CONTEUDO MECANICA GERAL

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ENG 01156 – Mecânica - Aula 23
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM
243
23. MOVIMENTO PLANO DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UM
SISTEMA EM ROTAÇÃO
Até o momento temos aplicado no estudo do movimento de um corpo rígido dois
sistemas de referência: UXYZ considerado fixo e Oxyz considerado solidário ao corpo. Com
estes sistemas de referência tem-se estudado o movimento absoluto de um corpo rígido. No
entanto, em um considerável número de problemas, a análise direta do movimento absoluto
pode ser bastante complexa. Neste caso, pode ser vantajoso o estudo indireto, ou seja
considerar o movimento em relação a eixos móveis, movimento relativo, para depois
determinar o movimento absoluto. É importante ressaltar que o movimento que se denomina
absoluto é também, a rigor, relativo. Já que não se pode construir ou identificar um sistema
fixo, já que conforme o princípio da relatividade de Newton: “é impossível dizer, mediante
experiências mecânicas realizadas num sistema, se o mesmo encontra-se em repouso ou
animado de translação retilínea uniforme”. Este princípio foi complementado por Einstein
que afirma a impossibilidade de se discernir, através de experiências físicas, o estado de
repouso do estado de movimento retilíneo uniforme. Logo, o movimento é completamente
relativo, somente em relação a outro corpo, que é tomado como referência, pode-se afirmar
que um sólido se movimenta.
Para analisar o movimento relativo vamos considerar dois sistemas de referência. O
sistema UXY, que é considerado fixo, e o sistema Oxy, que é móvel em relação ao sistema
UXY. Em relação a estes sistemas de referência considera-se um corpo rígido móvel. A Fig.
(23.1) ilustra esta situação.
Figura (23.1) – Representação do movimento relativo.
Seja P um ponto do sólido em movimento. Logo, a posição deste ponto em relação ao
sistema UXY é dado por ( )YXP , sendo ( )tX e ( )tY . A partir destas equações pode-se
definir a velocidade e aceleração absolutas de P. Por outro lado, a posição do ponto P
também pode ser definida como jyixOP
!!
++= , sendo ( )tO , ( )ti! , ( )tj! , ( )tx e ( )ty . As
coordenadas x e y são variáveis porque o sistema de referência Oxy não é solidário ao corpo.
O
P(x, y)
X
U
Y
x
y
i
j
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244
As funções ( )tx e ( )ty representam o movimento do ponto P em relação ao sistema
móvel Oxy, logo estas funções representam o movimento relativo do ponto P. Já as funções
( )tO , ( )ti! e ( )tj! representam o movimento do sistema móvel Oxy, bem como de todos os
pontos solidários ao mesmo, em relação ao sistema de referência fixo UXY, logo estas
funções definem o movimento de condução ou arrastamento. Para melhor compreender estas
definições vamos considerar uma mesa que é arrastada por uma pessoa. Todos os objetos que
se encontram sobre a mesa são obrigados a se deslocar junto com esta, ou seja estes são
arrastados (conduzidos) pela mesa, uma vez que estão associados a esta. Por outro lado, se
um dos objetos sobre a mesa é deslocado por uma segunda pessoa, enquanto a mesa é
arrastada, tem-se claramente o movimento de condução (arrastamento da mesa) e o
movimento relativo (deslocamento do objeto sobre a mesa). A Fig. (23.2) ilustra esta
situação.
Fig. (23.2) – Exemplo de movimento de condução e movimento relativo.
Para se calcular a velocidade do ponto P deve-se derivar em relação ao tempo a
expressão jyixOP
!!
++= . Realizando-se esta operação obtém-se
j
dt
dx
i
dt
dx
dt
jd
y
dt
id
x
dt
dO
dt
dP !!
!!
++++= (23.1)
Aplicando-se as fórmulas de Poisson, expressões (21.7), na (23.1) tem-se
j
dt
dy
i
dt
dx
jyixVpV O
!!!!!!""
++×+×+= ωω (23.2)
que pode ser rescrita como
j
dt
dy
i
dt
dx
jyixVV OP
!!!!!!""
++×+×+= ωω (23.3)
Aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial em relação a soma de vetores tem-se
( ) j
dt
dy
i
dt
dx
jyixVV OP
!!!!!""
+++×+= ω (23.4)
Nesta expressão ( ) ( )OPjyix −=+ !! , logo pode-se rescrever a (23.4) como
( ) j
dt
dy
i
dt
dx
POVV OP
!!"""
++×−+= ω (23.5)
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245
A velocidade representada em (23.5) é a velocidade absoluta, a qual pode ser decomposta na
velocidade de arrastamento (condução) mais a velocidade relativa, ou seja rPcPP VVV
"""
+= , as
quais são definidas pelas expressões
( ) ω""" ×−+= POVV OcP (23.6)
j
dt
dy
i
dt
dx
VrP
!!"
+= (23.7)
Para se definir a aceleração do ponto P deve-se derivar a (23.5) em relação ao tempo.
Executando-se esta operação tem-se
( ) j
dt
yd
i
dt
xd
dt
jd
dt
dy
dt
id
dt
dx
dt
dP
dt
dO
dt
d
POaa OP
!!
"!
!
!
!!
2
2
2
2
++++×


