Produto Cartesiano e Relação Binária

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Matemática – 1º AS e 1º PD – Profº Ms.Carlos Roberto da Silva- Uniban 2007 
 
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Produto Cartesiano 
 
Par ordenado: são dois elementos em uma ordem fixa, (x,y) 
 
Produto Cartesiano: Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chamamos de produto 
cartesiano de A por B o conjunto indicado por A X B, formado por todos os pares ordenados, 
nos quais o primeiro elemento pertence ao conjunto A e o segundo elemento pertence ao 
conjunto B: 
 
{( , ) | }AXB x y x A e y B= ∈ ∈
 
 
Obs.: Para saber quantos elementos existem neste conjunto, basta multiplicar a quantidade de 
elementos do conjunto A pela quantidade de elementos do conjunto B. 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {5,6} e B = {2,3,4}, vamos determinar o produto cartesiano 
AXB; 
 
a) representação ou forma tabular: 
AXB = {(5,2), (5,3), (5,4), (6,2), (6,3), (6,4)} 
 
 
b) representação ou forma gráfica: 
 
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
x
y
elementos do conjunto A
elementos do conjunto B
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
1. Dados os conjuntos M = {1,3,5} e N = {2,4}, determinar o produto cartesiano M X N e N X M 
nas representações tabular e gráfica 
 
2. Considerando os conjuntos { | 2 1}A x Z x= ∈ − ≤ ≤ e B = {3,4}, determinar A X B nas 
representações ou formas tabular e gráfica. 
 
 
3. Determinar o produto cartesiano dos conjuntos abaixo, na forma gráfica. 
a. [2,5] X {1} 
b. {3,4} X [-1,3] 
c. [1,3] X [2,5] 
d. ]-2,1] X [3,5[ 
 
4. Dados os conjuntos { | 2}E x x= ∈ ≤� , F = {4,5} e G = {-1,0}, determine a forma tabular dos 
produtos: 
 
a. E X F 
b. F X E 
c. F X G 
d. E X G 
 
 
 
 
 
 
 
5. Sendo { | 2 4}C x R x= ∈ ≤ ≤ e { | 1 3}D y R y= ∈ − ≤ < , determine a forma gráfica dos produtos: 
a. C X D b. D X C 
 
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Relação Binária 
 
Dados dois conjuntos, A e B, não vazios, chamamos de relação binária (R) de A em B qualquer 
subconjunto do produto cartesiano A X B, ou seja, R AXB⊆ . 
 
• O conjunto A é chamado de domínio, isto é, origem ou conjunto de partida de R. 
• O conjunto B é chamado de contradomínio, isto é, destino ou conjunto de chegada de R. 
• Os elementos de A são chamados de x e os elementos de B são chamados de y. 
• O conjunto formado por todos os y pertencentes à relação chamamos de imagem. 
 
Exemplo: 
 
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {4,5,6}, efetuando o produto cartesiano A X B, temos: 
 
A X B = {(1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6)} 
 
Vamos considerar uma relação binária do produto cartesiano A X B, em que, o y é o dobro de 
x. Na linguagem simbólica: {( , ) | 2 }xRy R x y AXB y x↔ = ∈ = . 
Ou seja, a relação pedida é: R = {(2,4), (3,6)} 
 
Esta relação pode ser representada por um diagrama de flechas e também por um gráfico 
cartesiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste exemplo temos: 
 
Domínio: D (R) = {1,2,3} 
Contradomínio: CD (R) = (4,5,6} 
Imagem: Im (R) = {4,6} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
1. Dados os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {0,1,2,3,4,5} e a relação {( , ) | 1}R x y AXB y x= ∈ = + , 
determinar: 
a. os pares ordenados da relação R; 
b. o conjunto domínio e o conjunto imagem; 
c. o diagrama de flechas; 
d. o gráfico cartesiano. 
 
2. Dados os conjuntos M = {-3,-2,-1,0,1} e N = {1,2,3,5,6} e a relação 
2{( , ) | 1}R x y MXN y x= ∈ = + , determinar: 
a. os pares ordenados da relação R; 
b. o conjunto domínio e o conjunto imagem; 
c. o diagrama de flechas; 
d. o gráfico cartesiano. 
 
 
3. Para cada relação abaixo faça o diagrama de flechas: 
a. { 2, 1,0,1,2}, { 1,0,1,2,3,4,5} e {( , ) | 2}A B R x y AXB y x= − − = − = ∈ = + 
b. 2{ 2, 1,0,1, 2,3}, { 1,0, 2,3,5} e {( , ) | 1}M N R x y MXN y x= − − = − = ∈ = − 
c. 2{ 2, 1,0,1, 2,3}, { 1,0,1, 2, 4,6} e {( , ) | }I J R x y IXJ y x= − − = − = ∈ = 
 
4. Considerando a relação 1( , ) |
2
xR x y EXF y − = ∈ = 
 
 e os conjuntos { 3, 1,1,3,5}E = − − e 
{ 2, 1,0,1,3,5}F = − − , determine os pares ordenados da relação. 
 
