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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º Semestre de 2010 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) Versão Tutor 1. (2,0 pontos) grupo de 100 pessoas se apresenta de acordo com o sexo e a filiação partidária, formando a seguinte composição: Partido X Partido Y Partido Z Homens 10 30 20 Mulheres 20 10 10 Uma pessoa será sorteada ao acaso: a) Se a pessoa sorteada for do partido X, qual a probabilidade de ela ser do sexo feminino? b) Se a pessoa sorteada for um homem, qual a probabilidade de ser do partido Z? c) Ser do partido Y e ser do sexo feminino são eventos independentes? d) Se uma pessoa sorteada não é do partido Z, qual a probabilidade de não ser mulher? 2. (2,0 pontos) Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais que 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Um estudante é selecionado aleatoriamente: a) Qual a probabilidade de ele ter mais de 1,80m de altura? a) Se tem mais de 1,80m de altura, qual a probabilidade que seja uma mulher? 3. (2,0 pontos) Três bolas de gude são retiradas, sem reposição, de uma urna que contem 4 bolas vermelhas e 6 brancas. Se X é uma variável aleatória que representa o total de bolas de gude vermelhas retiradas: a) Construa a distribuição de probabilidades de X; b) Determine o número esperado de bolas de gude vermelhas nas três extrações; c) Determine a variância de X. 4. (2,0 pontos) Seis parafusos são escolhidos aleatoriamente da produção de certa máquina que apresenta 10% das peças defeituosas. a) Qual a probabilidade de dois deles serem defeituosos? b) Qual a probabilidade de pelo menos 1 ser defeituoso? c) Qual a esperança e a variância do número de parafusos escolhidos defeituosos? 5) (2,0 pontos) Considere os eventos A e B tais que P(A)=0,3, P(B)=p e P(A ou B)=0,8. Determine p se: a) A e B são mutuamente exclusivos; b) A e B são independentes. Soluções: 1) Assuma os seguintes eventos: H: a pessoa é do sexo masculino; M: a pessoa é do sexo feminino; X: a pessoa é filiada ao partido X; Y: a pessoa é filiada ao partido Y; Z: a pessoa é filiada ao partido Z. a) Este é um caso de Probabilidade condicional. .3/2 30 20 100/30 100/20 )Pr( )Pr()|Pr( ===∩= X XMXM b) Este é mais um caso de Probabilidade condicional. .3/16/2 60 20 100/60 100/20 )Pr( )Pr()|Pr( ====∩= H HZHZ c) Para verificar se dois eventos A e B são independentes, precisamos verificar se: )Pr()Pr()Pr( BABA ∩= . No nosso caso, estamos interessados nos eventos Y e M. .4,0100/40)Pr( ==Y .4,0100/40)Pr( ==M .16,04,04,0)Pr()Pr( =×=MY .1,0100/10)Pr( ==∩ MY Como podemos observar, )Pr()Pr()Pr( MYMY ∩≠ . Então Y e M não são independentes. d) Temos que 100/70)Pr( =Z (total de pessoas não filiadas ao partido Z). Temos também que 100/40)Pr( =∩ HZ (total dos homens não filiados ao partido Z). Queremos: )|Pr( ZM . .7/4 70 40 100/70 100/40 )Pr( )Pr()|Pr()|Pr( ===∩== Z HZZHZM 2) Sejam os eventos: A: estudante tem mais de 1,80m. H: estudante é do sexo masculino. M: estudante é do sexo feminino. Segundo os dados da questão, .05,0)|Pr( =HA “5% dos homens têm mais que 1,80m de altura”. .02,0)|Pr( =MA “2% das mulheres têm mais que 1,80m de altura”. .6,0)Pr( =H “60% dos estudantes são homens” 4,0)Pr( =M . “pois mulher é complementar de homem”. a) É um problema de Teorema da Probabilidade Total: .038,003,0008,005,06,002,04,0)|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( =+=×+×=+= HAHMAMA Logo: .038,0)Pr( =A b) O que se deseja aqui é ).|Pr( AM Pelo Teorema de Bayes, .21,0 038,0 008,0 038,0 02,04,0 )Pr( )|Pr()Pr()|Pr( ==×== A MAMAM Logo: .21,0)|Pr( =AM 3) Como X representa as bolas vermelhas retiradas e estamos retirando as 3 bolas sem reposição, então X pode ser 0, 1, 2 ou 3, nas seguintes condições. X=0 “se as 3 bolas forem brancas” X=1 “se duas das três bolas forem brancas” X=2 “se duas das três bolas forem vermelhas” X=3 “se as três bolas forem vermelhas” As respectivas probabilidades são: 6 1 720 120 8 4 9 5 10 6)()0Pr( ==××=∩∩== BBBPX . 2 1 720 360 720 1203 8 4 9 5 10 63)(3)1Pr( ==×=×××=∩∩×== VBBPX . (Multiplica por 3 pois são os casos BBV, BVB e VBB, que terão os mesmos resultados). 10 3 720 216 720 723 8 3 9 4 10 63)(3)2Pr( ==×=×××=∩∩×== VVBPX . (Multiplica por 3 pois são os casos BVV, VVB e VBV, que terão os mesmos resultados). 30 1 720 24 8 2 9 3 10 4)()3Pr( ==××=∩∩== VVVPX . Logo: a) A distribuição de probabilidades de X será: xX = 0 1 2 3 )Pr( xX = 1/6 1/2 3/10 1/30 b) O número esperado é a esperança de X. .2,1 30 36 30 31815 30 3 10 6 2 10 30 13 10 32 2 11 6 10)( ==++=+++=×+×+×+×=XE c) Para o cálculo da variância, precisamos do valor de )( 2XE . .2 30 60 30 93615 30 9 10 12 2 10 30 13 10 32 2 11 6 10)( 22222 ==++=+++=×+×+×+×=XE Logo: .56,044,12)2,1(2)()()( 222 =−=−=−= XEXEXV 4) Este é um problema de Distribuição binomial de Probabilidade. )10,0;6(~ BX . a) .0984,06561,001,015)9,0()1,0( 2 6)2Pr( 42 =××= ==X b) [ ] .4686,05314,015314,0111)9,0()1,0( 0 6 1)0Pr(1)1Pr(1)1Pr( 60 =−=××−= −==−=<−=≥ XXX c) .6,010,06)( =×=×= pnXE .54,090,010,06)1()( =××=−××= ppnXV 5) Usando a fórmula da probabilidade da união: )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ a) Se A e B são mutuamente exclusivos, então .0)Pr( =∩ BA Logo: .5,03,08,03,08,0 =−=⇒+= pp Logo: .5,0=p b) Se A e B são independentes, então )Pr()Pr()Pr( BABA =∩ . Assim, .714,0 7,0 5,07,05,0)3,01(3,08,03,03,08,0 ==⇒=⇒−=−⇒−+= ppppp Logo: .714,0=p MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2a. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º. Semestre de 2011 Prof. Moisés Lima de Menezes (Pode usar calculadora) Versão Tutor 1. (2,0 pontos) Assuma o experimento “lançar dois dados e verificar as faces voltadas para cima” onde x1 representa a face do dado 1 e x2 representa a face do dado 2 e sejam os eventos: A = {( x1 , x2 ) | x1 + x2 < 8 }; B = {( x1 , x2 ) | x1 = x2 }; C = {( x1 , x2 ) | x1 > 1+ x2}; D = {( x1 , x2 ) | x1 =2 x2}. Determine: a) (1,0) Pr (B | A); b) (1,0) Pr (D | C). Solução: Vamos ver o conjunto das possibilidades dos lançamentos dos dois dados. (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) O conjunto A está abaixo: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (5,1) (5,2) (6,1) O conjunto B está abaixo: (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) O conjunto C está abaixo: (3,1) (4,1) (4,2) (5,1) (5,2) (5,3) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) O conjunto D está abaixo: (2,1) (4,2) (6,3) a) )Pr( )Pr( )|Pr( A BA AB O conjunto BA é o conjunto onde os pares que aparecem simultaneamente em A e B. (1,1) (2,2) (3,3) Observe que apenas os pares (1,1), (2,2) e (3,3) aparecem nos dois conjuntos. Logo: 36 3 )Pr( BA . Sabemos que P(A) é o número de pares em destaque sobre o total em A. Logo: 36 21)Pr( A . Consequentemente: . 7 1 21 3 )Pr( )Pr( )|Pr( 36 21 36 3 B BA BA 7 1 )|Pr( AB b) de forma análoga pensamos em )Pr( )Pr( )|Pr( C CD CD . O conjunto CD é o conjunto onde os pares que aparecem simultaneamente em D e C. (4,2) (6,3) Observe que os únicos pares que aparecem nos dois conjuntos são os pares (4,2) e (6,3). Logo: 36 2 )Pr( CD . Sabemos que P(C) é o número de pares em destaque sobre o total em C. Logo: 36 10 )Pr( C . Conseqüentemente: . 