Análise Combinatória, Binômio de Newton e Probabilidade Notas de Aula

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MATEMÁTICA III 1 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................. 2 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM ............................ 3 
FATORIAL .................................................................................... 8 
AGRUPAMENTOS ..................................................................... 10 
ARRANJOS ................................................................................ 10 
PERMUTAÇÕES ........................................................................ 17 
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS REPETIDOS .................... 23 
COMBINAÇÕES ........................................................................ 28 
BINÔMIO DE NEWTON ............................................................. 36 
PROBABILIDADES .................................................................... 46 
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS .................. 55 
PROBABILIDADE CONDICIONAL ............................................. 55 
RESPOSTAS ............................................................................. 64 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 66 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro 
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE 
e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante 
o triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 2. 
 
O fato de apenas alguns exercícios estarem 
indicados não significa que os demais devam ser 
ignorados. Ao contrário, quanto mais exercícios você 
fizer mais hábil você pode ficar. 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
INTRODUÇÃO 
 
As duas figuras abaixo mostram 
placas de veículos automotores. A primeira 
mostra o modelo atualmente utilizado no 
Brasil e a segunda apresenta o modelo de 
placas unificadas do Mercosul que deveria 
ser utilizada a partir de janeiro de 2016. 
 
 
 
 
Por meio do endereço <www.vid 
igal.ouropreto.ifmg.edu.br/placasveiculos> 
ou utilizando o qr-code 
ao lado, você consegue 
acessar uma página que 
aponta para quatro 
outras que trazem 
reportagens sobre a 
mudança no padrão das 
placas. Um fato comum 
em todas as reportagens 
é que a nova placa permitirá obter mais de 
450 milhões de combinações diferentes. A 
placa antiga permitia menos de 18 milhões 
de combinações. 
 
O assunto que vamos estudar agora 
nos permite encontrar números como estes 
e a entender situações como a que 
recentemente vivemos quando, aos 
números dos nossos celulares, foi 
acrescentado um dígito. 
 
A Análise Combinatória, visa 
desenvolver métodos que permitem contar 
o número de elementos de um conjunto, 
sendo estes elementos, agrupamentos 
formados sob determinadas condições. 
 
Estes métodos de contagem podem 
parecer pouco necessários e realmente o 
são quando lidamos com conjuntos que tem 
poucos elementos, mas quando 
trabalhamos com conjuntos muito 
numerosos, os métodos tornam-se 
indispensáveis. 
 
Vamos ver alguns exemplos abaixo e 
tentar preencher os espaços com a 
quantidade de elementos de cada conjunto: 
 
Ex.1: Conjunto formado por todos os 
números de dois algarismos distintos 
formados, exclusivamente, pelos dígitos 1, 
2 e 3: 
A = (12, 13, 21, 23, 31, 32}, logo o conjunto 
A tem _____ elementos. 
 
Ex.2: Conjunto formado 
pelas diagonais de um 
hexágono: 
 
D = {AC, AD, AF, BD, BE, BF, 
CE, CF, DF}, logo o conjunto 
D tem _____ elementos. 
 
 
Ex.3: Conjunto formado 
pelas diagonais de um 
heptágono: 
 
H = 
 
 
Quantos elementos tem o conjunto H? ____ 
 
Ex.4: Conjunto das sequências de letras 
que se obtém mudando a ordem das letras 
da palavra ROMA (anagramas da palavra 
ROMA) 
P = 
 
 
 
 
Quantos elementos tem o conjunto P? 
MATEMÁTICA III 3 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
Ex.5: K é o conjunto formado pelos números 
de três algarismos distintos formados a 
partir dos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7 e 8. 
Quantos elementos tem K? 
 
 
 
_______________ 
 
Observe que neste caso, é bastante 
trabalhoso obter todos os elementos do 
conjunto K para depois contá-los e 
notadamente sabemos quais as 
dificuldades. Usando as técnicas que 
estudaremos nas próximas páginas desta 
apostila, veremos que o conjunto K tem 336 
elementos. 
 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE 
CONTAGEM 
 
Acompanhe a seguir a resolução de alguns 
problemas: 
 
 
 
Ex.1: Uma pessoa quer viajar da Cidade C1 
para a Cidade C3 passando pela cidade C2. 
Sabendo que existem 5 estradas que ligam 
C1 a C2 e outras 4 estradas que ligam C2 a 
C3, de quantas maneiras diferentes a 
pessoa poderá viajar? 
 
Resolução: 
 
Para facilitar, observe o diagrama: 
 
 
C1 → C2 C2 → C3 C1 → C3 
1 A 1A 1 
1 B 1B 2 
1 C 1C 3 
1 D 1D 4 
2 A 2A 5 
2 B 2B 6 
2 C 2C 7 
2 D 2D 8 
3 A 3A 9 
3 B 3B 10 
3 C 3C 11 
3 D 3D 12 
4 A 4A 13 
4 B 4B 14 
4 C 4C 15 
4 D 4D 16 
5 A 5A 17 
5 B 5B 18 
5 C 5C 19 
5 D 5D 20 
 
Para cada uma das 5 estradas que 
ligam C1 a C2, podemos escolher uma das 
4 que ligam C2 a C3, assim, são 5 ∙ 4 = 20 
maneiras diferentes de viaja. 
 
 
Ex.2: Ao lançarmos uma 
moeda e um dado, 
quantos resultados 
obtidos a partir da 
combinação Cara ou 
Coroa (da moeda) com o 
número (do dado) temos? 
 
Resolução: 
Observe o diagrama a seguir: 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Note que o evento “lançar moeda e 
dado” tem duas etapas independentes com 
2 possibilidades na primeira e 6 
possibilidades na segunda totalizando 12 
possibilidades (2 ∙ 6 = 12). 
 
Assim, de modo geral, podemos 
dizer que: 
 
 
 Vamos agora fazer alguns exercícios 
envolvendo diversas situações que 
permitem a aplicação do conceito do 
Princípio Fundamental de Contagem. 
 
 
1) 
Uma loja de roupas femininas vende cinco 
modelos de calças Jeans (Pantalona, Flare, 
Legging, Sarouel e Skinny) e cada calça 
pode ter uma de três cores (Preta, Marrom 
e Azul). 
a) Escreva todas as possíveis combinações 
possíveis de calças nesta loja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantas opções de escolha terá uma 
consumidora interessada em uma calça 
desta loja? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Quantos números naturais de 3 
algarismos podem ser escritos com os 
algarismos 2, 3, 4, 5, e 6? 
 
Se um evento é composto por m 
etapas diferentes sucessivas e 
independentes de tal maneira que 
a etapa 1 tenha n1 possibilidades, 
que a etapa 2 tenha n2 
possibilidades, ..., que tenha nm 
possibilidades, então o número 
total de possibilidades de o evento 
ocorrer é dado pelo produto 𝑛1 ∙
𝑛2 ∙ ⋯ ∙ 𝑛𝑚. Esse é o Princípio 
Fundamental de Contagem. 
MATEMÁTICA III 5 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
3) Quantos números naturais de 3 
algarismos distintos podem ser escritos 
com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 6? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Em um ginásio de esportes, os lugares 
destinados aos espectadores são 
separados em quatro setores com a mesma 
quantidade de cadeiras em cada um deles: 
setor Azul, laranja, amarelo e verde. Em 
cada setor existem 26 filas de cadeiras 
identificadas pelas letras do alfabeto. Em 
cada fila estão 45 cadeiras numeradas de 1 
a 45. O ingresso para o ginásio apresenta 
uma sequência com uma cor, uma letra e 
um número (Ex.: Azul J 25 indica a cadeira 
25 da fila J do setor Azul). Qual o total de 
cadeiras neste ginásio? 
5) Aline e Bárbara 
praticam natação. As 
duas amigas resolvem 
disputar uma corrida 
na piscina. Quantos 
resultados
diferentes podemos obter no 
final da disputa? Liste todos os possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Aline, Bárbara e 
Camila praticam 
natação. As três 
amigas resolvem 
disputar uma corrida na piscina. Quantos 
resultados diferentes podemos obter no 
final da disputa? Liste todos os possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
7) Aline, Bárbara, 
Camila e Daniela 
praticam natação. 
As quatro amigas 
resolvem disputar uma corrida na piscina. 
Quantos resultados diferentes podemos 
obter no final da disputa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Uma bandeira com a 
forma ao lado, vai ser 
pintada utilizando duas das 
três cores: vermelho, verde e 
azul. 
 
Utilize os modelos abaixo e 
liste todas as possíveis 
bandeiras. Quantas são elas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Um edifício tem 8 portas. De quantas 
formas uma pessoa ode entrar por uma 
porta e sair por outra, diferente daquela que 
ele entrou? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Uma prova possui 2 questões do tipo 
“VERDADEIRO ou FALSO”. Liste todas as 
maneiras diferentes que uma pessoa pode 
marcar, aleatoriamente, as questões. 
Quantas maneiras existem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Uma prova possui 3 questões do tipo 
“VERDADEIRO ou FALSO”. Liste todas as 
maneiras diferentes que uma pessoa pode 
marcar, aleatoriamente, as questões. 
Quantas maneiras existem? 
 
MATEMÁTICA III 7 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
12) Uma prova possui 4 questões do tipo 
“VERDADEIRO ou FALSO”. De quantas 
maneiras diferentes uma pessoa pode 
marcar, aleatoriamente, as questões? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Uma prova possui 10 questões do tipo 
“VERDADEIRO ou FALSO”. De quantas 
maneiras diferentes uma pessoa pode 
marcar, aleatoriamente, as questões? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Uma prova possui 20 questões de cinco 
alternativas (A, B, C, D e E). De quantas 
maneiras diferentes uma pessoa pode 
marcar, aleatoriamente, o gabarito? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Se seis teclas literais (são 27) de um 
computador forem pressionadas, 
sucessivamente, ao acaso, quantos 
anagramas diferentes podem ser 
formados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Se seis teclas literais (são 27) de um 
computador forem pressionadas, 
sucessivamente, ao acaso, quantos 
anagramas formado por letras distintas 
podem ser formados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 147 – Exercícios 04 a 10 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
FATORIAL 
 
O fatorial de um número consiste em 
um relevante mecanismo nos estudos 
envolvendo análise combinatória, pois a 
multiplicação de números naturais 
consecutivos é muito utilizada nos 
processos de contagem. 
 
Fatorial de um número consiste em 
multiplicar o número por todos os seus 
antecessores até o número 1. 
 
Representamos o fatorial de um 
número natural por n! e o desenvolvimento 
de n! é dado por: 
 
𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ ⋯ ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 
 
Observação: 
A definição acima é válida para 𝑛 ≥ 2. Para 
n = 1 e n = 0, definimos que: 
1! = 1 e 0! = 1 
 
 
2! = 2 ∙ 1 = 2 
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 
4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120 
6! = 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 720 
7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5040 
8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40320 
9! = 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 362880 
10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3628800 
 
Observação: 
Observe a situação abaixo 
8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1⏟ 
7!
 
