lista6 GAAL vetores

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Centro Universita´rio UNA
Geometria Anal´ıtica - Vetores
Professora: Lucinea do Amaral
1. Dados os vetores ~u = 2~i− 3~j, ~v =~i−~j e ~w = −2~i+~j, determine:
(a) 2~u− ~v
(b) ~v − ~u+ 2~w
(c)
1
2
~u− 2~v − ~w
(d) 3~u− 1
2
~v − 1
2
~w
2. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determine o vetor ~x tal que:
(a) 4(~u− ~v) + 1
3
~x = 2~u− ~x
(b) 3~x− (2~v − ~u) = 2(4~x− 3~u)
3. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5), C(3,−1) e O(0, 0), calcule:
(a)
−→
OA−−→AB
(b)
−→
OC −−−→BC
(c) 3
−→
BA− 4−−→CB
4. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determine a1 e a2 tais que
~w = a1~u+ a2~v.
5. Dados os pontos A(3,−4) e B(−1, 1) e o vetor ~v = (−2, 3), calcule:
(a) (B − A) + 2~v
(b) (A−B)− ~v
(c) B + 2(B − A)
(d) 3~v − 2(A−B)
6. Sejam os pontos A(−5, 1) e B(1, 3). Determine o vetor ~v = (a, b) tal que:
(a) B = A+ 2~v
(b) A = B + 3~v
1
7. Represente no gra´fico o vetor
−→
AB e o correspondente vetor posic¸a˜o, nos casos:
(a) A(−1, 3) e B(3, 5)
(b) A(−1, 4) e B(4, 1)
(c) A(4, 0) e B(0,−2)
(d) A(3, 1) e B(3, 4)
8. Calcule os valores de a para que o vetor ~u = (a,−2) tenha mo´dulo 4.
9. Calcule os valores de a para que o vetor ~u = (a,
1
2
) seja unita´rio.
10. Dado o vetor ~v = (−1, 3), determinar o vetor paralelo a ~v que tenha:
(a) o sentido contra´rio ao de ~v e duas vezes o mo´dulo de ~v.
(b) o mesmo sentido de ~v e mo´dulo 2.
(c) sentido contra´rio ao de ~v e mo´dulo 4.
11. Dados os vetores ~u = (1,−1), ~v = (−3, 4) e ~w = (8,−6), calcule:
(a) |~u|
(b) |~v|
(c) |~w|
(d) |2~u− ~w|
(e) |~w − 3~u|
(f)
v
|~v|
(g)
∣∣∣ u|~u|∣∣∣
12. Dados os vetores ~u = (1,−2, 1), ~v = (2, 0,−4) e w = (−4,−4, 14), determine k1 e k2 tal que
~w = k1~u+ k2~v.
13. Dados os pontos A(2,−3, 1) e B(4, 5,−2) determine o ponto P tal que −→AP = −−→PB.
14. Determine o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4)− ~v.
15. Determine a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos.
16. Sabendo que 3~u − 4~v = 2~w, determine a, b e c, onde ~u = (2,−1, c), ~v = (a, b − 2, 3) e
~w = (4,−1, 0).
17. Dados A(2,−2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor ~v = (1, 3,−4), calcule:
(a) A+ 3~v
(b) (A−B)− ~v
2
(c) B + 2(B − A)
(d) 2~v − 3(B − A)
18. Quais dos seguintes vetores ~u = (4,−6, 2), ~v = (−6, 9,−3), ~w = (14,−21, 9) e ~t = (10,−15, 5)
sa˜o paralelos?
19. Dado o vetor ~w = (3, 2, 5), determine a e b de modo que os vetores ~u = (3, 2,−1) e
~v = (a, 6, b) + 2~w sejam paralelos.
20. Determine o valor de n para que o vetor ~v = (n,−1
2
,
3
4
) seja unita´rio.
Respostas
1) a) (3,−5) b) (−5, 4) c) (1,−1
2
) d) (13
2
,−9) 2) a) (−15
2
, 15
2
) b) (23
5
,−11
5
)
3) a) (−4, 1) b) (2, 5) c) (−5,−30) 4) a1 = −1 e a2 = 2 5) a) (−8, 11, )
b) (6,−8) c) (−9, 11) d) (−14, 19) 6) a) v = (3, 1) b) v = (−2,−2
3
) 8)
±2√3 9) ±
√
3
2
10) a) (−2, 6) b) ( 2√
10
,− 6√
10
) c) (− 4√
10
, 12√
10
) 11) a)
√
2 b) 5
c) 10 d)
√
13 e) 2
√
13 f)
√
34 g) (−3
5
, 4
5
) h) 1 12) k1 = 2 e k2 = −3
13) P (3, 1,−1
2
) 14) (1, 1, 1) 15) a = 3
2
e b = −9
2
16) a = −1
2
, b = 7
4
e c = 4 17)
a) (5, 7,−9) b) (0,−6, 2) c) (−1, 7, 9) d) (5,−3,−14) 18) sa˜o paralelos: ~u, ~v e
~t 19) a = 9 e b = −15 20) ±
√
3
4
3