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ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 10 X Y Z A O C B Fx F Fz Fy Fh θy φ θX θZ FFF k j i N(x2,y2,z2) M(x1,y1,z1) F λλλλ 2. ESTÁTICA DOS PONTOS MATERIAIS NO ESPAÇO 2.1 COMPONENTES CARTESIANAS DE UMA FORÇA NO ESPAÇO A Fig (2.1) representa a decomposição de uma força F no espaço. Esta força é representada por suas componentes vetoriais Fx, Fy e Fz, que são orientadas nas direções dos eixos X, Y e Z. Logo pode-se escrever zyx FFFF ++= ou kjiF zyx FFF ++= utilizando-se os vetores unitários. Neste caso, Fx, Fy e Fz são as componentes escalares de F. As projeções F nos eixos de referência são dadas por yy FF θcos⋅= yh FF θsen⋅= φθφ sensensen ⋅=⋅= yhz FFF φθφ cossencos ⋅=⋅= yhx FFF O módulo do vetor F é obtido fazendo-se 222 zyx FFFF ++= Os ângulos θx, θy e θz representados na Fig 2.1 são os ângulos diretores da força F. Figura 2.1 – Decomposição de uma força no espaço. Para os cossenos diretores é válida a relação 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ . Emprega-se o conceito dos cossenos diretores para se escrever a força F como( )zyxF θθθ cos,cos,cos=F , em que ( )zyx θθθ cos,cos,cos é o vetor unitário que indica a direção e sentido de F. No caso da reta de ação da força F ser definida por dois pontos M e N, Fig. 2.2, deve-se definir o vetor unitário λλλλ como ( ) d ddd MN zyx ,, = MN em que dx = (x2 – x1), dy = (y2 – y1) e dz = (z2 – z1) e d é a distância entre os pontos M e N. Figura 2.2 – Representação da reta suporte de uma força por dois pontos. ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 11 Y Z X F 80 30 (m) 40 A B Exemplo 2.1 O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso fixo no ponto A conforme ilustrado na Fig. 2.3. Sabendo que a força no cabo é de 2500 N, determine as componentes da força que atua sobre o parafuso, bem como os ângulos diretores da força. (B-A) = (-40, 80, 30) ( ) m 3,94308040 222 =++−=AB ( ) ( )318,0;848,0;424,0 3,94 30,80,40 −= − =λ ( ) N 318,0;848,0;424,02500 −== λF F A partir desta expressão obtém-se facilmente as componentes da força e seus ângulos diretores fazendo-se °≈=−= 1151,115)424,0arccos(xθ N 10602500424,0 −=⋅−=xF °== 32)848,0arccos(yθ N 21202500848,0 =⋅=yF °≈== 715,71)318,0arccos(zθ N 7952500318,0 =⋅=zF Figura 2.3 - Este problema pode ser facilmente resolvido com o uso da calculadora HP 48G ou modelo superior. Para isto basta indicar que (-40, 80 , 30) é um vetor, o que é feito pressionando-se as teclas e [x] (o símbolo [] indica uma tecla). Com isto deve aparecer na parte inferior da pilha dois colchetes: []. Depois basta digitar os números com os correspondentes sinais. Entre cada número deve-se pressionar a tecla [SPC] para deixar um espaço entre eles (-40 [SPC] 80 [SPC] 30). Fornecidos os três números pressiona-se [Enter] para que o vetor ocupe a primeira posição da pilha. Depois pressiona-se [Enter] novamente para copiar o vetor para a segunda posição da pilha. A seguir pressiona-se a tecla [MTH] e depois a tecla [A] que seleciona o modo de operação com vetores (VECTR). Esta operação fica mais clara quando se observa a parte inferior da tela. Seleciona-se a operação ABS através da tecla [A]. Imediatamente o módulo do vetor passa a ocupar a primeira posição da planilha. Depois basta dividir o vetor pelo módulo pressionando-se a tecla de divisão. Para obter as projeções da força basta multiplicar o vetor resultante por 2500. Para maiores detalhes sobre a operação da calculadora sugere-se uma consulta ao manual desta. 2.2 EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO A condição de equilíbrio de uma partícula no espaço também vem da Primeira Lei de Newton ou seja ( ) kjikji0F 000 ++=++→= ∑∑ zyx FFF , o que resulta em : 0,0,0 === ∑∑∑ zyx FFF . ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 12 2.