FUNCAO_EXPONENCIAL

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Função Exponencial
Prof.o Ricardo Reis
Universidade Federal do Ceará
Campus de Quixadá
24 de abril de 2014
1 Elementos Básicos
1.1 Potências
Denota-se ab como a potência de base a e
de expoente b. Se b ∈ Z+ e a ∈ R então,
ab = a · a · a · · · a︸ ︷︷ ︸
b termos
a ∈ R b ∈ Z+ (1)
Outras propriedades,
a−b =
1
ab
(2)
ab+c = ab · ac (3)
ab−c = ab · a−c = a
b
ac
(4)
abc = (ab)c = (ac)b (5)
a0 = 1 (6)
a1 = a (7)
a
b
c =
c
√
ab = ( c
√
a)b (8)
onde a, b, c ∈ R.
ILUSTRAÇÃO 1 Simplificar 0.253−
7
2 .
SOLUÇÃO
Fazemos,
0.253−
7
2 = 0, 25
6−7
2
= 0.25−
1
2
=
1
0.25
1
2
=
1√
0.25
=
1
0.5
= 2
1.2 Séries de Potências
Uma série de potências é uma soma cujos
termos são potências de uma mesma base
real e expoentes inteiros. Uma série de po-
tência de expoentes consecutivos pode ser
expressa em forma de somatório como se-
gue,
b∑
k=a
ck = ca + ca+1 + ca+2 + · · ·+ cb−1 + cb (9)
onde c ∈ R representa a base comum aos
termos da série e a...b (a, b ∈ Z | a ≤ b) o inter-
valo de expoentes consecutivos. A equação-
(9) possui solução exata e igual a,
b∑
k=a
ck =
cb+1 − ca
c− 1 (10)
ILUSTRAÇÃO 2 Determinar o valor da soma-
tória,
1 + 3 + 32 + 33 + · · ·+ 310
SOLUÇÃO
A forma reduzida do somatório anterior é,
10∑
j=0
3j
De onde temos que a = 0, b = 10 e c = 3.
Logo, da equação-(10), temos,
cb+1 − ca
c− 1 =
311 − 30
3− 1
=
177147− 1
2
= 88573
1
1.3 Equações Exponenciais
Equações exponenciais são aquelas cujas
variáveis surgem como parte do expoente
de um ou mais termos da equação. Para
resolver uma equação exponencial de uma
variável real x devem-se dispor em ambos
lados da equação potências de mesma base
preferencialmente constantes, e expoentes
que sejam funções de x, em seguida igua-
lar estes expoentes e resolver a nova equa-
ção encontrada. As ilustrações seguintes
demostram o processo descrito.
ILUSTRAÇÃO 3 Resolver a equação,
22x − 16 = 0
SOLUÇÃO
Fazemos,
22x − 16 = 0
22x = 16
22x = 24 ⇒ 2x = 4
x = 2
ILUSTRAÇÃO 4 Resolver a equação,
1
31−2x
= 27x
SOLUÇÃO
No intuito de gerar potências de mesma
base em ambos lados da equação fazemos,
1
31−2x
= 27x
3−1+2x = (33)x
32x−1 = 33x ⇒ 2x− 1 = 3x
x = −1
2 Definição
A função exponencial elementar possui
forma,
f(x) = ex (11)
onde e é um número irracional conhecido
como número de Euler e cujo valor é apro-
ximadamente 2.7183. A generalização da
função da equação-(11) é dada por,
f(x) = au(x) (12)
onde a é uma constante real e ainda 0 <
a 6= 1. O expoente u(x) na equação-(12) é
também uma função real. A equação-(11)
é um caso particular da equação-(12) onde
a = e e u(x) = x.
ILUSTRAÇÃO 5 Dada a função f(x) = 21−x,
determine f(0), f(1) e f(2).
SOLUÇÃO
f(0) = 21−0 = 21 = 2
f(1) = 21−1 = 20 = 1
f(2) = 21−2 = 2−1 =
1
2
= 0.5
ILUSTRAÇÃO 6 Determinar f(2) quando
f(x) = 2
x+1
x−1 .
