Lista de Máximos e Mínimos

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Ca´lculo II
Lista de Ma´ximos e Mı´nimos
1) Encontre os ma´ximos e mı´nimos relativos e os pontos de sela das func¸o˜es (usando o
Teste da 2a Derivada)
a) f(x, y) = x2 + xy + y2 + 3x− 3y + 4 b) f(x, y) = 2xy − 5x2 − 2y2 + 4x + 4y − 4
c) f(x, y) = x2 + xy + 3x + 2y + 5 d) f(x, y) = 5xy − 7x2 + 3x− 6y + 2
e) f(x, y) = x2 − 4xy + y2 + 6y + 2 f) f(x, y) = 2x2 + 3xy + 4y2 − 5x + 2y
g) f(x, y) = x2 − y2 − 2x + 4y + 6 h) f(x, y) = x2 + 2xy
i) f(x, y) = x3 − y3 − 2xy + 6 j) f(x, y) = 6x2 − 2x3 + 3y2 + 6xy
k) f(x, y) = 9x3 +
y3
3
− 4xy l) f(x, y) = x3 + y3 + 3x2 − 3y2 − 8
m) f(x, y) = 4xy − x4 − y4 n) f(x, y) = 9− 2x + 4y − x2 − 4y2
o) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4 p) f(x, y) = xy − 2x− y
q) f(x, y) = x3 − 12xy + 8y3
2) Encontre os ma´ximos e mı´nimos absolutos das func¸o˜es nos domı´nios dados.
a) f(x, y) = 2x2 − 4x + y2 − 4y + 1 na placa triangular fechada e limitada pelas retas
x = 0, y = 2, y = 2x no primeiro quadrante.
b) f(x, y) = x2 + y2 na placa triangular fechada e limitada pelas retas x = 0, y = 0,
y + 2x = 2 no primeiro quadrante.
c) f(x, y) = x2 + xy + y2 − 6x + 2 na placa retangular 0 ≤ x ≤ 5,−3 ≤ y ≤ 0.
d) f(x, y) = 1 + 4x−5y, D e´ a regia˜o triangular fechada com ve´rtices (0, 0), (2, 0) e (0, 3)
e) f(x, y) = x2 + y2 + x2y + 4, D = {(x, y) | |x| ≤ 1, |y| ≤ 1}
f) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2, D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}
1
3) Utilize Multiplicadores de Lagrange para determinar os valores ma´ximo e mı´nimo da
func¸a˜o sujeita a`s restric¸o˜es dadas.
a) f(x, y) = x2 + y2; xy = 1
b) f(x, y) = x2y; x2 + 2y2 = 6
c) f(x, y, z) = 2x + 6y + 10z; x2 + y2 + z2 = 35
d) f(x, y, z) = xyz; x2 + 2y2 + 3z2 = 6
e) f(x, y, z) = x + 2y; x + y + z = 1, y2 + z2 = 4
f) f(x, y, z) = yz + xy; xy = 1, y2 + z2 = 1
4) a) Encontre os pontos sobre a elipse x2 + 2y2 = 1 onde f(x, y) = xy tem seus valores
extremos.
b) Encontre o valor ma´ximo de f(x, y) = 49− x2 − y2 sobre a reta x + 3y = 10
c) Encontre os pontos sobre a curva xy2 = 54 mais pro´ximos da origem.
d) Encontre o valor mı´nimo de x + y, sujeito a`s restric¸o˜es xy = 16, x > 0, y > 0
e) Encontre os valores ma´ximos e mı´nimos de f(x, y) = x− 2y + 5z sobre a esfera
x2 + y2 + z2 = 30.
f) Encontre treˆs nu´meros reais cuja soma seja 9 e cuja soma de seus quadrados seja a
menor poss´ıvel.
g) Maximize a func¸a˜o f(x, y, z) = x2+2y−z2 sujeita a`s restric¸o˜es 2x−y = 0 e y+z = 0.
h) Encontre o ponto mais pro´ximo da origem sobre a reta de intersec¸a˜o dos planos
y + 2z = 12 e x + y = 6.
