CONTEUDO MECANICA GERAL

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ENG 01156 – Mecânica - Aula 16
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM
155
100
20
0
50
6
(mm)
figura (1)
20
0
Xaux
Yaux Yc
Xc
xc
yc
16. APLICAÇÕES
1) Para o perfil ilustrado na figura (1) determine: a localização do
centroíde, os momentos centrais de inércia e seus respectivos raios de
giração, o momento polar de inércia em relação ao centróide e seu
respectivo raio de giração, os eixos principais centrais de inércia ilustrando
eles no desenho, os momentos principais centrais de inércia e seus
respectivos raios de giração. Indicar no desenho os eixos de inércia
máxima e mínima. Escrever a equação da elipse de inércia. Desenhar o
circulo de Mohr correspondente.
Solução: Posicionando o eixo de referência xaux no centróide do perfil C,
ou seja sem considerar o enrijecedor da mesa superior tem-se
- Localização do centróide
( ) 25926441881002 =⋅++⋅=Area mm2
Area do perfil C = ( ) 232861881002 =⋅+⋅ mm2
33,7
2592
7264402328
=
⋅⋅+⋅
==
∑
∑
i
ii
c A
Ay
y mm
3,31
2592
94644476100206188
=
⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅
==
∑
∑
i
ii
c A
Ax
x mm
- Cálculo dos momentos de inércia centrais e respectivos raios de
giração
( )
( )2
3
2
3
2
3
2
3
33,772644
12
44633,1046100
12
610033,731006100
12
610033,76188
12
1886
−⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
+−−⋅⋅+
⋅
+⋅⋅+
⋅
=xcI
4
4 cm 85,158810
==
xc
xc
II
cm 83,7
92,25
85,1588
===
A
I
R cc
x
x
( ) ( )2
3
2
3
2
3
3,3194644
12
4463,313506100
12
610023,316188
12
6188
−⋅⋅+
⋅
+








−−⋅⋅+
⋅
⋅+⋅⋅+
⋅
=ycI
4
4 cm 29,34410
==
yc
yc
I
I cm 64,3
92,25
29,344
===
A
I
R cc
y
y
- Cálculo do momento de inércia polar em relação ao centróide e seu respectivo raio de giração
4cm 14,193329,34485,1588 =+=+= cc yxC III cm 64,892,25
14,1933
===
A
IR CC
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- Localização dos eixos principais centrais de inércia
( )( ) ( ) 67,647,626447,1567,8910067,1533,104100633,73,311886 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅+−−⋅⋅=xcycI
4
4 cm 12,11910
==
xcyc
xcyc
I
I
o41,5
85,158829,344
12,11922tan −=→
−
⋅
= θθ
- Momentos principais centrais de inércia e seus respectivos raios de giração
4cm 57,966
2
29,34485,1588
=
+
=medI
2
2
12,119
2
29,34485,1588
+




 −
=R
4cm 57,633=R
4
max cm 14,160057,63357,966 =+=I
4
min cm 33357,63357,966 =−=I
cm 86,7
92,25
14,1600max
max === A
IR
cm 58,3
92,25
333min
min === A
IR
- Equação da elipse de inércia
θθθθ 2222min
22
max
2
min
2
max2
cos82,12sen78,61
79,791
cossen ⋅+⋅
=
+
=
RR
RRr
- Traçado do círculo de Mohr
O ângulo de localização dos eixos principais de inércia foi obtido graficamente, sendo igual a 11/2 =
5,5º.
5,4o
eixo de máximo
eixo de
mínimo
966
333
1600
11,0°
(1588; 119)
I (cm4)
Ixy (cm4)
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Xaux
Xcy
2) Determine os momentos principais
centrais de inércia para o conjunto
representado na figura (3) sabendo-se
que os momentos de inércia de um
perfil C em relação aos seus eixos
centrais valem Ix1= 130,2 cm4 e Iy1=
2103,2 cm4.
Solução:
Em primeiro lugar deve-se localizar o centróide de um dos perfis C. Como este perfil tem simetria
concluí-se diretamente que mmx 125= . Para o cálculo de adota-se um eixo de referência que passa no meio do
retângulo 250 x 6 que forma o perfil C. Deste modo, o cálculo de y fica
( ) cmy 49,1
88,23
52,35
6,04,726,025
46,04,72
==
⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅
=
O próximo passo é calcular o quanto sobe o
centróide do conjunto devido a chapa que é
colocada sobre os perfis C. Este cálculo fica
simplificado adotando-se como eixo de
referência o próprio eixo central do perfil C.
Seguindo este procedimento pode-se escrever
( ) ( ) cmy 37,3
36,97
85,327
8,06288,232
49,11,88,062
==
⋅+⋅
−⋅⋅
=
Obs. A área de um perfil C vale ( ) 288,234,72256,0 cmA =⋅+⋅=
O cálculo dos momentos centrais de inércia é feito mais facilmente se utilizarmos os momentos de inércia que
foram fornecidos na questão.
4
3
2 4,347215,158889,18832
12
628,05,1788,232,21032 cmI y =+=
⋅
+