SOLUÇÃO
f(2) = 2
2+1
2−1
= 2
3
1
= 23
= 8
ILUSTRAÇÃO 7 Determinar g(1) quando
g(x) = 3x
3−2x2+2x−1.
SOLUÇÃO
f(2) = 3(1)
3−2(1)2+2(1)−1
= 31−2+2−1
= 30
= 1
3 Domínio
O domínio da função da equação 12 equi-
vale ao domínio de u(x),
D(f) = D(u) (13)
ILUSTRAÇÃO 8 Determinar domínio da fun-
ção f(x) = 5
1
x2−1
2
SOLUÇÃO
Como D(f) = D(u) e u(x) =
1
x2 − 1 então
D(f) = R− {−1, 1}
4 Composição
Funções exponenciais podem ser forma-
das com multiplicações por constantes in-
clusive negativas, ou seja,
f(x) = c · au(x) (14)
com c ∈ R∗, é também uma função expo-
nencial. Quando o domínio de u(x) são os
números reais então,
• Se c > 0 então a imagem de f(x) equi-
vale aos reais positivos (R∗+).
• Se c < 0 então a imagem de f(x) equi-
vale aos reais negativos (R∗−).
ILUSTRAÇÃO 9 Determinar f(2) quando
f(x) = − [e2x−1]
SOLUÇÃO
f(2) = − [e2(2)−1]
= − [e3]
ILUSTRAÇÃO 10 Determinar imagem das
funções f(x) = 4x−1 e g(x) = − [4x−1]
SOLUÇÃO
f(x)⇒ c = 1 > 0⇒ Im(f) = R∗+
g(x)⇒ c = −1 < 0⇒ Im(f) = R∗−
Funções exponenciais também podem ser
compostas por composição entre partes ex-
ponenciais e não exponenciais. As funções,
f(x) = 2x + 1
g(x) = 32x−1 + x
h(x) = 3x − 2x−1
p(x) = − [72−x]− [9 1x]
representam exemplos de funções exponen-
ciais formadas por composição.
ILUSTRAÇÃO 11 Determinar f(4) quando
f(x) = 3x−1 + 3x+1
SOLUÇÃO
f(4) = 34−1 + 34+1
= 33 + 35
= 27 + 243
= 270
ILUSTRAÇÃO 12 Determinar o domínio da
função,
f(x) = 2
1
x−2 + 3
4
x−3
SOLUÇÃO
Para que x pertença ao domínio de uma
função composta de partes somadas ou
multiplicadas então ele deve ser operado si-
multaneamente por todas essas partes. As-
sim o domínio de f(x) é a intersecção dos
domínios de 2
1
x−2 e 3
4
x−3 , ou seja,
D(f) = R− {2, 3}
5 Gráfico
O gráfico da função exponencial,
equação-(11), é crescente e possui as-
pecto,
f(x) = ex
1
Note que a curva gerada nunca toca o eixo
x, mas tende a aproximar-se dele à propor-
ção que os valores de domínio se afastam de
zero por valores negativos (da direita para
esquerda no gráfico). Logo o eixo x é assín-
tota horizontal da função ex. Quando os va-
lores de domínio se afastam da origem por
valores positivos (da esquerda para a di-
reita no gráfico) então os valores da imagem
3
tendem a valores positivos elevados. Esta
forma de crescimento da imagem - não pro-
porcional ao domínio - é conhecida como
crescimento exponencial.
Seja o crescimento da função da equação-
(12). Se a > 1 então o crescimento de f(x)
será análogo ao de u(x). Se 0 < a < 1 o
crescimento de f(x) será inverso ao de u(x).
ILUSTRAÇÃO 13 Determinar o tipo de cres-
cimento e o esboço do gráfico das funções,
• f1(x) = 2x
• f2(x) = 2−x
• f3(x) = 0.8x
• f4(x) = 0.8−x
SOLUÇÃO
f1 ⇒ a > 1⇒ u(x) = x⇒ Crescente
f2 ⇒ a > 1⇒ u(x) = −x⇒ Decrescente
f3 ⇒ 0 < a < 1⇒ u(x) = x⇒ Decrescente
f4 ⇒ 0 < a < 1⇒ u(x) = −x⇒ Crescente
Os esboços são,
f1
f2
f3
f4
Seja o crescimento da função da equação-
(14). Se c > 0 então o crescimento de f(x)
será análogo ao de au(x). Se c < 0 o cresci-
mento de f(x) será inverso ao de au(x).