8! = 8 ∙ 7! 
 
Isso vale para qualquer fatorial, 
assim, 𝑛! = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)! 
 
Alguns cálculos envolvendo fatorial 
exigem algumas técnicas de simplificação e 
fatoração. Observe os exemplos a seguir 
 
Ex.1:Vamos calcular o valor de 
12!
8!
. 
 
Resolução: 
Desenvolvendo 12! no numerador da 
fração, podemos reescrevê-la assim: 
 
12!
8!
=
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!
8!
 
 
simplificando numerador e denominador por 
8!, temos: 
12!
8!
=
12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 ∙ 8!
8!
= 12 ∙ 11 ∙ 10 ∙ 9 = 11880 
 
 
 
 
Ex.2: Simplificar a expressão 
7!+8!
9!
. 
 
Resolução: 
 
7! + 8!
9!
=
7! + 8 ∙ 7!
9!
=
7! (1 + 8)
9!
= 
=
7! ∙ 9
9 ∙ 8 ∙ 7!
=
1
8
 
 
 
 
Ex.3: Simplificar a expressão 
(𝑛+3)!
(𝑛+1)!
. 
 
Resolução: 
 
(𝑛 + 3)!
(𝑛 + 1)!
=
(𝑛 + 3)(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)!
(𝑛 + 1)!
= 
= (𝑛 + 3)(𝑛 + 2) = 𝑛2 + 5𝑛 + 6 
 
Ex.4: Calcule 𝑛 tal que 
𝑛!
(𝑛−1)!
= 4. 
 
Resolução: 
𝑛!
(𝑛 − 1)!
= 4 →
𝑛 ∙ (𝑛 − 1)!
(𝑛 − 1)!
= 4 → 𝑛 = 4 
 
 
MATEMÁTICA III 9 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
Ex.5: Calcule 𝑛 tal que 
𝑛!
(𝑛−2)!
= 42. 
𝑛!
(𝑛 − 2)!
= 42 →
𝑛 ∙ (𝑛 − 1)(𝑛 − 2)!
(𝑛 − 2)!
= 42 
 
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) = 42 → 𝑛2 − 𝑛 − 42 = 0 
 
resolvendo a equação do 2º grau, 
encontramos 𝑛1 = 7 e 𝑛2 = −6. Como 
fatorial só é definido para números naturais, 
então 𝑛 = 7. 
 
 
 
17) Simplificar as frações: 
a) 
10!
9!
 
 
 
 
 
 
b) 
8!
10!
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
10!∙4!
8!∙6!
 
 
 
 
 
 
d) 
𝑛!
(𝑛−2)!
 
 
 
 
 
 
e) 
(𝑛−3)!
(𝑛−1)!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Resolver a equação: 
(𝑛 + 1)!
(𝑛 − 1)!
= 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 152 – Exercícios 17 a 22 
 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
AGRUPAMENTOS 
 
 O Princípio Fundamental da 
Contagem (PFC) é a principal técnica para 
resolução de problemas de contagem, 
muitas vezes porém, se utilizarmos apenas 
o PFC a resolução desses problemas pode 
se tornar trabalhosa. 
 
 Em nosso cotidiano, formamos 
agrupamentos em várias situações. Por 
exemplo ao escolher colegas para um 
trabalho escolar em grupo, formamos 
agrupamentos de pessoas. Ao discutir 
sobre os possíveis quatro primeiros 
colocados do Campeonato Brasileiro de 
Futebol, formamos agrupamentos de 
clubes de futebol etc. 
 
A análise combinatória identifica dois 
tipos básicos de agrupamentos: os arranjos 
e as combinações. 
 
Os arranjos são agrupamentos em 
que se considera a ordem dos 
elementos; qualquer mudança da ordem 
dos elementos altera o agrupamento. Por 
exemplo, ao formar números naturais de 
três algarismos distintos escolhidos dentre 
os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos 
arranjando esses cinco algarismos três a 
três. Esses números são chamados de 
arranjos de algarismos porque, mudando a 
ordem dos algarismos em um desses 
números, obtemos outro número, por 
exemplo: 
 
246 ≠ 462 
 
Já as combinações são 
agrupamentos em que não se considera a 
ordem dos elementos; portanto, 
mudanças na ordem dos elementos não 
alteram o agrupamento. Um pintor ao 
produzir uma mistura com duas cores 
primárias distintas escolhidas entre 
vermelho, azul e amarelo, estará 
combinando essas três cores tomadas duas 
a duas. Esses agrupamentos são 
chamados de combinações porque a ordem 
com que são misturadas as duas cores 
primárias não altera a mistura: 
 
VERMELHO + AZUL = AZUL + VERMELHO 
 
Nas próximas sessões desta apostila 
estudaremos estes tipos de agrupamentos 
e peculiaridades em cada caso. 
 
ARRANJOS 
 
 
Cinco amigos: André, Beto, Carlos, Daniel e 
Edio disputam uma corrida. Os dois 
primeiros serão premiados. De quantas 
formas diferentes podemos entregar estes 
prêmios? 
 
Resolução: 
 
 Na tabela abaixo, indicamos uma 
representação de todas as possibilidades: 
 
(André, Beto) (Carlos, Daniel)
(André, Carlos) (Carlos, Edio) 
(André, Daniel) (Daniel, André) 
(André, Edio) (Daniel, Beto) 
(Beto, André) (Daniel, Carlos) 
(Beto, Carlos) (Daniel, Edio) 
(Beto, Daniel) (Edio, André) 
(Beto, Edio) (Edio, Beto) 
(Carlos, André) (Edio, Carlos) 
(Carlos, Beto) (Edio, Daniel) 
 
 Observe que cada possibilidade 
representada na tabela corresponde a um 
agrupamento ordenado que duas pessoas 
escolhidas entre os cinco amigos. 
 
Note, por exemplo, que o par 
ordenado (André, Beto) é diferente do par 
ordenado (Beto, André) pois na primeira 
situação André é vencedor e Beto vice 
MATEMÁTICA III 11 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
enquanto na segunda situação Beto é o 
vencedor e André fica em segundo lugar. 
 
Dizemos que cada resultado da 
corrida corresponde a um arranjo de 5 
elementos (amigos) tomados dois a dois 
(isto é, escolhidos dois entre os cinco para 
formar o agrupamento ordenado). 
 
Vamos, por meio do PFC, contar o 
número total de arranjos possíveis e 
indicaremos por A5,2 (Lemos: arranjo de 5 
elementos tomados dois a dois) 
 
1) Para ocupar a primeira posição há cinco 
possibilidades; e 
2) definido o primeiro lugar, sobram 4 opções para 
preencherem a segunda posição. 
 
 Assim: 
1ª posição 2ª posição 
5 x 4 = 20 
 
Então, 
𝐴5,2 = 5 ∙ 4 = 20 
______________________ 
 
 Assim, definimos por arranjo de n 
elementos tomados p a p como qualquer 
agrupamento ordenado de p elementos 
escolhidos entre os n existentes. 
 
Fórmula do Arranjo 
 
Dados n elementos distintos, vamos 
indicar por An,p o número de arranjos 
desses elementos tomados p a p. 
Vamos usar o PFC. 
 
 O primeiro elemento da sequência pode 
ser escolhido de 𝑛 formas possíveis. 
 
 O segundo elemento da sequência pode 
ser escolhido de 𝑛 – 1 maneiras distintas, 
 
 
1Como 𝑛 − (𝑝 − 1) = 𝑛 − 𝑝 + 1 então optaremos por 
esta segunda notação. 
pois já fizemos a escolha anterior e não 
há repetição de elementos. 
 
 feitas as duas primeiras escolhas, há 
𝑛 – 2 maneiras diferentes de escolher o 
terceiro elemento da sequência, pois 
não pode haver repetição. 
 
⋮ 
 
 para escolher o p-ésimo elemento, a 
partir de 𝑝 – 1 escolhas anteriores , 
sobram 𝑛 – (𝑝 – 1) opções1. 
 
Assim, pelo PFC, a quantidade de 
arranjos possíveis (indicadas por An,p) é: 
 
𝐴𝑛,𝑝 = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ (𝑛 − 2) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) 
 
 
 Para obter uma expressão 
equivalente a esta acima usando o fatorial, 
vamos multiplica-la e dividi-la por um 
mesmo número (𝑛 − 𝑝)! 
 
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) ∙ (𝑛 − 𝑝)!
(𝑛 − 𝑝)!
= 
=
𝑛 ∙ (𝑛 − 1) ∙ ⋯ ∙ (𝑛 − 𝑝 + 1) ∙ (𝑛 − 𝑝) ∙ (𝑛 − 𝑝 − 1) ∙ ⋯ ∙ 1
(𝑛 − 𝑝)!
 
 Assim: 
 
Ex.1: Aline, 
Bárbara, Camila, 
Daniela e Eduarda 
praticam natação. 
As cinco amigas resolvem disputar uma 
corrida na piscina. De quantas formas 
diferentes pode ser preenchido um pódio de 
3 lugares? 
𝑨𝒏,𝒑 = 
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)!
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Resolução 1: 
Aplicando o PFC, montamos o seguinte 
esquema: 
 
1ª pos. 2ª pos 3ª pos 
5 x 4 x 3 = 60 
 
Resolução 2: 
Aplicando o conceito de Arranjo: 
𝐴𝑛,𝑝 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑝)!
 
𝐴5,3 =
5!
(5 − 3)!
=
5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2!
2!
= 60 
 
 Logo são 60 possibilidades diferentes de 
se compor o pódio. 
 
 
Ex.2: De quantas formas diferentes é 
possível organizar 6 passageiros num 
ônibus de 48 lugares? 
 
Resolução: 
𝐴48,6 =
48!
(48 − 6)!
=
48!
42!
 
 
Resposta: 
48!
42!
 
(ou, efetuando a operação, 8.835.488.640 de formas diferentes.) 
 
 
Ex.3: Em uma urna de sorteio de prêmios 
existem dez bolas enumeradas de 0 a 9. 
Determine o número de possibilidades 
existentes num sorteio cujo prêmio é 
formado por uma sequência de 6 
algarismos. 
 
Resolução 1: 
𝐴10,6 =
10!
(10 − 6)!
=
10!
4!
= 151.200 
 
Resolução 2: 
 
10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 151200 
 
Logo, são 151 200 possibilidades 
diferentes.
Ex.3: Uma família é composta por seis 
pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que 
nasceram em meses diferentes do ano. 
Calcule as sequências dos possíveis meses 
de nascimento dos membros dessa família. 
 
Resolução: Sabemos que 1 ano é composto 
de 12 meses, então devemos determinar o 
número de sequência através do arranjo de 
12, tomados 6 a 6. 
 
𝐴12,6 =
12!
(12 − 6)!
= 665.280 
 
 
 
19) Para ocupar os cargos de Presidente e 
vice-presidente do Grêmio de um colégio, 
candidataram-se dez alunos. De quantos 
modos distintos pode ser feita essa 
escolha? 
 
