Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Função Exponencial Prof.o Ricardo Reis Universidade Federal do Ceará Campus de Quixadá 24 de abril de 2014 1 Elementos Básicos 1.1 Potências Denota-se ab como a potência de base a e de expoente b. Se b ∈ Z+ e a ∈ R então, ab = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸ b termos a ∈ R b ∈ Z+ (1) Outras propriedades, a−b = 1 ab (2) ab+c = ab · ac (3) ab−c = ab · a−c = a b ac (4) abc = (ab)c = (ac)b (5) a0 = 1 (6) a1 = a (7) a b c = c √ ab = ( c √ a)b (8) onde a, b, c ∈ R. ILUSTRAÇÃO 1 Simplificar 0.253− 7 2 . SOLUÇÃO Fazemos, 0.253− 7 2 = 0, 25 6−7 2 = 0.25− 1 2 = 1 0.25 1 2 = 1√ 0.25 = 1 0.5 = 2 1.2 Séries de Potências Uma série de potências é uma soma cujos termos são potências de uma mesma base real e expoentes inteiros. Uma série de po- tência de expoentes consecutivos pode ser expressa em forma de somatório como se- gue, b∑ k=a ck = ca + ca+1 + ca+2 + · · ·+ cb−1 + cb (9) onde c ∈ R representa a base comum aos termos da série e a...b (a, b ∈ Z | a ≤ b) o inter- valo de expoentes consecutivos. A equação- (9) possui solução exata e igual a, b∑ k=a ck = cb+1 − ca c− 1 (10) ILUSTRAÇÃO 2 Determinar o valor da soma- tória, 1 + 3 + 32 + 33 + · · ·+ 310 SOLUÇÃO A forma reduzida do somatório anterior é, 10∑ j=0 3j De onde temos que a = 0, b = 10 e c = 3. Logo, da equação-(10), temos, cb+1 − ca c− 1 = 311 − 30 3− 1 = 177147− 1 2 = 88573 1 1.3 Equações Exponenciais Equações exponenciais são aquelas cujas variáveis surgem como parte do expoente de um ou mais termos da equação. Para resolver uma equação exponencial de uma variável real x devem-se dispor em ambos lados da equação potências de mesma base preferencialmente constantes, e expoentes que sejam funções de x, em seguida igua- lar estes expoentes e resolver a nova equa- ção encontrada. As ilustrações seguintes demostram o processo descrito. ILUSTRAÇÃO 3 Resolver a equação, 22x − 16 = 0 SOLUÇÃO Fazemos, 22x − 16 = 0 22x = 16 22x = 24 ⇒ 2x = 4 x = 2 ILUSTRAÇÃO 4 Resolver a equação, 1 31−2x = 27x SOLUÇÃO No intuito de gerar potências de mesma base em ambos lados da equação fazemos, 1 31−2x = 27x 3−1+2x = (33)x 32x−1 = 33x ⇒ 2x− 1 = 3x x = −1 2 Definição A função exponencial elementar possui forma, f(x) = ex (11) onde e é um número irracional conhecido como número de Euler e cujo valor é apro- ximadamente 2.7183. A generalização da função da equação-(11) é dada por, f(x) = au(x) (12) onde a é uma constante real e ainda 0 < a 6= 1. O expoente u(x) na equação-(12) é também uma função real. A equação-(11) é um caso particular da equação-(12) onde a = e e u(x) = x. ILUSTRAÇÃO 5 Dada a função f(x) = 21−x, determine f(0), f(1) e f(2). SOLUÇÃO f(0) = 21−0 = 21 = 2 f(1) = 21−1 = 20 = 1 f(2) = 21−2 = 2−1 = 1 2 = 0.5 ILUSTRAÇÃO 6 Determinar f(2) quando f(x) = 2 x+1 x−1 . SOLUÇÃO f(2) = 2 2+1 2−1 = 2 3 1 = 23 = 8 ILUSTRAÇÃO 7 Determinar g(1) quando