5 1 10 2 )Pr( )Pr( )|Pr( 36 10 36 2 C CD CD 5 1 )|Pr( CD 2. (2,0 pontos) Considere uma variável aleatória X de uma distribuição Binomial de probabilidade com média 12 e desvio padrão 2 e seja 3 12 X Z . Determine: a) (0,7) O número de experimentos independentes de Bernoulli de X; b) (0,6) A probabilidade de sucesso em cada experimento Bernoulli de X; c) (0,7) O número esperado de sucessos da variável Z. Solução: Como X segue uma distribuição Binomial de Probabilidade, então: )1()( )( pnpXVAR npXE Se média é igual a 12, então .12)( XE Se desvio padrão é igual à 2, então a variância é igual à 4. Ou seja, .4)( XVAR Substituindo, chegamos a: 12np . 3 2 12 8 81241212412124)1(124)1( ppppppnp Substituindo o valor de p pela fórmula acima, obtemos: .18 2 36 2 123 12 3 2 12 nnnp a) O que desejamos é o valor de n calculado acima: n=18. b) Aqui o que se deseja é o valor de p, também calculado acima: 3 2 p . c) Aqui o que se deseja é: .01212 3 1 12)( 3 1 12 3 1 3 12 )( XEXE X EZE Logo: .0)( ZE 3. (2,0 pontos) Em certa linha de montagem, quatro máquinas B1, B2, B3 e B4 produzem 30%, 20%, 15% e 35% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um produto já acabado seja selecionado aleatoriamente. a) (1,0) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito? b) (1,0) Percebendo-se defeito neste produto, qual a probabilidade que ele tenha sido produzido por B1 ou B4? Solução: Considere os seguintes eventos: D: o produto apresenta defeito N: o produto não apresenta defeito. Temos então as seguintes probabilidades: 98,0)|Pr(02,0)|Pr( 97,0)|Pr(03,0)|Pr( 96,0)|Pr(04,0)|Pr( 98,0)|Pr(02,0)|Pr( 35,0)Pr( 15,0)Pr( 20,0)Pr( 30,0)Pr( 44 33 22 11 4 3 2 1 BNBD BNBD BNBD BNBD B B B B a) Pede-se )Pr(N . Pelo Teorema da Probabilidade Total, .9745,0343,01455,0192,0294,098,035,097,015,096,020,098,030,0 )|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( 44332211 BNBBNBBNBBNBN Logo: .9745,0)Pr( N b) Aqui usemos o Teorema de Bayes. O que se pede é: )Pr(1 )|Pr()Pr()|Pr()Pr( )Pr( ))Pr(( )|Pr( 44114141 N BDBBDB D DBB DBB .5098,0 0255,0 013,0 0255,0 007,0006,0 9745,01 02,035,002,030,0 Logo: 5098,0)|Pr( 41 DBB . 4. (2,0 pontos) a) (1,0) Determine a distribuição de probabilidades para o número de CDs de jazz selecionados quando três CDs são selecionados aleatoriamente e com reposição de uma coleção que consiste em cinco CDs de jazz, dois CDs de música clássica e três CDs de rock. b) (1,0) Determine também o número esperado de CDs de jazz selecionados. Solução: a) Seja X a variável número de CDs de JAZZ selecionados. Se nesta coleção, serão selecionados 3 CDs, com reposição, então poderemos ter os seguintes valores par X: 0 CD de JAZZ (quando nenhum dos CDs selecionados forem de JAZZ) 1 CD de JAZZ (quando 1 CD de JAZZ e 2 CDs de outros tipos são selecionados) 2 CDs de JAZZ (quando 2 CDs de JAZZ e 1 CD de outro tipo são selecionados) 3 CDs de JAZZ (quando todos os três CDs selecionados são de JAZZ). Considere os eventos: J: o CD é de JAZZ N: o CD não é de JAZZ. Teremos as seguintes possibilidades: Para o caso em que nenhum CD de JAZZ é selecionado )0Pr( X ___ ___ ___ N N N 125,0 000.1 125 10 5 10 5 10 5 )0Pr( X Para o caso em que 1 CD de JAZZ é selecionado )1Pr( X ___ ___ ___ ou ___ ___ ___ ou ___ ___ ___ J N N N J N N N J 375,0 000.1 375 000.1 125 000.1 125 000.1 125 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 )1Pr( X Para o caso em que 2 CDs de JAZZ são selecionados )2Pr( X ___ ___ ___ ou ___ ___ ___ ou ___ ___ ___ J J N N J J J N J 375,0 000.1 375 000.1 125 000.1 125 000.1 125 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 )2Pr( X Para o caso em que os 3 CDs selecionados são de JAZZ. )3Pr( X ___ ___ ___ J J J 125,0 000.1 125 10 5 10 5 10 5 )3Pr( X Logo: a distribuição de probabilidades é: x 0 1 2 3 Pr(x) 0,125 0,375 0,375 0,125 b) O número esperado é a esperança da variável X, ou seja, .5,1375,075,0375,00125,03375,02375,01125,00)( XE .5,1)( XE 5. (2,0 pontos) De 7 consoantes e 5 vogais, quantas palavras distintas podemos formar consistindo de 4 consoantes diferentes e 3 vogais diferentes? (as palavras não precisam ter sentido). Solução: As 4 consoantes distintas pode ser escolhidas de C(7,4) maneiras. As 3 vogais distintas podem ser escolhidas de C(5,3) maneiras. Estas 7 letras podem permutar entre si de P7=7! maneiras. Assim, o número de palavras possíveis nestas condições é igual à: 000.764.1040.51035!7 !2!3 !5 !3!4 !7 7)3,5()4,7( PCC . Logo: 1.764.000 palavras. MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º. Semestre de 2012 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) GABARITO 1. (2,0 pontos) Ana pretende fazer um regime em que só come três frutas diferentes por refeição. Se ela tem em casa apenas uma maçã, uma pêra, uma banana, um caju e uma goiaba, quantos tipos de refeições diferentes ela pode preparar? É possível listar todos os tipos de refeições? Se sim, liste-os. Se não, justifique. Solução: Este é um problema de Combinação. Temos 5 frutas para escolher 3: Assim: ( ) R: 10. Como são apenas 10 possibilidades, é possível lista-las. Considere apenas a Primeira letra do nome de cada fruta: Assim, as frutas são: M, P, B, C, G. As possibilidades são: PBC, PBG, PBM, PCG, PCM, PGM, BCG, BCM, BGM, CGM 2. (2,0 pontos) Em uma pesquisa realizada com 200 alunos de uma Faculdade foi obtida a seguinte tabela. Sexo Curso Administração C. Contábeis Psicologia MBA Masc. 45 22 29 38 Fem. 3516 3 12 Se um aluno deste grupo for selecionado aleatoriamente, determine a probabilidade de ele: a) (0,5 pt) Ser aluno de MBA; b) (0,5 pt) Ser mulher cursando Administração; c) (0,5 pt) Ser aluno de C. Contábeis ou de Psicologia; d) (0,5 pt) Estudar Psicologia, dado que é homem. Solução: Considere os eventos: M: sexo masculino, F: sexo feminino; A: cursa administração, C: cursa Ciências Contábeis, P: cursa Psicologia e M: cursa MBA. a) Deseja-se . Que será o total de alunos que cursam MBA sobre o total geral (200). Assim: R: 0,25. b) R: 0,175. c) R: 0,4. d) Deseja-se uma probabilidade condicional. | R: 0,216. 3. (2,0 pontos) Uma linha de produção consiste em 4 máquinas A, B. C e D, cada uma responsável por 10%, 20%, 30% e 40% da produção das peças, respectivamente. Das produções de cada máquina, 3%, 1%, 4% e 2%, respectivamente, são de peças defeituosas. Uma peça é escolhida aleatoriamente. a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ser defeituosa? b) (1,0 pt) Sabendo que a peça não é defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina C? Solução: Temos os seguintes resultados: | | | | a) Usemos o Teorema da Probabilidade Total. | | | | R: 0,025. b) Temos que a probabilidade de uma peça ser não defeituosa é o complementar de ser defeituosa. Assim: ( ̅̅ ̅̅ ̅) Logo: ( | ̅̅ ̅̅ ̅) ̅̅ ̅̅ ̅| ̅̅ ̅̅ ̅ R: 0,295. 4. (2,0 pontos) O retorno financeiro de um grupo de investidores está diretamente ligado ao resultado econômico. Se o resultado econômico for ótimo, então o retorno é de 25%, se o resultado econômico for bom, então o retorno é de 15%, se o resultado econômico for razoável, então o retorno é de 5% e se o resultado for ruim, então não há retorno. Sabendo que a probabilidade de o resultado econômico ser ótimo é de 20%, de ser bom é de 40%, de ser razoável é de 30% e de ser ruim é de 10%, então determine o retorno financeiro médio deste grupo. Solução: Podemos construir uma tabela de distribuição de probabilidades para estes dados: Resultado Ótimo Bom Razoável Ruim Retorno (xi) 25% 15% 5% 0% Probabilidade (pi) 20% 40% 30% 10% O retorno médio é a esperança (ou valor esperado) destes retornos. ∑ R: 12,5%. 