 
MATEMÁTICA III 13 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
20) A senha de acesso a uma rede de 
computadores é formada por uma 
sequência de quatro letras distintas seguida 
por dois algarismos distintos: (considere as 
26 letras do alfabeto) 
a) quantas são as possíveis senhas de 
acesso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) quantas senhas apresentam 
simultaneamente apenas consoantes e 
algarismos maiores que 5? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Calcule 
a) A7,3 
 
 
 
b) A11,2 
 
 
 
c) A5,1 
 
 
 
d) A5,5 
 
 
22) Em uma pesquisa encomendada por 
uma operadora turística com o objetivo de 
descobrir os destinos nacionais mais 
cobiçados pelos brasileiros, o entrevistado 
deve escolher, em ordem de preferência, 
três destinos entre os dez apresentados 
pelo entrevistador. Um dos destinos 
apresentados é a cidade de Ouro Preto. 
a) quantas respostas diferentes podem ser 
obtidas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantas respostas possíveis apresentam 
a cidade de Ouro Preto como a preferida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quantas respostas possíveis não contém 
Ouro Preto entre os destinos mencionados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
23) Responda 
a) Quantos números de três algarismos 
distintos podem ser formados dispondo-se 
dos algarismos de 1 a 9? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantos números de 3 algarismos 
podem ser Dispondo-se dos algarismos de 
1 a 9? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quantos números de 3 algarismos 
podem ser formados dispondo-se dos 
algarismos de 1 a 9 em que há a repetição 
de ao menos um algarismo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) Para eleição do corpo dirigente de uma 
empresa, oito pessoas são pré-
selecionadas. de quantas maneiras 
distintas poderão ser escolhidos presidente, 
vice-presidente e diretor financeiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) A primeira fase de um torneio de futebol 
é disputada por 15 equipes no sistema de 
turno e returno ( a equipe A, por exemplo, 
joga com a equipe B duas vezes: uma em 
seu campo e outra do campo adversário) 
quantas partidas são disputadas ao todo? 
 
MATEMÁTICA III 15 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
26) Resolva a equação An,2 = 110 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27) Em um torneio 
internacional de natação 
participaram cinco atletas 
europeus, dois americanos 
e um brasileiro. 
 
a) De quantos modos distintos poderão ser 
distribuídas as medalhas de ouro, prata e 
bronze? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Em quantos resultados só aparecem 
atletas europeus nas três primeiras 
posições? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Em quantos resultados o atleta brasileiro 
recebe medalha? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Supondo que o atleta brasileiro não 
recebeu medalha, determine o número de 
resultados em que há mais atletas europeus 
do que americanos no pódio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL
16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
28) O logotipo de uma empresa é 
representado pelos três círculos a seguir 
 
 
 
ainda não foram escolhidas as cores que 
serão usadas para colorir cada círculo. o 
departamento de marketing sugeriu o uso 
de azul, laranja, verde, branco, Vermelho 
ou gelo. sabendo que cada círculo será 
pintado de uma cor diferente, determine: 
a) o número de maneiras de colorir o 
logotipo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) o número de maneiras de colorir o 
logotipo incluindo obrigatoriamente a cor 
laranja. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) Seis amigos 
participam de uma 
brincadeira de 
futebol que consiste 
na cobrança de 
pênaltis. Cada um 
escolhe, de todas as 
formas possíveis, um colega para bater o 
pênalti e outro para tentar defendê-lo. 
 
a) Quantas cobranças de pênalti são feitas 
nessa brincadeira? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantas cobranças haveria se o grupo 
resolvesse convidar um sétimo amigo para 
que ele escolhesse, de todas as formas 
possíveis, o cobrador e o defensor dos 
pênaltis? 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 17 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
PERMUTAÇÕES 
Na análise combinatória, as 
permutações dos elementos de uma 
sequência são um tipo particular de arranjo, 
como mostra a situação abaixo. 
 
Ao formar os números naturais de 
três algarismos distintos com os algarismos 
2, 5 e 8, estamos formando os arranjos 
simples desses três algarismos tomados 
três a três. Observe: 
 
 258 285 
 528 582 
 825 852 
 
 Dois quaisquer desses arranjos se 
diferenciam apenas pela ordem dos 
elementos componentes, e não pela 
natureza dos elementos, já que todos esses 
arranjos possui os mesmos elementos: 2, 5 
e 8. por isso dizemos que cada um desses 
arranjos é uma permutação simples dos 
algarismos 2, 5 e 8. 
 
Fórmula da Permutação 
 
 Conforme consta na definição do 
quadro acima, a permutação de n 
elementos de um conjunto é o arranjo dos n 
elementos tomados n a n. Assim: 
 
𝑃𝑛 = 𝐴𝑛,𝑛 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑛)!
=
𝑛!
0!
=
𝑛!
1
= 𝑛! 
 
 Assim: 
 
 
 
Ex.1: Oito carros participam de uma corrida. 
De quantas formas diferentes eles podem 
chegar ao final? 
 
Resolução: 
 
𝑃8 = 8! = 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 40320 
 
Ex.2: Dez CDs diferentes sendo 
seis de música clássica e quatro de 
música popular devem ser 
colocados lado a lado no porta 
CDs. 
De quantas formas diferentes estes 
discos podem ser dispostos de modo que os de 
música clássica fiquem juntos e os de música 
popular também fiquem juntos? 
 
Resolução: Como os CDs de mesmo estilo 
devem ficar juntos, temos duas opções: 
Primeira Opção: 
Música Clássica M. Popular 
 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 
 
Pelo princípio multiplicativo: 
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6! ∙ 4! 
(ou 𝑃6 ∙ 𝑃4) 
Segunda Opção 
M. Popular Música Clássica 
 
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 
4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 
 
Pelo princípio multiplicativo: 
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 4! ∙ 6! 
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6! ∙ 4! 
(ou 𝑃4 ∙ 𝑃6) 
 
Para sabermos o total de possibilidades, 
somamos os resultados 
6! ∙ 4! + 6! ∙ 4! = 17280 + 17280 = 34 560 
 
R: Os CDs podem ser guardados de 34 560 
maneiras diferentes. 
Dados os elementos distintos do 
conjunto K = {a1, a2, a3, ..., an}, 
chama-se permutação simples 
dos n elementos de K todo arranjo 
simples desses n elementos 
tomados n a n. 
𝑷𝒏 = 𝒏! 
 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Ex.2: Considerando a palavra NUMEROS: 
 
a) Quantos anagramas podemos formar? 
 
b) Quantos anagramas começam por N? 
 
c) Quantos anagramas começam por N e 
terminam com S? 
 
d) Quantos anagramas começam com uma 
vogal? 
 
e) Quantos anagramas terminam com uma 
consoante? 
 
f) Quantos anagramas começam por uma 
vogal e terminam com uma consoante? 
 
g) Quantos anagramas apresentam as 
letras N, U e M juntas e nesta ordem? 
 
h) Quantos anagramas apresentam as 
letras N, U e M juntas em qualquer ordem? 
 
Resolução 
 
a) 
Os anagramas da palavra NUMEROS são 
a própria palavra ou qualquer outro 
agrupamento que se obtém trocando a 
ordem de suas letras como por exemplo: 
ERMNUSO. Assim, o número de 
anagramas da palavra NUMEROS é o 
número total de permutações simples de 
sete letras distintas, isto é: 
𝑃7 = 7! = 5040 
R: 5040 anagramas 
 
b) 
Para encontrar a quantidade de anagramas 
começados pela letra N, fixamos esta letra 
e fazemos as permutações de todas as 
demais. 
N 
 
 
𝑃6 = 6! = 720 
 
R: 720 anagramas 
c) 
Para encontrar a quantidade de anagramas 
começados pela letra N e terminados em S, 
fixamos estas letras e fazemos as 
permutações de todas as demais. 
N S 
 
 
𝑃5 = 5! = 120 
 
R: 120 anagramas 
 
 
 
d) 
Neste caso, existem três possibilidades 
para a primeira posição: E, O ou U. Para 
cada vogal fixada na primeira posição, 
sobram seis letras para permutar. 
 
. 
 
 
 
 
 
3 ∙ 𝑃6 = 3 ∙ 720 = 2160 
 
R: 2160 anagramas 
 
 
 
e) 
Neste caso, existem quatro possibilidades 
para a última posição: M. N. R ou S. Para 
cada consoante fixada na última posição, 
sobram seis letras para permutar. 
 
. 
 
 
 
 
 
𝑃6 ∙ 4 = 720 ∙ 4 = 2880 
 
R: 2160 anagramas 
 
 
3 𝑃6 
 
4 𝑃6 
 
MATEMÁTICA III 19 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
f) 
Agora, existem três possibilidades de 
preenchimento da primeira posição, quatro 
possibilidades para a última posição e 
sobram cinco letras para as outras cinco 
posições: 
 
. 
 
 
 
 
 
3 ∙ 𝑃5 ∙ 4 = 3 ∙ 120 ∙ 4 = 1440 
 
R: 1440 anagramas 
 
 
 
g) 
Já que as letras N, U e M devem aparecer 
juntas e nesta ordem, vamos “transformá-
las” num único bloco. 
N U M E R O S 
 
Assim, podemos responder a questão 
encontrando a quantidade de permutações 
de 5 elementos: NUM, E, R, O e S. 
 
𝑃5 = 5! = 120 
 
R: 120 anagramas 
 
 
 
h) 
Tomando como base o item anterior, 
devemos considerar que para cada uma 
das 120 permutação em que as letras N, U 
e M aparecem juntas, existem 𝑃3 diferentes 
então fazemos: 
𝑃5 ∙ 𝑃3 = 120 ∙ 6 = 720 
 
 
R: 120 anagramas 
 
 
 
 
 
 
30) Determine o número de anagramas 
formados a partir de: 
a) LUA 
 
 
 
 
 
b) GATO 
 
 
 
 
 
c) ESCOLA 
 
 
 
 
 
 
d) REPÚBLICA 
 
 
 
 
 
 
 
e) FESTA 
 
 
 
 
 
 
f) PERNAMBUCO 
4 𝑃5 
 
3 
 
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
31) Um dado foi lançado quatro vezes 
sucessivamente e as Faces obtidas foram 
2, 3, 5 e 6, não necessariamente nesta 
ordem. De quantas formas distintas pode 
ter ocorrido a sequência de resultados? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32) Calcule: 
a) 𝑃5 
 
 
 
 
 
b) 𝑃7 
 
 
 
 
 
c) 𝑃3 + 𝑃2 
 
 
 
 
 
 
d) 
𝑃8
𝑃10
 
 
 
 
 
 
 
 
33) Considere os anagramas formados a 
partir da palavra CONQUISTA: 
a) Quantos são? 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantos começam por vogal? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quantos começam e terminam por 
consoante? 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Quantos tem as letras CON juntas e 
nessa ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
e) Quantos apresentam a letra C antes da 
letra A? 
MATEMÁTICA III 21 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
34) Uma vez por ano, Dona Fátima, que 
mora no Recife, visita parentes em Caruaru, 
João Pessoa, Petrolina, Maceió e 
Garanhuns. 
a) De quantas formas distintas ela pode 
escolher a sequência de cidades a visitar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) De quantos modos diferentes a ordem 
das cidades pode ser
definida se Dona 
Fátima pretende encerrar as visitas em 
Petrolina? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35) Uma estante tem dez livros distintos 
sendo cinco de álgebra, três de geometria e 
dois de trigonometria. De quantos modos 
podemos arrumar esses livros na estante se 
desejamos que os livros de mesmo assunto 
permaneçam juntos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36) De quantos modos distintos seis 
homens e seis mulheres podem ser 
colocados em fila indiana: 
a) em qualquer ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
b) iniciando com homem e terminando com 
mulher? 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) se os homens devem aparecer juntos e o 
mesmo ocorrendo com as mulheres? 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) de modo que apareçam, do início para o 
final da fila, dois homens, duas mulheres, 
três homens, três mulheres, um homem e 
uma mulher? 
 