g(x) = 3x 3−2x2+2x−1. SOLUÇÃO f(2) = 3(1) 3−2(1)2+2(1)−1 = 31−2+2−1 = 30 = 1 3 Domínio O domínio da função da equação 12 equi- vale ao domínio de u(x), D(f) = D(u) (13) ILUSTRAÇÃO 8 Determinar domínio da fun- ção f(x) = 5 1 x2−1 2 SOLUÇÃO Como D(f) = D(u) e u(x) = 1 x2 − 1 então D(f) = R− {−1, 1} 4 Composição Funções exponenciais podem ser forma- das com multiplicações por constantes in- clusive negativas, ou seja, f(x) = c · au(x) (14) com c ∈ R∗, é também uma função expo- nencial. Quando o domínio de u(x) são os números reais então, • Se c > 0 então a imagem de f(x) equi- vale aos reais positivos (R∗+). • Se c < 0 então a imagem de f(x) equi- vale aos reais negativos (R∗−). ILUSTRAÇÃO 9 Determinar f(2) quando f(x) = − [e2x−1] SOLUÇÃO f(2) = − [e2(2)−1] = − [e3] ILUSTRAÇÃO 10 Determinar imagem das funções f(x) = 4x−1 e g(x) = − [4x−1] SOLUÇÃO f(x)⇒ c = 1 > 0⇒ Im(f) = R∗+ g(x)⇒ c = −1 < 0⇒ Im(f) = R∗− Funções exponenciais também podem ser compostas por composição entre partes ex- ponenciais e não exponenciais. As funções, f(x) = 2x + 1 g(x) = 32x−1 + x h(x) = 3x − 2x−1 p(x) = − [72−x]− [9 1x] representam exemplos de funções exponen- ciais formadas por composição. ILUSTRAÇÃO 11 Determinar f(4) quando f(x) = 3x−1 + 3x+1 SOLUÇÃO f(4) = 34−1 + 34+1 = 33 + 35 = 27 + 243 = 270 ILUSTRAÇÃO 12 Determinar o domínio da função, f(x) = 2 1 x−2 + 3 4 x−3 SOLUÇÃO Para que x pertença ao domínio de uma função composta de partes somadas ou multiplicadas então ele deve ser operado si- multaneamente por todas essas partes. As- sim o domínio de f(x) é a intersecção dos domínios de 2 1 x−2 e 3 4 x−3 , ou seja, D(f) = R− {2, 3} 5 Gráfico O gráfico da função exponencial, equação-(11), é crescente e possui as- pecto, f(x) = ex 1 Note que a curva gerada nunca toca o eixo x, mas tende a aproximar-se dele à propor- ção que os valores de domínio se afastam de zero por valores negativos (da direita para esquerda no gráfico). Logo o eixo x é assín- tota horizontal da função ex. Quando os va- lores de domínio se afastam da origem por valores positivos (da esquerda para a di- reita no gráfico) então os valores da imagem 3 tendem a valores positivos elevados. Esta forma de crescimento da imagem - não pro- porcional ao domínio - é conhecida como crescimento exponencial. Seja o crescimento da função da equação- (12). Se a > 1 então o crescimento de f(x) será análogo ao de u(x). Se 0 < a < 1 o crescimento de f(x) será inverso ao de u(x). ILUSTRAÇÃO 13 Determinar o tipo de cres- cimento e o esboço do gráfico das funções, • f1(x) = 2x • f2(x) = 2−x • f3(x) = 0.8x • f4(x) = 0.8−x SOLUÇÃO f1 ⇒ a > 1⇒ u(x) = x⇒ Crescente f2 ⇒ a > 1⇒ u(x) = −x⇒ Decrescente f3 ⇒ 0 < a < 1⇒ u(x) = x⇒ Decrescente f4 ⇒ 0 < a < 1⇒ u(x) = −x⇒ Crescente Os esboços são, f1 f2 f3 f4 Seja o crescimento da função da equação- (14). Se c > 0 então o crescimento de f(x) será análogo ao de au(x). Se c < 0 o cresci- mento de