CONTEUDO MECANICA GERAL

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17. CÁLCULO DAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS POR
PROGRAMA
17.1 CÁLCULO DAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS POR INTEGRAL DE
GREEN
17.1.1 Definição de Curva Simples e Fechada
Definindo-se uma curva pelas equações paramétricas
x = f(t), y = g(t) (17.1)
em que bta ≤≤ , então C é considerada lisa no intervalo fechado [a, b] se f’ e g’ são
contínuas em [a, b] e f’ e g’ não são ambas iguais a zero em todos os pontos do intervalo
aberto (a, b). Se para uma curva C definida pelas equações paramétricas (17.1) o ponto inicial
A( f(a), g(a) ) e o ponto final B( f(b), g(b) ) coincidem, então a curva é considerada fechada. A
Fig.(17.1) ilustra uma curva simples e fechada
Figura 17.1 – Exemplo de uma curva fechada simples.
17.1.2 Teorema de Green
Sejam M e N funções de duas variáveis x e y tais que têm derivadas parciais primeiras
contínuas num disco aberto B em 2ℜ . Se C é curva fechada simples seccionalmente lisa,
situada inteiramente em B, e se R é a região definida por C, então
dA
y
M
x
NdyyxNdxyxM
A
∫ ∫ 





∂
∂
−
∂
∂
=+ ),(),( (17.2)
É importante salientar que a integral de contorno apresentada em (17.2) deve ser calculada no
sentido anti-horário. Se esta for calculada no sentido horário ficará com sinal negativo.
Pode-se demonstrar1
∫ ∫ ∂
∂
−=
A
dA
y
MdxyxM ),( (17.3)
dA
x
NdyyxN
A
∫ ∫ ∂
∂
=),( (17.4)
AdAdxydyx
A
==−∫ ∫2
1 (17.5)
 
1 Ver LEITHOLD, L., O Cálculo com Geometria Analítica, Editora Harbra
A=B
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Para se estabelecer uma equivalência entre as integrais de área e as correspondentes
integrais de linha aplica-se, por uma questão de facilidade, a relação (17.4). Na realidade,
também poderia ser aplicada a expressão (17.3) ou (17.5). Deste modo para se calcular a área
de uma curva simples fechada deve-se avaliar a integral ∫
A
dA . Comparando-se esta integral
com a expressão (17.4) tem-se 1=∂∂ xN , logo xyxN =),( e
∫∫ == dyxdAA
A
(17.6)
Seguindo-se raciocínio semelhante para as demais propriedades geométricas da curva fechada
tem-se
∫∫ == dyyxdAyS
A
x (17.7)
∫∫ == dy
xdAxS
A
y 2
2
(17.8)
∫∫ == dyyxdAyI
A
x
22 (17.9)
∫∫ == dy
xdAxI
A
y 3
3
2 (17.10)
∫∫ == dy
yxdAxyI
A
xy 2
2
(17.11)
17.1.3 Aproximação da curva fechada por uma poligonal fechada
Vamos aproximar a curva fechada por vários segmentos de reta como ilustrado na Fig.
(17.2a). Quanto maior for o número de segmentos empregados melhor serão as aproximações
das propriedades geométricas da área delimitada pela curva. Quando a área é delimitada
apenas por retas não é necessário representar um lado por mais de um segmento de reta como
ilustrado na Fig. (17.2b).
Figura 17.2 – Aproximação de uma curva fechada por uma poligonal.
a) b)
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Equação paramétrica de uma reta. Para se avaliar uma integral de contorno de uma
curva fechada aproximada por vários segmentos de reta é necessário definir a equação
paramétrica de uma reta. Vamos considerar um segmento de reta definido por seus dois
pontos extremos P1 e P2. Seja P um ponto qualquer, que pertence a este segmento de reta,
localizado pelo parâmetro t que varia no intervalo [0, 1]. A Fig. (17.3) ilustra esta
representação de um segmento de reta, e a expressão (17.12) fornece a correspondente
equação paramétrica da reta. É importante salientar que para cada segmento de reta
empregado vai se ter uma equação paramétrica distinta.
Figura 17.3 – Representação paramétrica de um segmento de reta.
( ) 10para 121 ≤≤−+= tPPtPP (17.12)
Teste do formulário. Vamos testar as expressões (17.6) a (17.12) aplicando-as a um
caso com solução conhecida, que está ilustrado na Fig. (17.4). A curva fechada, no caso um
quadrado, é representado por 4 segmentos de reta. As setas no desenho indicam que a integral
deve ser avaliada no sentido anti-horário.
Figura 17.4 – Representação de um quadrado por 4 segmentos de reta.
Solução: O primeiro passo é definir as equações paramétricas de cada segmento.
C1: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0,20,20,00,20,0 ==→=−+= ytxttP
C2: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) tyxttP 2,22,00,20,22,20,2 ==→+=−+=
C3: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2,220,22,22,22,02,2 =−=→−+=−+= ytxttP
C4: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) tyxttP 22,02,02,02,00,02,0 −==→−+=−+=
Para calcularmos a área da figura devemos avaliar a integral (17.6), ou seja para cada segmento deve-se avaliar x
e dy, logo tem-se
P1
P2
P3
P
t
(0,0) (2,0)
(2,2)(0,2)
x
y
C1
C3
C2C4
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 22444200222202 1010
1
0
1
0
1
0
1
0
⋅====−⋅+⋅−+⋅+⋅== ∫∫∫∫∫∫ tdtdttdttdyxA
Seguindo-se raciocínio semelhante para as demais propriedades tem-se
( ) ( )
2
4
2
8222
31
0
21
0
atdttdyyxSx ==