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
37) Em quantos anagramas da palavra 
QUEIJO as vogais não aparecem juntas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38) Dona Lola tem três filhos: Pedro, Paulo 
e Pérsio. Os três casaram-se e tem, 
respectivamente, 1, 3 e 2 filhos. um 
domingo e dona Lolla recebeu para o 
almoço seus três filhos acompanhados das 
respectivas esposas além de todos os 
netos. Como recordação ela fotografou 
todos os familiares, lado a lado, mas pediu 
que cada filho aparecesse Junto de sua 
família. De quantas formas distintas a foto 
poderia ter sido feita? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39) Resolva as seguintes equações 
a) 𝑃𝑛 = 24 
 
 
 
 
 
b) 
𝑃𝑛
𝑃(𝑛−2)
= 506 
 
 
 
 
 
 
40) Permutando se as letras T, R, A, P, O 
e S, são formados 720 anagramas. Esses 
anagramas são colocados em ordem 
alfabética. Qual a posição correspondente 
a PRATOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41) Considerando os anagramas da palavra 
BRASIL, responda: 
a) quantos começam por B? 
 
 
 
 
b) quantos começam por B e terminam por 
L? 
 
 
 
 
c) quantos começam por B ou terminam por 
L? 
 
 
 
 
d) quantos começam por K? 
 
 
 
MATEMÁTICA III 23 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
42) Formados e dispostos em ordem 
crescente todos os números que se obtém 
permutando se os algarismos 1, 2, 4, 6 e 8, 
qual a posição ocupada pelo número 68 
412? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 166 – Exercícios 8 a 12 
PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS 
REPETIDOS 
 
Em vários cálculos combinatórios, 
temos que calcular o número de 
permutações de n elementos, nem todos 
distintos. 
 
Consideremos n o número de 
elementos entre os quais o elemento a1 
aparece n1 vezes, o elemento a2 aparece n2 
vezes ... o elemento ak aparece nk vezes: 
 
𝑎1, 𝑎1, . . . , 𝑎1⏟ 
𝑛1 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎1
𝑎2, 𝑎2, . . . , 𝑎2,⏟ 
𝑛2 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎2
. . . , 𝑎𝑘, 𝑎𝑘, . . . , 𝑎𝑘⏟ 
𝑛𝑘 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑎 𝑎𝑘
⏞ 
𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
 
 
Sendo a1, a2, ... , ak distintos entre si 
e n1 + n2 + ... nk = n. 
 O número de permutações desses n 
elementos será dada por: 
𝑃𝑛
(𝑛1,𝑛2,…,𝑛𝑘) =
𝑛!
𝑛1! ∙ 𝑛2! ∙ … ∙ 𝑛𝑘!
 
 
Para entender esse tipo de cálculo, 
convém analisar os exemplos a seguir. 
 
 
Ex.1: Quantos são os anagramas da 
palavra CASA? 
 
Resolução 
 Já estudamos que, se a palavra em 
questão fosse formada por letras distintas, 
faríamos 4! = 24 permutações. Para 
encontrar a quantidade correta de 
anagramas distintos da palavra CASA, 
vamos, em princípio, considerar as letras A 
como distintas utilizando cores para 
diferenciá-las 
CASA ACSA SCAA ACAS 
CAAS ACAS SCAA ACSA 
CSAA ASCA SACA AACS 
CSAA ASAC SAAC AASC 
CAAS AACS SACA ASCA 
CASA AASC SAAC ASAC 
 
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Agora, vamos agrupar os anagramas 
iguais desconsiderando a diferenciação de 
cores: 
CASA CASA SCAA SCAA 
CAAS CAAS SACA SACA 
CSAA CSAA SAAC SAAC 
ASAC ASAC AACS AACS 
ASCA ASCA AASC AASC 
ACAS ACAS ACSA ACSA 
 
 
 É possível observar que, para cada 
anagrama que apresenta o A antes do A, 
existe um correspondente com essas letras 
em posição (de cores) inversa. 
 
Neste caso, para encontrar a 
quantidade de anagramas da palavra 
CASA, devemos calcular todos os 
anagramas considerando as todas as letras 
como distintas e, em seguida, “eliminar” as 
repetições. Para tal, dividimos a quantidade 
de permutações considerando todas as 
letras distintas pelas permutações das 
letras que se repetem, ou, em linguagem 
matemática: 
 
CASA 
4!
2!
=
4 ∙ 3 ∙ 2!
2!
= 12 
 
Assim, concluímos que a palavra CASA tem 
12 anagramas. 
 
Ex.2: Quantos são os anagramas da 
palavra PALAVRA? 
Total de letras: 7 
Repetições: A → 3 vezes 
 
PALAVRA 
7!
3!
=
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
3!
= 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840 
 
Assim, concluímos que a palavra PALAVRA 
tem 840 anagramas. 
 
Ex.3: Quantos são os anagramas da 
palavra ITATIAIA? 
 
Total de letras: 8 
Repetições: I → 3 vezes 
 T → 2 vezes 
 A → 3 vezes 
 
ITATIAIA 
8!
3! ∙ 2! ∙ 3!
=
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 3!
= ⋯ = 560 
 
Assim, concluímos que a palavra ITATIAIA 
tem 560 anagramas. 
 
 
Ex.4: Quantos são os anagramas da 
palavra PANTANAL? 
 
Total de letras: 8 
Repetições: A→ 3 vezes 
 N → 2 vezes 
 
PANTANAL 
8!
3! ∙ 2!
=
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
3! ∙ 2 ∙ 1
= ⋯ = 3360 
 
 
Assim, concluímos que a palavra 
PANTANAL tem 3360 anagramas. 
 
 
Ex.5: De quantas formas diferentes 
podemos permutar os elementos de um 
conjunto formado por 3 letras A e 10 letras 
B {A, A, A, B, B, B, B, B, B, B, B, B, B}? 
 
Total de letras: 13 
Repetições: A→ 3 vezes 
 B → 10 vezes 
 
13!
3! ∙ 10!
=
13 ∙ 12 ∙ 11 ∙ 10!
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 10!
= ⋯ = 286 
 
MATEMÁTICA III 25 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
Ex.6: A figura abaixo representa quarteirões 
de uma cidade (as partes em cinza são as 
ruas) e dois pontos: A e B. 
 
 
Andando sempre para norte ou para leste, 
de quantas formas diferentes é possível 
seguir saindo de A até chegar em B? 
 
 
Resolução: 
Para se deslocar de A para B, deve-se 
seguir 3 quarteirões para Norte e 5 para 
Leste. As figuras abaixo mostram dois 
possíveis caminhos: 
 
 
Indicando por L os deslocamentos a Leste 
e por N os deslocamentos ao Norte, o nosso 
trabalho será permutar os elementos do 
conjunto {L, L, L, L, L, N, N, N}: 
 
 
Total de elementos: 8 
Repetições: L→ 5 vezes 
 N → 3 vezes 
 
8!
3! ∙ 5!
=
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 5!
= ⋯ = 56 
 
 
Logo, Existem 56 maneiras 
diferentes de ir de A até B nesta situação. 
 
43) Quantos são os anagramas da palavra 
MATEMATICA? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44) Em uma prova composta de 20 
questões envolvendo V ou F, de quantas 
maneiras distintas teremos doze respostas 
V e oito respostas F? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45) Quantos números de 6 algarismos 
podemos escrever utilizando os algarismos 
2, 2, 3, 3, 3 e 4? 
 
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
46) Dos números distintos que são 
formados com todos os algarismos do 
número 333669, quantos desses são 
ímpares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47) Quantas são as soluções da equação: 
x + y + z = 15, 
formadas, exclusivamente, por números 
naturais: 
48) Pedro tem 9 bolinhas de gude, todas 
iguais, e deseja acondicioná-las em 4 
gavetas numeradas de 1 a 4. Sabendo que 
as gavetas podem conter até nove bolinhas 
de gude cada uma, de quantas formas 
diferentes Pedro pode guardar
as 9 
bolinhas de gude nas quatro gavetas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49) Vô Pedro tem 10 moedas de R$1,00 e 
quer distribuí-las entre seus 4 netos. De 
quantas maneiras diferentes ele pode fazer 
essa divisão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 27 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
50) Um casal de 5 filhos sendo 3 meninas e 
2 meninos. De quantas formas diferentes 
pode ter ocorrido a ordem de nascimentos 
das crianças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51) Sobre a palavra PIRATARIA: 
a) Quantos são os seus anagramas? 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantos deles começam por A? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Quantos começam por vogal? 
52) Com duas letras iguais a A e n letras 
iguais a B, podem ser formados 21 
anagramas. Qual o valor de n? 
 
 
 
 
 
 
 
 
53) Sobre a malha 
ao lado estão 
marcados os 
pontos A e B. De 
quantas formas 
diferentes você 
pode fazer uma linha contínua ligando o 
ponto A ao ponto B seguindo 
exclusivamente sobre as linhas da malha 
para a esquerda e para baixo? 
 
 
 
 
 
 
 
54) Em um plano cartesiano são marcados 
dois pontos: A(37, -11) e B(46, -16). De 
quantas formas diferentes você pode fazer 
uma linha contínua com traços horizontais 
para a direita e verticais para baixo, sobre a 
malha de unidades, de forma a ligar os dois 
pontos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
55) Seguindo apenas para cima e para a 
direita, de quantas formas diferentes é 
possível ir de A até C passando por B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
56) No mesmo esquema acima, de quantas 
formas é possível ir de A até C sem passar 
por B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 169 – Exercícios 13 a 16 
COMBINAÇÕES 
 
 Em todos os casos estudados até 
agora, a ordem dos elementos era relevante 
para diferenciar dois agrupamentos, porém 
existem situações em que a ordem com que 
os elementos são tomados, não diferencia 
dois agrupamentos. Para exemplificar, 
tomemos dois casos: Numa primeira 
situação, se tivermos que eleger dentre os 
alunos da sua sala dois colegas para serem 
representante e vice representante da 
turma junto à pedagogia, a ordem de 
escolha seria relevante. Porém, se tivermos 
que escolher agora, dois colegas para irem 
à pedagogia com a finalidade de tratar de 
um assunto de interesse da turma, neste 
caso não faria diferença a ordem com que 
os colegas fossem escolhidos. Situações 
como esta, em que a ordem de escolha não 
diferencia dois agrupamentos, são 
chamadas de combinação. 
 