⋅+⋅=
( ) 42
3
2 1,132637,349,11,88,062
12
8,06237,388,232,1302 cmIx =−−⋅⋅+
⋅
+





⋅+⋅=
Como o eixo Y do conjunto é também um eixo de simetria pode-se afirmar que Ixy = 0. Logo concluí-se que os
momentos centrais de inércia são os próprios momentos principais centrais de inércia.
310 310
250
8
80
6
(mm)
Y
x1y1
250100
Obs. A espessura da
chapa é constante.
Figura (3)
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b
h
xc
yc
y
x
3) Para a peça representa na figura ao lado
determine: a posição do centróide, os momentos
de inércia em relação aos eixos centrais x
(horizontal) e y (vertical), os momentos
principais centrais de inércia indicando no
desenho os eixos de máximo e mínimo.
Formulário: As expressões abaixo são válidas para os
eixos centrais dos elementos
Círculo: 
4
4RII ycxc
⋅
==
π
Triângulo retângulo: 
36
 , 
36
33 hbIbhI ycxc ==
72
22hbI xcyc −=
Centróide de um meio círculo: 
π3
4Ryc =
Solução: Separa-se a peça em 4 partes: 1- retângulo, 2 – furo, 3 triângulo, 4 semi-círculo.
Para a determinação do centróide emprega-se os eixos
auxiliares indicados na figura ao lado. O próximo passo é montar a
tabela apresentada abaixo.
Parte Área (cm2) x y xA ⋅ yA ⋅
1 - retângulo 96 0 0 0 0
2 - furo - 50,27 0 4 0 - 201,08
3 - triângulo 36 - 2 - 6 - 72 - 216
4 – semi-círculo 56,55 0 6,55 0 370,4
60
80
120
R40
R60
(mm)
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y
x
xc
yc
C
Imax
θ
Imin
cm
A
Ax
x 52,0
28,138
72
−=
−
=
⋅
=
∑
∑ cm
A
Ay
y 34,0
28,138
678,46
−=
−
=
⋅
=
∑
∑
A figura ao lado indica a posição dos eixos centrais xc e yc.
Cálculo dos momentos centrais de inércia:
42
3
1,52334,096
12
812 cmI cx =⋅+
⋅
= (retângulo)
( ) 42
3
28,122534,0636
36
612 cmI cx =−⋅+
⋅
= (triângulo)
( ) 42
4
92,114734,0427,50
4
4 cmI cx −=+⋅−
⋅
−=
π
Para o cálculo do momento de inércia do semi-círculo em relação
ao eixo xc deve-se aplicar o teorema de Steiner duas vezes. A
primeira vez leva a inércia conhecida do semi-círculo para o
centróide dele, e a Segunda vez leva a inércia resultante para o centróide da peça. Na primeira vez aplica-se o
teorema ao contrário.
( ) 422
4
7,282534,0455,255.5655,255,56
4
6
2
1 cmI cx =+++⋅−
⋅
⋅=
π (semi-círculo)
42,34267,282592,114728,12251,523 cmI
cx =+−+= (total)
42
3
96,117752,096
12
128 cmI cy =⋅+
⋅
= (retângulo)
( ) 42
3
85,36652,0236
36
126 cmI cy =−⋅+
⋅
= (triângulo)
( ) 42
4
65,21452,027,50
4
4 cmI cy −=⋅−
⋅
−=
π (círculo)
42
4
23,52452,055,56
4
6
2
1 cmI cy =⋅+
⋅
⋅=
π (semi-círculo)
44,185485,36665,21423,52496,1177 cmI cy =+−+= (total)
X
X1
2,
55
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160
342
12
7
76 150
(mm)
figura (4)
Cálculo do produto de inércia: O produto de inércia
em relação aos eixos centrais do retângulo, do furo
e do semi-círculo é nulo porque estas figuras têm
pelo menos um eixo de simetria. Por outro lado, o
produto de inércia em relação aos eixos centrais do
triângulo retângulo (ver enunciado da questão) não
é nulo. No entanto, a fórmula fornecida não é válida
paraa orientação dos eixos centrais do triângulo
que consta na figura. Logo, os eixos utriângulo e
vtriângulo devem ser girados de 90o de modo a ficarem
com a mesma orientação dos eixos xpeça e ypeça. Este
procedimento é feito pela expressão
Substituindo-se o valor °= 90θ tem-se
Logo o produto de inércia do triângulo vale
72
22hbI
cc yx =
Realizando-se o cálculo do produto de inércia fica
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]
72
12652,0234,0636
52,034,0427,5052,034,0455,255,5652,034,096
22
⋅
+−−⋅−−⋅+
⋅+⋅−⋅++⋅+⋅⋅=
ccYXI
47,479 cmI
ccYX =
61,02tan
4,18542,3426
7,47922tan −=→
−
⋅−
= θθ o7,15−=θ
43,2640
2
2,34264,1854 cmImed =
+
= 42
2
7,9207,479
2
4,18542,3426 cmR =+




