 − 1)′(3 3√(x3 − x)2)′
(3 3
√
(x3 − x)2)2
=
18x(x3 − x) 23 − (3x2 − 1).3.
[
(x3 − x) 23
]′
9(x3 − x) 43
=
18x(x3 − x) 23 − 2.(3x
2 − 1)2
(x3 − x) 13
9(x3 − x) 43
=
18x(x3 − x)− 2(3x2 − 1)
9(x3 − x) 53
= −2
9
��94 − 9x2 −��9x4 + 6x2 − 1
(x3 − x) 53
= −2
9
−3x2 − 1
(x3 − x) 53
=
2
9
3x2 + 1
(x3 − x) 53
Note que
2(3x2 + 1)
9
> 0 então, para estudarmos o sinal de f ′′ devemos estudar o sinal de (x3−x) 53 .
Sendo assim, temos o seguinte diagrama
Figura 17: Concavidade de f(x) =
3
√
x3 − x
Logo, f é côncava para cima em (−1, 0)∪ (1,+∞) e côncava para baixo em (−∞,−1)∪ (0, 1). Note
que x = −1, x = 0 e x = 1 são pontos de inflexão.
(5) Assíntotas.
Verticais. Note que f não possui assíntotas verticais.
Horizontais. Calculando os limites de f no infinito. Dessa forma,
lim
x→+∞
3
√
x3 − x = lim
x→+∞
3
√
x3
(
1− 1
x2
)
= lim
x→+∞x
3
√
1− 1
x2
= +∞
E também,
lim
x→−∞
3
√
x3 − x = lim
x→−∞
3
√
x3
(
1− 1
x2
)
= lim
x→−∞x
3
√
1− 1
x2
= −∞
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Logo, f não possui assíntotas horizontais.
Oblíquas. Note que
f(x)
x
=
3
√
x3 − x
x
=
x 3
√
1− 1
x2
x
=
3
√
1− 1
x2
Logo,
lim
x→+∞
3
√
1− 1
x2
= 1
e
lim
x→−∞
3
√
1− 1
x2
= 1
Agora, temos que
f(x)− x = 3
√
x3 − x− x
Logo,
lim
x→+∞
3
√
x3 − x− x = lim
x→+∞(
3
√
x3 − x− x).(
3
√
(x3 − x)2 + 3√x 3√x3 − x+ 3
√
x2)
( 3
√
(x3 − x)2 + 3√x 3√x3 − x+ 3
√
x2)
= lim
x→+∞
��x
3 − x−��x3
3
√
(x3 − x)2 + 3√x 3√x3 − x+ 3
√
x2
= lim
x→+∞
−x
3
√
x6 − 2x4 + x2 + 3√x4 − x2 + 3
√
x2
= lim
x→+∞
−x
3
√
x6
(
1− 2
x2
+
1
x4
)
+ 3
√
x6
(
1
x2
− 1
x4
)
+ 3
√
x6
1
x4
= lim
x→+∞
−x
x2 3
√
1− 2
x2
+ 1
x4
+ x2 3
√
1
x2
− 1
x4
+ x2 3
√
1
x4
= lim
x→+∞
−1
x
(
3
√
1− 2
x2
+
1
x4
+ 3
√
1
x2
− 1
x4
+ 3
√
1
x4
)
= lim
x→+∞−
1
x
. lim
x→+∞
1
3
√
1− 2
x2
+
1
x4
+ 3
√
1
x2
− 1
x4
+ 3
√
1
x4
= 0.1 = 0
Analogamente, temos que lim
x→−∞ f(x)− x = 0. Então, a assíntota oblíqua de f é y = x.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Note que se f(x) = 0, então
3
√
x3 − x = 0 ⇒ x3 − x = 0 ⇒ x(x2 − 1) = 0
Então, x = 0, x = 1 e x = −1 são raízes de f . E também fica fácil ver que a interseção com o eixo
y é na origem.
(7) Esboçar o gráfico. Agora, note que
f
(
−
√
3
3
)
=
6
√
108
3
e f
(√
3
3
)
= −
6
√
108
3
Então, o gráfico é
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Figura 18: Gráfico de f(x) =
3
√
x3 − x
�
Exemplo 7. Esboce o gráfico da função f(x) = x tg x, x ∈ (−pi2 , pi2 ).
Solução:
(1) Domínio. Note que Df =
(
−pi
2
,
pi
2
)
(2) Simetria. Observe que
f(−x) = (−x)tg (−x) = −x.sen (−x)
cos(−x)
como a função seno é ímpar e a função cosseno é par, temos que sen (−x) = −sen (x) e cos(−x) =
cos(x). Então,
f(−x) = −x−sen x
cosx
= x.
sen x
cosx
= xtg x = f(x)
Logo, f é uma função par. Note que f não é periódica.
(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais.