5. (2,0 pontos) A probabilidade de um funcionário de uma metalúrgica ser promovido a gerente com menos de cinco anos de trabalho na empresa é 10%. Determine a probabilidade de em um grupo de seis funcionários: a) (0,5 pt) Nenhum ser promovido a gerente; b) (0,5 pt) Pelo menos um ser promovido a gerente; c) (0,5 pt) Todos serem promovidos a gerente; d) (0,5 pt) Exatamente 4 serem promovidos a gerente. Solução: Como o evento: o funcionário ser promovido não depende de o outro funcionário ser promovido, então temos uma situação de Distribuição Binomial de Probabilidade. Seja X a variável: número de funcionários promovidos, então . Ou seja, p=0,1 e n=6. a) ( ) b) c) ( ) d) ( ) MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º. Semestre de 2013 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) GABARITO 1. (2,5 pontos) Os itens vendidos na Lojak foram produzidos pelas fábricas e nas seguintes proporções: e . Segundo informações das próprias fábricas, os respectivos percentuais de itens defeituosos por lote são: e . Se um item for vendido com defeito, o cliente tem o direito de devolver o item e receber seu dinheiro de volta. a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de um cliente receber o dinheiro de volta por um produto vendido nesta loja? b) (1,5pt) Supondo que houve a devolução do produto à loja, qual a fábrica mais provável de tê- lo produzido? Solução: Seja D o evento “o item é defeituoso”. Então, Também são dados do enunciado: a) Deseja-se a probabilidade de um produto ser defeituoso. Para isso, usa-se o Teorema da Probabilidade Total. b) Vamos testar esta probabilidade para as três fábricas: i) ii) iii) Como a probabilidade é a maior das três, então a fábrica é a mais provável de ter produzido o item defeituoso. 2. (2,0 pontos) Seja com em uma v.a . a) (1,0 pt) Determine o valor de para que seja uma função de probabilidade; b) (1,0 pt) Encontre . Solução: Para que seja uma função de probabilidade é necessário que . Como , então b) com o valor de definido, podemos montar a distribuição de probabilidade. Onde : X=x 0 1 2 3 P(x) 0 1/6 2/6 3/6 Assim a esperança de X será: 3. (3,0 pontos) Se 30 dos 40 alunos de uma turma de Pós-graduação dizem estar satisfeitos com o professor de Estatística (I) Qual a probabilidade de em uma amostra de 5 alunos: a) (0,5 pt)Todos estarem insatisfeitos? b) (0,5 pt)Pelo menos um estar satisfeito? c) (0,5pt)Mais da metade não estarem satisfeitos? d) (0,5 pt)No máximo dois estarem satisfeitos? e) (0,5 pt)Exatamente 4 estarem satisfeitos? (II) (0,5 pt) Determine a variância do número de alunos satisfeitos. Solução: 30 dos 40 alunos equivale a uma probabilidade de ¾ de sucesso. Conseqüentemente, a probabilidade de não satisfeitos é de ¼. Nota-se que o problema é de Distribuição Binomial de Probabilidade com e Então se X é a variável aleatória “número de alunos satisfeitos”, então: a) b) c) Mais da metade de 5 é mais que 2,5. Conseqüentemente, maior ou igual a 3. d) e) II) 4. (1,5 ponto) Em um experimento binomial obteve-se: e . Qual o número de provas realizadas e qual a probabilidade de sucesso de cada uma? Solução: Temos que e . Deseja-se encontrar n e p. Ao substituir por 12 na fórmula da variância, obtemos: Logo: Com este valor de p encontrado, substituindo na fórmula da esperança, temos: Logo: 5. (1,0 ponto) O Gerente da CredFácil coletou dados de 100 de seus clientes. Dos 60 homens, 40 possuem cartão de crédito (C). Das 40 mulheres, 30 tem cartão de crédito(C). Dez dos homens com cartão de crédito possuem balanço negativo (B), enquanto 15 das 40 mulheres possuem balanço negativo (B). Assumindo que pessoas sem cartão de crédito não tenham balanço negativo, o gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja: a) (0,5 pt) Uma mulher com cartão de crédito; b) (0,5 pt) Um homem com balanço negativo. Solução: Vamos construir uma tabela com os dados no enunciado. Homens (H) Mulheres (M) Total Com Cartão 40 30 70 Sem Cartão 20 10 30 Total 60 40100 a) 30 mulheres tem cartão de crédito, como são 100 clientes, então: b) São 10 homens com balaço negativo. Como são 100 clientes, então: aprobabilidade de ser um homem com balanço negativo será: MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º. Semestre de 2013 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) GABARITO 1. (3,0 pontos) O lucro obtido (X) por determinada operação financeira depende de fatores implícitos cujas probabilidades estão na tabela de distribuição de probabilidades abaixo (sendo , situação estável sem lucro nem prejuízo, , prejuízo e , lucro real): -1 0 1 2 0,3 a) (1,0 pt) Determine o valor de para que seja uma fdp; b) (1,0 pt) Determine a probabilidade de lucro real; c) (1,0 pt) Calcule o lucro esperado desta operação. Solução: a) Para que seja uma fdp é necessário que (multiplicando por 4) (eq. Do 2º. Grau) Como uma probabilidade é sempre positiva, então, o valor correto é: b) A probabilidade de lucro real é: . Para calcularmos esta probabilidade é necessário substituir os valores de K na distribuição. Assim: -1 0 1 2 0,3 Que implica em: -1 0 1 2 0,3 Que implica em: -1 0 1 2 0,3 Assim, c) O lucro esperado é calculado pela esperança de X. Ou seja, o lucro esperado é de 0,9. ********************************************************************** ********************************************************************** 2. (1,0 pontos) Considere os eventos A e B tais que e . Determine quando: a) (0,5 pt) A e B são mutuamente excludentes; b) (0,5 pt) A e B são independentes. Solução: a) Se A e B são mutuamente excludentes, então: . Logo: Consequentemente, b) Se A e B são independentes, então: Consequentemente: ********************************************************************** ********************************************************************** 3. (2,0 pontos) 30% das peças vendidas na Loja L são produzidas pela fábrica I, 20% das peças vendidas nesta loja são produzidas pela fábrica II, 10% são produzidas pela fábrica III e as demais, pela fábrica IV. Sabe-se de antemão que 98% das peças produzidas por I não contém defeitos, 97% das peças produzidas por II não contém defeitos, 94% das peças produzidas por III não contém defeitos e que 1,5% das peças produzidas por IV são defeituosas. Se uma peça for selecionada aleatoriamente desta loja para averiguação, determine: a) (1,0 pt) A probabilidade de ela ser defeituosa; b) (1,0 pt) Uma vez que ela foi detectada como defeituosa, é possível saber qual a fábrica mais provável de tê-la produzido? Se sim, Explicite-a, se não, justifique. Solução: Considere os seguintes eventos: D: a peça é defeituosa; N: a peça não é defeituosa. Temos as seguintes probabilidades do enunciado: Esta última probabilidade obtida por complemento às demais. Temos ainda: a) Para verificar se uma peça selecionada aleatoriamente é defeituosa dadas as condições acima, deve-se utilizar o Teorema da Probabilidade Total. Assim: Logo: b) NÃO é possível identificar qual a fábrica