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UNIUBE – Universidade de Uberaba GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL SINAL SENOIDAL – FASOR CIRCUITOS ELÉTRICOS 2 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1) O SOMATÓRIO DE SINAIS SENOIDAIS Assim como em corrente contínua (CC), em corrente alternada (CA) temos circuitos fechados. Nesses casos aplica-se, tanto numa quanto noutra, a Lei de Kirchhoff das Tensões (LKT) para se determinar a tensão da fonte aplicada aos elementos do circuito. Segundo Kirchhoff: “num percurso fechado, o somatório das quedas de potencial é igual ao somatório das elevações de potencial”. Seja o circuito elétrico, em CC, onde se deseja encontrar o valor da elevação de tensão E. 3 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Considerando que a corrente elétrica I é igual a 4,0 A temos, pela Lei de Ohm, que as quedas de potencial v1 e v2, em cada resistor, são dadas por: V𝟏 = 𝑹𝟐 . 𝑰 = 𝟐 . 𝟒 = 𝟖 𝑽 V𝟐 = 𝑹𝟑 . 𝑰 = 𝟑 . 𝟒 = 𝟏𝟐 𝑽 Aplicando a LKT, temos: E = V1 + V2 = 8 + 12 = 20 V I V1 V2 4 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Graficamente, as quedas de potencial podem ser representadas da seguinte forma: V𝟏 V𝟐 𝒕 𝒕 𝒕𝟏 𝒕𝟐 V1 V2 I 5 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Somando, em cada instante de tempo t1, t2, ....., tn, os valores das quedas de potencial, obtêm-se o valor da elevação de potencial E, como mostrado. V𝟏 V𝟐 𝒕 𝒕 𝒕𝟏 𝒕𝟐 E 𝒕𝟏 𝒕𝟐 𝟖 𝑽 12 𝑽 20 𝑽 𝒕 V1 V2 I 6 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Seja um circuito série, idêntico ao anterior, formado por dois elementos, um resistência (R) e uma indutância (L). O circuito é ligado numa rede elétrica, cujo sinal é alternado e(t). Pelo circuito circulará uma corrente elétrica i(t), também alternada. A corrente elétrica, ao passar pelos elementos, causará uma queda de potencial, também alternada, dadas por vR(t) e vL(t). 7 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Considerando que a corrente é descrita como i(t) = IM sen (ωt), as quedas de potencial, em cada elemento, são as mostradas abaixo. Tal como no circuito CC, a Lei de Kirchhoff se aplica, assim: 𝒆 𝒕 = 𝒗𝑹 𝒕 + 𝒗𝑳(𝒕) vR(t) = VRm sen (ωt) vL(t) = VLm sen (ωt +90°) 8 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para se chegar ao valor de e(t) a ÚNICA forma possível é somando os sinais das duas quedas de potencial, instante a instante. Assim, o sinal que se apresenta é o mostrado abaixo. Tal processo mostra-se cansativo e demorado. 9 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A questão que se apresenta, portanto, é: Existe outra forma de se fazer o somatório (ou a diferença) de sinais senoidais que não através da forma instante a instante? Sim, existe. Essa forma é denominada de soma FASORIAL. Como será mostrado, FASOR é um VETOR GIRANTE que representa um sinal senoidal. Esse vetor trará, do sinal senoidal o seu valor MÁXIMO e o seu DEFASAMENTO. Portanto, um sinal de tensão senoidal, na forma 𝒆 𝒕 = 𝑬𝒎á𝒙 . 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 ± 𝜽 𝑽 pode também ser escrito, na forma FASORIAL, por: 𝑬 = 𝑬𝒎á𝒙 / ± θ° V (1) 10 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Na equação (1): 𝑬 → representa que e(t) está escrito na forma fasorial. (Observar que há um ponto sobre a letra, obrigatório). /± 𝜽 → representa o defasamento do sinal em relação à referência. (+) adiantado ou (-) atrasado. 𝑬𝒎á𝒙 → valor máximo (ou eficaz) do sinal. Observação: A única informação que o fasor NÃO traz sobre o sinal senoidal é o da sua sua frequência. Portanto, toda vez que o sinal estiver escrito na forma fasorial, a sua frequência deve ser informada. 