ATIVIDADE II CARLOS ECLEIDSON DOS SANTOS ARAÚJO

Prévia do material em texto

ATIVIDADE II 
 
1. Ler o capítulo 4 a apostila, fazer um resumo. 
 
O capítulo 4 foi estudado, através de axiomas, o conjunto dos números 
naturais, suas propriedades e formas de representações, que podem ser 
estendidas ao conjunto dos números inteiros. Foi estudado ainda divisões que 
não são exatas e a necessidade de formalizar a estrutura destes conjuntos. 
 
 
2. Mostre por indução que 1+3+5+...+ (2n+1) = n
2
. 
 
Prova (por indução matemática): 
Para n = 1, 
1 = n ² => 1 = 1 ² => 1 = 1 => é verdadeiro. 
Logo é verdadeiro para n = k 
1 + 3 + 5 +...+ (2k + 1) = k ² 
Provando que n = k + 1 é verdadeiro, logo: 
1 + 3 + 5 +...+ (2k + 1) + [2(k + 1) + 1] = 
= 1 + 3 + 5 +...+ (2k + 1) + 2k + 1 = 
= k ² + 2k + 1 = {Perceba que 1 + 3 + 5 ++... + (2k + 1) = k ²} 
Agora é só fatorar o produto notável 
= (k + 1) ² => é verdadeiro. 
 
 
3. Sejam a, c ∈ ℕ* e b C ℕ. Mostre que a . c | b .c ⇔ a | b. 
 
 
 a . c | b .c ⇔ a | b 
se a/b → E n ∈ N tal que 
b = n . a (C ∈ IN) 
b . c = n . a . c ⇔ a . c / b . c 
a . c / b . c existe K ∈N tal que 
b. c = f . a . c com C ∈ N 
b = R . a → a/b 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ- UECE 
UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL - UAB 
LICENCIATURA EM COMPUTAÇÃO 
DISCIPLINA: MATEMÁTICA DISCRETA 
PROFESSOR: EMMANUEL MARINHO 
ALUNO: CARLOS ECLEIDSON DOS SANTOS ARAÚJO 
4. Utilize o método de indução finita para mostrar que, para todo n ∈ ℕ, temos que 
9 | 10
n
 – 1. 
 
 9 | 10
n
 – 1 
n/=1 
9/10
1
 – 1 = 9 
Verdade N ∈ N 
N = n + 1 
10n+1 – 1 = 10 . 10n – 1 = 10 . 10n – 10 + 9 = 10/10 
Por indução 
9/10n – 1, então 9/10 (10n – 1) + 1 
Valido p/ todo n ∈ N 
 
 
5. Para 𝑎 = 55 e 𝑏 = 6, determine o quociente e o resto da divisão, satisfazendo o 
Teorema de divisões de Euclides. 
 
55 = 6 x 9 + 1, logo Q = 9 e R = 1 
 
 
6. Mostre que, para todo 𝑛 ∈ ℕ, o resto da divisão de 10n por 9 é sempre 1. 
 
Solução 
 
Fazendo alguns experimentos, ajuda a entender melhor o problema: 
10
1
 = 10 = 9 x 1 + 1, 
10
2
 = 100 = 9 x 11 + 1, 
10
3
 = 1000 = 9 x 111 + 1. 
Logo, 10
n
 = 9 x 1... 11 + 1 
Aonde, por ser 0 ≤ 1 < 9, podemos afirmar que o resto da divisão por 9 é sempre 1. 
 
7. (ENC-2002) O resto da divisão do inteiro n por 20 é 8. Qual é o resto da divisão 
de n por 5? 
 
“O resto da divisão do inteiro N por 20 é 8.” significa N = 20p+8. 
 
N = 5q+r, quanto é r? 
 
N = 20p+8 = (4.5.p') + (5+3) = 5. (4p'+1)+3 = 5q+3 
 
Portanto, o resto é 3.