mais provável de tê-la produzido porque as probabilidades de quaisquer fábricas dado que a peça é defeituosa são iguais, conforme visto no item anterior: ********************************************************************** ********************************************************************** 4. (2,0 pontos) Um atirador profissional acerta o seu alvo com uma probabilidade de sucesso de 70%. Determine a probabilidade de ele: a) (0,5 pt) Não acertar o alvo ao atirar 4 vezes; b) (0,5 pt) Acertar o alvo pelo menos duas vezes ao atirar 6 vezes; c) (0,5 pt) Acertar todos os tiros ao atirar 5 vezes; d) (0,5 pt) Acertar no máximo 1 vez ao atirar 3 vezes. Solução: O experimento: atirar ao alvo é um ensaio Bernoulli. Acertar o alvo significa obter sucesso. Logo a probabilidade de sucesso em um ensaio Bernoulli é Ao atirar ao alvo mais de uma vez, o atirador está realizando vários ensaios independentes de Bernoulli, configurando, portanto, uma distribuição Binomial de probabilidades. Assim, em cada item há uma distribuição diferente a depender do número de ensaios realizados: a) A probabilidade de não acertar o alvo ao atirar 4 vezes é o equivalente ao acertar ZERO vezes o alvo. Assim: b) Com base no raciocínio do item a), acertar o alvo pelo menos duas vezes é o complementar de acertar no máximo 1 vez, assim: c) Acertar todos os tiros ao atirar 5 vezes: d) Acertar no máximo uma vez. ********************************************************************** ********************************************************************** 5. (2,0 pontos) A tabela abaixo mostra o resultado de uma pesquisa sobre o cidadão ser a favor do desarmamento de acordo com o nível de escolaridade: Opinião Analfabeto Fundamental Médio Superior Pós-graduado Total SIM 10 20 20 20 10 80 NÂO 10 10 10 10 20 60 Total 20 30 30 30 30 140 Se uma pessoa dentre as entrevistada for selecionada ao acaso, qual a probabilidade de ela: a) (0,5 pt) ter pós-graduação? b) (0,5 pt) ter ensino médio e ser a favor do desarmamento? c) (0,5 pt) ser contra o desarmamento ou analfabeta? d) (0,5 pt) ter curso superior, sabendo-se de antemão que ela é a favor do desarmamento? Solução: Considere os eventos: A: O CIDADÃO É ANALFABETO; F: O CIDADÃO POSSUI NÍVEL FUNDAMENTAL; M: O CIDADÃO POSSUI NIVEL MÉDIO; S: O CIDADÃO POSSUI NÍVEL SUPERIOR; P: O CIDADÃO POSSUI PÓS GRADUAÇÃO. a) b) c) d) MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º Semestre de 2014 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO 1. (2,0 pontos) A tabela abaixo apresenta o resultado de uma pesquisa feita em uma Universidade em relação ao nível de satisfação com o desempenho da Economia do Brasil no último ano. Resposta \ Curso Ciências Econômicas Administração Ciências Contábeis Total Satisfeito 20 15 15 50 Insatisfeito 70 80 55 205 Não soube opinar 5 5 5 15 Total 95 100 75 270 Um aluno será sorteado aleatoriamente para comentar sobre sua resposta. Determine a probabilidade de ele: a) (0,5 pt) Não estar satisfeito com o desempenho da Economia do Brasil no último ano; b) (0,5 pt) Ser aluno do Curso de Administração satisfeito com o desempenho da Economia do Brasil no último ano; c) (0,5 pt) Não saber opinar sobre o assunto dado que é aluno do Curso de Ciências Contábeis; d) (0,5 pt) Ser aluno do Curso de Ciências Econômicas ou ter opinado. Solução: Considere os eventos: A: O aluno é do Curso de Administração; C: O aluno é do Curso de Ciências Contábeis; E: O aluno é do Curso de Ciências Econômicas. S: O aluno opinou estar Satisfeito; I : O aluno opinou estar Insatisfeito; N: O aluno não soube opinar. a) b) c) d) Se ele opinou, opinou positiva ou negativamente. Então o conjunto dos alunos que opinou é a união dos que estão satisfeitos com os que estão insatisfeitos. Logo o evento: O: O aluno opinou equivale a (S+I). 2. (2,0 pontos) Um aluno do Curso de Administração está fazendoestágio em uma Indústria de peças em que as mesmas são produzidas por 3 máquinas, onde a primeira (A) é responsável por 30% dos peças produzidas, a segunda (B) é responsável por 25% e a terceira (C), por 45%. Sabe-se de experiências anteriores que 1,5% das peças produzidas pela máquina A são defeituosas, que 2% das peças produzidas pela máquina B são defeituosas e que 1% das peças produzidas pela máquina C são defeituosas. Uma das atribuições deste estagiário é a de avaliar o desempenho das máquinas, para isso, uma peça será sorteada aleatoriamente para averiguação: a. (1,0 pt) Qual a probabilidade de a peça sorteada ser defeituosa? b. (1,0 pt) Sabendo que a peça sorteada é defeituosa, qual seria a máquina mais provável de tê-la produzida? Solução: Considere os eventos: A: A peça foi produzida pela máquina A; B: A peça foi produzida pela máquina B; C: A peça foi produzida pela máquina C. D: A peça é defeituosa. São dados do Enunciado do problema: a) Teorema da Probabilidade Total: b) Teorema de Bayes aplicado a cada Máquina: Como a probabilidade referente à máquina B é a maior, ela é a mais provável de ter fabricado a peça. 3. (2,0 pontos) Considere o problema da questão anterior e que este aluno tenha recebido uma caixa com 10 peças defeituosas produzidas neste dia, sendo 2 peças produzidas pela máquina A, 5 produzidas pela máquina B e 3 produzidas pela máquina C. Para uma demonstração a um grupo de candidatos a operadores de máquinas desta empresa, o aluno irá retirar aleatoriamente, na sequência, 3 peças desta caixa. Determine a probabilidade de as duas primeiras peças terem sido produzidas pela máquina B e a terceira ter sido produzida pela máquina A quando: a. (1,0 pt) As retiradas são feitas sem reposição; b. (1,0 pt) As retiradas são feitas com reposição. Solução: a) Considerando as retiradas sem reposição, o espaço amostral sempre irá diminuir de uma unidade a cada retirada. Assim: __1ª._ __2ª _ __3ª _ B B A b) Com as retiradas feitas com reposição, os eventos são independentes e o espaço amostral sempre permanecerá o mesmo. 4. (2,0 pontos) Para se determinar um índice de crescimento de um país de acordo com o pregão na Bolsa de Valores do dia seguinte, uma variável aleatória X é estabelecida de modo que se a Bolsa fechar em alta, X=0 e o índice é positivo e se a Bolsa fechar em baixa ou permanecer inalterada, X=1 e o índice é negativo. Considere a função de distribuição de probabilidade de X. Determine: a. (0,7 pt) O valor de k para que f seja de fato uma função de distribuição probabilidade. b. (0,7 pt) A probabilidade de o índice de crescimento ser positivo amanhã. c. (0,6 pt) . Solução: a) Sabemos que a soma de todas as possíveis probabilidades na distribuição de probabilidades tem que ser igual á 1. Como os únicos valores que x assume são 0 e 1, então: Logo: b) Sabemos que o índice é positivo se e a probabilidade de X=0 será dada pela função de distribuição de probabilidade. c) Para o cálculo de vamos construir a tabela de distribuição de probabilidades de X. 0 1 ¾ ¼ Como vimos no item anterior, a probabilidade de X=0 é ¾, consequentemente, a probabilidade de X=1 será ¼. Assim: 5. (2,0 pontos) Em uma indústria do setor automobilístico, 30% dos veículos produzidos são para exportação. Durante um período de uma semana (7 dias) durante o mês, um veículo é sorteado aleatoriamente por dia para