ILUSTRAÇÃO 14 Dterminar tipo de creci-
mento e esboço de gráfico das funções,
• f1(x) = 3x−1
• f2(x) = −0.3 [3x+1]
• f3(x) = −0.3 [(0.7)1−3x]
SOLUÇÃO
Em f1 tem-se que a = 3 > 0 e u(x) = x−1 que
é crescente tornando 3x−1 crescente. Como
c = 1 > 0 então f1 é crescente. Em f2
tem-se que a = 3 > 0 e u(x) = x + 1 que
é crescente tornando 3x+1 crescente. Po-
rém omo c = −0.3 < 0 então f2 é decres-
cente. Em f3 tem-se que a = 0.7 ∈ (0, 1) e
u(x) = 1 − 3x que é decrescente tornando
0.71−3x crescente. Como c = −0.3 < 0 então
f3 é decrescente. Os esboços obtidos são,
f1
f2
f3
Note que quando uma função exponen-
cial é decrescente então a função se apro-
xima do eixo x quando os valores de domí-
nio se afastam da origem por valores posi-
tivos. De forma similar quando os valores
de domínio se afastam da origem por valo-
res negativos então os valores de imagem
tendem a valores elevados. Este comporta-
mento é conhecido como decrescimento ex-
ponencial.
A função da equação-(14) não possui raí-
zes, mas cruza o eixo y em um ponto de
ordenada c · au(0).
ILUSTRAÇÃO 15 Determine em que ponto
a função f(x) = 34−x cruza o eixo y e se a
função é crescente ou decrescente.
SOLUÇÃO
Como c = 1, a = 3 > 1 e u(x) = 4 − x, que
é uma reta decrescente, então a curva de f
é decrescente. Ainda, como u(0) = 4 − 0 =
4 então f(x) intercepta o eixo y no ponto
(0, 34)⇒ (0, 81).
4
5.1 Princípio da Reflexão
A função reflexo de uma função real, f(x),
em relação a um eixo de base (em geral, x
ou y), equivale a função f ◦(x) cujo gráfico é
o reflexo do gráfico de f(x) utilizando o eixo
base como espelho. Considere os gráficos
das funções f, f ◦ e f ◦◦ a seguir,
f
f ◦
f ◦◦
Note que f ◦ é o reflexo de f em relação
ao eixo x ao passo que f ◦◦ é o reflexo de f
em relação ao eixo y. Matematicamente a
função reflexo em relação ao eixo x é dada
por,
f ◦(x) = −f(x) (15)
E a função reflexo em relação a y é dada
por,
f ◦◦(x) = f(−x) (16)
ILUSTRAÇÃO 16 Determine a função re-
flexo de f(x) = 21−x em relação ao eixo y.
SOLUÇÃO
f ◦◦(x) = f(−x)
= 21−(−x)
= 21+x
ILUSTRAÇÃO 17 Mostre que a função
f(x) = 5x
2 é simétrica em relação ao eixo
y.
SOLUÇÃO
Se f(x) é simétrica em relação a y então
f(x) = f(−x). De fato,
f(−x) = 5(−x)2
= 5x
= f(x)
O gráfico de f(x) ilustra a simetria,
2x
2
ILUSTRAÇÃO 18 Se f(x) = c · au(x) é cres-
cente quando c > 1 e u(x) é crescente então
mostre que a função f(x) = 0.51−x é também
crescente.
SOLUÇÃO
Reestruturando f(x) temos que,
f(x) = (0.5)1−x
=
(
1
2
)1−x
=
1
21−x
= 2−(1−x)
= 2x−1
Visto que em 2x−1 tem-se que c = 1, a =
2 > 1 e u(x) = x − 1 (crescente) então f(x) é
crescente.