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) O tripé ABCD, figura (1), e o tambor E estão instalados para elevar uma carga de 3 tf ( kgf 1000 tf1 = ) de um poço de uma mina. Determinar os esforços nos pés do tripé durante o levantamento uniforme da carga, considerando que o triângulo ABC é equilátero e os ângulos formados pelos pés e o cabo DE com o plano horizontal são iguais a 60°. Solução: Para se resolver este problema deve-se notar que as 3 barras, que formam o tripé, bem como o cabo, que sustenta o peso P, concorrem ao ponto D ou seja temos um problema no qual todas as forças concorrem ao mesmo ponto. Logo este exercício pode ser resolvido aplicando apenas a condição de equilíbrio de uma partícula. Portanto as equações que empregaremos são: 0 , 0 , 0 === ∑∑∑ zyx FFF Segundo o texto, todas as barras do tripé fazem um ângulo de 60° com a horizontal. O mesmo vale para o cabo ED. Logo a equação 0 =∑ zF nos permite escrever F F FBD AD CDsen sen sen sen60 60 60 3 60 3 0 � � � �+ + − − = ou F F FBD AD CD+ + = 6 46, (1) Pode-se notar na expressão acima que não basta considerarmos apenas o peso de 3 tf. Temos que levar em conta também a tensão no cabo. Neste sentido é importante salientar que a tensão no cabo é igual ao peso porque se considera a polia como perfeita ou seja sem atrito. Continuando a solução, vamos fazer um diagrama de corpo livre no plano horizontal das forças que atuam em D. Pelo diagrama podemos escrever as duas equações de equilíbrio restantes. F F Fx BD AD∑ = → − + =0 60 60 60 60 0 cos sen cos sen � � � � ou F FAD BD= (2) Este resultado representa a simetria do tripé em relação ao eixo y. F F F Fy CD BD AD∑ = → − − + + =0 3 60 60 60 60 60 60 0 cos cos cos cos cos cos� � � � � � (3) Empregando-se em (3) o resultado (2) e operando-se fica 3 ou 060cos23 −==+−− BDCDBDCD FFFF � (4) Substituindo-se (4) em (1) obtém-se 2 3 6 46 315 015F F F FBD BD BD CD+ − = = =, , , logo tf , tf y x A C B D E y P z D E A C Figura (1) D FCD cos60 �3 60cos � FBD cos60 � FAD cos60 � x y ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 13 A C D B P 4620 N X Y Z 0,6 0,7 (m) 1, 12 5 0,65 0,4 5 2) Uma caixa está suspensa por 3 cabos como ilustrado na figura (2). Determine o peso da caixa sabendo que a força no cabo AD é de 4620 N. Solução: O primeiro passo é obter as coordenadas dos pontos de interesse. A( 0; -1,125; 0), B( 0,7; 0; 0), C( 0; 0; -0,6) e D( -0,65; 0; 0,45). Depois deve-se definir os vetores com as direções dos cabos e com os sentidos das forças: (D – A) = (-0,65; 1,125; 0,45) (C – A) = (0; 1,125; -0,6) (B – A) = (0,7; 1,125; 0) Para cada um dos 3 vetores acima definidos deve-se calcular o correspondente versor, o que pode ser feito facilmente aplicando-se a calculadora HP. Como resultado desta operação obtém-se ( )327,0;818,0;473,0λAD −= , ( )471,0;882,0;0 −=ACλ e ( )0;849,0;528,0=ABλ Escrevendo-se todas as forças envolvidas no problema em notação vetorial obtém-se ( ) ( )N 1512,3780,2184327,0;818,0;473,04620 −=−⋅=ADF ( )471,0;882,0;0 −= ACAC FF ( )0;849,0;528,0ABAB F=F jP P−= Escrevendo-se agora as equações de equilíbrio pode-se resolver o problema. N 4,41360528,021840 =→=+−→=∑ ABABX FFF N 2,32100471,015120 =→=−→=∑ ACACZ FFF N 101230849,0882,037800 =→=−++→=∑ PPFFF ABACY 2.4 EXERCÍCIO PROPOSTO 1) O cabo de sustentação de uma torre, figura (1), está ancorado por meio de um parafuso em A. A tração no cabo é de 3000 N. Determine as componentes da força F que atua sobre o parafuso e os ângulos que definem a direção da força. A B Z Y X 30 m 40 m 35o Figura (1) ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 14 ENG 1156 – MECÂNICA – TRABALHO1 Os trabalhos devem ser desenvolvidos em folha A4 branca a caneta e sem rasuras, ou podem ser desenvolvidos em editor de texto. Neste caso, o trabalho pode ser entregue em arquivo (formato .rtf, pdf ou .doc) ou impresso em folha A4 branca. Trabalhos fora destas condições não serão avaliados. 1) A grua BAC, figura (1), levanta uma carga de 2,5 kN por meio de uma corrente que passa pelas polias A e D. Determine as forças que atuam nas barras BA e AC. 2) Um recipiente pende de um cabo único que passa através de um anel, sem atrito, e é atado aos pontos fixos B e C. Duas forças, H = Hi e Q = Qk, são aplicadas ao anel a fim de que o recipiente permaneça na posição ilustrada. Sabendo que o peso do recipiente é de 376 N, determine os módulos de H e Q. A C B 376 N X Y Z 240 150 (mm) 40 0 130 16 0 B P A C D 30° 30° 60° ENG 01156 – Mecânica - Aula 02 Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM 15 3) Uma carga de 1000 kgf está suspendida no ponto D conforme figura (3). As uniões das barras nos pontos A, B, C e D são articuladas. Determinar as reações dos apoios A, B e C. Z Y X C A B 15 30 45 45 1000 Kgf D Figura (7)
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