f(x) será inverso ao de au(x). ILUSTRAÇÃO 14 Dterminar tipo de creci- mento e esboço de gráfico das funções, • f1(x) = 3x−1 • f2(x) = −0.3 [3x+1] • f3(x) = −0.3 [(0.7)1−3x] SOLUÇÃO Em f1 tem-se que a = 3 > 0 e u(x) = x−1 que é crescente tornando 3x−1 crescente. Como c = 1 > 0 então f1 é crescente. Em f2 tem-se que a = 3 > 0 e u(x) = x + 1 que é crescente tornando 3x+1 crescente. Po- rém omo c = −0.3 < 0 então f2 é decres- cente. Em f3 tem-se que a = 0.7 ∈ (0, 1) e u(x) = 1 − 3x que é decrescente tornando 0.71−3x crescente. Como c = −0.3 < 0 então f3 é decrescente. Os esboços obtidos são, f1 f2 f3 Note que quando uma função exponen- cial é decrescente então a função se apro- xima do eixo x quando os valores de domí- nio se afastam da origem por valores posi- tivos. De forma similar quando os valores de domínio se afastam da origem por valo- res negativos então os valores de imagem tendem a valores elevados. Este comporta- mento é conhecido como decrescimento ex- ponencial. A função da equação-(14) não possui raí- zes, mas cruza o eixo y em um ponto de ordenada c · au(0). ILUSTRAÇÃO 15 Determine em que ponto a função f(x) = 34−x cruza o eixo y e se a função é crescente ou decrescente. SOLUÇÃO Como c = 1, a = 3 > 1 e u(x) = 4 − x, que é uma reta decrescente, então a curva de f é decrescente. Ainda, como u(0) = 4 − 0 = 4 então f(x) intercepta o eixo y no ponto (0, 34)⇒ (0, 81). 4 5.1 Princípio da Reflexão A função reflexo de uma função real, f(x), em relação a um eixo de base (em geral, x ou y), equivale a função f ◦(x) cujo gráfico é o reflexo do gráfico de f(x) utilizando o eixo base como espelho. Considere os gráficos das funções f, f ◦ e f ◦◦ a seguir, f f ◦ f ◦◦ Note que f ◦ é o reflexo de f em relação ao eixo x ao passo que f ◦◦ é o reflexo de f em relação ao eixo y. Matematicamente a função reflexo em relação ao eixo x é dada por, f ◦(x) = −f(x) (15) E a função reflexo em relação a y é dada por, f ◦◦(x) = f(−x) (16) ILUSTRAÇÃO 16 Determine a função re- flexo de f(x) = 21−x em relação ao eixo y. SOLUÇÃO f ◦◦(x) = f(−x) = 21−(−x) = 21+x ILUSTRAÇÃO 17 Mostre que a função f(x) = 5x 2 é simétrica em relação ao eixo y. SOLUÇÃO Se f(x) é simétrica em relação a y então f(x) = f(−x). De fato, f(−x) = 5(−x)2 = 5x = f(x) O gráfico de f(x) ilustra a simetria, 2x 2 ILUSTRAÇÃO 18 Se f(x) = c · au(x) é cres- cente quando c > 1 e u(x) é crescente então mostre que a função f(x) = 0.51−x é também crescente. SOLUÇÃO Reestruturando f(x) temos que, f(x) = (0.5)1−x = ( 1 2 )1−x = 1 21−x = 2−(1−x) = 2x−1 Visto que em 2x−1 tem-se que c = 1, a = 2 > 1 e u(x) = x − 1 (crescente) então f(x) é crescente. 