6 Aplicação,
Juros Compostos
6.1 Taxa de Juros
Denomina-se taxa de juros ao percentual
de correção aplicado a um determinado va-
lor monetário definido para intervalos regu-
lares de tempo em geral medidos em dias,
meses ou anos. Se C0 é um capital inicial a
ser corrigido por ação de uma taxa de juros
j regular 1 que incide regularmente sobre o
montante (o que se deve até o momento) por
um total de n períodos (dias, meses, anos e
etc) então o custo final final C será,
C = C0 ·
(
1 +
j
100
)n
(17)
1Em geral a taxa de juros está no intervalo 0 ≤ j ≤
1 ou 0 ≤ j ≤ 100 quando expressa em percentual.
5
Denomina-se juros a diferença entre o ca-
pital final e inicial, ou seja, C − C0 (Depen-
dendo do contexto os juros podem repre-
sentar lucro ou prejuízo!).
ILUSTRAÇÃO 19 Uma fatura de cartão
acusa 750 R$ de valor a pagar. Depois
do vencimento a multa diária é de 0.3 %
ao dia. Qual será o prejuízo dado por esta
conta se paga 30 dias após o vencimento?
SOLUÇÃO
Da equação-(17),
C = C0 ·
(
1 +
j
100
)n
= 750 ·
(
1 +
0.3
100
)30
= 820.52
Assim o valor final a pagar será 820.52 R$.
Para calcular o prejuízo fazemos,
C − C0 = 820.52− 750
= 70.52
Por fim o prejuízo será de 70.52 R$.
6.2 Calculando Parcelas Fixas
Seja C0 o preço de a vista de um produto
que pode ser pago em n parcelas de valor P
constante calculadas com base numa taxa
de juros j. Para diminuir os juros finais
ainda poderá ser dado um valor de entrada
E (E < C0). Mostraremos a seguir como de-
terminar o valor de P como função de C0, j,
n e E.
Seja qk a fatia do capital em dívida, C0−E
(custo original menos o valor de entrada),
que ao final de k meses, por correção men-
sal e progressiva da taxa de juros j, se
torna a parcela de valor P do k-ésimo mês.
Notoriamente,
C0 − E =
n∑
i=1
qk (18)
Como cada fatia qk é corrigida para um
valor de parcela constante P então, da
equação-(17), pode-se escrever que,
P = qk ·
(
1 +
j
100
)k
(19)
Isolando qk na equação-(19) e substi-
tuindo na equação-(18) obtemos,
C0 − E =
n∑
k=1
P(
1 +
j
100
)k
C0 − E = P ·
n∑
k=1
1(
1 +
j
100
)k
P =
C0 − E
n∑
k=1
 1
1 +
j
100

k
Por questões de simplificação definimos a
constante A como segue,
A = 1 +
j
100
(20)
Com a qual reescrevemos a equação de P
como,
P =
C0 − E
n∑
k=1
(
1
A
)k
Usando a equação-(10) podemos eliminar
a somatória desta última equação obtendo
assim,
P =
C0 − E(
1
A
)n+1
−
(
1
A
)
(
1
A
)
− 1
P =
(C0 − E)
((
1
A
)
− 1
)
(
1
A
)n+1
−
(
1
A
)
Multiplicando numerador e denominador
nesta última equação por −An+1 obtemos,
P =
(C0 − E)(An+1 − An)
An − 1 (21)
6
Uma vez determinado P o valor total
pago, Q, é facilmente calculado por,
Q = E + n · P (22)
E consequentemente os juros pagos, J, se
calculam por,
J = Q− C0 (23)
ILUSTRAÇÃO 20 Um produto custa R$
450.00 e será pago em 1 ano com juros
mensais de 0.3 %. Se não for paga ne-
nhuma entrada qual deverá ser o valor da
prestação? Qual será o valor total pago?
Quanto em juros será pago?
SOLUÇÃO
Utilizando equações 20, 21, 22 e 23,
A = 1 +
0.3
100
= 1.003
P =
(450.0− 0)(1.00313 − 1.00312)
1.00312 − 1
= 38.24
Q = E + n · P
= 0 + 12(38.24)
= 458.82
J = 458.82− 450.00
= 8.82
Assim a parcela a pagar será R$ 38.24, o
total pago será R$ 458.82 e os juros pagos
serão de R$ 8.82.
7 Exercícios
Simplifique as expressões seguintes,
1. (−3)2
2. −32
3.