−+×−+= ω
ω
(23.8)
Considerando-se que 
dt
dO
VO =
"
; 
dt
dP
VP =
"
; 
dt
dω
α
!
"
= e aplicando as expressões (21.7) tem-se
( ) ( ) j
dt
yd
i
dt
xd
j
dt
dy
i
dt
dx
VVPOaa POOP
!!!!!!!"""!!
2
2
2
2
++×+×+×−+×−+= ωωωα (23.9)
que pode ser rescrita como
( ) ( ) j
dt
yd
i
dt
xd
j
dt
dy
i
dt
dx
VVPOaa OPOP
!!!!!!""!"!!
2
2
2
2
++×+×+−×+×−+= ωωωα (23.10)
Substituindo-se a (23.5) na (23.10) e aplicando a propriedade distributiva do produto vetorial
em relação a soma de vetores tem-se
( ) ( )
j
dt
yd
i
dt
xd
j
dt
dy
i
dt
dx
Vj
dt
dy
i
dt
dx
POVPOaa OOOP
!!!!!
"!!""!"!!
2
2
2
2
++

 +×+



−++×−+×+×−+=
ω
ωωα
(23.11)
Simplificando-se esta expressão, e substituindo-se a (23.7) fica
( ) ( )[ ] j
dt
yd
i
dt
xd
VVPOPOaa rPrPOP
!!"!""!"!!
2
2
2
2
++×++×−×+×−+= ωωωα (23.12)
que pode ser rescrita como
( ) ( )[ ] j
dt
yd
i
dt
xd
VPOPOaa rPOP
!!"!"!"!!
2
2
2
2
2 ++×+×−×+×−+= ωωωα (23.13)
Analisando-se a expressão (23.13) nota-se que a aceleração devida ao movimento de
condução é dada pela expressão (23.14) e a aceleração relativa é dada pela expressão (23.15).
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( ) ( )[ ]ωωα "!"!! ×−×+×−+= POPOaa OcP (23.14)
j
dt
yd
i
dt
xd
arP
!!!
2
2
2
2
+= (23.15)
O termo restante da expressão (23.13), rPV
"!
×ω2 , é denominado de aceleração de Coriolis
também chamada de aceleração complementar ou aceleração centrífuga composta. O nome
desta aceleração foi dado em homenagem ao matemático francês De Coriolis (1792-1843).
Definindo-se a aceleração de Coriolis como
rPP Va
"!!
×= ωτ 2 (23.16)
Portanto, a aceleração de um ponto P pode ser escrita como
PrPcPP aaaa τ
!!!!
++= (23.17)
A respeito da aceleração de Coriolis nota-se que
! O módulo da aceleração de Coriolis é dado por rPrPP VVa ωωτ 290sen2 =°⋅⋅=
! A sua direção é ortogonal ao vetor ω
!
 e ao vetor rPV
"
;
! O sentido desta aceleração é dado pela regra da mão direita;
! Para que exista aceleração de Coriolis o movimento de condução deve ser de rotação.
Deve também existir um movimento relativo que pode ser uma translação ou uma
rotação.
A aceleração de coriolis pode ser calculada pela expressão
ji
kji
ji PxPy
PyPx
PPP VV
VV
aaa
yx
ωωωτττ 22
0
002 +−=








