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iNTRODUÇÃO AO CÁLCULO

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
AULA 1 - FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU
Tema da Apresentação
FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Conteúdo Programático desta aula
1.1. Definição
1.2. Gráfico
1.3. Variação do sinal
1.4. Inequação produto
1.5. Inequação quociente
1.6. Aplicações 
Tema da Apresentação
FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO
	A ideia de função é muito importante e encontra cada vez mais aplicação no nosso cotidiano.
Vejamos algumas dessas aplicações:
O valor a ser pago na conta de luz de sua casa depende do consumo medido no período.
A nota obtida em uma prova é dada em função do número de questões que foram acertadas.
O valor do rendimento de uma aplicação financeira depende da taxa de juros e do tempo da operação.
	Esses exemplos ilustram como a idéia de função está presente em muitos ramos da atividade humana.
Tema da Apresentação
FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL
Toda função f em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R denomina-se de função real de variável real. 
Para que uma função esteja completamente definida, é necessário que sejam dados: o seu domínio, o seu contradomínio e a lei de associação y = f (x). 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Tema da Apresentação
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y=f(x)�
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Tema da Apresentação
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Dom�nio�
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x�
y=f(x)�
�
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Tema da Apresentação
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Contradom�nio�
CD={2,3,4,5}�
Im={2,3,4}�
Imagem�
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
 DOMÍNIO
Se o domínio de uma função f for o mais amplo subconjunto de R onde f pode ser definida, e o contradomínio de f for R, então essa função pode ser apresentada simplesmente pela lei de associação y = f (x).
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
EXEMPLO 1
Determinar o domínio de f(x) = 2x + 1.
D(f) = R
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Determinar o domínio de
EXEMPLO 2
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Determinar o domínio da função
EXEMPLO 3
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Determinar o domínio da função
EXEMPLO 4
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FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU (AFIM)
Toda função do tipo f (x) = ax + b, onde a, b  R e a  0 é denominada de função do 1o grau ou função afim.
Exemplos:
(a) y = 3x + 1 (b) y = - 4x + 5
Coeficiente angular: a
Coeficiente linear: b
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COEFICIENTE ANGULAR
Considerando dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1x2, o coeficiente angular a da reta que passa por estes pontos é o número real 
Geometricamente, observamos 
que o coeficiente angular 
de uma reta é o valor 
da tangente do ângulo que 
a reta faz com o eixo das abscissas.
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COEFICIENTE LINEAR
O Coeficiente linear de uma reta é a ordenada, a altura, b do ponto (0,b) onde a reta corta o eixo das ordenadas, o eixo dos y.
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EXEMPLO
Determinar o coeficiente angular e o coeficiente linear da função afim.
Coeficiente angular
Coeficiente linear
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Determinar o coeficiente angular e o coeficiente linear da função afim.
Coeficiente angular: 1
Coeficiente linear: 2
f(x)=x+2
EXEMPLO
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GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM
Gráfico 1: Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 4
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Gráfico 2: Construir o gráfico da função f (x) = – 2x – 6 
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RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
	Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, y = f (x), a todo número r, do domínio de f, tal que f (r) = 0.
f (x) = 0  ax + b = 0  x = -b/a
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Seja f(x) = 3x + 6
Fazendo 3x + 6 = 0 
Encontramos x = -2
EXEMPLO
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FUNÇÃO CRESCENTE
	Uma função real f, de variável real, é crescente em A , A  D( f ), se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre 
 x2 > x1  f (x2) > f (x1).
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO DECRESCENTE
Uma função real f, de variável real, é decrescente em A , 
A  D( f ), se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre
 
x2 > x1  f (x2) < f (x1).
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO AFIM 
CRESCENTE OU DECRESCENTE
Condição para que f (x) = ax + b seja crescente
 	A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente de x for positivo (a > 0).
 