(
−1
3
)4
4. −
(
−3
2
)3
5. (−5)0
6. 53 · 52
7. (−2)6
8.
(
2
3
)−1
9. (0.1)−2
10.
(
−3
2
)−3
11. −3−2
12. (−5)−2
13. (−0.5)−3
14.
1
(−3)−3
15.
1
(0.01)−2
16.
2−1 − (−2)2 + (−2)−1
z2 + 2−2
17.
(a3 · b−2)−2
(a−4 · b3)3
Determine x nas equações seguintes,
18. 100x = 0.001
19.
(
1
125
)x
= 25
20. 82x−1 = 0.25
21. 3x2−6 = 27
22. 2x2+8 = 43x
23.
1
3x
= 91−x
24. 2x =
1
8x+1
25. 62x − 3
x
144
= 0
26. 53x−1 =
(
1
25
)2x+3
27.
(√
2
)3x−1
=
(
3
√
16
)2x−1
7
28. 8x2−x = 4x+1
29. 32x+1 · 93x+4 = 27x+1
30.
√
5x−2 · x√252x−5 − 2x√53x−2 = 0
31. 3x
2+ 1
x2 =
81
3x+
1
x
Determine o valor das somatórias a seguir,
32. 1 + 5 + 52 + 53 + · · ·+ 510
33. 42 + 43 + · · ·+ 48
34.
1
23
+
1
24
+
1
25
+ · · ·+ 1
210
35. 1− 2 + 22 − 23 + 24 − 25 + · · · − 219 + 220
36. 2 + 23 + 25 + 27 + 29 + · · ·+ 219
Para cada função exponencial seguinte de-
termine se é crescente ou decrescente, o
ponto de intersecção com o eixo y e um es-
boço do gráfico,
37. f(x) = 21−x
38. f(x) = 3
x+1
2
39. f(x) =
(
1
2
)2x+1
40. f(x) = 2x − 3
41. f(x) = 2− 3x
42. f(x) =
(
1
3
)x
+ 1
43. f(x) = 3 · 2x−1
44. f(x) =
1
5
32x−1
45. f(x) = 2x + 2−x
46. f(x) = 2x − 2−x
Nas equações a seguir determine valores de
m ∈ R de forma a admitirem pelo menos uma
raiz real,
47. 4x − (m− 2) · 2x + 2m+ 1 = 0
48. 32x − (2m+ 3) · 3x + (m+ 3) = 0
49. 22x+1 − (2m− 3) · 2x+1 + (7− 2m) = 0
Nos casos a seguir determinar a parcela fixa
a ser paga na compra de um produto de va-
lor a vista C0, entrada E, parcelado em n ve-
zes com taxa de juros j,
50. C0 = 550.00 E = 0.00 n = 28 j = 0.25
51. C0 = 1248.00 E = 400.00 n = 10 j =
0.3
52. C0 = 200.00 E = 20.00 n = 12 j = 1.0
Resolva os problemas a seguir,
53. Reimplemente o problema da compra
com parcelas fixas de forma que o cli-
ente escolha o valor da parcela P a pa-
gar. Neste caso serão dados como en-
trada o valor de a vista C0, o valor de
entrada E, a taxa de juros j e o valor
da parcela P . Como saída deverão ser
calculados o total de períodos n, o total
pago Q e os juros decorridos J do pro-
cesso. Implemente um programa para
agilizar o uso das equações obtidas.
54. Consideremos agora o problema das
parcelas amortizadas no pagamento de
um produto de custo a vista C0. Nesta
forma de pagamento é dada uma en-
trada E e as parcelas correspondem a
valores decrescentes de uma quantia
fixa T . Ao final de n períodos (dias, me-
ses, anos e etc) sobre uma taxa de ju-
ros invariante j (diária, mensal, anual e
etc) o valor da parcela atinge um valor
menor ou igual a T momento este em
que a dívida deve ser quitada. Deduza
equações que, dadas como entrada C0,
E, j e T , calculem o total de meses n
que decorrerão para quitação e ainda
os valores de cada uma das parcelas
a serem pagas. Implemente um pro-
grama que agilize o uso destas equa-
ções.
8