Calculando f ′, obtemos que
f ′(x) = tg x+ x sec2 x
Note que se f ′(x) = 0, então,
tg x+ x sec2 x = 0
sen x
cos x
+
x
cos2 x
= 0
sen x cos x+ x
cos2 x
= 0
sen x cos x+ x = 0. cos2 x
1
2
sen 2x+ x = 0
sen 2x = −2x
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o que implica que x = 0. Sendo assim, para estudarmos o sinal de f ′, observamos que para sec2 x > 0
para todo x ∈ Df , e que se x < 0 então, tg x < 0 e se x > 0 então tg x > 0, ou seja, se x < 0
então f ′(x) < 0 e se x > 0 então f ′(x) > 0. Portanto, obtemos o seguinte quadro
Figura 19: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) = xtg x
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 0 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão. Calculando f ′′, obtemos
f ′′(x) = sec2 x+ sec2x+ 2x sec2 xtg x = 2 sec2 x (1 + xtg x)
Note que para x ∈ (−pi2 , pi2 ), temos que sec2 x 6= 0. Logo, para encontramos uma raiz de f ′′, temos
que encontrar uma raiz de 1 + xtg x. Mas note que para isso, devemos encontrar algum valor de x
tal que
1 + xtg x = 0 ⇒ xtg x = −1 ⇒ xsen x
cosx
= −1
Agora, observe que se x > 0 então sen x > 0 e se x < 0 então sen x < 0. Logo o produto xsen x > 0
e como cosx > 0 para x ∈ Df então xtg x > 0 no domínio que estamos considerando. Então, f ′′
não possui raiz. E como 1 + xtg x > 0, temos o seguinte quadro
Figura 20: Concavidade de f(x) = xtg x
(5) Assíntotas. Em se tratando de assíntotas da função f(x) = xtg x, note que não faz sentido
calcularmos os limites no infinito de uma função definida em um intervalo. Como nesse intervalo a
função f é contínua, então não há assíntotas em pontos de seu interior. Porém se faz necessário,
estudar os limites nas extremidades do intervalo, mesmo que elas não pertençam ao mesmo. Sendo
assim, vamos calcular os seguintes limites:
lim
x→−pi
2
+
xtg x = lim
x→−pi
2
+
xsen x
cosx
Como lim
x→−pi
2
+
xsen x =
pi
2
, lim
x→−pi
2
+
cosx = 0 e cosx > 0 para valores a direita de −pi
2
, temos que
lim
x→−pi
2
+
xtg x = +∞
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Analogamente, temos que
lim
x→pi
2
−
xtg x = +∞
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Observe que a única raiz da função f(x) = xtg x é em x = 0,
implicando que a interseção com o eixo y é a origem.
(7) Esboçar o gráfico. Logo, o gráfico de f é dado por
Figura 21: Gráfico de f(x) = xtg x
�
Exemplo 8. Esboce o gráfico da função f(x) =ex
x
.
Solução:
(1) Domínio. Note que Df = R− {0}.
(2) Simetria. Observe que
f(−x) = e
−x
−x = −
e−x
x
como f(−x) 6= f(x) e f(−x) 6= −f(x) então f não é par nem ímpar.
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(3) Intervalos de Crescimento e Decrescimento / Máximos e Mínimos Locais.
Calculando f ′, obtemos que
f ′(x) =
(ex)′x− ex(x)′
x2
=
ex(x− 1)
x2
Agora, observe que ex > 0 e x2 > 0 para todo x ∈ Df . Desse modo, para estudarmos o sinal de f ′
temos que estudar o sinal de x− 1. E, dessa forma, obtemos o seguinte quadro:
Figura 22: Intervalos de Crescimento e Decrescimento de f(x) =
ex
x
.
Pelo Teste da Primeira Derivada, x = 1 é mínimo local.
(4) Concavidade / Pontos de Inflexão. Calculando f ′′, obtemos
f ′′(x) =
[ex(x− 1)]′x2 − ex.(x− 1).2x
x4
=
ex(x2 − 2x+ 2)
x3
Observe que para x ∈ Df , temos ex > 0 e x2 − 2x+ 2 > 0. Logo, o termo que determina o sinal de
f ′′ é o x3. Mas lembre que x 6= 0. Logo, obtemos o seguinte quadro:
Figura 23: Concavidade de f(x) =
ex
x
E, observe que não há pontos de inflexão.
(5) Assíntotas.
Verticais. Note que
lim
x→0+
ex
x
=
[
1
0
]
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Como lim
x→0+
ex = 1, lim
x→0+
x = 0 e x > 0, logo,
lim
x→0+
ex
x
= +∞
Analogamente, temos que
lim
x→0−
ex
x
= −∞
portanto, x = 0 é uma assíntota vertical.
Horizontais. Agora observe que
lim
x→+∞
ex
x
=
[
+∞
+∞
]
Pela Regra de l'Hôspital, temos que
lim
x→+∞
ex
x
= lim
x→+∞ =
ex
1
= +∞
Agora, note que
lim
x→−∞
ex
x
= lim
x→−∞ e
x. lim
x→−∞
1
x
= 0
Logo, y = 0 é uma assíntota horizontal.
Oblíquas. Pela regra de l'Hôspital, temos que
m = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
ex
x2
= lim
x→+∞
ex
2x
= lim
x→+∞
ex
2
= +∞
E também, note que
m = lim
x→−∞
f(x)
x
= lim
x→−∞
ex
x2
= lim
x→−∞ e
x. lim
x→−∞
1
x2
= 0
Logo, não há assíntotas oblíquas.
(6) Raízes e Interseção com o eixo y. Observe que f não possui raízes e não há interseção com o eixo
y.
(7) Esboçar o gráfico. Logo, o gráfico de f é dado por
Figura 24: Gráfico de f(x) =
ex
x
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�
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.5 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.5 do livro texto.
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