⋅=⋅⋅== ∫∫
( ) [ ]
2
442
2
2
2
3
1
0
1
0
22 atdtdyxS y ==⋅=⋅== ∫∫
( ) ( )
33
16
3
16222
41
0
3
21
0
2 atdttdyxyI x ==








⋅=⋅⋅== ∫∫
( ) [ ]
33
16
3
162
3
2
3
4
1
0
1
0
33 atdtdyxI y ==⋅=⋅== ∫∫
( ) ( )
4
4
2
82
2
22
2
41
0
21
0
22 atdttdyyxI xy ==








⋅=⋅
⋅
== ∫∫
Os resultados obtidos confirmam as equações (17.6) a (17.12)
Expressões genéricas para um segmento de reta. Para o caso de um segmento de
reta qualquer tem-se
Cn: ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )121121112211 ,,,, yytyyxxtxxyxyxtyxP −+=−+=→−+= (17.13)
e
( ) dtyydy ⋅−= 12 (17.14)
Cálculo das propriedades geométricas. As expressões a seguir servem para
determinar as propriedades geométricas de uma curva fechada aproximada por N segmentos
de reta.
( )[ ] ( )∑∫∫
=
⋅−⋅−+==
N
i
dtyyxxtxdyxA
1
12
1
0 121
(17.15)
( )[ ] ( )[ ] ( ) dtyyyytyxxtxdyyxS N
i
x ⋅−⋅−+⋅−+== ∑∫∫
=
12121
1
1
0 121
(17.16)
( )[ ] ( ) dtyyxxtxdyxS N
i
y ⋅−⋅−+== ∑ ∫∫
=
12
1
1
0
2
121
2
2
1
2
(17.17)
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( )[ ] ( )[ ] ( ) dtyyyytyxxtxdyyxI N
i
x ⋅−⋅−+⋅−+== ∑∫∫
=
12
2
121
1
1
0 121
2 (17.18)
( )[ ] ( ) dtyyxxtxdyxI N
i
y ⋅−⋅−+== ∑ ∫∫
=
12
1
1
0
3
121
3
3
1
3
(17.19)
( )[ ] ( )[ ] ( ) dtyyyytyxxtxdyyxI N
i
xy ⋅−⋅−+⋅−+== ∑ ∫∫
=
12121
1
1
0
2
121
2
2
1
2
(17.20)
As integrais (17.15) a (17.20) podem ser avaliadas numericamente, neste caso, o
procedimento mais recomendado é a integração de Gauss-Legendre. A vantagem deste
procedimento é que as expressões de cálculo ficam genéricas, o que permite trocar a equação
paramétrica de um segmento de reta pela equação paramétrica de um outro contorno, como
por exemplo um arco de círculo. Outra solução é resolver as integrais apresentadas
analiticamente.
Adotando-se a solução analítica tem-se
( ) ( )∑∫
=
−⋅+==
N
i
yyxxdyxA
1
12122
1 (17.21)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]{ }1211212111
1
12 3366
1 yyyxxyyxyxyydyyxS
N
i
x −+−+−+⋅−== ∑∫
=
(17.22)
( ) ( ) ( )[ ]{ }∑∫
=
−+−+⋅−==
N
i
y xxxxxxyydy
xS
1
12112
2
112
2
233
6
1
2
(17.23)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )












−
+−+⋅



⋅−+




−+−+⋅−== ∑∫
=
43
2
2
3
2
12
12
1
2
1
12
2
12121
2
11
1
12
2
yyyyyyxxyyyyyyxyydyyxI
N
i
x
(17.24)
( ) ( ) ( ) ( )∑∫
= 















−
+−++−+⋅−==
N
i
y
xxxxxxxxxyydyxI
1
2
12
121
2
1
12
3
112
3
42
3
3
1
3
(17.25)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )






 −+−
+


 −+−+






 −+⋅−== ∑∫
=
43
3
2
22
1
2
1212
12
121
11
1
12
12
1
2
112
2
yyyxx
yyxyxxxyyyxyydyyxI
N
i
xy
(17.26)
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17.1.4 Algoritmo para o cálculo das propriedades geométricas de uma curva fechada
aproximada por uma poligonal fechada
1) Ler as coordenadas dos pontos que definem os segmentos de reta;
2) Para cada um dos segmentos
a) Calcular a área A, expressão (17.21) e acumular o valor;
b) Calcular Sx, expressão (17.22) e acumular o valor;
c) Calcular Sy, expressão (17.23) e acumular o valor;
 Fim do laço
3) Calcular as coordenadas do centro geométrico 
A
S
x yc = e A
Sy xc = ;
4) Posicionar o sistema de referência no centro geométrico cii xxx −= e cii yyy −= ;
5) Para cada um dos segmentos
a) Calcular Ix, expressão (17.24) e acumular o valor;
b) Calcular Iy, expressão (17.25) e acumular o valor;
c) Calcular Ixy, expressão (17.26) e acumular o valor;
 Fim do laço
6) Localizar os eixos principais centrais de inércia, expressão (15.9);
7) Calcular os momentos principais centrais de inércia, expressão (15.8);
8) Publicar os resultados
17.1.5 Uso de planilha programada para o cálculo das propriedades geométricas de uma
curva fechada aproximada por uma poligonal fechada
Programou-se uma planilha de dados; no caso usou-se uma planilha do tipo Excell,
mas poderiam ser empregadas outros tipos de planilhas como por exemplo do Open-Office. O
uso da planilha é bastante simples bastando o usuário preencher as coordenadas que definem
os extremos de cada segmento de reta. É importante ressalvar que o último segmento de reta
deve unir obrigatoriamente o último ponto com o primeiro ponto. A tabela (17.1) ilustra o
preenchimento desta planilha para o mesmo exemplo adotado para testar o formulário.
Tabela 17.1 – Preechimento da planilha para o cálculo das propriedades.
x y x2-x1 y2-y1 A Sx Sy Ix Iy Ixy
0 0 2 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 2 4 4 4 5,333333 5,333333 4
2 2 -2 0 0 0 0 0 0 0
0 2 0 -2 0 0 0 0 0 0
0 0
Na tabela (17.1) as duas primeiras colunas representam as coordenadas x e y dos pontos
extremos de cada um dos segmentos de reta que definem a curva. Estas são as duas únicas
colunas que devem ser preenchidas pelo usuário. É importante ressaltar que as coordenadas
fornecidas nestas colunas devem corresponder aos pontos ordenados em sentido anti-horário,
e o último ponto fornecido deve ter as coordenadas iguais às do primeiro ponto, de modo a se
formar uma poligonal fechada. Caso as coordenadas sejam fornecidas para os pontos
ordenados no sentido horário, os resultados serão negativos. Este procedimento deve ser
aplicado para considerar vazados (como veremos mais adiante).
As colunas 3 e 4 correspondem às diferenças de cotas, na direção x e y respectivamente, entre
o ponto final e inicial do segmento de reta considerado. As colunas 5, 6 e 7 apresentam as
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contribuições de cada segmento de reta para a área, momento estático de 1a ordem em relação
ao eixo x (Sx) e momento estático de 1a ordem em relação ao eixo y (Sy). As colunas 8, 9 e 10
apresentam as contribuições de cada segmento de reta para o momento de inércia em relação
ao eixo x (Ix), momento de inércia em relação ao eixo y (Iy) e produto de inércia em relação