inspeção. a. (0,7 pt) Determine a probabilidade de todos os veículos sorteados esta semana serem para exportação; b. (0,7 pt) Determine a probabilidade de pelo menos 2 veículos sorteados esta semana serem para exportação; c. (0,6 pt) Qual o número esperado de veículos para exportação sorteados estas semana? Solução: Os sorteios são independentes. Temos 7 sorteios e em cada sorteio a probabilidade de sucesso é 30%. Isto configura uma distribuição Binomial de Probabilidade com p=0,3 e n=7. a) b) Assim: c) Ou seja, espera-se que dos 7 veículos sorteados, 2 sejam para exportação. MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º. Semestre de 2014 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) Gabarito 1. (2,0 pontos) De um grupo de 8 homens e 6 mulheres, deve-se formar uma comissão com 5 pessoas. De quantas formas esta comissão pode ser feitas se: a) (0,5 pt) Não houver restrição? b) (0,5 pt) Deve ter 3 homens e 2 mulheres? c) (0,5 pt) Deve ter 1 presidente, 1 vice-presidente, 1 tesoureiro, 1 primeiro-secretário e 1 segundo secretário independente de sexo? d) (0,5 pt) Deve ter 2 homens, sendo 1 presidente e 1 segundo secretário e 3 mulheres sendo 1 vice-presidente, 1 tesoureira e 1 primeira secretária? Solução: a) sem restrição, é considerado um grupo de 14 pessoas das quais serão sorteadas 5. Assim: Como e , então: b) Devemos escolher os homens e as mulheres separadamente e para cada homem escolhido há a quantidade escolhida entre as mulheres. Assim: c) Neste caso, a ordem da seleção é importante, mas o sexo não. Assim, trata-se de um arranjo dentre todas as pessoas do grupo. d) Arranjo para os homens e arranjo para as mulheres: 2. (2,0 pontos) As preferências de homens e mulheres por cada gênero de filmes, dentre 3 pesquisados, seguem na tabela abaixo: Comédia Aventura Policial Total Homens 20 50 10 80 Mulheres 10 20 20 50 Total 30 70 30 130 Uma pessoa é sorteada aleatoriamente. Determine a probabilidade de: a) (0,5 pt) Ela ser do sexo masculino; b) (0,5 pt) Ela ser uma mulher que goste de filmes de aventura; c) (0,5 pt) Ela preferir filme policial, sabendo-se a priori que é um homem; d) (0,5 pt) Gostar de filme de comédia ou ser uma mulher. Solução: Sejam os seguintes eventos: C: a pessoa gosta de Comédia; A: a pessoa gosta de Aventura; P: a pessoa gosta de Policial; H: a pessoa é do sexo masculino; M: a pessoa é do sexo feminino. a) Temos um total de 80 pessoas pesquisadas do sexo masculino de um total de 130. Assim: b) c) Temos uma probabilidade condicional: d) Probabilidade da União: 3. (2,0 pontos) O chefe do Setor de Compras de uma empresa trabalha com 3 grandes distribuidores de material de escritório. O distribuidor 1 é responsável por 70% dos pedidos, enquanto cada um dos outros 2 distribuidores responde por 15% dos pedidos. Dos registros gerais de compra, sabe-se que 6% dos pedidos chegam com atraso. A proporção de pedidos com atraso do distribuidor 1 é a metade da proporção do distribuidor 2 que, por sua vez, é o dobro da proporção do distribuidor 3. a) (1,0 pt) Qual o percentual de pedidos com atraso de cada distribuidor? b) (1,0 pt) Se um pedido chega com atraso, qual a probabilidade de ele ter sido entreguepelo distribuidor 2? Solução: Considere os seguintes eventos: 1:O pedido foi entregue pelo distribuidor 1; 2: O pedido foi entregue pelo distribuidor 2; 3: O pedido foi entregue pelo distribuidor 3; A: O pedido chegou com atraso; N: O pedido não chegou com atraso. São dados do enunciado: a) Pelo Teorema da Probabilidade Total, sabemos que: Sabemos também que: e Assim, substituindo no Teorema da Probabilidade Total, temos: Consequentemente: Logo: b) Pelo Teorema de Bayes, temos: 4. (2,5 pontos) Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades: Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 Cada vendedor recebe comissões de vendas de acordo com a quantidade vendida. Se ele vende até três produtos por dia, ele recebe $10,00 por produto vendido. Se ele vende mais de três produtos pro dia, a comissão passa a ser de $30,00 por produto de modo que se ele vende 3 produtos, recebe $30,00 de comissão, mas se ele vende 4 produtos, recebe $ 120,00 de comissão. a) (1,5 pt) Determine a variância do número de produtos vendidos por dia por funcionário; b) (1,0 pt) Determine a comissão média diária de cada funcionário. Solução: a) Para determinar a variância é necessário obter a média: Também é necessário calcular . Para isso, precisamos da distribuição de . Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 0 1 4 9 16 25 36 Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 Assim: b) A distribuição das comissões será dada por: Numero de produtos 0 1 2 3 4 5 6 Comissão (C) 0 10 20 30 120 150 180 Probabilidade de comissão 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05 Logo: A comissão média paga por funcionário é de $39,5. 5. (1,5 ponto) Dois times de voleibol A e B disputam uma série de oito partidas. A probabilidade de o time A ganhar cada partida é de 60%. Determine a probabilidade de o time A ganhar a série. Solução: Para ganhar a série de 8 jogos, o time A precisa ganhar mais que o time B. Como no voleibol não há empates, então o time A ganha a série se vencer pelo menos 5 das 8 partidas. Assim, a probabilidade de ele vencer a série será a probabilidade de ele vencer 5, 6, 7 ou 8 das partidas, onde a vitória em uma partida independe das outras partidas. Logo: Observemos que, por conta da independência, o experimento é Binomial. Assim: A probabilidade de o time A ganhar a série é de 59,41%. MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º Semestre de 2015 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO 1. (2,0 pontos) Ana possui em seu guarda-roupas 5 blusas, 3 saias, 4 bermudas, 2 calças compridas, 4 vestidos, 6 pares de sapatos e 2 chapéus. Sabendo que para se produzir, ela não precisa necessariamente usar chapéu, mas precisa de um calçado, vestir a parte de baixo e parte de cima, de quantas formas Ana pode se produzir? Solução: Para se produzir, Ana precisa ver todas as combinações possíveis de roupas. Para isso, a combinação pode ser: Chapéu Blusa Vestido Saia Bermuda Calça Calçado Ou seja: o número de opções que Ana possui é uma combinação de Princípio Aditivo e Multiplicativo da contagem. Número de formas = número {Calçado e {[vestido] ou [(saia ou bermuda ou calça) e (blusa)]} e chapéu}. Os conectivos “e” e “ou” são representantes dos princípios multiplicativo e aditivo respectivamente. Assim: Número de formas= número {Calçado {[vestido] [(saia bermuda calça) (blusa)]} chapéu}. Como na produção ela não precisa necessariamente usar chapéu, então existem 3 possibilidades de uso do chapéu: os 2 chapéus + a opção de não usar chapéu. Logo: Número de formas = Assim: Existem 900 formas de Ana se produzir. 2. (2,0 pontos) As peças produzidas em uma indústria são provenientes de 3 máquinas I, II e III responsáveis pela produção de 32%, 43% e 25% das peças respectivamente. Sabe-se por experiência que os percentuais de peças defeituosas por máquina é de 2%, 2,5% e 3,5% respectivamente. Todo mês uma peça é selecionada aleatoriamente para inspeção. a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de a peça ser defeituosa? b) (1,0 pt) Ao selecionar a peça e verificar que ela é de fato defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina I? Solução: Considere o evento: D: a peça é defeituosa. Então temos: a) Neste item estamos interessados em saber P(D). Para isso, vamos usar o Teorema da Probabilidade Total. b) Neste caso estamos interessados em: P(I|D). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes. 3. (2,0 pontos) A um grupo de pessoas selecionada em um exame para admissão de uma grande empresa foram feitas perguntas sobre formação acadêmica e quais objetivos para o futuro. As informações coletadas indicam que todas têm ensino superior, sendo 50 graduadas em Economia, 70 graduadas em Administração e 80 graduadas em Direito. Das pessoas graduadas em Direito, 20 desejam fazer pós-graduação e as demais pretendem atuar no mercado de trabalho. Dos formados em Economia, 30 desejam fazer pós-graduação e todos os formados em Administração desejam entrar no mercado de trabalho. Se uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade de ela: a) (0,5 pt) ter com meta futura fazer uma pós-graduação? b) (0,5 pt) ser uma pessoa formada em Economia com interesse em ingressar no mercado de trabalho? c) (0,5 pt) não ser formada em Administração ou preferir fazer pós-graduação? d) (0,5 pt) ter preferência por entrar no mercado de trabalho uma vez que tem graduação em Direito? Solução: Das informaçõesdo enunciado, podemos fazer uma tabela de contingencia: Administração (A) Economia (E) Direito(D) Total Fazer pós-graduação (P) 0 30 20 50 Mercado de Trabalho (M) 70 20 60 150 Total 70 50 80 200 a) b) c) d) 4. (2,0 pontos) A quantidade de produtos vendidos em um dia por um funcionário em uma determinada loja é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades: 0 1 2 3 4 5 6 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 0,05 a) (0,5 pt) Determine a quantidade média de produtos vendidos por dia; b) (1,5 pt) Determine o desvio-padrão de . Solução: a) b) Para calcular o desvio-padrão, precisamos calcular a variância e para calcular a variância precisamos de e para isso precisamos da distribuição de 0 1 4 9 16 25 36 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 0,05 Logo: Então: 5. (2,0 pontos) Uma pesquisa recente mostra que a cada 5 empresas, 2 são administradas por mulheres em uma determinada cidade. Uma amostra aleatória com 10 empresas desta cidade foi feita. Determine: a) (0,5 pt) a probabilidade de pelo menos 1 destas 10 empresas ser administrada por uma mulher; b) (0,5 pt) a probabilidade de todas as 10 empresas serem administradas por mulheres; c) (0,5 pt) a probabilidade de exatamente 1 destas 10 empresas ser administrada por mulher; d) (0,5 pt) o número esperado de empresas administradas por mulheres. Solução: O enunciado do problema indica a probabilidade de uma empresa ser administrada por uma mulher é de 40%. Seja X a variável aleatória que contabiliza o número de empresas administrada por mulheres nesta cidade, então: Ou seja: e a) b) c) d) MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º Semestre de 2015 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO 1. (2,5 pontos) Um grupo de estudantes de uma universidade foi pesquisado em relação ao curso que estuda e sua renda familiar mensal. A tabela abaixo sintetiza o resultado desta pesquisa: Renda Familiar Curso Administração Estatística Economia Medicina Direito Total Menor que $2,000 10 40 30 10 10 100 De $2,000 a $10,000 40 30 30 20 30 150 Mais que $10,000 50 20 50 70 60 250 Total 100 90 110 100 90 500 Um destes estudantes será sorteado aleatoriamente. Qual é a probabilidade de: a) (0,5 pt) A renda familiar dele ser menor que $2,000? b) (0,5 pt) Ele ser estudante de Economia com renda familiar maior que $10,000? c) (0,5 pt) Ele ser estudante de Direito ou ter renda de $2,000 a $10,000? d) (0,5 pt) Ele ser estudante de Estatística, dado que sua renda familiar é maior que $10,000? e) (0,5 pt) Não possuir renda familiar a partir de $2,000 dado que cursa Administração? Solução: Considere os seguintes eventos: A: O estudante cursa Administração; Es: O estudante cursa Estatística; Ec: O estudante cursa Economia; M: O estudante cursa Medicina; D: O estudante cursa Direito; X: A renda familiar do estudante é menor que $2,000; Y: A renda familiar do estudante varia de $2,000 a $10,00; Z: A renda familiar do estudante é maior que $10,000. a) b) c) d) e) --------------------------------------------------- 2. (2,5 pontos) Em uma linha de montagem, 10% das peças é produzida pela máquina A, 45% é produzida pela máquina B, outros 20% pela máquina C e as demais peças são produzidas pela máquina D. Os percentuais de peças defeituosas produzidas pelas quatro máquinas são, respectivamente, 2%, 1,5%, 3% e 2,5%. Sempre que uma peça é produzida com defeito, a linha de produção é paralisada para verificação. a) (1,0 pt) Qual é a probabilidade de a linha de produção ser paralisada para verificação? b) (1,5 pt) Se uma peça foi produzida com defeito, qual seria a máquina mais provável de tê- la produzida (justifique com todas as probabilidades possíveis)? Solução: Considere E o evento: “A peça foi produzida com defeito”. Desta forma, são probabilidades fornecidas pelo enunciado do problema: a) A probabilidade de a linha de produção parar é a mesma probabilidade de uma peça ser produzida com defeito. Assim, pelo Teorema da Probabilidade Total, b) Para saber qual a máquina mais provável de ter produzido uma peça que foi detectada como defeituosa é preciso calcular todas as probabilidades de cada máquina. Pelo Teorema de Bayes: Como a probabilidade maior é a probabilidade , então a máquina B é a máquina mais provável de ter produzido a peça defeituosa. ------------------------------------------------------------- 3. (2,5 pontos) Seja X uma variável aleatória discreta cuja distribuição de probabilidades é dada por: 1 2 3 4 5 5/15 4/15 3/15 2/15 1/15 Determine: a) (0,5 pt) b) (0,5 pt) c) (0,5 pt) d) (0,5 pt) e) (0,5 pt) O desvio padrão desta variável. Solução: a) b) c) d) Para o calculo da variância, precisamos de . e) O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. ---------------------------------------------------------------- 4. (2,5 pontos) 10% das peças produzidas em uma linha de produção são defeituosas. Em um lote de 6 peças, determine a probabilidade de: a) (0,5 pt) Nenhuma peça ser defeituosa; b) (0,5 pt) Todas as peças serem defeituosas; c) (0,5 pt) Pelo menos uma peça ser defeituosa; d) (0,5 pt) No máximo uma peça ser defeituosa; e) (0,5 pt) Exatamente três peças serem defeituosas. Solução: Seja X o número de peças defeituosas produzidas, então a) b) c) d) e) MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 1º. Semestre de 2016 Prof. Moisés Lima de Menezes (pode usar calculadora) GABARITO Para as questões de 1 a 5, use o enunciado a seguir: Uma pesquisa realizada em uma escola revela a preferência de estudantes pré-vestibulandos à uma das áreas de ensino: ciências exatas, ciências humanas ou ciências biológicas de acordo com o sexo. A tabela abaixo informa o resultado desta pesquisa. Área de interesse Total S ex o C. Exatas C. Humanas C. Biológicas Feminino 27 43 28 98 Masculino 32 52 48 132 Total 59 95 76 230 Assuma que um destes estudantes pesquisados foi selecionado aleatoriamente. 1) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele ser do sexo feminino? 2) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele preferir a área de exatas e ser dosexo masculino? 3) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele preferir a área de humanas ou ser do sexo feminino? 4) (0,5 pt) Assumindo que o estudante sorteado é do sexo masculino, qual é a probabilidade de ele preferir ciências biológicas? 5) (0,5 pt) Verifique se os eventos “ser do sexo feminino” e “preferir ciências exatas” são independentes. Solução: Considere os seguintes eventos: E: O estudante prefere Ciências Exatas; H: O estudante prefere Ciências Humanas; B: O estudante prefere Ciências Biológicas; F: O estudante é do sexo feminino; M: O estudante é do sexo masculino. 1) 𝑃(𝐹) = 98 230 = 0, 𝟒𝟐𝟔𝟏. 2) 𝑃(𝐸 ∩𝑀) = 32 230 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟗𝟏. 3) 𝑃(𝐻 ∪ 𝐹) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝐹) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝐹) = 95 230 + 98 230 − 43 230 = 150 230 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟐𝟐. 4) 𝑃(𝐵|𝑀) = 𝑃(𝐵 ∩𝑀) 𝑃(𝑀) = 48 230 132 230 = 48 132 = 𝟎, 𝟑𝟔𝟑𝟔. 5) Para que dois eventos sejam independentes, verificamos se a probabilidade da interseção é igual ao produto das probabilidades. 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) = 27 230 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟕𝟑𝟗. 𝑃(𝐹) × 𝑃(𝐸) = 98 230 × 59 230 = 5.782 52.900 = 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟑𝟎. Como 0,11739 ≠ 0,10930, então: “NÃO SÃO INDEPENDENTES.” ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para as questões de 6 a 8, use o enunciado a seguir: Os percentuais de atraso nas entregas das empresas de logística I, J e K, responsáveis por todas as encomendas feitas on-line da loja virtual “Subaquática” são de respectivamente, 23%, 12% e 17%. Sabendo que estas empresas são responsáveis por 23%, 44% e 33% respectivamente, das entregas da “Subaquática” e que uma entrega vai ser selecionada aleatoriamente para averiguação, determine: 6) (0,5 pt) Qual a probabilidade de esta entrega ter sido feita pela empresa J ? 7) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta entrega ter chegado no prazo? 8) (1,0 pt) Sabendo que esta entrega chegou com atraso, qual a probabilidade que ela tenha sido feita pela empresa K ? Solução: Considere os eventos: A: A entrega chegou com atraso; I: A entrega foi feita pela empresa I; J: A entrega foi feita pela empresa J; K: A entrega foi feita pela empresa K. São dados do enunciado do problema: 𝑃(𝐼) = 0,23, 𝑃(𝐽) = 0,44, 𝑃(𝐾) = 0,33 𝑃(𝐴|𝐼) = 0,23, 𝑃(𝐴|𝐽) = 0,12, 𝑃(𝐴|𝐾) = 0,17. 6) Como colocado no enunciado, 𝑃(𝐽) = 𝟎, 𝟒𝟒. 7) Use o Teorema da Probabilidade Total. Para calcular a probabilidade de chegada no prazo, vamos calcular a probabilidade de atraso e depois verificar seu complementar. 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐼)𝑃(𝐴|𝐼) + 𝑃(𝐽)𝑃(𝐴|𝐽) + 𝑃(𝐾)𝑃(𝐴|𝐾) = (0,23 × 0,23) + (0,44 × 0,12) + (0,33 × 0,17) = 0,0529 + 0,0528 + 0,0561 = 0,1618. A probabilidade de chegada no prazo é o complemento da probabilidade de chegada em atraso. 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,1618 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟖𝟐. 8) Use o Teorema de Bayes: 𝑃(𝐾|𝐴) = 𝑃(𝐾)𝑃(𝐴|𝐾) 𝑃(𝐴) = 0,33 × 0,17 0,1618 = 0,0561 0,1618 = 𝟎, 𝟑𝟒𝟔𝟕. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Para as questões de 9 a 12, use o enunciado a seguir: As vendas diárias de carros em um determinada concessionária é uma variável aleatória discreta X com a seguinte distribuição de probabilidades: 𝑋 0 1 2 3 4 𝑃(𝑥) 0,1 0,2 0,4 0,15 0,15 9) (0,5 pt) Qual a probabilidade de que em um dia sejam vendidos mais de 2 carros? 10) (0,5 pt) Qual a média de vendas diária? 11) (1,0 pt) Obtenha a função de distribuição acumulada; 12) (1,0 pt) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 1|𝑋 < 4). Solução: 9) 𝑃(𝑋 > 2) = 𝑝(3) + 𝑝(4) = 0,15 + 0,15 = 𝟎, 𝟑𝟎. 10) 𝐸(𝑋) = (0 × 0,1) + (1 × 0,2) + (2 × 0,4) + (3 × 0,15) + (4 × 0,15) = 0 + 0,2 + 0,8 + 0,45 + 0,6 = 𝟐, 𝟎𝟓. 11) A função de distribuição acumulada é dada por: 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). Assim, 𝐹(0) = 0,1, 𝐹(1) = 0,3, 𝐹(2) = 0,7, 𝐹(3) = 0,85, 𝐹(4) = 1. Logo: 𝐹(𝒙) = { 𝟎, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎, 𝟎, 𝟏, 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏, 𝟎, 𝟑, 𝒔𝒆 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐, 𝟎, 𝟕, 𝒔𝒆 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑, 𝟎, 𝟖𝟓, 𝒔𝒆 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒 𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟒. 12) 𝑃(𝑋 ≥ 1|𝑋 < 4) = 𝑃(1 ≤ 𝑋 < 4) 𝑃(𝑋 < 4) = 𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3) 𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3) = 0,75 0,85 = 𝟎, 𝟖𝟖𝟐𝟑𝟓. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Para as questões de 13 a 16, use o enunciado a seguir: De acordo com o Journal of Higher Education, 40% dos formandos do ensino médio, nos Estados Unidos, trabalham durante o verão para ganhar dinheiro para pagar as mensalidades do semestre na faculdade. 13) (0,5 pt) Em um grupo de 6 alunos, qual é a probabilidade de no máximo 1 trabalhar durante o verão? 14) (0,5 pt) Em um grupo de 5 alunos, qual é a probabilidade de todos trabalharem durante o verão? 15) (0,5 pt) Em um grupo de 7 alunos, qual é a probabilidade de pelo menos 2 trabalharem durante o verão? 16) (0,5 pt) Em um grupo de 50 alunos, quantos são esperados que trabalhem durante o verão? . Solução: Considere a variável X: Número de alunos que trabalham durante o verão. Então X segue uma distribuição Binomial com probabilidade de sucesso 𝑝 = 0,4. 13) 𝑛 = 6. 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = ( 6 0 ) (0,4)0(0,6)6 + ( 6 1 ) (0,4)1(0,6)5 = (1 × 1 × 0,046656) + (6 × 0,4 × 0,07776) = 0,046656 + 0,186624 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟐𝟖. 14) 𝑛 = 5. 𝑃(𝑋 = 5) = ( 5 5 ) (0,4)5(0,6)0 = 1 × 0,01024 × 1 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟐𝟒. 15) 𝑛 = 7. 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 1 − [( 7 0 ) (0,4)0(0,6)7 + ( 7 1 ) (0,4)1(0,6)6] = 1 − [(1 × 1 × 0,027994) + (7 × 0,4 × 0,046656)] = 1 − [0,027994 + 0,130637] = 1 − 0,1586304 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑𝟕. 16) 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 50 × 0,4 = 𝟐𝟎. MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 2º Semestre de 2016 Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) (Pode usar calculadora) Gabarito PARA RESOLVER OS PROBLEMAS 1 E 2, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. Em certa linha de montagem, quatro máquinas B1, B2, B3 e B4 produzem 30%, 20%, 15% e 35% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um produto já acabado seja selecionado aleatoriamente. 