 
Ex.: Todos os dias, chegar do treino, Vítor 
faz uma vitamina de três frutas dentre seis 
disponíveis (Abacate, Banana, Maçã, 
Mamão, Morango e Amora). Quantos tipos 
diferentes de vitamina ele pode fazer? 
 
Resolução: 
Sabemos que a ordem com que ele escolhe 
as frutas não vai diferenciar o resultado final 
da vitamina então calcularemos a 
quantidade de formas diferentes de 
selecionar as 3 frutas dentre as 6 
disponíveis e, em seguida, eliminaremos as 
repetições. 
 
Para calcular a quantidade de formas 
diferentes de selecionar as 3 frutas dentre 
as 6 disponíveis, faremos 𝐴6,3: 
 
𝐴6,3 =
6!
3!
=
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3!
3!
= 120 
 
MATEMÁTICA III 29 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
Uma das 120 formas de escolher essas três 
frutas é, por exemplo, Abacate, Mamão e 
Morango mas já sabemos que se forem 
escolhidas nesta ordem ou em outra, o 
resultado da vitamina será o mesmo. Então 
vamos contar todas as permutações 
possíveis em grupos de três frutas e 
eliminar essas repetições. 
 
Já vimos que para calcular a quantidade de 
permutações entre as três frutas, devemos 
fazer 𝑃3 e: 
𝑃3 = 3! = 6 
 
Agora, dividindo 120 (𝐴6,3) por 6 (𝑃3) 
encontramos a quantidade procurada: 
 
𝐶6,3 =
𝐴6,3
𝑃3
=
120
6
= 20 
 
Assim, Vitor pode fazer 20 tipos de 
vitaminas diferentes. 
 
Fórmula da Combinação 
 
 Como acabamos de ver no exemplo 
acima, para calcular a quantidade de 
combinações de n elementos tomados p a 
p, fazemos 
Cn,p =
An,p
Pp
=
n!
(n − p)!
∙
1
p!
=
n!
(n − p)! p!
 
 
 Essa é a “fórmula da combinação” 
(Lemos: Combinação de n elementos tomados p a 
p é igual a n fatorial sobre n menos p fatorial vezes 
p fatorial) 
 
Observação: É comum encontrarmos a 
representação (
𝑛
𝑝) para Cn,p. 
 
Ex.1: Dentre os 26 alunos de uma turma, 
pretende-se formar uma comissão de 3 
estudantes para representar a turma numa 
reunião junto ao setor pedagógico da 
escola. De quantas formas esta comissão 
pode ser formada? 
 
Resolução: 
 
Cn,p =
n!
(n − p)! p!
 
 
C26,3 =
26!
(26 − 3)! 3!
=
26 ∙ 25 ∙ 24 ∙ 23!
23! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
= 
 
=
26 ∙ 25 ∙ 24
3 ∙ 2
= 26 ∙ 25 ∙ 4 = 2600 
 
R: A comissão ode ser formada de 2600 
manieras diferentes. 
 
Ex.2: Em uma academia trabalham 7 
professores de musculação e 10 de 
ginástica aeróbica. Quantas equipes de 2 
professores de musculação e 2 de ginástica 
aeróbica podem ser formadas? 
 
Resolução: 
Primeira vamos escolher os professores de 
musculação: 
C7,2 =
7!
(7 − 2)! 2!
=
7 ∙ 6 ∙ 5!
5! ∙ 2 ∙ 1
= 21 
 
Agora vamos escolher os professores de 
ginástica aeróbica: 
C7,2 =
10!
(10 − 2)! 2!
=
10 ∙ 9 ∙ 8!
8! ∙ 2 ∙ 1
= 45 
 
A cada uma das 21 equipes de professores 
de musculação, podemos associar uma das 
45 equipes de professores de Ginástica 
Aeróbica. Então o resultado procurado é: 
21 ∙ 45 = 945 
 
R: 945 equipes
𝑪𝒏,𝒑 = 
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Ex.3: Sobre uma circunferência marcam-se 
oito pontos distintos. Quantos triângulos 
podem ser construídos com vértices em três 
desses pontos? 
Resolução: 
Observe a figura ao 
lado. Nela estão 
destacados oitos 
pontos e um 
triângulo. Podemos 
notar que a ordem 
com que os pontos 
tomados, desde 
que tomemos os mesmos pontos, não 
diferencia dois triângulos. Assim, para 
encontrar a quantidade de triângulos 
possíveis de serem formados, devemos 
fazer 𝐶8,3. 
𝐶8,3 =
8!
(8 − 3)! 3!
=
8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5! ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
= 56 
 
R: Podemos formar 56 triângulos diferentes. 
 
 
Ex.4: Uma locadora de automóveis têm à 
disposição de seus clientes uma frota de 16 
carros nacionais e quatro carros 
importados, todos distintos. De quantas 
formas uma empresa poderá alugar três 
carros de modo que pelo menos um carro 
nacional seja escolhido? 
 
Resolução: 
A forma de a empresa alugar 3 carros 
quaisquer é 𝐶20,3 
𝐶20,3 =
20!
17! ∙ 3!
= 1140 
A forma de a empresa alugar apenas carros 
importados 𝐶4,3 
𝐶4,3 =
4!
1! ∙ 3!
= 4 
 
Assim, fazendo 1140 − 4 temos a 
quantidade de formas de alugar ao menos 
um carro nacional. 
 
R: São 1136 formas de alugar ao menos um 
carro nacional.
 
57) De quantos modos distintos Eduardo 
pode escolher quatro entre as nove 
camisetas regata que possui para levar em 
uma viagem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58) Um curso de idiomas oferece turmas 
para iniciantes em inglês, espanhol, 
alemão, italiano e japonês. 
a) De quantas formas distintas um 
estudante pode matricular-se em três 
desses cursos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) De quantas formas distintas ele poderá 
matricular-se em três desses cursos, 
incluindo Obrigatoriamente o de inglês? 
MATEMÁTICA III 31 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
59) Calcule 
a) 𝐶11,3 
 
 
 
 
 
 
b) 𝐶9,6 
 
 
 
 
 
 
c) 𝐶6,3 
 
 
 
 
 
 
d) 𝐶17,7 − 𝐶17,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝐶5,3 + 𝐶5,4 + 𝐶5,3
60) Sobre uma circunferência marcam-se 
dez pontos. 
a) Qual o número de segmentos de reta que 
podemos traçar com extremidades em dois 
desses pontos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quantos triângulos podemos construir 
com vértices em três desses pontos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
61) Uma junta médica deverá ser formada 
por Quatro médicos e dois enfermeiros. de 
quantas maneiras ela poderá ser formada 
se estão disponíveis 10 médicos e 6 
enfermeiros? 
 
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Para as questões 62, 63 e 64, considere um 
baralho comum que possui 52 cartas sendo 
13 de cada naipe (ouros, paus, espadas e 
copas) e cada naipe contendo 13 cartas (ás, 
2, 3, …, 10, Valete, Dama e Rei) 
 
62) Sorteando se simultaneamente quatro 
cartas, determine: 
a) o número de maneiras distintas de 
ocorrer o resultado do sorteio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) De quantas formas distintas é possível 
escolher as quatro cartas de copas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63) Duas cartas são sorteadas de uma só 
vez de um baralho comum. Determine o 
número de maneiras possíveis de ocorrer 
um resultado formado por: 
a) um rei e uma dama. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Duas cartas de copas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Uma carta de copas e outra de ouros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64) De quantas maneiras distintas poderão 
ser sorteadas simultaneamente cinco cartas 
de um baralho de modo que o resultado do 
sorteio contenha: 
a) três cartas de paus e duas de espadas? 
 
 
 
 
 
 
 
b) o rei de ouros? 
 
 
 
 
 
 
 
c) exatamente dois valetes? 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 33 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
65) Para montar uma cesta de café da 
manhã estão disponíveis os seguintes itens: 
quatro tipos de pães, três tipos de queijo, 
três tipos de frutas, cinco sabores de geleia 
e quatro sabores de tortas doces. De 
quantos modos distintos a cesta poderá ser 
montada se um cliente pedir 2 tipos de 
pães, 1 tipo de queijo, 2 frutas, 2 sabores 
de geleia é 1 torta doce? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66) Resolva as seguintes equações: 
a) 𝐶𝑛,2 = 136 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝐶𝑛,2 + 𝐶𝑛+1,𝑛−1 = 25 
 
67) Marcam-se cinco pontos distintos sobre 
uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r, 
marcam-se mais quatro pontos distintos. 
Quantos triângulos podem ser formados 
com vértices em três quaisquer desses 
pontos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68) O vencedor de um concurso de redação 
de um colégio poderá, como prêmio, 
escolher cinco livros, entre 10 de Machado 
de Assis, 7 de Érico Veríssimo e 5 de 
Clarice Lispector. De quantos modos 
distintos o vencedor poderá fazer a escolha 
de modo que: 
a) sejam selecionados 2 de Machado de 
Assis, 2 de Érico Veríssimo e 1 de Clarice 
Lispector? 
 
 
 
 
 
 
 
b) nenhum livro escolhido seja de Machado 
de Assis? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) pelo menos quatro livros de Clarice 
Lispector sejam escolhidos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69) Em uma reunião havia 50 pessoas. 
Cada uma cumprimentou as outras com um 
aperto de mão. Quantas saudações foram 
dadas nessa reunião? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70) Um casal decidiu que a viagem de lua 
de mel seria feita pelo nordeste visitando 
exatamente 3 das nove capitais. 
a) De quantos modos distintos poderiam ser 
escolhidas as três capitais sem levar em 
consideração a ordem da visita? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se o casal pretende se conhecer 
obrigatoriamente Salvador, de quantos 
modos distintos poderia ser feita a escolha? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Se, por motivos logísticos, Fortaleza só 
pudesse ser visitada se São Luís também o 
fosse e vice-versa, determine de quantas 
maneiras a escolha poderá ser feita? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 35 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
72) Um Jornalista foi designado para cobrir 
uma reunião de ministros de estado. Ao 
chegar ao local da reunião, descobriu que 
havia terminado. Ao perguntar ao porteiro 
o número de ministros presentes, ele disse: 
“Ao saírem, todos os ministros se 
cumprimentaram mutuamente, no total de 
15 apertos de mão”. Com base nessa 
informação, qual foi o número de ministros 
presentes ao encontro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73) Segundo consta no site da CEF, “A 
Mega-Sena paga milhões para o acertador 
dos 6 números sorteados. Ainda é possível 
ganhar prêmios ao acertar 4 ou 5 números 
dentre os 60 disponíveis no volante de 
apostas. Para realizar o sonho de ser o 
próximo milionário, você deve marcar de 6 
a 15 números do volante, podendo deixar 
que o sistema escolha os números para 
você (Surpresinha) e/ou concorrer com a 
mesma aposta por 2, 4 ou 8 concursos 
consecutivos (Teimosinha)” (http://www.loterias. 
caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landing/megasena acesso 
em: 23/05/16). 
O volante da Mega-sena é composto de 60 
números sendo que destes, 6 são 
sorteados. Quantas são as combinações 
possíveis de números? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
74) Ainda segundo site da CEF, “A aposta 
mínima, de 6 números, custa R$ 3,50. 
Quanto mais números marcar, maior o 
preço da aposta e maiores as chances de 
faturar o prêmio mais cobiçado do país” 
(http://www.loterias.caixa.gov.br/wps/portal/loterias/landin
g/megasena acesso em: 23/05/16). Quanto uma 
pessoa gastaria para apostar em todas as 
combinações possíveis? Pesquise sobre o 
maior prêmio histórico pago pela Mega-
sena e compare a resposta desta questão. 
 
