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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL AULA 1 - FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Conteúdo Programático desta aula 1.1. Definição 1.2. Gráfico 1.3. Variação do sinal 1.4. Inequação produto 1.5. Inequação quociente 1.6. Aplicações Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL FUNÇÃO A ideia de função é muito importante e encontra cada vez mais aplicação no nosso cotidiano. Vejamos algumas dessas aplicações: O valor a ser pago na conta de luz de sua casa depende do consumo medido no período. A nota obtida em uma prova é dada em função do número de questões que foram acertadas. O valor do rendimento de uma aplicação financeira depende da taxa de juros e do tempo da operação. Esses exemplos ilustram como a idéia de função está presente em muitos ramos da atividade humana. Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL FUNÇÃO REAL DE VARIÁVEL REAL Toda função f em que o domínio e o contradomínio são subconjuntos de R denomina-se de função real de variável real. Para que uma função esteja completamente definida, é necessário que sejam dados: o seu domínio, o seu contradomínio e a lei de associação y = f (x). Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Tema da Apresentação B� A� f� x� y=f(x)� FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Tema da Apresentação B� A� � Dom�nio� � � x� y=f(x)� � � Contradom�nio� Imagem� FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Tema da Apresentação -1� A� B� 0� 2� 5� 3� 4� 2� D={-1,0,2}� Dom�nio� Contradom�nio� CD={2,3,4,5}� Im={2,3,4}� Imagem� FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL DOMÍNIO Se o domínio de uma função f for o mais amplo subconjunto de R onde f pode ser definida, e o contradomínio de f for R, então essa função pode ser apresentada simplesmente pela lei de associação y = f (x). Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO 1 Determinar o domínio de f(x) = 2x + 1. D(f) = R Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Determinar o domínio de EXEMPLO 2 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Determinar o domínio da função EXEMPLO 3 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Determinar o domínio da função EXEMPLO 4 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU (AFIM) Toda função do tipo f (x) = ax + b, onde a, b R e a 0 é denominada de função do 1o grau ou função afim. Exemplos: (a) y = 3x + 1 (b) y = - 4x + 5 Coeficiente angular: a Coeficiente linear: b Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL COEFICIENTE ANGULAR Considerando dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1x2, o coeficiente angular a da reta que passa por estes pontos é o número real Geometricamente, observamos que o coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo que a reta faz com o eixo das abscissas. Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL COEFICIENTE LINEAR O Coeficiente linear de uma reta é a ordenada, a altura, b do ponto (0,b) onde a reta corta o eixo das ordenadas, o eixo dos y. Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Determinar o coeficiente angular e o coeficiente linear da função afim. Coeficiente angular Coeficiente linear Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Determinar o coeficiente angular e o coeficiente linear da função afim. Coeficiente angular: 1 Coeficiente linear: 2 f(x)=x+2 EXEMPLO Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM Gráfico 1: Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 4 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Gráfico 2: Construir o gráfico da função f (x) = – 2x – 6 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Chama-se raiz (ou zero) de uma função real de variável real, y = f (x), a todo número r, do domínio de f, tal que f (r) = 0. f (x) = 0 ax + b = 0 x = -b/a Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Seja f(x) = 3x + 6 Fazendo 3x + 6 = 0 Encontramos x = -2 EXEMPLO Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL FUNÇÃO CRESCENTE Uma função real f, de variável real, é crescente em A , A D( f ), se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre x2 > x1 f (x2) > f (x1). Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL FUNÇÃO DECRESCENTE Uma função real f, de variável real, é decrescente em A , A D( f ), se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do conjunto A, ocorre x2 > x1 f (x2) < f (x1). Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL FUNÇÃO AFIM CRESCENTE OU DECRESCENTE Condição para que f (x) = ax + b seja crescente A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente de x for positivo (a > 0). Condição para que f (x) = ax + b seja decrescente A função do 1o grau f (x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente de x for negativo (a < 0). Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL PROBLEMA Uma máquina fabrica 2 metros de corda por minuto. A tabela abaixo descreve a produção dessa máquina em função do tempo Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Agora vamos considerar a função y = -x + 2 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO AFIM Estudar o sinal da função do 1o grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0 Exemplo: y = -x + 2 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Estudando o sinal da função y = -x + 2. Observe que essa função apresenta a = -1< 0 e raiz x = 2. A função é decrescente e corta o eixo 0x no ponto 2. Análise do sinal: y > 0 x < 2 ou (-∞,2) y < 0 x > 2 ou (2, +∞) y = 0 x = 2 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 4 e discutir a variação de sinal de f com o auxílio do gráfico. y > 0 x > 2 ou (2,+∞) y < 0 x < 2 ou (-∞,2) y = 0 x = 2 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL CASOS PARTICULARES FUNÇÃO CONSTANTE Considere a função do 1º grau f :R R definida por f(x) = ax + b. Se a = 0 e b ≠ 0 então f(x) = 0.x + b. Logo f(x) = b ou y = b representa a função constante. Exemplos: (a) y = 3 ou f(x) = 3 , onde b = 3 (b) y = -5 ou f(x) = -5, onde b = -5 (c) y = 2/5 ou f(x) = 2/5, onde b = 2/5 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL O gráfico da função constante f (x) = b é a reta paralela ao eixo Ox que passa pelo ponto (0, b). Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL FUNÇÃO LINEAR Toda função do 1o grau definida por y = ax + b em que a ≠ 0 e b = 0 recebe o nome de função linear (y = ax ou f(x) = ax ) Exemplos: (a) y = 3x (b) y = -3x (c) y = 2x/5 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL O gráfico de uma função linear é uma reta passando pela origem (0,0) do sistema de coordenadas. Tema da Apresentação x� y� 1� (0,0)� 3� � � (1,3)� � origem� � FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL INEQUAÇÃO PRODUTO Chama-se de “inequações-produto” toda inequação apresentada em uma das seguintes formas: f (x) g (x) > 0 f (x) g (x) 0 f (x) g (x) < 0 f (x) g (x) 0 onde f e g são funções quaisquer na variável x. Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO (5x – 10)(6 – x)(3x – 15) 0 5x-10=0 => x=2 6-x=0 => x=6 3x-15=0 => x=5 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL INEQUAÇÃO QUOCIENTE Chama-se de “inequações-quociente” toda inequação apresentada em uma das seguintes formas: f (x) / g (x) > 0 f (x) / g (x) 0 f (x) / g (x) < 0 f (x) / g (x) 0, onde g (x) 0 Sendo f e g funções na variável x. Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL EXEMPLO Resolva, em R, a inequação 2x-5=0 => x = 5/2 4-x = 0 => x = 4 Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL PROBLEMA 1 Um representante comercial recebe, mensalmente, um salário composto de duas partes: uma parte fixa, no valor de R$ 1200,00, e uma parte variável, que corresponde à comissão de 6% sobre o valor total das vendas que ele faz durante o mês. Escreva a função que determina o valor do salário S(x), em função de x (valor total apurado com as suas vendas). b) Qual será o salário desse representante, num mês que ele tenha vendido R$ 20 000,00? Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL PROBLEMA 2 Numa certa cidade operam duas empresas de táxis. A empresa E cobra pela bandeirada inicial R$ 6,00 e por quilômetro rodado R$ 3,00 enquanto que a empresa F cobra apenas por quilômetro rodado R$ 4,00. Determine as funções de cada empresa e o gráfico comparativo entre elas. Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL PROBLEMA 3 Os analistas de uma fábrica de calçados verificaram que, quando produzem 600 pares de chinelos por mês, o custo total de produção é de R$ 5600,00, e quando produzem 900 pares por mês, o custo mensal é de R$ 7400,00. Eles sabem também que a função que relaciona o custo total de produção e o número de pares produzidos, é uma função afim. Obtenha a expressão matemática da função que relaciona o custo mensal (C) com o número de pares produzidos (x). Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL Custo y = ax+b, onde x representa a quantidade produzida. Quando x = 600, y = 5600 → (600,5600) Quando x = 900, y = 7400 → (900,7400) Cálculo do coeficiente a: a = (7400 – 5600)/(900 – 600). Logo a =1800/300 → a = 6. Cálculo do coeficiente b: y = 6x + b → 5600 = 6.(600) + b → b = 2000 Função: y = 6x + 2000. Tema da Apresentação FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU – AULA1 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL RESUMINDO Definição Zero ou raiz da função Gráfico Variação do sinal da função afim CASOS PARTICULARES Inequações-produto Inequações-quociente Tema da Apresentação
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