aos eixos x e y (Ixy). É importante destacar que os eixos x e y são os eixos de referência
estabelecidos pelo usuário.
A tabela (17.2) ilustra os resultados obtidos que são área (A); Sx; Sy; coordenadas do
centróide da figura (xc, yc); Ixc; Iyc; Ixcyc; momento de inércia polar em relação ao centróide Io;
raios de giração Rx, Ry e Ro; localização dos eixos principais centrais de inércia (θ1 e θ2),
momentos principais centrais de inércia I(θ1) e I(θ2); e raios de giração correspondentes ao
momentos principais centrais de inércia R(θ1) e R(θ2). É importante destacar, que conforme o
número de linhas usado no problema, pode ser necessário reconfigurar as expressões do setor
da planilha de resultados (originalmente esta planilha esta configurada para 18 linhas úteis)
Tabela 17.2 – Exemplo dos resultados.
área 4 Rx 0,57735
Sx 4 Ry 0,57735
Sy 4 Ro 0,816497
xc 1 θ1 0
yc 1 θ2 90
Ixc 1,333333 I(θ1) 1,333333
Iyc 1,333333 I(θ2) 1,333333
Ixcyc 0 R(θ1) 0,57735
Io 2,666667 R(θ2) 0,57735
Problemas com vazado. Em problemas com
vazado deve-se tomar alguns cuidados. Em primeiro
lugar o contorno externo deve ser percorrido em
sentido anti-horário. Para definir o contorno interno a
sugestão é ligar o último ponto do contorno externo
com o primeiro ponto do contorno interno conforme
ilustrado na Fig. (17.5). É importante tomar o
cuidado de percorrer o contorno interno no sentido
horário, e retornar ao último ponto do contorno
externo conforme indicado na figura pela reta em
azul.
17.2 CÁLCULO DAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS POR COMPOSIÇÃO DE
ÁREAS
O procedimento empregado neste caso para o cálculo das propriedades geométricas é a
composição de áreas, ver itens 12.3, 14.6 e 15.3. Este procedimento foi implementado numa
planilha excell, que está apresentada a seguir. As figuras simples implementadas são
retângulo, círculo, meio-círculo, quarto de círculo, triângulos. Usando o mesmo processo é
possível ampliar o número de figuras simples disponíveis para a composição da forma da
figura mais complexa.
(0,0) (4,0)
(4,4)(0,4)
(1,2) (2,2)
(2,3)
(1,3)
x
y
Figura 17.5
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Planilha para Cálculo de Propriedades das Secções
Elementos
Retângulos X inicial Y inicial X final Y final Vazado Area Xc Yc Ixc Iyc Ixyc
nº 1 0 0 120 80 9600 60 40 5120000 11520000 0
nº 2 0 0 0 0 0 0
nº 3 0 0 0 0 0 0
nº 4 0 0 0 0 0 0
nº 5 0 0 0 0 0 0
nº 6 0 0 0 0 0 0
Círculos X central Y Central Raio Vazado Area Xc Yc Ixc Iyc Ixyc
nº 1 60 80 40 1 -5026,55 60 80 -2010619 -2010619 0
nº 2 0 0 0 0 0 0
nº 3 0 0 0 0 0 0
nº 4 0 0 0 0 0 0
nº 5 0 0 0 0 0 0
Meio-Círculo X central Y central Raio Quadrante Vazado Area Xc Yc Ixc Iyc Ixyc
nº 1 60 80 60 1 5654,867 60 105,464791 1422450 5089380 0
nº 2 0 0 0 0 0 0
nº 3 0 0 0 0 0 0
nº 4 0 0 0 0 0 0
Quarto de círculo X central Y central Raio Quadrante Vazado Area Xc Yc Ixc Iyc Ixyc
nº 1 0 0 0 0 0 0
nº 2 0 0 0 0 0 0
nº 3 0 0 0 0 0 0
nº 4 0 0 0 0 0 0
Triângulo X 1 Y 1 X 2 Y 2 X 3 Y 3 Vazado Area Xc Yc Ixc Iyc Ixyc
nº 1 0 0 0 -60 120 0 3600 40 -20 720000 2880000 720000
nº 2 0 0 0 0 0 0
nº 3 0 0 0 0 0 0
nº 4 0 0 0 0 0 0
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Para o preenchimento da planilha deve-se adotar o seguinte procedimento:
• No caso de se empregar um retângulo, deve-se
indicar a posição do mesmo em função das
coordenadas que definem uma das diagonais do
retângulo, conforme ilustrado na figura ao lado.
Deve-se indicar também se o retângulo
representado é um vazado (tem área negativa).
Em caso positivo, deve-se preencher o campo
Vazado com o número 1. Qualquer outro valor
não é aceito pela planilha.