 −
=
4
max 35617,9203,2640 cmI =+= 
4
min 6,17197,9203,2640 cmI =−=
A posição dos eixos de máximo e mínimo está indicada na figura anterior.
4) A seção transversal ilustrada na
figura (4) é formada por 2 perfis I
laminados e por uma chapa. Sabendo-
se que cada um dos perfis I tem área
igual a 18,52 cm2 e momento de
inércia em relação ao seu eixo X
central igual a 503,6 cm4, determine a
espessura da chapa para que a inércia
do conjunto, em relação ao seu eixo
X central, seja superior a 1450 cm4.
Valores possíveis de espessura: 3, 4,
5, 6 e 7 mm.
Ctriângulo
vtriângulo
utriângulo
ypeça
xpeçaCpeça θθ 2cos2sen
2 xy
yx
uv I
II
I +
−
=
xyxy
yx
uv II
II
I −=°+°
−
= 180cos180sen
2
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Solução: Considera-se t como a espessura da chapa.
Posição do centro geométrico do conjunto 
( )
chapa
chapa
c A
tA
y
+
+⋅
=
04,37
235,6
Logo pode-se escrever ( )2
3
2 235,6
12
2,3452,186,50321450 cchapac ytA
ty −+⋅+⋅+




 +=
A equação resultante não permite determinar a espessura t de modo fácil. A solução neste caso seria fazer um
programa que por tentativa e erro encontra-se a solução. Se este procedimento for feito manualmente o melhor é
desprezar o termo 
12
2,34 3t⋅ porque fornece valores muito pequenos.
Uma forma de encontrar a solução rapidamente é admitir que o centróide do conjunto não é alterado pela adição
da chapa. Com esta consideração pode-se escrever
( )2
3
235,6
12
2,346,50321450 tAt chapa +⋅+
⋅
+⋅= ou aproximadamente
( )235,62,346,50321450 ⋅⋅+⋅= t que resulta em =t 0,32 cm ou t = 4 mm (adotando apenas valores inteiros).
O valor obtido deve ser substituído no formulário original para se verificar a solução:
( ) cm 77,1
68,1304,37
2,035,668,13
=
+
+⋅
=cy
( ) 42
3
2 cm 17,143677,12,035,668,13
12
4,02,3477,152,186,5032 =−+⋅+⋅+





⋅+
Como o valor obtido é inferior ao estipulado (1450 cm4) a solução é a espessura de 5 mm.
5) Para o perfil cantoneira de abas desiguais, figura (5)
determine os momentos principais centrais de inércia.
Solução: Inicialmente localiza-se o centróide do perfil
utilizando como eixos de referência as retas horizontal e
vertical que passam na metade da espessura das paredes que
formam o perfil. Logo pode-se escrever
cm 15,3
25,710
5,75,05,1405,020
=
+
⋅⋅+⋅⋅
=x
cm 65,5
75,95,7
105,05,1905,015
=
+
⋅⋅+⋅⋅
=y
A figura abaixo ilustra a localização do
centróide
20
15
0,
5 (cm)
yaux
xaux
Figura (5)
(cm)
yaux
xaux
5,
65
3,15
C
xc
yc
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Cálculo dos momentos centrais de inércia
42
3
2
3
cm 73365,525,7
12
5,05,141,410
12
205,0
=⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=cxI
42
3
2
3
cm 65,36335,425,7
12
5,145,015,310
12
5,020
=⋅+
⋅
+⋅+
⋅
=cyI
Cálculo do produto de inércia em relação aos eixos centrais
4cm34,30735,4)65,5(25,71,4)15,3(10 −=⋅−⋅+⋅−⋅=cc yxI
Localização dos eixos principais centrais de inércia
664,1
73365,363
)34,307(22tan =
−
−⋅
=θ o5,29=θ
4 32,548
2
65,363733 cmImed =
+
= 42
2
56,358)34,307(
2
65,363733 cmR =−+




 −
=
4
max 88,90656,35832,548 cmI =+= 
4
min 76,18956,35832,548 cmI =−=
A figura abaixo ilustra a localização dos eixos principais de inércia.
C
xc
yc
29,5o
Eixo de máximo
Eixo de mínimo