⋅=+=
"
(23.18)
Para interpretarmos o o significado físico da aceleração de Coriolis vamos considerar
o exemploilustrado na Fig. (23.3). Neste exemplo, o cursor P desliza com uma velocidade
relativa constante ao longo da barra OB, que por sua vez gira com velocidade angular
constante em torno de O.
Figura (23.3)
X
Y
U=O
x
y
i
j
VrP
ω
P
r
�
�
�
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��
��
��	
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��
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A solução deste problema passa pela particularização das expressões (23.5) e (23.13).
Pela Fig.(23.3) nota-se que UO = , logo 0=OV
"
 e ( ) ω"" ×−= POVcP . Analisando-se a
velocidade relativa de P tem-se 0=j
dt
dy !
 já que o movimento do cursor é guiado pela haste.
Logo, i
dt
dx
VrP
!"
= . Quanto à aceleração verifica-se que 0=Oa
!
 e 0=α
"
 já que ω é constante.
Logo, ( )[ ] ( )POPOacP −=×−×= 2ωωω "!! . Analisando-se a aceleração relativa tem-se
0
2
2
=j
dt
yd !
, já que o movimento do cursor é guiado pela haste, e 0
2
2
=i
dt
xd !
, já que a
velocidade relativa é constante. Portanto,. Analisando-se a aceleração de Coriolis tem-se
jPxP Va ωτ 2=
"
. A Fig.(23.4) ilustra a orientação da velocidade e aceleração do ponto P.
Figura (23.4) – Orientação da velocidade e aceleração do ponto P.
Com estes resultados podemos analisar o significado físico da aceleração de Coriolis.
Para tal, considera-se a Fig. (23.5) que ilustra o mecanismo da Fig. (23.3) em duas posições
em instantes de tempo distintos. Na Fig.(23.6) ilustra-se as variações que ocorrem no vetor
velocidade entre estes dois instantes de tempo.
X
Y
U=O
x
y
i
j
VrP
ω
P
VcP
VP
X
Y
U=O
x
y
i
j
aτP
ω
P
acP
aP
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Figura (23.5)
Figura (23.6) – Variação no vetor velocidade entre os dois instantes de tempo. Os vetores em
azul correspondem ao tempo t e os vetores em vermelho ao tempo t1.
A aceleração do ponto P, que é responsável pela variação do vetor velocidade
ilustrada na Fig. (23.6), vale ( ) jPxP VPOa ωω 22 +−=! . A aceleração de condução
representa a aceleração centrípeta ou normal, sendo a responsável pela alteração da direção
da velocidade de condução, ou seja, pelo vetor ( )CD − . Já aceleração de Coriolis é
responsável pela alteração da direção da velocidade relativa, ou seja, pelo vetor ( )AB − , e
X
Y
U=O
y
i
j
VrP
ω
P
r
y
X
Y
U=O
y
ij
VrP1
ω
r 1
x
P1
VcP
VcP1
tempo= t
tempo= t1
θ+∆θ
θ
VrP1
VrP
VcP
VcP1 A
B
C
D
E
�
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pela alteração do módulo da velocidade de condução, ou seja, pelo vetor ( )DE − . Portanto, a
aceleração de Coriolis tem um efeito composto sobre o vetor velocidade.
Dicas para resolver problemas em relação a um referencial em rotação. Na
maioria das vezes fica mais fácil resolver os problemas quando
• As origens do sistema de referência fixo e móvel são coincidentes, ou seja, UO = ;
• Os eixos correspondentes são colineares;
• Os eixos correspondentes são paralelos.
Deve-se observar que o referencial móvel deve ser posicionado solidário ao corpo ao longo do
qual ocorre o movimento relativo.
23.1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) Vamos considerar o mesmo mecanismo apresentado nas figuras (23.3) a (23.5) com os
seguintes dados. O braço ranhurado gira com velocidade angular constante sradk / 2
"
−=ω .
Simultaneamente o bloco se move no sentido indicado com smV /2= (constante).
Determinar a velocidade e a aceleração do ponto P quando mPOe 5,260 =°=θ
Solução: O processo de solução já foi comentado anteriormente, de modo que o procedimento a seguir está
resumido.
( ) smj
kji
POVcP /5
200
005.2
!
!!!
""
−=
−
−=×−= ω m/s 2ii
dt
dx
VrP
!!"
==
( )m/s 928,0;371,039,5m/s 25 −=+−=+= ijVVV rPcPP !!"""
( ) ( ) ( ) 222 /105.22 smiiPOacP !!! −=−−=−= ω 0=rPa! 2/8
002
20022 smj
kji
Va rpP
"
!!!
"!!
−=−=×= ωτ
( ) 22 /625,0;781,081,12/810 smsmjiaaaa PrPcPP −−=−−=++= ""!!!! τ
A figura abaixo ilustra a representação do vetor velocidade e aceleração do ponto P.
X
Y
U=O
x
y
i
j
P
2 rad/s
2 m/s
5 m/s
5,39 m/s
X
Y
U=O
x
y
i
j
P
2 rad/s
10 m/s2
8 m/s2
12,81 m/s2
�
�
�
��
��
��
��	
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���
��
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250
0
,3
3
1
1
B
C
A
0,15 m/s
ω
(m)
I
J
X
Y
i
j
x
y
2) O equipamento ilustrado gira em relação a C e é operado pelo cilindro hidráulico AB. Se o
cilindro avança com uma velocidade constante de 0,15 m/s, determine a velocidade angular e
a aceleração angular do recipiente no instante em que ele atinge a posição horizontal. (Obs. O
recipiente e o ponto B tem ligação rígida).
Solução: A figura ao lado indica os eixos
de referência adotados: (I, J), com origem
no ponto C, para os eixos fixos e (i, j),
com origem no ponto A, para os eixos
móveis. Logo, a velocidade do ponto B
em relação ao sistema fixo pode ser
escrita como
( ) BCCB BCVV ω!!! ×−+=