• No caso de se empregar um círculo deve-se indicar as
coordenadas do centro do círculo, bem como o raio deste.
Deve-se indicar também, seguindo o mesmo procedimento do
retângulo, se o círculo é um vazado.
• No caso de se empregar um semi-círculo deve-se indicar
as coordenadas do centro do círculo correspondente,bem
como o raio deste. Além disso deve-se indicar em qual
quadrante se encontra o semi-círculo conforme os
esquemas abaixo. Deve-se indicar também, seguindo o
mesmo procedimento do retângulo, se o semi-círculo é
um vazado.
• No caso de se empregar um quarto-de-círculo, deve-se indicar as
coordenadas do centro do círculo correspondente, bem como
como o raio deste. Além disso deve-se indicar em qual quadrante
se encontra o quarto-de-círculo conforme os esquemas abaixo.
Deve-se indicar também, seguindo o mesmo procedimento do
retângulo, se o quarto-de-círculo é um vazado.
(xi, yi)
(xf, yf)
(xc, yc)
raio
(xc, yc)
raio
Quadrante 1 Quadrante 2 Quadrante 3 Quadrante 4
(xc, yc)
raio
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172
• No caso de se empregar uma figura triangular, deve-se fornecer as coordenadas dos três
vértices, que definem o triângulo, no sentido anti-horário. Deve-se indicar também,
seguindo o mesmo procedimento do retângulo, se o triângulo é um vazado.
A medida que vão sendo fornecidos os dados, a planilha apresenta, num quadro
separado, os resultados obtidos: área, coordenadas do centróide da figura, momentos centrais
de inércia e seus respectivos raios de giração, momento polar de inércia em relação ao
centróide e seu respectivo raio de giração, produto de inércia em relação aos eixos centrais, os
ângulos que localizam os eixos principais centrais de inércia e os momentos principais
centrais de inércia.
Resultados
Area 13828,31853 q1 -15,7104
Xc 54,79329 q2 74,2896
Yc 36,61078 Imax 35594252,05
876
Ixc 34245226,81
922
Imin 17194852,67
203
Iyc 18543877,91
157
Rx 49,76401
Io 52789104,73
079
Ry 36,61977
Ixyc 4795975,924
47
Ro 61,78563
Obs. A planilha anteriormente apresentada está preenchida para resolver o problema número 3
da aula 16.
Quadrante 1 Quadrante 2 Quadrante 3 Quadrante 4
(x1, y1)
(x2, y2)
(x3, y3)
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17.3 CÁLCULO DAS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS APLICANDO A
CALCULADORA HP
De modo geral, os programas apresentados em 17.1 e 17.2 conseguem calcular as
propriedades geométricas de qualquer tipo de figura plana, no entanto há limitações. A
planilha que calcula propriedades pelo teorema de Green aproxima uma figura qualquer por
uma poligonal fechada. Logo, se a figura for descrita por funções mais complexas, por
exemplo uma parábola, os resultados obtidos serão aproximados, e esta aproximação será
função do número de segmentos de reta utilizados para modelar a figura. Por outro lado, para
que a planilha que calcula as propriedades geométricas por composição de áreas possa ser
aplicada é necessário que a função complexa esteja programada na planilha. Portanto, para o
caso de figuras descritas por funções complexas, a melhor solução é a integração direta como
foi apresentado nos itens 12.2, 14.5 e 15.2. No entanto, nem sempre as integrais têm soluções
simples. Para estes casos, a alternativa é a integração numérica. Para esclarecer melhor este
assunto vamos analisar o exemplo a seguir.
Exemplo. Calcular as propriedades geométricas (todas as propriedades geométricas
que estudamos) para a peça ilustrada abaixo.
Para se obter a solução analiticamente, adota-se uma
faixa de integração de área ( )dxyydA 21 −= . A área
total é calculada fazendo-se
( )
1
0
32
1
0
21
0 21 32 