 
 
 
 
 
75) Como visto no texto, “[...] você deve 
marcar de 6 a 15 números do volante de 
apostas.” Marcando-se 6 números, você 
concorre com uma única combinação de 6 
prognósticos (isso é óbvio, não?). Com 
quantas combinações de 6 prognósticos 
você concorrer se marcar: 
a) 7 números? R: _______ 
b) 8 números? R: _______ 
c) 9 números? R: _______ 
d) 10 números? R: _______ 
e) 11 números? R: _______ 
f) 12 números? R: _______ 
g) 13 números? R: _______ 
h) 14 números? R: _______ 
i) 15 números? R: _______ 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
 Você se lembra, lá do Ensino 
fundamental, de como se desenvolve 
(𝑎 + 𝑏)2? 
 
Em binômio de Newton, estudamos o 
desenvolvimento desta potência e de todas 
as outras do tipo (𝑎 + 𝑏)𝑛 para valores de 
𝑛 ∈ ℕ. 
 
Veja os exemplos: 
 
 
(𝑎 + 𝑏)0 = 1 
(𝑎 + 𝑏)1 = 𝑎 + 𝑏 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 
⋮ 
 
 É possível notar que à medida que o 
expoente aumenta, o desenvolvimento de 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 torna-se mais complexo e as 
contas ficam mais trabalhosas. No entanto, 
por meio de técnicas de contagem e 
aplicações de propriedades dos binômios, é 
possível obter o desenvolvimento de 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 de forma rápida e eficiente. 
 
Coeficientes Binomiais 
 
 Dados dois números 𝑛 e 𝑝, com 
𝑛 ≥ 𝑝, definimos como coeficiente 
binomial de n sobre p, e indicamos por (
𝑛
𝑝) 
o número: 
 
 
 O número 𝑛 é dito numerador e o 
número 𝑝 é chamado de denominador de 
(
𝑛
𝑝). 
 
Veja os exemplos abaixo: 
 
 
Ex.1: (
6
4
) = 𝐶6,4 =
6!
(6−4)!∙4!
=
6∙5∙4!
2∙1∙4!
= 15 
 
Ex.2: (
10
7
) = 𝐶10,7 =
10!
3!∙7!
=
10∙9∙8∙7!
3∙2∙1∙7!
= 120 
 
_______________________ 
 
 
 
Casos particulares 
 
1º Caso: 𝑝 = 0 
 
(
𝑛
0
) = 1 ∀𝑛 ∈ ℕ 
 
2º Caso: 𝑝 = 1 
 
(
𝑛
0
) = 𝑛 ∀𝑛 ∈ ℕ 
 
3º Caso: 𝑝 = 𝑛 
 
(
𝑛
𝑛
) = 1 ∀𝑛 ∈ ℕ 
 
 Os coeficientes binomiais tem 
aplicação no estudo do desenvolvimento de
(𝑎 + 𝑏)𝑛 como veremos mais a frente. 
 
 
Binomiais complementares 
 
Dizemos que dois coeficientes binomiais de 
mesmo numerador são complementares 
quando a soma de seus denominadores é 
igual ao numerador, isto é: 
(
𝑛
𝑝) e (
𝑛
𝑞) são complementares 
se 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 
(
𝒏
𝒑) = 𝑪𝒏,𝒑 = 
𝒏!
(𝒏 − 𝒑)! 𝒑!
 
MATEMÁTICA III 37 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
 
(
8
6
) e (
8
2
) são complementares 
(
9
5
) 𝑒 (
9
4
) são complementares 
(
6
3
) 𝑒 (
6
3
) são complementares 
 
Propriedade dos binomiais 
complementares 
 
 Dois binomiais complementares são 
iguais 
 
 Para 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 tem-se (
𝑛
𝑝) = (
𝑛
𝑞) 
 
 
É possível demonstrar a assertiva 
acima, observe: 
 
Se 𝑝 + 𝑞 = 𝑛 então 𝑝 = 𝑛 − 𝑞 
 
Assim: 
 
(
𝑛
𝑝) = (
𝑛
𝑛 − 𝑞) =
𝑛!
[𝑛 − (𝑛 − 𝑞)]! ∙ (𝑛 − 𝑞)!
= 
 
=
𝑛!
(𝑛 − 𝑛 + 𝑞)! ∙ (𝑛 − 𝑞)!
=
𝑛!
𝑞! ∙ (𝑛 − 𝑞)!
= (
𝑛
𝑞) 
 
 
Daí, podemos concluir que: 
 
 (
𝑛
𝑝) = (
𝑛
𝑞) ⇔ (𝑝 = 𝑞 𝑜𝑢 𝑝 + 𝑞 = 𝑛) 
 
Sendo 𝑝, 𝑛 e 𝑞 números naturais e 𝑛 ≥ 𝑝 e 
𝑛 ≥ 𝑞. 
 
 
Ex.1: Determine x de modo que (
7
𝑥
) = (
7
4
). 
Resolução: Pela propriedade acima, 
𝑥 = 4 ou 𝑥 + 4 = 7 → 𝑥 = 3 
 
R: S = {3, 4 } 
 
76) Calcule: 
a) (
4
2
) 
 
 
 
 
 
b) (
9
6
) 
 
 
 
 
 
 
c) (
2
0
) + (
3
3
) 
 
 
 
 
 
 
d) 
(
6
3
)+(
8
4
)
(
5
2
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) (
𝑝
0
) + (
𝑝
1
) + (
𝑝
𝑝) sendo 𝑝 ∈ ℕ e 𝑝 ≥ 1 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
77) Resolva as seguintes equações: 
a) (
13
𝑥
) = (
13
8
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (
21
𝑥 + 5
) = (
21
−2𝑥 + 17
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (
11
𝑥2
) = (
11
2𝑥 + 3
) 
 
 
 
 
2 Também conhecido como Triângulo de Tartaglia 
Triangulo de Pascal2 
 
 Os coeficientes binomiais podem ser 
dispostos em uma tabela chamada de 
Triângulo de Pascal. Nela, os coeficientes 
de mesmo numerador agrupam-se em uma 
mesma linha e os coeficientes de mesmo 
denominador, agrupam-se em uma mesma 
coluna. 
 
L0 (
0
0
) 
L1 (
1
0
) (
1
1
) 
L2 (
2
0
) (
2
1
) (
2
2
) 
L3 (
3
0
) (
3
1
) (
3
2
) (
3
3
) 
L4 (
4
0
) (
4
1
) (
4
2
) (
4
3
) (
4
4
) 
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 
Lk (
𝑘
0
) (
𝑘
1
) (
𝑘
2
) (
𝑘
3
) (
𝑘
4
) ⋯ (
𝑘
𝑘
) 
 
Notemos que L0 significa “linha do 
numerador 0, L1 é a linha do numerador 1 e 
assim até linha k que é a linha de 
numerador k. 
 
 Calculando os valores dos 
coeficientes (pela fórmula da página 36 
desta apostila), obtemos outra 
representação do triângulo: 
 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 
 
Propriedades do Triângulo de Pascal 
P1: Toda linha começa e termina com 1 
 De fato, (
𝑘
0
) = 1 e (
𝑘
𝑘
) = 1 
MATEMÁTICA III 39 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
P2: Em uma mesma linha, os coeficientes 
binomiais equidistantes dos extremos são 
iguais. 
 
Por exemplo: 
Linha do 5 
 (
5
0
) (
5
1
) (
5
2
) (
5
3
) (
5
4
) (
5
5
) 
 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 
 1 5 10 10 5 1 
 
 
 
Linha do 6 
(
6
0
) (
6
1
) (
6
2
) (
6
3
) (
6
4
) (
6
5
) (
6
6
) 
∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ 
1 6 15 20 15 6 1 
 
 
 
 
 Note que os binomiais indicados (e 
também os extremos) são binomiais 
complementares e, como vimos na página 
37, são iguais. 
 
P3: Cada elemento (com exceção daqueles 
que estão na primeira e na última coluna de 
cada linha) é igual à soma de dois 
elementos da linha anterior, mais 
especificamente, do termo imediatamente 
acima e do termo a esquerda deste. 
 
Observe na tabela: 
1 
1 1 
1 2 1 
1 3 3 1 
1 4 6 4 1 
1 5 10 10 5 1 
1 6 15 20 15 6 1 1 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 
 
Note que: 1 + 1 = 2, 3 + 3 = 6 e 4 + 1 = 5. 
 
Verifique a propriedade em outros 
conjuntos de coeficientes binomiais. 
 
 Esta propriedade é conhecida como 
Relação de Stifel e pode ser generalizada 
como: 
 
Observe que o primeiro membro da 
igualdade apresenta um elemento genérico 
(da linha 𝑛 e coluna 𝑝) do triângulo. Já no 
segundo membro, representa a soma de 
elementos da linha imediatamente acima 
(linha 𝑛 − 1) e uma mesma coluna (𝑝) e a 
coluna da esquerda (𝑝 − 1). 
 
P4: A soma dos elementos da linha de 
denominador k é igual a 2𝑘 . 
 
 Soma 
1 1 
1 1 2 
1 2 1 4 
1 3 3 1 8 
1 4 6 4 1 16 
1 5 10 10 5 1 32 
1 6 15 20 15 6 1 64 
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 
 
 
Símbolo de Somatório –  
 
 Um símbolo muito importante na 
álgebra é o símbolo do somatório indicado 
pela forma maiúscula da letra grega Sigma 
–  . Este símbolo representa a soma de um 
certo número de parcelas com alguma 
característica em comum. 
 
