Pontos Críticos Minimização

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Pontos Cr´ıticos-Minimizac¸a˜o
Φ : E → R, E - Hilbert, C ⊂ E - subconjunto convexo tal que Φ e´ limitado inferiormente.
Problema:
Encontrar u0 ∈ C tal que
Φ(u0) = inf
u∈C
Φ(u)
Teorema 0.1 (Teo.I.1). X - espac¸o topolo´gico compacto, Φ : X → R - s.c.i. Enta˜o Φ e´
limitado inferiormente e existe u0 ∈ X tal que
Φ(u0) = inf
X
Φ.
Observac¸a˜o 0.1. Φ : X → R e´ s.c.i se
Φ−1(a,∞) e´ aberto em X, para todo a ∈ R.
Se X e´ um espac¸o me´trico enta˜o
Φ : X → R e´ s.c.i se, e somente se Φ(u) ≤ lim inf Φ(un), un → u.
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1
Demonstrac¸a˜o:
Note inicialmente que
• X = ⋃∞n=1 Φ−1(−n,∞);
• Φ s.c.i ⇒ Φ−1(−n,∞) aberto ∀n ∈ N;
• X compacto ⇒ X =
n0⋃
n=1
Φ−1(−n,∞).
Portanto, Φ(u) > −n0 para todo u ∈ X e Φ e´ limitado inferiormente.
Fac¸a c = infX Φ > −∞ e suponha por contradic¸a˜o que
Φ(u) > c para todo u ∈ X.
Enta˜o
X =
∞⋃
n=1
Φ−1(c +
1
n
,∞)
e portanto
X =
k⋃
n=1
Φ−1(c +
1
n
,∞)
para algum natural k. Deste modo Φ(u) > c + 1
k
para todo u ∈ X. Isto e´ uma contradic¸a˜o
pois c = infX Φ.
�
Teorema 0.2 (Teo.I.3). E - Hilbert ou Banach reflexivo, Φ : E → R - coercivo e w-s.c.i.
Enta˜o Φ e´ limitado inferiormente e existe u0 ∈ E tal que
Φ(u0) = inf
E
Φ.
2
Demonstrac¸a˜o:
Da coercividade de Φ podemos escolher R > 0 tal que
Φ(u) ≥ Φ(0) sempre que ‖u‖ ≥ R.
Desde que E e´ um espac¸o reflexivo, temos que
BR(0) e´ compacto na topologia fraca.
e portanto, a restric¸a˜o
Φ : BR(0)→ R e´ w-s.c.i.
Deste modo,
Teo.I.1⇒ ∃u0 ∈ BR(0) tal que Φ(u0) = inf
BR(0)
Φ
isto e´,
Φ(u0) ≤ Φ(u), ∀u ∈ E com ‖u‖ ≥ R.
Em particular, Φ(u0) ≤ Φ(0). Assim,
Φ(u0) ≤ Φ(0) ≤ Φ(u), ∀u ∈ E com ‖u‖ ≥ R
e
Φ(u0) ≤ Φ(u), ∀u ∈ E.
�
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