1. (1,0 ponto) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito? 2. (1,0 ponto) Percebendo-se defeito neste produto, qual a probabilidade que ele tenha sido produzido por B1 ou B4? Solução: Considere os seguintes eventos: D: o produto apresenta defeito N: o produto não apresenta defeito. Temos então as seguintes probabilidades: 98,0)|Pr(02,0)|Pr( 97,0)|Pr(03,0)|Pr( 96,0)|Pr(04,0)|Pr( 98,0)|Pr(02,0)|Pr( 35,0)Pr( 15,0)Pr( 20,0)Pr( 30,0)Pr( 44 33 22 11 4 3 2 1 BNBD BNBD BNBD BNBD B B B B 1) Pede-se )Pr(N . Pelo Teorema da Probabilidade Total, .9745,0343,01455,0192,0294,098,035,097,015,096,020,098,030,0 )|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( 44332211 BNBBNBBNBBNBN Logo: .9745,0)Pr( N 2) Aqui usemos o Teorema de Bayes. O que se pede é: )Pr(1 )|Pr()Pr()|Pr()Pr( )Pr( ))Pr(( )|Pr( 44114141 N BDBBDB D DBB DBB .5098,0 0255,0 013,0 0255,0 007,0006,09745,01 02,035,002,030,0 Logo: 5098,0)|Pr( 41 DBB . 3. (1,0 ponto) Um estudante tem dificuldade para acordar e para solucionar o problema resolveu colocar três despertadores. Determine a probabilidade de pelo menos um despertador funcionar, se cada um deles tem 98% de chance de funcionar (use 6 casas decimais). Solução: Pelo menos um despertador funcionar é o complementar de nenhum despertador funcionar. Sejam os seguintes eventos: D1: O despertador 1 funciona; 𝐷2: O despertador 2 funciona; 𝐷3: O despertador 3 funciona. Logo: 𝑃(𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝑃(𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝑃(𝐷1 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑒 𝐷2 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑒 𝐷3𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎) = 1 − 𝑃(�̅�1 ∩ �̅�2 ∩ �̅�3) Como o funcionamento de um despertador não depende do funcionamento do outro, estes eventos são independentes. Logo: 𝑃(�̅�1 ∩ �̅�2 ∩ �̅�3) = 𝑃(�̅�1)𝑃(�̅�2)𝑃(�̅�3). Assim: 𝑃(𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝑃(�̅�1)𝑃(�̅�2)𝑃(�̅�3) = 1 − (0,02 × 0,02 × 0,02) = 1 − 0,000008 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟐. PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 4 A 7, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. A tabela abaixo traz o resultado de uma pesquisa realizada em uma Universidade com alunos de Graduação, Especialização, Mestrado e Doutorado sobre o tempo de uso diário de um Laboratório de Informática: Graduação Especialização Mestrado Doutorado Total Menos de 1 hora 320 200 150 80 750 Entre 1 e 4 horas 260 180 170 90 700 Mais de 4 horas 220 120 230 180 750 Total 800 500 550 350 2.200 De posse destas informações, determine a probabilidade de um aluno dentre estes selecionado aleatoriamente: 4. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por pelo menos uma hora por dia? 5. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por mais de 4 horas por dia e ser aluno de Graduação? 6. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por menos de 1 hora por dia, dado que é aluno de pós-graduação? 7. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por um período entre 1 e 4 horas por dia ou ser aluno de Mestrado ou Doutorado? Solução: Considere os eventos: A: o aluno usa o laboratório por menos de 1 hora B: o aluno usa o laboratório entre 1 e 4 horas C: o aluno usa o laboratório por mais de 4 horas G: graduação, E: especialização. M: mestrado e D: doutorado. 4) Deseja-se saber )Pr( CB . .659,0 200.2 450.1 200.2 750 200.2 700 )Pr()Pr()Pr( CBCB .659,0)Pr( CB 5) Neste caso, deseja-se )Pr( GC , que é o equivalente na célula de interseção entre alunos de graduação e uso do laboratório por mias de 4 horas. .1,0 200.2 220 )Pr( GC 6) Agora, pede-se ))(|Pr( DMEA , pois aluno de pós-graduação pode ser qualquer um que não seja graduação. 200.2 350 200.2 550 200.2 500 200.2 80 200.2 150 200.2 200 )Pr()Pr()Pr( )Pr()Pr()Pr( )|Pr( DME DAMAEA DMEA .307,0 400.1 430 200.2 400.1 200.2 430 Logo: .307,0)|Pr( DMEA 7) Aqui se pede a probabilidade da união de dois eventos. A saber: 200.2 90170 200.2 350550 200.2 700 ))(Pr()Pr()Pr())(Pr( DMBDMBDMB .609,0 200.2 340.1 200.2 260 200.2 900 200.2 700 Logo: .609,0))(Pr( DMB PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 8 A 11, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. Uma prova é composta de 5 (cinco) questões de múltipla escolha com 5 (cinco) alternativas cada ((a), (b), (c), (d) e (e)), sendo apenas uma das alternativas correta. Para que um aluno seja aprovado é necessário que ele acerte pelo menos 80% da prova. Se ele errar 80% da prova ou mais, ele será reprovado. Suponha que um aluno faça esta prova de forma aleatória (no chute). 8. (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser aprovado? 9. (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser reprovado? 10. (0,5 ponto) Qual o número de questões certas esperadas para este aluno? 11. (0,5 ponto) Qual o desvio padrão do número de questões certas deste aluno? Solução: Temos um problema de distribuição Binomial, onde n=5 e p=0,2 (5 alternativas, sendo uma correta). Seja X o número de questões certas. Como n=5, 80% representa 4 questões: 8) 100032,018,00016,05)8,0()2,0( 5 5 )8,0()2,0( 4 5 )5()4()4Pr( 0514 ppX .00672,000032,00064,0 Logo: .00672,0)4Pr( X 9) Para que ele erre 80% ou mais, ele terá que errar pelo menos 4 questões. Isso significa que ele irá acertar no máximo 1 questão para ser reprovado. 4096,02,0532768,011)8,0()2,0( 1 5 )8,0()2,0( 0 5 )1()0()1Pr( 4150 ppX .73728,04096,032768,0 Logo: .73728,0)1Pr( X 10) Como é um caso de Distribuição Binomial de Probabilidade, então a média será dada pela esperança: .12,05)( npXE Logo: 1 questão certa. 11) O desvio padrão segue a mesma lógica da média. Inicialmente, calculamos a variância para depois calcularmos o desvio padrão. .8,08,02,05)1()( pnpXV O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. .8944,08,0 Uma moeda honesta é lançada 3 vezes e sua face voltada para cima é verificada. Defina a variável aleatória 𝑋 como sendo o número de vezes que a face “cara” cai voltada para cima. Sabendo que a probabilidade de sair cara é a mesma de sair coroa, resolva as questões de 12 a 15. 12. (1,0 ponto) Obtenha a distribuição de probabilidades de 𝑋; 13. (0,5 ponto) Obtenha 𝐸(𝑋); 14. (0,5 ponto) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 2); 15. (1,0 ponto) Obtenha a função de distribuição acumulada de 𝑋. Solução: Sejam os eventos: C: sair cara K: sair coroa. 12. Ao lançar três vezes, existem as seguintes possibilidades para X: 𝑋 = 0, 𝑋 = 1, 𝑋 = 2, 𝑋 = 3. É possível listar todas as possibilidades: 𝑋 = 0: (𝐾, 𝐾, 𝐾), 1 possibilidade. 𝑋 = 1: (𝐶, 𝐾, 𝐾), (𝐾, 𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐾, 𝐶), 3 possibilidades. 𝑋 = 2: (𝐶, 𝐶, 𝐾), (𝐶, 𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐶, 𝐶), 3 possibilidades. 𝑋 = 3: (𝐶, 𝐶, 𝐶), 1 possibilidade. As possibilidades listadas acima listadas são o espaço amostral, com 8 possibilidades. Assim é possível montar a distribuição de probabilidades: 𝑋 0 1 2 3 𝑝(𝑥) 1/8 3/8 3/8 1/8 13) 𝐸(𝑋) = (0 × 1 8 ) + (1 × 3 8 ) + (2 × 3 8 ) + (3 × 1 8 ) = 0 + 3 8 + 6 8 + 3 8 = 12 8 = 𝟑 𝟐 . 14) 𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑝(2) + 𝑝(3) = 3 8 + 1 8 = 4 8 = 𝟏 𝟐 . 15) A função de distribuição acumulada será dada por: 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0 1 8 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1 4 8 , 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2 6 8 , 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 3 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
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