 
Ex.1: Vamos calcular 
∑(𝑘 − 1)2
5
𝑘=0
 
 
(Lemos: Somatório de k menos 1 elevado 
ao quadrado com k variando de 0 até 5)
(
𝑛
𝑝) = (
𝑛 − 1
𝑝
) + (
𝑛 − 1
𝑝 − 1
), 𝑛 ≥ 𝑝 
 
CÁSSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Resolução: 
∑(𝑘 − 1)2
5
𝑘=0
 
A expressão nos indica que devemos somar 
sucessivas parcelas de termos do tipo 
(𝑘 − 1)2. Em cada parcela, o termo 𝑘 vai 
variar de forma que na primeira parcela 
teremos 𝑘 = 0, na segunda 𝑘 = 1 e assim 
até chegarmos em 𝑘 = 5. Assim, podemos 
escrever: 
∑(𝑘 − 1)2
5
𝑘=0
= (0 − 1)2 + (1 − 1)2 + 
+(2 − 1)2 + (3 − 1)2 + (4 − 1)2 + (5 − 1)2 = 
 
= (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 + 42 = 
= 1 + 0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 31 
 
Então, 
∑(𝑘 − 1)2
5
𝑘=0
 = 31 
 
 
Ex.2: Calcular 
∑(
5
𝑘
)
2
𝑘=0
 
Resolução: 
 
∑(
5
𝑘
)
4
𝑘=2
= (
5
2
) + (
5
3
) + (
5
4
) = 10 + 10 + 5 = 25 
 
 
R: 25 
 
 
78) Calcule as seguintes somas: 
a) ∑(3𝑖 + 1)
4
𝑖=1
 
 
 
 
 
 
b) ∑
2
𝑖 + 1
3
𝑖=0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ∑𝑥!
5
𝑥=0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) ∑(
4
𝑘
)
4
𝑘=0
 
 
MATEMÁTICA III 41 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
79) Qual o valor do somatório abaixo? 
∑(
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
)
10
𝑛=1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
80) Determine o valor de 𝑎 na expressão 
∑(2𝑖 + 𝑎)
4
𝑖=1
= 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvimento do Binômio 
 
 Observemos o desenvolvimento de 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 para alguns valores de 𝑛 
apresentados na página 36. 
 
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 
 São 3 termos 
 Os expoentes de 𝑎 decrescem de 2 
até 0 
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 2 
 Os coeficientes (1, 2, 1) são a linha do 
triângulo de Pascal relativa ao 
numerador 2 
 
 
 
(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 
 São 4 termos 
 Os expoentes de 𝑎 decrescem de 3 
até 0 
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 3 
 Os coeficientes (1, 3, 3, 1) são a linha 
do Triângulo de Pascal relativa ao 
numerador 3 
 
 
(𝑎 + 𝑏)4 = 𝑎4 + 4𝑎3𝑏 + 6𝑎2𝑏2 + 4𝑎𝑏3 + 𝑏4 
 São 5 termos 
 Os expoentes de 𝑎 decrescem de 4 
até 0 
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 4 
 Os coeficientes (1, 4, 6, 4, 1) são a 
linha do Triângulo de Pascal relativa 
ao numerador 4 
 
 
 
Generalizando, podemos afirmar sobre o 
desenvolvimento de (𝑎 + 𝑏)𝑛: 
 São n+1 termos 
 Os expoentes
de 𝑎 decrescem de 𝑛 
até 0 
 Os expoentes de 𝑏 crescem de 0 até 𝑛 
 Os coeficientes são a linha do 
Triângulo de Pascal relativa ao 
numerador 𝑛. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Teorema de Newton 
 Dando linguagem matemática à generalização anterior, podemos escrever que: 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (
𝑛
0
)𝑎𝑛𝑏0 + (
𝑛
1
) 𝑎𝑛−1𝑏𝑎 + (
𝑛
2
)𝑎𝑛−2𝑏2 +⋯+ (
𝑛
𝑛 − 1
)𝑎1𝑏𝑛−1 + (
𝑛
𝑛
)𝑎0𝑏𝑛 
 
Em que 𝑎 e 𝑏 são números reais e 𝑛 é número natural. 
 
 Utilizando o símbolo do somatório, podemos reduzir a expressão acima por: 
 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 =∑(
𝑛
𝑘
) 𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘
𝑛
𝑘=0
 
(Lemos: a mais b elevado a n é igual ao somatório do binomial de n sobre k vezes a elevado 
a n menos k vezes b elevado a k com k variando de zero até n) 
 
 
Ex.1: Desenvolver (𝑎2 + 3)4 usando o teorema de Newton. 
Resolução: 
(𝑎2 + 3)4 =∑(
4
𝑘
) (𝑎2)4−𝑘 ∙ 3𝑘
4
𝑘=0
= 
= (
4
0
) (𝑎2)4−0 ∙ 30 + (
4
1
) (𝑎2)4−1 ∙ 31 + (
4
2
) (𝑎2)4−2 ∙ 32 + (
4
3
) (𝑎2)4−3 ∙ 33 + (
4
4
) (𝑎2)4−4 ∙ 34 = 
 
= 1 ∙ (𝑎2)4 ∙ 1 + 4 ∙ (𝑎2)3 ∙ 3 + 6 ∙ (𝑎2)2 ∙ 9 + 4 ∙ (𝑎2)1 ∙ 27 + 1 ∙ (𝑎2)0 ∙ 81 = 
 
= 𝑎8 + 12𝑎6 + 54𝑎4 + 108𝑎2 ∙ 27 + 81 
 
 
 
 
Ex.2: Desenvolver (2𝑥 − 3)5 
Resolução: 
(2𝑥 − 3)3 =∑(
5
𝑘
) (2𝑥)5−𝑘 ∙ (−3)5
5
𝑘=0
= 
 
= (
5
0
) (2𝑥)5 ∙ 1 − (
5
1
) (2𝑥)4 ∙ 31 + (
5
2
) (2𝑥)5 ∙ 32 − (
5
3
) (2𝑥)2 ∙ 33 + (
5
4
) 2𝑥 ∙ 34 − (
5
5
) ∙ 1 ∙ 35 = 
 
= 1 ∙ (2𝑥)5 ∙ 1 − 5 ∙ (2𝑥)4 ∙ 31 + 10 ∙ (2𝑥)5 ∙ 32 − 10 ∙ (2𝑥)2 ∙ 33 + 5 ∙ 2𝑥 ∙ 34 − 1 ∙ 1 ∙ 35 = 
 
= 32𝑥5 − 240𝑥4 + 720𝑥3 − 1080𝑥2 + 810𝑥 − 243 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 43 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
 
81) Desenvolver: 
a) (1 + x2)3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (𝑥 − 3𝑦)5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (𝑥 −
1
𝑥
)
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Termo Geral do Binômio 
Muitas vezes, podemos estar 
interessados em encontrar apenas um 
termo específico do desenvolvimento do 
Binômio de Newton sem precisar escrever 
todos os termos. Para isto, é relevante que 
encontremos uma expressão que possa 
representar qualquer o do desenvolvimento 
de (𝑎 + 𝑏)𝑛 e, a partir dela, determinemos o 
termo procurado. 
 
Já vimos, na página 42 desta 
apostila, que 
 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = (
𝑛
0
) 𝑎𝑛𝑏0 +⋯+ (
𝑛
𝑛
) 𝑎0𝑏𝑛 
 
 O termo 𝑇𝑘+1 = (
𝑛
𝑘
)𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘 é 
chamado de termo geral do binômio pois 
para valores de 𝑘 (𝑘 = 1, 2, 3, 4 . . . , 𝑛) 
obtemos todos os termos do 
desenvolvimento. O índice 𝑘 + 1 determina 
a posição do termo quando ordenado em 
termos de ordem decrescente dos 
expoentes de 𝑎. 
 
 
Ex.1: Qual termo do desenvolvimento de 
(𝑥 +
1
√𝑥
)
16
 
 
apresenta o x com expoente 4? 
 
Resolução: 
(
16
𝑘
) ∙ 𝑥16−𝑘 ∙ (
1
√𝑥
)
𝑘
= (
16
𝑘
) ∙
𝑥16−𝑘
𝑥
𝑘
2
= 
= (
16
𝑘
) ∙ 𝑥16−
3𝑘
2 para 𝑘 = 0, 1, 2, . . . , 16. 
 
 
O expoente de x no desenvolvimento 
(16 −
3𝑘
2
) deve ser igual a 4 (pelo enunciado) 
então: 
 
16 −
3𝑘
2
= 4 → 𝑘 = 8 
Substituindo 𝑘 = 8 no termo geral 
encontrado: 
(
16
𝑘
) ∙ 𝑥16−
3𝑘
2 = (
16
8
) ∙ 𝑥4 = 12870𝑥4 
 
R: 12 870𝑥4 
 
 
Ex.2: Qual o termo independente de x no 
desenvolvimento de (
2
𝑥2
− 𝑥3)
10
? 
Resolução: 
(
10
𝑘
) ∙ (
2
𝑥2
)
10−𝑘
∙ (−𝑥3)𝑘 = 
= (
10
𝑘
) ∙ (−1)𝑘 ∙
210−𝑘
𝑥20−2𝑘
∙ 𝑥3𝑘 = 
= (
10
𝑘
) ∙ (−1)𝑘 ∙ 210−𝑘 ∙ 𝑥5𝑘−20 
 
Para que o termo seja independente de x, 
então o expoente de x deve ser igual a 
zero, assim: 
5𝑘 − 20 = 0 → 𝑘 = 4 
 
Substituindo k no termo encontrado: 
(
10
4
) ∙ (−1)4 ∙ 210−4 ∙ 𝑥5∙4−20 = ⋯ = 13440 
 
R: 13 440 
 
 
 
MATEMÁTICA III 45 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
 
82) No desenvolvimento de 
(
𝑥2
3
+ 𝑥)
12
 
 
determine o coeficiente de : 
a) 𝑥12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑥18 
 
 
 
 
 
 
 
 
83) no desenvolvimento de (𝑥2 − 1)10, 
determine: 
a) o terceiro termo 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) o termo central 
 
 
 
 
 
 
 
 
84) Determine, no desenvolvimento de 
(𝑥2 −
1
𝑥
)
11
 
 
a) O termo independente de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) o termo que contém 𝑥13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 175 – Exercícios 27 e 28 
 
CÁSSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
PROBABILIDADES 
 
Na página 35 desta apostila 
calculamos q quantidade total de 
combinações possíveis em um jogo de 
Mega-sena e também a quantidade de 
jogos de 6 prognósticos quando se marca 6, 
7, 8, ..., 15 números num único cartão. 
 
Agora, em probabilidades, 
utilizaremos estes resultados para, por 
exemplo, calcularmos as chances de 
ganhar na Mega-sena ou de outros eventos, 
em outras situações, acontecerem. 
 
Experimento aleatório 
 Quando lançamos um dado, quando 
escolhemos ao acaso uma carta de baralho 
ou quando retiramos uma bola numerada 
de uma urna, não podemos determinar de 
antemão qual objeto será sorteado. 
Experimentos como estes são chamados 
de experimento aleatório pois, repetidos 
em condições idênticas, podem apresentar 
resultados diferentes. Tal variabilidade 
deve-se ao acaso. 
 
Espaço amostral 
 Consideremos um evento aleatório. 
O conjunto de todos os resultados possíveis 
deste experimento é chamado de espaço 
amostral e é indicado pela letra grega 
ômega – . 
 
