EX.02 MECANICA

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ENG 01156 – Mecânica - Aula 02
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM
10
X
Y
Z
A
O
C
B
Fx
F
Fz
Fy
Fh
θy
φ
θX
θZ
FFF
k
j
i
N(x2,y2,z2)
M(x1,y1,z1)
F
λλλλ
2. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS NO ESPAÇO
2.1 COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO
A Fig (2.1) representa a decomposição de uma força F no espaço. Esta força é
representada por suas componentes vetoriais Fx, Fy e Fz, que são orientadas nas direções dos
eixos X, Y e Z. Logo pode-se escrever zyx FFFF ++= ou kjiF zyx FFF ++= utilizando-se
os vetores unitários. Neste caso, Fx, Fy e Fz são as componentes escalares de F.
As projeções F nos eixos de
referência são dadas por
yy FF θcos⋅=
yh FF θsen⋅=
φθφ sensensen ⋅=⋅= yhz FFF
φθφ cossencos ⋅=⋅= yhx FFF
O módulo do vetor F é obtido
fazendo-se
222
zyx FFFF ++=
Os ângulos θx, θy e θz
representados na Fig 2.1 são os
ângulos diretores da força F.
Figura 2.1 – Decomposição de uma força no espaço.
Para os cossenos diretores é válida a relação 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ .
Emprega-se o conceito dos cossenos diretores para se escrever a força F como( )zyxF θθθ cos,cos,cos=F , em que ( )zyx θθθ cos,cos,cos é o vetor unitário que indica a
direção e sentido de F.
No caso da reta de ação da força F ser definida por dois pontos M e N, Fig. 2.2, deve-se
definir o vetor unitário λλλλ como
( )
d
ddd
MN
zyx ,,
=
MN em que dx = (x2 – x1), dy = (y2 – y1) e dz = (z2 – z1) e d é a distância entre
os pontos M e N.
Figura 2.2 – Representação da reta suporte
de uma força por dois pontos.
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Y
Z
X
F
80
30
(m)
40
A
B
Exemplo 2.1 O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um
parafuso fixo no ponto A conforme ilustrado na Fig. 2.3. Sabendo que a força no cabo é de
2500 N, determine as componentes da força que atua sobre o parafuso, bem como os ângulos
diretores da força.
 (B-A) = (-40, 80, 30)
( ) m 3,94308040 222 =++−=AB
( ) ( )318,0;848,0;424,0
3,94
30,80,40
−=
−
=λ
( ) N 318,0;848,0;424,02500 −== λF F
A partir desta expressão obtém-se
facilmente as componentes da força e seus
ângulos diretores fazendo-se
°≈=−= 1151,115)424,0arccos(xθ
N 10602500424,0 −=⋅−=xF
°== 32)848,0arccos(yθ
N 21202500848,0 =⋅=yF
°≈== 715,71)318,0arccos(zθ
N 7952500318,0 =⋅=zF
Figura 2.3 -
Este problema pode ser facilmente resolvido com o uso da calculadora HP 48G ou
modelo superior. Para isto basta indicar que (-40, 80 , 30) é um vetor, o que é feito
pressionando-se as teclas e [x] (o símbolo [] indica uma tecla). Com isto deve aparecer
na parte inferior da pilha dois colchetes: []. Depois basta digitar os números com os
correspondentes sinais. Entre cada número deve-se pressionar a tecla [SPC] para deixar um
espaço entre eles (-40 [SPC] 80 [SPC] 30). Fornecidos os três números pressiona-se [Enter]
para que o vetor ocupe a primeira posição da pilha. Depois pressiona-se [Enter] novamente
para copiar o vetor para a segunda posição da pilha. A seguir pressiona-se a tecla [MTH] e
depois a tecla [A] que seleciona o modo de operação com vetores (VECTR). Esta operação
fica mais clara quando se observa a parte inferior da tela. Seleciona-se a operação ABS
através da tecla [A]. Imediatamente o módulo do vetor passa a ocupar a primeira posição da
planilha. Depois basta dividir o vetor pelo módulo pressionando-se a tecla de divisão. Para
obter as projeções da força basta multiplicar o vetor resultante por 2500.
Para maiores detalhes sobre a operação da calculadora sugere-se uma consulta ao
manual desta.
2.2 EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO
A condição de equilíbrio de uma partícula no espaço também vem da Primeira Lei de
Newton ou seja ( ) kjikji0F 000 ++=++→= ∑∑ zyx FFF , o que resulta em :
0,0,0 === ∑∑∑ zyx FFF .
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2.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) O tripé ABCD, figura (1), e o tambor E estão instalados para elevar uma carga de 3 tf
( kgf 1000 tf1 = ) de um poço de uma mina. Determinar os esforços nos pés do tripé
durante o levantamento uniforme da carga, considerando que o triângulo ABC é equilátero
e os ângulos formados pelos pés e o cabo DE com o plano horizontal são iguais a 60°.