5. Dados os conjuntos O = {0,2,4,6,8} e P = {1,5,9,13,15,18} e a relação 
{( , ) | 2 1}R x y OXP y x= ∈ = + , determine o conjunto domínio e o conjunto imagem da relação. 
 
 
6. Se {1,2} { | 2 3} e { |1 2}A x Z x B x Z x= ∪ ∈ < < = ∈ ≤ ≤ desenhe o gráfico de A X B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Relação Inversa 
 
Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A 
por: 1 {( , ) | ( , ) }R y x BXA x y R− = ∈ ∈ . 
 
Exemplo: Sejam A = {a,b,c} e B = {d,e,f} e R uma relação em AXB, definida por: 
 
R = {(a,d), (a,e),(a,f), (b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)} 
Então: 
R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)} 
 
Exercícios: 
 
1. Dados os conjuntos A = {a,b,c} e B = {1,2,3,4} e a relação R em AXB, qual é a relação 
inversa R-1? 
 
2. Sejam os conjuntos A = {a,b,c,d,e} e B = {2,4,6,8,10} e a relação R, dado no diagrama 
abaixo. Descreva a relação R e a sua inversa R-1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Seja a relação {( , ) | 2 8}R x y AXB x y= ∈ + = . Descreva o conjunto dos elementos da relação 
inversa R-1. 
a 
b 
 
c 
 
d 
e 
2 
 
4 
6 
 
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Matriz de uma relação 
 
Sejam A e B dois conjuntos finitos. A representação :R A B→ como matriz é: 
a) o número de linhas é n (número de elementos do domínio) 
b) o número de colunas é m (número de elementos da imagem) 
c) a matriz resultante possui m x n células 
d) cada uma da m x n células possuem valor lógico associado 
e) se (x,y) ∈ R, então a posição determinada pela linha i e pela coluna j da matriz contém 
valor verdadeiro (1); caso contrário, seu valor será falso (0). 
 
Exemplo: Dado os conjuntos A = {a}, B = {a,b} e C = {0,1,2}, temos que: 
 
a) {( , ) | }R x y B B x y= ∈ → = 
 
= a b 
a 1 0 
b 0 1 
 
b) {( , ) | }R x y C C x y= ∈ → < 
 
< 0 1 2 
0 0 1 1 
1 0 0 1 
2 0 0 0 
c) R = A X B 
 
AXB a b 
a 1 1 
 
Exercícios: 
 
1. Sejam A = {1,2,3} e B = {a,b,c} e R a seguinte relação de A em B: 
R = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,c),(3,c)} 
 
a) Determine a matriz da relação 
b) Desenhe o diagrama de flechas de R 
c) Ache a relação inversa de R. 
 
2. São dados A = {1,3,5,7} e B = {w,x,y,z}. Seja R a seguinte relação de A em B: 
R = {(1,x), (1,z), (7,w), (3,w)}. 
 
a) Determine a matriz da relação. 
b) Desenhe o diagrama de flechas de R. 
c) Ache a relação inversa de R. 
d) Determine o domínio e a imagem de R. 
 
3. Sejam A = {1,2,3,4}, B = {0,2,4,6,8} e a relação {( , ) | 2 }R x y AXB y x= ∈ = , determine a matriz 
desta relação. 
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Propriedades das Relações 
 
No estudo das relações sobre um conjunto A, com A finito e tendo “poucos” elementos, é útil a 
representação através do esquema de flechas. Representamos o conjunto A com seus 
elementos e indicamos cada par (x,y) da relação através de uma flecha com origem x e 
extremidade y. Se (x,x) está na relação, usa-seum laço envolvendo a, conforme o exemplo: 
 
Exemplo: O esquema abaixo representa a relação: 
R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c),(c,b)} sobre A = {a,b,c} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedade Reflexiva 
 
Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, 
para todo : ( , )x A x x R∈ ∈ , isto é, para todo :x A xRx∈ . 
 
Exemplo: Uma relação reflexiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,c), (a,c)} 
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é reflexiva pois c 
não se relaciona com c. 
 
 
Propriedade Simétrica 
 
Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente 
que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A∈ e y A∈ tal que ( , )x y R∈ , 
segue que ( , )y x R∈ 
 
Exemplo: Uma relação simétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,b), (c,c), (b,a)} 
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,c)} sobre A = {a,b,c} não é simétrica pois a se 
relaciona com c mas c não se relaciona com a. 
 
Propriedade Transitiva 
 
Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar 
que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A∈ , y A∈ e z A∈ , se 
( , )x y R∈ e ( , )y z R∈ então ( , )x z R∈ . 
 
Exemplo: Uma relação transitiva em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (a,c), (c,b), (a,b)} 
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,c)} sobre A = {a,b,c} não é transitiva pois 
aRb e bRc mas a não se relaciona com c. 
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Propriedade Anti-simétrica 
 
Uma relação R é anti-simétrica se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem 
relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos 
distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja. 
 
Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A = {a,b,c}, é dada por: R = {(a,a), (b,b), (c,b), (a,b)} 
Contra-exemplo: A relação R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)} sobre A = {a,b,c} não é anti-simétrica 
pois sendo a b≠ , aRb e bRa. 
 
Importante: Se A é finito, com “poucos” elementos, é possível visualizar se as propriedades 
definidas se verificam ou não para uma relação R, através de um esquema de flechas, do 
seguinte modo: 
 
Reflexiva – em cada ponto do diagrama deve haver um laço. 
 
 
 
Simétrica – toda flecha deve ter duas pontas. 
 
 
Transitiva – para todo par de flechas consecutivas existe uma flecha cuja origem está na 
origem da primeira e a extremidade esta na extremidade da segunda. 
 
 
 
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Anti-simétrica – não há flechas de duas pontas. 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Seja R a relação em A = {1,2,3,4,5} tal que: { é múltiplo de 2}xRy x y⇔ − . Enumerar os 
elementos de R. Que propriedades R apresenta? 
 
2. Enumerar os elementos das seguintes relações em A = {a,b,c,d}. Que propriedades R1 e R2 
apresentam? 
R1 R2 
 
 
 
 
 
3. Seja A = {1,2,3}. Considerem-se as seguintes relações em A: 
R1 = {(1,2);(1,1);(2,2);(2,1);(3,3)} 
R2 = {(1,1);(2,2);(3,3);(1,2);(2,3)} 
R3 = {(1,1);(2,2);(1,2);(2,3);(3,1)} 
R4 = A X A 
Quais são reflexivas? Simétricas? Transitivas? Anti-simétricas? 
 
 
4. Construir sobre o conjunto E = {a,b,c,d} relações R1, R2, R3 e R4 tais que R1 tem a 
propriedade reflexiva, R2 só a simétrica, R3 só a transitiva e R4 só a anti-simétrica. 
 
 
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Relação de Equivalência 
 
Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, 
e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
 
Ordem Parcial 
 
Uma relação binária em um conjunto A que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é 
chamada de uma ordem parcial em A. 
 
Ordem Total 
 
Uma ordem parcial onde todo elemento do conjunto está relacionado a todos os outros 
elementos é chamada de ordem total ou cadeia. 
 
Diagrama de Hasse 
 
Se A for finito, podemos representar visualmente um conjunto parcialmente ordenado por um 
diagrama de Hasse. Cada elemento de A é representado por um ponto, denominado nó ou 
vértice do diagrama. Se x é um predecessor imediato de y, o nó que representa y é colocado 
acima do nó que representa x e os dois nós são conectados por um segmento de reta. 
 
Exemplo: Considere a relação “x divide y” em {1,2,3,6,12,18} 
 
R = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,6),(1,12),(1,18),(2,2),(2,6),(2,12),(2,18),(3,3),(3,6),(3,12),(3,18),(6,6), 
(6,12), (6,18) ,(12,12),(18,18)} 
 
Podemos verificar que R é reflexiva, pois todo elemento se relaciona com ele mesmo. É anti-
simétrica, pois para todo (x,y) não existe (y,x) e é transitiva pois temos por exemplo, (3,6), 
(6,12) e (3,12). 
 
Portanto podemos construir o seguinte diagrama de Hasse: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
2 3 
6 
12 18 
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Exercícios 
 
1. Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1,2}, B = {0,1,2,3,4}, determine cada uma das relações 
seguintes, mostrando os pares que a satisfazem, monte a matriz relação, e identifique as 
propriedades em cada relação. 
a. A X B 
b. 21 {( , ) | }R x y AXB y x= ∈ = 
c. 2 {( , ) | 1}R x y AXB y x= ∈ = + 
d. 3 {( , ) | 1}R x y AXB y x= ∈ > + 
 
2. Dados os conjuntos A = {-4, -3,3,4}, B = {-4, -3,3,4,5}, determine cada uma das relações 
seguintes, mostrando os pares que a satisfazem, monte a matriz relação, e identifique as 
propriedades em cada relação. 
a. A X B 
b. 2 21 {( , ) | 25}R x y AXB x y= ∈ + = 
c. 2 {( , ) | }R x y AXB x y= ∈ = 
d. 3 {( , ) | }R x y AXB y x= ∈ < 
 
3. Classifique as relações a seguir segundo suas propriedades: 
a. R1 = {(a,a),(a,b),(c,c),(b,b),(b,c),(c,b),(e,e),(d,d)} em A = {a,b,c,d,e} 
b. R2 = {(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,1)} em B = {1,2,3} 
c. R3 = {(1,1),(7,7),(7,1),(1,7)} em C = {1,7} 
 
4. Construa o diagrama de Hasse dada as relações: 
a. Todos os divisores naturais de 36 
b. S = {1,2,3,5,6,10,15,30} onde a relação divide xRy x y↔ 
 
5. Construa o diagrama de Hasse dos subconjuntos abaixo, cuja relação é divide xRy x y↔ e 
classifique em ordem total ou parcial 
a. {24,2,6} 
b. {1,3,15,5} 
c. {15,30,5}