2
Respostas da Lista
1)
a) f(−3, 3) = −5 e´ mı´nimo local b) f
(
2
3
,
4
3
)
= 0 e´ ma´ximo local
c) (−2, 1) e´ ponto de sela d)
(
6
5
,
69
25
)
e´ ponto de sela
e) (2, 1) e´ ponto de sela f) f(2,−1) = −6 e´ mı´nimo local
g) (1, 2) e´ ponto de sela h) (0, 0) e´ ponto de sela
i) (0, 0) e´ ponto de sela, f
(−2
3
,
2
3
)
=
170
27
e´ mı´nimo local
j) f(0, 0) = 0 e´ mı´nimo local, (1,−1) e´ ponto de sela
k) (0, 0) e´ ponto de sela, f
(
4
9
,
4
3
)
=
−64
81
e´ mı´nimo local
l) (0, 0) e´ ponto de sela, f(0, 2) = −12 e´ mı´nimo local; f(−2, 0) = −4 e´ ma´ximo local,
(−2, 2) e´ ponto de sela
m) (0, 0) e´ ponto de sela, f(1, 1) = 2, f(−1,−1) = 2 sa˜o ma´ximos locais
n) f
(
−1, 1
2
)
= 11 e´ ma´ximo local
o) f(0, 0) = 4 e´ mı´nimo local, (±√2,−1) sa˜o pontos de sela
p) (1, 2) e´ ponto de sela q) f(2, 1) = −8 e´ mı´nimo local, (0, 0) e´ ponto de sela
2)
a) f(0, 0) = 1 e´ ma´ximo absoluto, f(1, 2) = −5 e´ mı´nimo absoluto
b) f(0, 2) = 4 e´ ma´ximo absoluto, f(0, 0) = 0 e´ mı´nimo absoluto
c) f(0,−3) = 11 e´ ma´ximo absoluto, f(4,−2) = −10 e´ mı´nimo absoluto
d) f(2, 0) = 9 e´ ma´ximo absoluto, f(0, 3) = −14 e´ mı´nimo absoluto
e) f(±1, 1) = 7 e´ ma´ximo absoluto, f(0, 0) = 4 e´ mı´nimo absoluto
f) f(3, 0) = 83 e´ ma´ximo absoluto, f(1, 1) = 0 e´ mı´nimo absoluto
3
3)
a) f(−1,−1) = f(1, 1) = 2 e´ mı´nimo. Na˜o tem ma´ximo
b) f(−2, 1) = f(2, 1) = 4 e´ ma´ximo, f(−2,−1) = f(2,−1) = −4 e´ mı´nimo
c) f(−1,−3,−5) = −70 e´ mı´nimo, f(1, 3, 5) = 70 e´ ma´ximo
d) f(−√2,−1,−√2/√3) = −2/√3 e´ mı´nimo, f(√2, 1,√2/√3) = 2/√3 e´ ma´ximo
e) f(1,
√
2,−√2) = 1 + 2√2 e´ ma´ximo, f(1,−√2,√2) = 1− 2√2 e´ mı´nimo
f) f(−√2,−1/√2,−1/√2) = f(√2, 1/√2, 1/√2) = 3/2 e´ ma´ximo
f(−√2,−1/√2, 1/√2) = f(√2, 1/√2,−1/√2) = 1/2 e´ mı´nimo
4)
a) Os pontos sa˜o : (−1/√2,−1/2), (−1/√2, 1/2), (1/√2, 1/2), (1/√2,−1/2)
b) f(1, 3) = 39
c) Os pontos sa˜o : (3,−3√2), (3, 3√2)
d) f(4, 4) = 8
e) f(1,−2, 5) = 30 e´ ma´ximo, f(−1, 2,−5) = −30 e´ mı´nimo
f) (3, 3, 3)
g) f(2/3, 4/3,−4/3) = 4/3
h) O ponto e´: (2, 4, 4)
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