 
Ex.1: Ao lançar uma moeda e observar a 
face voltada pra cima, podemos encontrar: 
 
 = {cara, coroa} 
Assim, n() = 2 
 
Ex.2: Ao lançar um dado e observar a face 
voltada pra cima, podemos encontrar: 
 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Assim, n() = 7 
Evento 
 
 Qualquer subconjunto de  é um 
evento de . Veja os exemplos a seguir: 
 
 
Ex.: Os alunos de uma turma de formandos 
resolveram rifar uma cesta de café da 
manhã. A Rifa constava de 90 bilhetes 
numerados de 1 a 90. 
O Resultado da rifa é um 
experimento aleatório cujo espaço amostral 
é  = {1, 2, 3, 4, ..., 89, 90}. 
Se um professor resolver comprar 
todos os bilhetes cujos números são 
múltiplos de 9, o conjunto de resultados 
favoráveis ao professor é P = {9, 18, 27, 36, 
45, 54, 63, 72, 81, 90}. Se a mãe de um 
aluno resolve comprar os bilhetes formados 
por dois algarismos iguais, o conjunto de 
resultados favoráveis a ela é M = {11, 22, 
33, 44, 55, 66, 77, 88} 
Observe que os conjuntos P e M são 
subconjuntos de . então P e M são 
eventos de . A partir de agora, 
denominaremos o conjunto evento por E. 
_________________________ 
 
Observações: 
1) Se W = E então o evento é chamado de 
evento certo. 
2) Quando E = Ø, o evento é chamado de 
evento impossível. 
 
 
“Tirar” um número menor ou igual a 6 no 
lançamento de um dado é um evento certo. 
Tirar um número maior que 6 no 
lançamento de um dado, é um evento 
impossível. 
 
Evento Complementar 
 
 Consideremos um evento E relativo 
a um espaço amostral . Chamamos de 
evento complementar de E (indicamos por 
MATEMÁTICA III 47 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
EC) ao evento que ocorre quando E não 
ocorre. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Pelo digrama, note que: 
 
𝐸 ∩ 𝐸𝑐 = ∅ e 𝐸 ∪ 𝐸𝑐 = Ω 
 
 
 
Numa urna são colocadas 10 bolas 
numeradas de 1 a 10. Seja E o evento “ser 
sorteada uma bola com número múltiplo de 
3”, Determinar Ec. 
Resolução: 
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
E =
{3, 6, 9} 
 
Então Ec ={1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} e representa 
o evento “é sorteado um número que não é 
múltiplo de 3”. 
 
Note que 𝐸 ∪ 𝐸𝑐 = Ω. 
 
 
 
Probabilidade em espaços amostrais 
equiprováveis 
 
 Espaços amostrais equiprováveis 
são aqueles espaços em que a chance de 
qualquer evento ocorrer é igual a de todos 
os demais. Assim, ao lançar um dado 
honesto, qualquer uma das faces tem 
exatamente a mesma chance de ficar 
voltada para cima. O mesmo vale no 
lançamento de uma moeda honesta e na 
maioria das questões que vamos tratar de 
agora em diante. 
 
 A noção de probabilidade é intuitiva 
e definida por:
Dado um espaço amostral equiprovável Ω 
finito e não vazio, e 𝐸 um evento, a 
probabilidade de ocorrer algum elemento de 
𝐸, indicado por 𝑝(𝐸) é 
 
ou seja: 
 
𝑝(𝐸) =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 "𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠"
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 "𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠"
 
 
 
Ex.1: 
No lançamento de uma moeda, qual a 
probabilidade de se obter a face cara? 
Resolução: 
 Indicando por C e K as faces cara e 
coroa respectivamente, o espaço amostral 
deste experimento é Ω = {C, K} e 𝑛(Ω) = 2. 
O evento que esperamos ocorrer é 𝐸 = {𝐶}, 
em que 𝑛(𝐸) = 1. Logo: 
𝑝(𝐸) = 
1
2
 
 
R: A probabilidade procurada é de 
1
2
 ou 
50%. 
 
 
Ex.2: No lançamento de um dado, qual a 
probabilidade de se obter, na face voltada 
para cima, um número primo? 
 
Resolução: 
𝛺 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e 𝑛(𝛺) = 6 
𝐸 = {2, 3, 5} e 𝑛(𝐸) = 3 
 
𝑝(𝐸) =
3
6
= 
1
2
= 50% 
 
R: 50% 
 
 
Ex.3: No lançamento de duas moedas, qual 
a probabilidade de se obter, nas Faces 
voltadas para cima, pelo menos uma cara? 
𝑝(𝐸) =
𝑛(𝐸)
𝑛(Ω)
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Resolução: 
𝛺 = {(𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐾)} e 𝑛(𝛺) = 4 
𝐸 = {(𝐶, 𝐶), (𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐶)} e 𝑛(𝐸) = 3 
 
𝑝(𝐸) =
3
4
= 75% 
 
R: 75% 
 
 
Ex.4: No lançamento de dois dados, qual a 
probabilidade de se obter a soma dos 
pontos igual a 5? 
Resolução: 
Vamos construir o espaço amostral: 
𝛺 =
[
 
 
 
 
 
(1,1) (1, 2) (1, 3)
(2, 1) (2, 2) (2, 3)
(3, 1) (3, 2) (3, 3)
(1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3)
(5, 1) (5, 2) (5, 3)
(6, 1) (6, 2) (6, 3)
(4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 4) (6, 5) (6, 6)]
 
 
 
 
 
 
 
em que 𝑛(𝛺) = 36 
 
E o evento que esperamos ocorrer é: 
𝐸 = {(4, 1); (3, 2); (2, 3); (1, 4)} e 𝑛(𝐸) = 4 
 
Assim: 𝑝(𝐸) =
4
36
= 0,111… 
 
R: Aproximadamente 11,1% 
 
 
85) Um dado perfeito é lançado. Qual a 
probabilidade de que o número obtido ser 
múltiplo de 3? 
86) Todo ano, uma igreja promove um 
bazar beneficente para seus 
frequentadores. Se a escolha do mês é 
aleatória, qual a probabilidade de que esse 
bazar seja realizado em: 
a) fevereiro? 
 
 
 
 
 
b) agosto? 
 
 
 
 
 
c) no primeiro trimestre? 
 
 
 
 
d) no segundo semestre? 
 
 
 
 
 
87) Um professor quer sortear um CD entre 
seus alunos. Na sua turma, há 40 alunos e 
o número de rapazes excede o de moças 
em 12. Qual a probabilidade de que o CD 
seja sorteado para: 
a) uma moça? 
 
 
 
 
 
 
b) um rapaz? 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 49 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
88) Uma moeda é lançada três vezes 
sucessivamente. Qual a probabilidade de 
observarmos: 
 
 
 
 
 
 
 
a) duas caras e uma coroa? 
 
 
 
 
 
 
b) pelo menos duas caras? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89) Um dado é lançado duas vezes 
sucessivamente. Qual a probabilidade de: 
a) o primeiro número obtido ser maior que o 
segundo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) a soma dos pontos obtidos ser menor ou 
igual a 4? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) o produto dos números obtidos ser par? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) não obtermos, em nenhum lançamento, 
os números 1 e 6? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 50 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
90) Para testar a eficiência de uma 
campanha de anúncio do lançamento do 
novo sabão S, uma agência de propaganda 
realizou uma pesquisa com 2 mil pessoas. 
Por falha da equipe, a agência omitiu os 
dados dos campos X, Y, Z e W no seu 
relatório sobre a pesquisa, conforme mostra 
a tabela a seguir: 
Nº de 
pessoas 
que: 
Adquiriram 
S 
Não 
adquiriram 
S 
Total 
Viram o 
anuncio 
X Y 1500 
Não viram 
o anuncio 
200 Z 500 
Total 600 W 2000 
 
 
a) Indique os valores dos campos X, Y, Z e 
W. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Suponha que uma dessas duas mil 
pessoas entrevistadas seja Escolhida ao 
acaso e que todas as pessoas tenham a 
mesma probabilidade de serem escolhidas. 
determine a probabilidade de que esta 
pessoa tenha visto o anúncio da campanha 
e adquirido o sabão S. 
 
91) Um paraquedista programou seu pouso 
em uma fazenda retangular que possui um 
lago no seu interior, conforme indicado 
abaixo. Se as condições climáticas não 
favorecem o paraquedista, o local do pouso 
pode se tornar aleatório. Qual é, nesse 
caso, de o paraquedista pousar em terra? 
Adote 𝜋 = 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA III 51 ANÁLISE COMBINATÓRIA, BINÔMIO DE NEWTON E PROBABILIDADES 
 
92) Em certa região metropolitana , 52% da 
população tem mais de 25 anos. Sabe-se 
ainda que 30% da população com amis de 
25 anos tem menos de 35 anos. 
Escolhendo-se ao acaso um pessoa dessa 
região, qual a probabilidade de essa pessoa 
ter 35 anos ou mais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
93) Para acessar o sistema de 
computadores da empresa, cada 
funcionário digita sua senha pessoal 
formada por quatro letras distintas de nosso 
alfabeto numa ordem preestabelecida. certa 
vez um funcionário esqueceu a sua senha 
lembrando apenas que ela começava com 
K e terminava com W. Qual a probabilidade 
de ele ter acertado a senha, ao acaso, numa 
única tentativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94) Três dados são lançados 
simultaneamente. Qual a probabilidade de 
não ocorrerem três números iguais? 
95) Considere a equação linear na variável 
x: (𝑎 − 2)𝑥 = 4 
 
Se o coeficiente 𝑎 for escolhido ao acaso 
entre os elementos {0, 1, 2, …, 9}, qual a 
probabilidade de que essa equação venha 
a ter: 
a) um única solução? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) nenhuma solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) uma solução inteira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
96) Os 64 funcionários de uma empresa 
responderam um questionário sobre os dois 
cursos opcionais oferecidos por ela. Os 
resultados foram os seguintes: 
 43 frequentam o curso de computação 
 31 frequentam o curso de espanhol 
 19 frequentam ambos os cursos 
 escolhendo ao acaso um funcionário da 
empresa, qual probabilidade de que ele: 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 52 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
a) não frequentou nenhum curso? 
 
 
 
 
 
 
 
b) frequente exatamente um curso? 
 
 
 
 
 
 
 
 
97) De um baralho de 52 cartas, 4 são 
extraídas simultaneamente. qual a 
probabilidade da ocorrência de: 
a) Duas cartas de ouros e duas de paus? 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) uma carta de cada naipe? 
 
 
 
 
 
 
 
98) Dentre um grupo formado por dois 
homens e quatro mulheres, três pessoas 
são escolhidas ao acaso. Qual a 
Probabilidade de que sejam escolhidos um 
homem e duas mulheres? 
 
 
 
 
 
 
99) Joga-se um dado três vezes 
consecutivas qual a probabilidade de 
surgirem os resultados abaixo em qualquer 
ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
100) Oito pessoas sendo 5 homens e 3 
mulheres serão organizados em uma fila. 
Qual a probabilidade de as pessoas do 
mesmo sexo ficarem juntas? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
101) Com os algarismos