11 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) REPRESENTAÇÃO DO SINAL SENOIDAL COMO VETOR GIRANTE Da Física sabe-se que: “um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme pode ser representado através de suas projeções num plano cartesiano”. A união dessas projeções forma, ao longo dos 360°, uma senóide. 12 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2) REPRESENTAÇÃO DO SINAL SENOIDAL COMO VETOR GIRANTE 13 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 14 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Assim, a tensão senoidal descrita pela equação instantânea abaixo, pode ser representada pela forma fasorial gráfica mostrada. 𝒆 𝒕 = 𝟑𝟎 . 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟔𝟎 𝑽 60° referência ω rotação E pode, também, ser escrita na forma fasorial por: 𝑬 = 𝟑𝟎 / + 60° V 15 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A VANTAGEM da representação fasorial é que a SOMA dos sinais senoidais passa a ser feita de forma “vetorial” e NÃO mais na forma instantânea. Tal fato torna o SOMATÓRIO mais simples e preciso. Para o circuito mostrado acima teremos: vR(t) = VRm sen (ωt) 𝑽𝑹 = 𝑽𝑹𝒎á𝒙 / + 0° V vL(t) = VLm sen (ωt +90°) 𝑽𝑳 = 𝑽𝑳𝒎á𝒙 / + 90° V Portanto, a tensão da fonte E será dada por: 𝑬 = 𝑽 R+ 𝑽 L Considerando que os valores máximos de VR e VL são, respectivamente iguais a 1,0 V e 2,0 V tem-se: 16 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 𝑽𝑹 = 𝟏,0 / + 0° V 𝑽𝑳 = 𝟐,0 / + 90° V Emáx = (𝟏 𝟐+ 𝟐𝟐) = 2,236 V θ° = tg -1 ( 𝟐 𝟏 ) = 63,43º Na forma fasorial: 𝑬 = 𝟐, 𝟐𝟑𝟔 / + 63,43° V Passando para a forma instantânea, temos: 𝒆 𝒕 = 𝟐, 𝟐𝟑𝟔 . 𝒔𝒆𝒏 𝝎𝒕 + 𝟔𝟑, 𝟒𝟑° 𝑽 17 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Abaixo são mostrados os gráficos instantâneos de cada sinal. 18 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3) REVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Para os sinais mostrados acima, a soma fasorial tornou-se simples pois, a soma resultou num triângulo retângulo, de fácil operação. Porém, nem sempre isso acontece, como mostrado com os sinais abaixo. 19 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para solucionar essa situação e todas as que se apresentarem, resolveu-se REPRESENTAR o fasor como um número complexo, que apresenta um forma característica de ser operacionalizado. Um NÚMERO COMPLEXO pode ser representado por um ponto em um plano bidimensional, associado a um sistema de eixos cartesianos. Esse ponto também determina um vetor a partir da origem até o ponto. O eixo horizontal é denominado de eixo real e o vertical é denominado eixo imaginário. O símbolo j (ou i) é usado para indicar a parte imaginária. 20 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- São utilizadas duas formas para se representar um número complexo: a retangular e a polar. Cada uma delas pode representar um ponto no plano ou um vetor da origem até o ponto. 3.1) REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ► FORMA RETANGULAR O número é escrito na forma: C = X + jY 21 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A letra Z foi escolhida devido à sequência X, Y, Z e representa o comprimento (módulo) do vetor e θ é o deslocamento do vetor em relação à referência, sempre medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo. Os ângulos medidos no sentido horário são associados a um sinal negativo. ► FORMA POLAR O número é escrita na forma: C = Z / θ° 22 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Assim, um mesmo número complexo pode ser escrito como: 3.2) CONVERSÃO ENTRE AS DUAS FORMAS Retangular para Polar Polar para Retangular Z = 𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 θ = tg-1(Y/X) X = Z . cos θ Y = Z . sen θ 23 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.3) OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS ► ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: realizar sempre na forma RETANGULAR. Sejam dois números complexos: C1 = ± X1 ± j Y1 e C2 = ± X2 ± j Y2 C1 + C2 = ( ± X1 ± j Y1 ) + ( ± X2 ± j Y2 ) = = ( ± X1 ± X2 ) + j( ± Y1 ± Y2 ) Somar (ou subtrair) partes reais e partes imaginárias, separadamente. 