6 Aplicação, Juros Compostos 6.1 Taxa de Juros Denomina-se taxa de juros ao percentual de correção aplicado a um determinado va- lor monetário definido para intervalos regu- lares de tempo em geral medidos em dias, meses ou anos. Se C0 é um capital inicial a ser corrigido por ação de uma taxa de juros j regular 1 que incide regularmente sobre o montante (o que se deve até o momento) por um total de n períodos (dias, meses, anos e etc) então o custo final final C será, C = C0 · ( 1 + j 100 )n (17) 1Em geral a taxa de juros está no intervalo 0 ≤ j ≤ 1 ou 0 ≤ j ≤ 100 quando expressa em percentual. 5 Denomina-se juros a diferença entre o ca- pital final e inicial, ou seja, C − C0 (Depen- dendo do contexto os juros podem repre- sentar lucro ou prejuízo!). ILUSTRAÇÃO 19 Uma fatura de cartão acusa 750 R$ de valor a pagar. Depois do vencimento a multa diária é de 0.3 % ao dia. Qual será o prejuízo dado por esta conta se paga 30 dias após o vencimento? SOLUÇÃO Da equação-(17), C = C0 · ( 1 + j 100 )n = 750 · ( 1 + 0.3 100 )30 = 820.52 Assim o valor final a pagar será 820.52 R$. Para calcular o prejuízo fazemos, C − C0 = 820.52− 750 = 70.52 Por fim o prejuízo será de 70.52 R$. 6.2 Calculando Parcelas Fixas Seja C0 o preço de a vista de um produto que pode ser pago em n parcelas de valor P constante calculadas com base numa taxa de juros j. Para diminuir os juros finais ainda poderá ser dado um valor de entrada E (E < C0). Mostraremos a seguir como de- terminar o valor de P como função de C0, j, n e E. Seja qk a fatia do capital em dívida, C0−E (custo original menos o valor de entrada), que ao final de k meses, por correção men- sal e progressiva da taxa de juros j, se torna a parcela de valor P do k-ésimo mês. Notoriamente, C0 − E = n∑ i=1 qk (18) Como cada fatia qk é corrigida para um valor de parcela constante P então, da equação-(17), pode-se escrever que, P = qk · ( 1 + j 100 )k (19) Isolando qk na equação-(19) e substi- tuindo na equação-(18) obtemos, C0 − E = n∑ k=1 P( 1 + j 100 )k C0 − E = P · n∑ k=1 1( 1 + j 100 )k P = C0 − E n∑ k=1 1 1 + j 100 k Por questões de simplificação definimos a constante A como segue, A = 1 + j 100 (20) Com a qual reescrevemos a equação de P como, P = C0 − E n∑ k=1 ( 1 A )k Usando a equação-(10) podemos eliminar a somatória desta última equação obtendo assim, P = C0 − E( 1 A )n+1 − ( 1 A ) ( 1 A ) − 1 P = (C0 − E) (( 1 A ) − 1 ) ( 1 A )n+1 − ( 1 A ) Multiplicando numerador e denominador nesta última equação por −An+1 obtemos, P = (C0 − E)(An+1 − An) An − 1 (21) 6 Uma vez determinado P o valor total pago, Q, é facilmente calculado por, Q = E + n · P (22) E consequentemente os juros pagos, J, se calculam por, J = Q− C0 (23) ILUSTRAÇÃO 20 Um produto custa R$ 450.00 e será pago em 1 ano com juros mensais de 0.3 %. Se não for paga ne- nhuma entrada qual deverá ser o valor da prestação? Qual será o valor total pago? Quanto em juros será pago? SOLUÇÃO Utilizando equações 20, 21, 22 e 23, A = 1 + 0.3 100 = 1.003 P = (450.0− 0)(1.00313 − 1.00312) 1.00312 − 1 = 38.24 Q = E + n · P = 0 + 12(38.24) = 458.82 J = 458.82− 450.00 = 8.82 Assim a parcela a pagar será R$ 38.24, o total pago será R$ 458.82 e os juros pagos serão de R$ 8.82. 