−+=
BC
BV
ω00
033,00
KJI
0
!
IBCBV ω330,0−=
!
 (1)
A velocidade do ponto B em relação ao
sistema de referência móvel pode ser
escrita como
relatcond BBB VVV
!!!
+=
m/s 15,0 j=
relatBV
!
m 66,133,11
22
=+=− BA
( ) 15,066,166,1
00
066,10 jii
kji
+−=→−=








−=×−= BABBA
BA
BAB VBAV cond ωω
ω
ω
!!!
 (2)
Para relacionarmos BV
!
 escrito em relação ao referencial fixo com BV
!
 escrita em relação ao referencial móvel,
devemos aplicar uma rotação no eixos (I, J) ou seja 



⋅



−
=



J
I
j
i
θθ
θθ
cossen
sencos
. A matriz




−
=
θθ
θθ
cossen
sencos
R é chamada matriz de rotação. No caso deste problema, θ é o ângulo entre o eixo x e a
horizontal. Este ângulo é calculado fazendo-se
°=→=→= 94,3606,53
1
33,1
tan θαα ,
8,094,36cos = e 6,094,36sen =
A figura ao lado ilustra o funcionamento deste
formulário.
Aplicando-se a matriz de rotação obtém-se



−
⋅



−
=
0
33,0
8,06,0
6,08,0 BC
BV
ω"
ji BCBCBV ωω 198,0264,0 +−=
"
 (3)
Agora relacionando os resultados obtidos em (2) e (3) obtém-se
 198,0264,015,066,1 jiji BCBCBABV ωωω +−=+−=
!
X
Y
x
y
I
J
ij 36,94 
o
�
�
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��
��
��
��	
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��
���
��
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���
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BCBABABC ωωωω 159,066,1264,0 =→−=− e rad/s 758,015,0198,0 =→= BCBC ωω
12,0=BAω rad/s
m/s 25,0758,0330,0 II −=⋅−=BV
!
Para as acelerações aplica-se o mesmo processo de solução. Logo a aceleração do ponto B em relação ao
referencial fixo (ponto C) é escrita como
( ) ( ) ( ) JIJ
KJI
19,033,033,0758,0
00
033,00
22
−−=−+








−=−+×−= BC
BC
BCB BCBCa BC α
α
ωα
!!
 (4)
A aceleração do ponto B em relação ao sistema de referência móvel pode ser escrita como
coriolisBrelatBcondBB aaaa
!!!!
++=
( ) ( ) ( ) jij
kji
0 024,066,166,112,0
00
066,10
22
−−=−+








−+=−+×−+= BA
BA
BABAAB BABAaa cond α
α
ωα
!!!
0=+= j
dt
yd
i
dt
xd
aBrelat
!!!
2
2
2
2
 ; 0=i
dt
xd !
2
2
 porque ocilindro avança com velocidade constante e 0=j
dt
yd !
2
2
porque, no instante de tempo considerado, o cilindro desloca-se na direção x.
i
kji
036,0
015,00
12,00022 −=








