CONTEUDO MECANICA GERAL

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11. APLICAÇÕES
Nos problemas até aqui analisados, sempre que rompíamos uma rótula tinha-se apenas
duas barras concorrendo nesta. Logo, as forças internas que atuam em cada uma das barras
são necessariamente iguais (pela 3ª Lei de Newton) como ilustrado na Fig. (11.1).
Figura 11.1 – Esquema com duas barras concorrentes numa rótula.
Na figura acima, chamam-se as forças da rótula A, que atuam nas barras 1 e 2, de um mesmo
nome embora, a rigor, este nome represente duas forças, que se sabe que são iguais aplicando-
se a 3ª Lei de Newton. Logo, o que se costuma fazer é uma simplificação da notação.
Entretanto, quando mais de duas barras concorrem numa mesma rótula não é possível
fazer a associação anterior. Neste caso, deve-se identificar cada uma das forças que atua na
rótula por um código que representa a barra na qual a força atua. Neste tipo de problema,
deve-se aplicar a condição de equilíbrio da rótula de modo a se obter as equações
complementares necessárias para a solução do problema. A Fig. (11.2) ilustra este tipo de
problema, e a Fig. (11.3) ilustra o diagrama de corpo livre do nó A.
Figura 11.2 – Esquema com 3 barras concorrentes num nó.
Aplicando-se as equações de equilíbrio neste nó tem-se
312 AxAxAx FFF +=
321 AyAyAy FFF +=
A
1
2
FAx
FAy
FAy
FAx
1
2
3
FAx1
FAy1
FAy2 FAx2
FAy3
FAx3
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Figura 11.3 – Diagrama de corpo livre da rótula.
11.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Na cadeira de dobrar representada, as barras ABDF e CEH são paralelas. Determine as
componentes de todas as forças que atuam sobre a barra ABDF quando uma pessoa de 800 N
se senta nessa cadeira. Determine também as reações nos pés da cadeira. Considere que o
chão é liso e que metade do peso da pessoa é suportada por cada lado da cadeira.
FAx1
FAy1
FAx3
FAy3
FAx2
FAy2
A
CB
D E
F
G H
100 200 75
150 100
400 N
250
37,5
37,5
37
5
18
7,
5
12
5
25
0
50
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Solução: Iniciamos o problema escrevendo-se as equações de equilíbrio externo. Como o chão é liso as reações
nos pés da cadeira têm a direção vertical.
4000 =+→=∑ yyy HGF
N 67,186N 33,213
04002003750
=→=
=⋅−→=∑
yy
yG
GH
HM
O próximo passo é romper as rótulas e representar os diagramas de equilíbrio de cada uma das partes que
formam a cadeira.
xxx CBF =→=∑ 0 (1)
yyy CBF =→=∑ 0
000 =→=→=∑ yyB BCM
xEDxx EDF =→=∑ 0 (2)
01504002500 =⋅−→=∑ yEDD EM
N 240=yEDE
01004002500 =⋅+−→=∑ yE DM
N 160=yD
D E
150 100
400 N
EyEDDy
Dx ExED
CBBx
By
Cx
Cy
A
B
160 N
F
Bx
Dx
Fy
Fx
C
E
H
Cx
ExCH
EyCH
213,3 N
E
F
G
186,7 N
Fy
Fx
ExGE
EyGE
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A B
C
D E
1600 N2
40
500
600
(mm)
Equações de equilíbrio para a barra AF
xxxx FBDF +=→=∑ 0 (3)
N 1600 =→=∑ yy FF
3275,105,437250501600 −=+−→=⋅+−⋅→=∑ xxxxF BDBDM (4)
Equações de equilíbrio para a barra GE
GExxx EFF =→=∑ 0 (5)
N 26,70186,71600 =→=+−−→=∑ yGEyGEy EEF
N 04,96EN 04,9602502001603007,1860 xGE =→=→=+⋅+⋅−→=∑ xxE FFM (4)
Equações de equilíbrio para a barra HC
xCHxx ECF =→=∑ 0 (6)
N 3,2130 =→=∑ yCHy EF
N 32,8505,1873,213750 =→=−⋅→=∑ xxE CCM (4) N 32,85=xCHE N 32,85=xB
N 31,181=xD
Para verificarmos a solução é aconselhável fazer um equilíbrio do nó E.
2) Sabendo que as barras ACE e DCB têm cada uma 400 mm de comprimento e estão
acopladas por um pino em seu ponto médio C, determine as componentes de todas as forças
que atuam na barra DCB, bem como a força na mola.