7 Exercícios Simplifique as expressões seguintes, 1. (−3)2 2. −32 3. ( −1 3 )4 4. − ( −3 2 )3 5. (−5)0 6. 53 · 52 7. (−2)6 8. ( 2 3 )−1 9. (0.1)−2 10. ( −3 2 )−3 11. −3−2 12. (−5)−2 13. (−0.5)−3 14. 1 (−3)−3 15. 1 (0.01)−2 16. 2−1 − (−2)2 + (−2)−1 z2 + 2−2 17. (a3 · b−2)−2 (a−4 · b3)3 Determine x nas equações seguintes, 18. 100x = 0.001 19. ( 1 125 )x = 25 20. 82x−1 = 0.25 21. 3x2−6 = 27 22. 2x2+8 = 43x 23. 1 3x = 91−x 24. 2x = 1 8x+1 25. 62x − 3 x 144 = 0 26. 53x−1 = ( 1 25 )2x+3 27. (√ 2 )3x−1 = ( 3 √ 16 )2x−1 7 28. 8x2−x = 4x+1 29. 32x+1 · 93x+4 = 27x+1 30. √ 5x−2 · x√252x−5 − 2x√53x−2 = 0 31. 3x 2+ 1 x2 = 81 3x+ 1 x Determine o valor das somatórias a seguir, 32. 1 + 5 + 52 + 53 + · · ·+ 510 33. 42 + 43 + · · ·+ 48 34. 1 23 + 1 24 + 1 25 + · · ·+ 1 210 35. 1− 2 + 22 − 23 + 24 − 25 + · · · − 219 + 220 36. 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + · · ·+ 219 Para cada função exponencial seguinte de- termine se é crescente ou decrescente, o ponto de intersecção com o eixo y e um es- boço do gráfico, 37. f(x) = 21−x 38. f(x) = 3 x+1 2 39. f(x) = ( 1 2 )2x+1 40. f(x) = 2x − 3 41. f(x) = 2− 3x 42. f(x) = ( 1 3 )x + 1 43. f(x) = 3 · 2x−1 44. f(x) = 1 5 32x−1 45. f(x) = 2x + 2−x 46. f(x) = 2x − 2−x Nas equações a seguir determine valores de m ∈ R de forma a admitirem pelo menos uma raiz real, 47. 4x − (m− 2) · 2x + 2m+ 1 = 0 48. 32x − (2m+ 3) · 3x + (m+ 3) = 0 49. 22x+1 − (2m− 3) · 2x+1 + (7− 2m) = 0 Nos casos a seguir determinar a parcela fixa a ser paga na compra de um produto de va- lor a vista C0, entrada E, parcelado em n ve- zes com taxa de juros j, 50. C0 = 550.00 E = 0.00 n = 28 j = 0.25 51. C0 = 1248.00 E = 400.00 n = 10 j = 0.3 52. C0 = 200.00 E = 20.00 n = 12 j = 1.0 Resolva os problemas a seguir, 53. Reimplemente o problema da compra com parcelas fixas de forma que o cli- ente escolha o valor da parcela P a pa- gar. Neste caso serão dados como en- trada o valor de a vista C0, o valor de entrada E, a taxa de juros j e o valor da parcela P . Como saída deverão ser calculados o total de períodos n, o total pago Q e os juros decorridos J do pro- cesso. Implemente um programa para agilizar o uso das equações obtidas. 54. Consideremos agora o problema das parcelas amortizadas no pagamento de um produto de custo a vista C0. Nesta forma de pagamento é dada uma en- trada E e as parcelas correspondem a valores decrescentes de uma quantia fixa T . Ao final de n períodos (dias, me- ses, anos e etc) sobre uma taxa de ju- ros invariante j (diária, mensal, anual e etc) o valor da parcela atinge um valor menor ou igual a T momento este em que a dívida deve ser quitada. Deduza equações que, dadas como entrada C0, E, j e T , calculem o total de meses n que decorrerão para quitação e ainda os valores de cada uma das parcelas a serem pagas. Implemente um pro- grama que agilize o uso destas equa- ções. 8
Compartilhar