Solução:
Para se resolver este problema deve-se notar que as
3 barras, que formam o tripé, bem como o cabo, que sustenta
o peso P, concorrem ao ponto D ou seja temos um problema
no qual todas as forças concorrem ao mesmo ponto. Logo
este exercício pode ser resolvido aplicando apenas a
condição de equilíbrio de uma partícula. Portanto as
equações que empregaremos são:
0 , 0 , 0 === ∑∑∑ zyx FFF
Segundo o texto, todas as barras do tripé fazem um
ângulo de 60° com a horizontal. O mesmo vale para o cabo
ED. Logo a equação 0 =∑ zF nos permite escrever
F F FBD AD CDsen sen sen sen60 60 60 3 60 3 0
� � � �+ + − − =
ou
F F FBD AD CD+ + = 6 46, (1)
Pode-se notar na expressão acima que não basta
considerarmos apenas o peso de 3 tf. Temos que levar em
conta também a tensão no cabo. Neste sentido é importante
salientar que a tensão no cabo é igual ao peso porque se
considera a polia como perfeita ou seja sem atrito.
Continuando a solução, vamos fazer um diagrama de corpo livre no plano horizontal das forças que
atuam em D. Pelo diagrama podemos escrever as duas equações de equilíbrio restantes.
F F Fx BD AD∑ = → − + =0 60 60 60 60 0 cos sen cos sen
� � � �
ou
F FAD BD= (2)
Este resultado representa a simetria do tripé em relação ao eixo y.
F F F Fy CD BD AD∑ = → − − + + =0 3 60 60 60 60 60 60 0 cos cos cos cos cos cos� � � � � � (3)
Empregando-se em (3) o resultado (2) e operando-se fica
3 ou 060cos23 −==+−− BDCDBDCD FFFF
� (4)
Substituindo-se (4) em (1) obtém-se
2 3 6 46 315 015F F F FBD BD BD CD+ − = = =, , , logo tf , tf 
y
x
A
C
B
D
E
y
P
z
D
E
A C
Figura (1)
D FCD cos60
�3 60cos �
FBD cos60
�
FAD cos60
�
x
y
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A
C
D
B
P
4620 N
X
Y
Z
0,6
0,7
(m)
1,
12
5
0,65
0,4
5
2) Uma caixa está suspensa por 3 cabos como ilustrado na figura (2). Determine o peso da
caixa sabendo que a força no cabo AD é de 4620 N.
Solução: O primeiro passo é obter as coordenadas
dos pontos de interesse.
A( 0; -1,125; 0), B( 0,7; 0; 0),
C( 0; 0; -0,6) e D( -0,65; 0; 0,45).
Depois deve-se definir os vetores com as direções
dos cabos e com os sentidos das forças:
(D – A) = (-0,65; 1,125; 0,45)
 (C – A) = (0; 1,125; -0,6)
 (B – A) = (0,7; 1,125; 0)
Para cada um dos 3 vetores acima definidos deve-se
calcular o correspondente versor, o que pode ser
feito facilmente aplicando-se a calculadora HP.
Como resultado desta operação obtém-se
( )327,0;818,0;473,0λAD −= , ( )471,0;882,0;0 −=ACλ e ( )0;849,0;528,0=ABλ
Escrevendo-se todas as forças envolvidas no problema em notação vetorial obtém-se
( ) ( )N 1512,3780,2184327,0;818,0;473,04620 −=−⋅=ADF ( )471,0;882,0;0 −= ACAC FF ( )0;849,0;528,0ABAB F=F
jP P−=
Escrevendo-se agora as equações de equilíbrio pode-se resolver o problema.
N 4,41360528,021840 =→=+−→=∑ ABABX FFF
N 2,32100471,015120 =→=−→=∑ ACACZ FFF
N 101230849,0882,037800 =→=−++→=∑ PPFFF ABACY
2.4 EXERCÍCIO PROPOSTO
1) O cabo de sustentação de uma torre, figura (1), está ancorado por meio de um parafuso em
A. A tração no cabo é de 3000 N. Determine as componentes da força F que atua sobre o
parafuso e os ângulos que definem a direção da força.
A
B
Z
Y
X
30 m
40 m
35o
Figura (1)
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ENG 1156 – MECÂNICA – TRABALHO1
Os trabalhos devem ser desenvolvidos em folha A4 branca a caneta e sem rasuras, ou
podem ser desenvolvidos em editor de texto. Neste caso, o trabalho pode ser entregue em
arquivo (formato .rtf, pdf ou .doc) ou impresso em folha A4 branca. Trabalhos fora destas
condições não serão avaliados.
1) A grua BAC, figura (1), levanta uma carga de 2,5 kN por meio de uma corrente que passa
pelas polias A e D. Determine as forças que atuam nas barras BA e AC.
2) Um recipiente pende de um cabo único que passa através de um anel, sem atrito, e é atado
aos pontos fixos B e C. Duas forças, H = Hi e Q = Qk, são aplicadas ao anel a fim de que o
recipiente permaneça na posição ilustrada. Sabendo que o peso do recipiente é de 376 N,
determine os módulos de H e Q.
A
C
B
376 N
X
Y
Z
240
150
(mm)
40
0
130
16
0
B
P
A
C
D
30°
30°
60°
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3) Uma carga de 1000 kgf está suspendida no ponto D conforme figura (3). As uniões das
barras nos pontos A, B, C e D são articuladas. Determinar as reações dos apoios A, B e C.
Z
Y
X
C
A
B
15 30
45
45
1000 Kgf
D
Figura (7)