240 N
26,7 N
213,3 N
181,3 N85,32 N
96,04 N
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Solução: O vínculo B somente impede o movimento vertical, e no ponto A tem-se uma articulação. A figura a
seguir representa estas reações.
Inicialmente calcula-se a distância entre os
pontos D e E
mm 320240400 22 =−=DE
Equações de equilíbrio externo
00 =→=∑ xx AF
032016005000 =+⋅−→=∑ yA BM
N 2500=yB
N 900016000 =→=−−→=∑ yyyy AABF
Agora vamos romper a estrutura e analisar o equilíbrio de cada uma das partes. A figura abaixo apresenta o
diagrama de corpo livre de cada uma das partes.
Escrevendo-se as equações de equilíbrio para a barra DE
00 1 =→=∑ xx DF
N 2500032016005000 =→=+⋅−→=∑ yyD EEMz
N 9000250016000 11 =→=+−−→=∑ yyy DDF
Escrevendo-se as equações de equilíbrio da barra AE e substituindo-se nelas, os resultados anteriores, tem-se
A
C
D
E
1600 N
24
0
500
(mm)
FM
FM
Ax
Ay
FM Cx
Cy
Ey
B
C
Cx
Cy
By
Dy2
Dx2
Ey
320
Dy1
Dx1
FM
Dx2
Dx1
Dy1
Dy2
Ay
ByC
D E
1600 N
AX
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00 =→=∑ xx CF
N 500025002201603200 =⋅==→=+−→=∑ yyyyzA ECCEM
2500900500000 −−=−−=→=−+−−→=∑ yyymolamolayyyy EACFFCEAF
N 1600=molaF
Escrevendo-se as equações de equilíbrio para a barra DCB tem-se
00 2 ==→=∑ xxx CDF
N 2500250050000 22 =−=→−=→=∑ yyyyy DBCDF
Solução 2: Vai-se resolver o mesmo problema sem aplicar as equações de equilíbrio externo.
Escrevendo-se as equações de equilíbrio para a barra AE tem-se
xxx ACF =→=∑ 0 (1)
molayyymolayyyy FEACFCEAF ++=→=−+−−→=∑ 00 (2)
01201603200 =−+−→=∑ xyyzA CCEM (3)
Escrevendo-se as equações de equilíbrio para a barra DE tem-se
00 1 =→=∑ xx DF (4)
N 2500032016005000 =→=+⋅−→=∑ yyD EEMz (5)
N 9000250016000 11 =→=+−−→=∑ yyy DDF (6)
Escrevendo-se as equações de equilíbrio para a barra DB tem-se
20 xxx DCF =→=∑ (7)
yyyy CDBF =+→=∑ 20 (8)
01201603200 =−−→=∑ xyyzA CCBM (9)
Escrevendo-se as equações equilíbrio do nó D (rótula D) tem-se
210 xxx DDF =→=∑ (10)
molayyy FDDF +=→=∑ 120 (11)
Considerando-se as equações (10), (7), (1) e (4) tem-se 012 ==== xxxx ACDD . Substituindo-se este
resultado, bem como os resultados (5) e (6), nas expressões remanescentes tem-se
N 500016025003200120160320 =→−=⋅−→=−+− yyxyy CCCCE
molaymolaymolayyy FAFAFEAC +=→++=→++= 250025005000
500022 =+→=+ yyyyy DBCDB
N 250050001603200120160320 =→⋅=→=−− yyxyy BBCCB , N 25002 =yD
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N 1600900250012 =−=→+= molamolayy FFDD
N 900160025002500 =−=→+= ymolay AFA
É importante observar que a mola está sendo considerada como um elemento interno da máquina e não como
uma força externa.
11.2 EXERCÍCIO PROPOSTO
1) Sabendo que as superfícies em A, B, D e E são lisas, determine as reações e as
componentes da força exercida sobre o elemento ACE no ponto C.
200 200
15
0
15
0
67,38o
A
B
C
D E
2,6 kN
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11.3 PROJETO
Tubos de aço inoxidável são empilhados verticalmente em uma planta de produção e
são movimentados de um ponto a outro através de um guindaste. Os tubos têm diâmetro
interno na faixa de 100 mm a 250 mm, e a maior massa de qualquer tubo é de 500 kg. Projete
um dispositivo que possa ser conectado a um gancho e utilizado para elevar cada um dos
tubos. O dispositivo deve ser feito de aço e deve ser capaz de segurar o tubo apenas pela sua
superfície interna, já que a superfície externa não deve ser arranhada ou danificada. Admita
que o menor coeficiente de atrito estático entre os dois aços seja 0,25. Apresente um desenho
em escala de seu dispositivo com uma explicação de como ele trabalha, com base na análisede forças (HIBBELER, 1998).
d