24 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ► MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO: realizar sempre na forma POLAR. Sejam dois números complexos: C1 = Z1 / ± θ1 e C2 = Z2 / ± θ2 C1 . C2 = ( Z1 / ± θ1 ) . ( Z2 / ± θ2 ) = = Z1.Z2 /(± θ1) + (± θ2) Multiplica-se os módulos e soma-se os ângulos C1 ÷ C2 = ( Z1 / ± θ1 ) ÷ ( Z2 / ± θ2 ) = = Z1 ÷ Z2 /(± θ1) - (± θ2) Divide-se os módulos e subtrai-se os ângulos. 25 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Essa forma corresponde à forma POLAR dos números complexos. Assim, visando simplificar as operações com os fasores, eles passaram a ser tratados como SE FOSSEM números complexos, embora NÃO SEJAM. Tal tratamento facilitou, em muito, as operações entre as grandezas elétricas que podem ser representadas dessa forma. Como estudado acima, o FASOR tensão alternada é escrito na forma: 4) RELAÇÃO DO FASOR COM O NÚMERO COMPLEXO 𝐸 = 𝐸𝑚á𝑥 / ± θ° V Assim, para o exemplo mostrado no item (3), a soma das correntes é feita da seguinte forma: 𝐼1 = 5 / 30° A 𝐼2 = 6 / 60° A 26 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Passando os fasores para a forma retangular, para que a soma seja feita: I1X = 5. cos 30° = 4,33 I1Y = 5. sen 30° = 2,5 I2X = 6. cos 60° = 3 I2Y = 6. sen 60° = 5,2 𝑰 T = 𝐼 1+ 𝐼 2 = (4,33 + j2,5) + (3 + j5,2) = (7,33 + j7,7) = = (7,332 + 7,72)1/2 / tg -1 (7,7 ÷ 7,33)° = = 10,63 /+ 46,41° A Escrevendo a corrente total na forma instantânea temos: iT 𝑡 = 10,63 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 46,41° 𝐴 27 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 28 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) TRANSFORMAÇÃO ENTRE AS FORMAS POLAR E RETANGULAR UTILIZANDO A CALCULADORA CIENTÍFICA Retangular para Polar (para ângulos em grau - DEG) • Apertar a tecla POL; • Inserir a parte real do número; • Apertar a tecla VÍRGULA; • Inserir a parte imaginária do número; • Fechar o PARÊNTESE; • Apertar a tecla IGUAL (O valor mostrado corresponde ao módulo da forma polar); • Apertar a tecla ALPHA; • Apertar a tecla F; • Apertar a tecla IGUAL ( O valor mostrado corresponde ao ângulo da forma polar). 29 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Polar para Retangular • Apertar a tecla SHIFT; • Apertar a tecla REC; • Inserir o módulo do número; • Apertar a tecla VIRGULA; • Inserir o ângulo do número; • Fechar o PARÊNTESE; • Apertar a tecla IGUAL (O valor mostrado corresponde à parte real da forma retangular); • Apertar a tecla ALPHA; • Apertar a tecla F; • Apertar a tecla IGUAL ( O valor mostrado corresponde à parte imaginária da forma polar). 30 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 01: a) Efetuar a operação abaixo e fornecer o resultado na forma polar. (142 +j7) + (9,8 –j 42) – (4,2 –j6,8) b) Efetuar a operação abaixo e fornecer o resultado na forma retangular. 20 /-120 - 10 /-150 + 8 /-210 + 8 /+240 c) Efetuar a operação abaixo e fornecer o resultado na forma retangular. [(6 /+20° ) . (120 /-40° ) . (3 + j8) ] ÷ (2 /-30° ) e) Efetuar a operação abaixo e expressar a resposta na forma polar: [( 1 ÷ (2 /+10° )2 )] . ( 2 ÷ j)3 . ( 1 ÷ (62 – j 900 ) 31 Universidade de Uberaba ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Exercício 02: Determinar o valor instantâneo, para t = 2 ms, da corrente i2, mostrada no circuito abaixo, considerando que a frequência dos sinais é igual a 50 Hz.
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