⋅=×= BrelatBAB Va corio
""!
ω
Logo, pode-se escrever
( ) ji 024,0036,066,1 −−−= BABa α! (5)
O próximo passo é aplicar a matriz de rotação na expressão (4) de modo que seja possível comparar a
aceleração obtida em relação ao referencial fixo com a aceleração obtida em relação ao referencial móvel.
Executando-se esta operação tem-se




−
−−
=



−
−
⋅



−
=
152,0198,0
114,0264,0
19,0
33,0
8,06,0
6,08,0
BC
BCBC
Ba α
αα"
 (6)
Igualando-se as expressões (6) e (5) tem-se
( ) ( ) ( )jiji 152,0198,0114,0264,0024,0036,066,1 −+−−=−−−= BCBCBABa ααα!
que resulta nas seguintes equações escalares


−=−
−−=−−
152,0198,0024,0
114,0264,0036,066,1
BC
BCBA
α
αα
 que resulta em rad/s 646,0=BCα e rad/s 15,0=BAα
( ) 22 m/s671,0;741,0283,0m/s19,021,019,0646,033,0 −−=−−=−⋅−= JIJIBa!
�
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3) O colar B desliza ao longo da haste OC e está articulado ao bloco deslizante que sobe pela
ranhura com velocidade constante v = 5 m/s. Determinar para o instante ilustrado 
relatB
V
!
,
condB
V
!
, OCω
!
 e OCα
!
.
Solução: Adota-se o mancal como a origem do sistema fixo UXY e do sistema móvel Oxy, cujo eixo x é
orientado na direção da haste conforme ilustrado na figura acima. Com estes eixos o movimento relativo é uma
translação ao longo do eixo x. O primeiro passo na solução do problema é projetar a velocidade do colar nos
eixos de referência móveis.
m/s 5,230sen5 =°⋅=xV m/s 33,430cos5 =°⋅=yV
Particularizando-se as expressões (23.6) e (23.7) tem-se
- Os ponto U e O são coincidentes, logo 0=OV
!
 e 0=Oa
!
;
- O ponto B representa o ponto P do formulário;
- Os pontos B e O pertencem à haste, logo hasteBO ωω = e hasteBO αα = ;
- O colar realiza um movimento relativo (translação) ao longo do eixo x, logo
0=j
dt
dy !
 e 0
2
2
=j
dt
dy !
.
( ) m/s 464,3
00
00464,3 j
kji
haste
haste
hasteB BOV cond ω
ω
ω =








−=×−=
""
 (1) e i
dt
dx
V relatB
!"
= (2)
Comparando-se as expressões (1) e (2) com as projeções da velocidade de 5 m/s nos eixos de referência móveis,
conclui-se que m/s 33,4 jj == yB VV cond
"
 e m/s i2,5i == xrelatB VV
"
. Logo, pode-se escrever
rad/s 25,133,4464,3 =→= hastehaste ωω
Segundo o texto do problema, a velocidade de 5 m/s é constante e, além disso, a direção desta velocidade
também não varia no instante de tempo considerado, logo 0=Ba
!
, ou seja 0=++
coriorelatcond BBB aaa
!!!
.
Particularizando-se as expressões (23.14) a (23.16) tem-se
( ) ( ) ( ) iji
kji
413546432514643
00
004643
22 ,,,,, −=⋅−+








−=−+×−= haste
haste
hastehasteB BOBOa cond α
α
ωα
"!
X
Y
U=O
x
y
i
j
5 m/s
B
3 m
30o
5 m/s
B
30o
�
�
�
��
��
��
��	
�
�
��
��
���
��
���
���
��
�
�
ENG 01156 – Mecânica - Aula 23
Prof Inácio Benvegnu Morsch - CEMACOM
253
iai
dt
xd
a rBrelat
!!!
==
2
2
 e 
2
m/s 25,6
005,2
25,10022 j
kji
=








⋅=×=
relatcorio BhasteB Va
"!!
ω
Logo, pode-se escrever 0 25,6413,5464,3 =++− jiij rhaste aα , que resulta em duas equações escalares
2
rad/s 8,10 25,6464,3 −=→=+ hastehaste αα e 
2
m/s 413,5 0 413,5 =→=+− rr aa