−=




−=−= ∫∫
xxdxxxdxyyA
22 m 167,0m 
6
1
3
1
2
1
≈=−=A
O momento estático de Sx é definido como
( )dxyyyydAySx ∫∫ −




 +
==
1
0 21
21
2
22
1
0
53
1
0
42
1
0
2
2
m 067,0m 
15
1
532
1
22
≈=








−=








−
=




−







 +
= ∫∫
xxdxxxdxxxxxSx
e o momento Sy é definido como
( )dxyyxdAxS y ∫∫ −== 10 21
22
1
0
43
321
0
1
0
2 m 083,0m 
12
1
43
≈=








−=




−=




−= ∫∫
xxdxxxdxxxxSx
Para se obter as demais propriedades geométricas aplica-se procedimento de cálculo
semelhante.
Com o objetivo de oferecer ao aluno uma forma de verificar os resultados analíticos
obtidos neste tipo de problema, fez-se um programa que utiliza a biblioteca de rotinas da
hp48G. A seqüência de telas apresentadas na Fig.(17.6) ilustra o uso do programa.
x
y
1
1
y1
y2
x
dx
y = x
y = x2
(m)
ENG 01156 – Mecânica - Aula 17
Prof Inácio Benvegnu Morsch/ aluno Eng Civil Luciano Perin - CEMACOM
174
Figura 17.6
A Fig.(17.6.a) apresenta a tela de chamada do programa. A Fig.(17.6.b) apresenta os
comandos Inicia (executa o código) e Help (apresenta comentários sobre o programa). A
Fig.(17.6.c) apresenta a tela que é visualizada escolhendo-se o comando Inicia. Nesta tela
deve-se fornecer as funções ( )xy2 , função superior, e ( )xy1 , função inferior; e os limites de
integração: limite 1 (limite inferior do intervalo de integração) e limite 2 (limite superior do
intervalo de integração). Os dados devem ser fornecidos utilizando-se a tecla [α] para ter
acesso ao teclado alfa-numérico. Após fornecidos os dados escolhe-se a opção [ok]. A partir
deste ponto, pode-se representar as funções que definem a figura conforme ilustrado nas
Fig.(17.6.e) e Fig.(17.6.f). Os resultados obtidos são área da figura, momentos estáticos de 1ª
ordem em relação aos eixos de referência, localização do centróide, momentos centrais de
inércia, produto de inércia em relação aos eixos centrais, localização dos eixos principais
centrais de inércia e momentos principais centrais de inércia. A Fig.(17.6g) ilustra alguns dos
resultados obtidos. Para se visualizar mais resultados deve-se usar o comando de rolar tela da
hp.
a) b) c)
d) e) f)
g)