Condição para que f (x) = ax + b seja decrescente
 	A função do 1o grau f (x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente de x for negativo (a < 0).
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PROBLEMA
	
	Uma máquina fabrica 2 metros de corda por minuto. A tabela abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo
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Agora vamos considerar a função y = -x + 2 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO AFIM
	Estudar o sinal da função do 1o grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para os quais se tenha 
	y < 0, y = 0 ou y > 0
	Exemplo: y = -x + 2 
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Estudando o sinal da função y = -x + 2.
Observe que essa função apresenta a = -1< 0 e raiz x = 2.
A função é decrescente e corta o eixo 0x no ponto 2.
Análise do sinal:
y > 0  x < 2 ou (-∞,2)
y < 0  x > 2 ou (2, +∞)
y = 0  x = 2
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EXEMPLO
	Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 4 e discutir a variação de sinal de f com o auxílio do gráfico.
y > 0  x > 2 ou (2,+∞)
y < 0  x < 2 ou (-∞,2)
y = 0  x = 2
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
CASOS PARTICULARES
FUNÇÃO CONSTANTE
	Considere a função do 1º grau f :R  R definida por
f(x) = ax + b. Se a = 0 e b ≠ 0 então f(x) = 0.x + b. Logo f(x) = b ou y = b representa a função constante.
Exemplos:
(a) y = 3 ou f(x) = 3 , onde b = 3
(b) y = -5 ou f(x) = -5, onde b = -5
(c) y = 2/5 ou f(x) = 2/5, onde b = 2/5
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O gráfico da função constante f (x) = b é a reta paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, b).
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNÇÃO LINEAR
	Toda função do 1o grau definida por y = ax + b em que a ≠ 0 e b = 0 recebe o nome de função linear (y = ax ou f(x) = ax )
 	
 Exemplos: 
 (a) y = 3x 
 
 (b) y = -3x
	(c) y = 2x/5
	
		
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
		
	O gráfico de uma função linear é uma reta passando pela origem 
	(0,0) do sistema de coordenadas.
	
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x�
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(0,0)�
3�
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(1,3)�
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origem�
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
INEQUAÇÃO PRODUTO
	Chama-se de “inequações-produto” toda inequação apresentada em uma das seguintes formas:
			f (x)  g (x) > 0
			f (x)  g (x)  0
			f (x)  g (x) < 0
			f (x)  g (x)  0
	onde f e g são funções quaisquer na variável x.
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EXEMPLO
(5x – 10)(6 – x)(3x – 15)  0
5x-10=0 => x=2
6-x=0 => x=6
3x-15=0 => x=5
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INEQUAÇÃO QUOCIENTE
	Chama-se de “inequações-quociente” toda inequação apresentada em uma das seguintes formas:
f (x) / g (x) > 0
f (x) / g (x)  0
f (x) / g (x) < 0
			f (x) / g (x)  0, onde g (x)  0
	Sendo f e g funções na variável x.
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EXEMPLO
Resolva, em R, a inequação 
2x-5=0 => x = 5/2
4-x = 0 => x = 4
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
PROBLEMA 1
	Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês. 
Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas).
b) 	Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20 000,00?
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PROBLEMA 2
	Numa certa cidade operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e por quilômetro rodado R$ 3,00 enquanto que a empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$ 4,00. 
	Determine as funções de cada empresa e o gráfico comparativo entre elas.
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PROBLEMA 3
	Os analistas de uma fábrica de calçados verificaram que, quando produzem 600 pares de chinelos por mês, o custo total de produção é de R$ 5600,00, e quando produzem 900 pares por mês, o custo mensal é de R$ 7400,00. Eles sabem também que a função que relaciona o custo total de produção e o número de pares produzidos, é uma função afim.
	Obtenha a expressão matemática da função que relaciona o custo mensal (C) com o número de pares produzidos (x).
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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL
Custo y = ax+b, onde x representa a quantidade produzida.
Quando x = 600, y = 5600 → (600,5600)
Quando x = 900, y = 7400 → (900,7400)
Cálculo do coeficiente a:
a = (7400 – 5600)/(900 – 600). Logo a =1800/300 → a = 6.
Cálculo do coeficiente b:
y = 6x + b → 5600 = 6.(600) + b → b = 2000
Função: y = 6x + 2000.
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RESUMINDO
Definição 
Zero ou raiz da função 
Gráfico 
Variação do sinal da função afim 
CASOS PARTICULARES 
Inequações-produto 
Inequações-quociente 
Tema da Apresentação

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