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RESMAT 1
ESTADO PLANO DE TENSÕES
1) Introdução
- Para um projeto adequado, é necessário determinar o valor,
onde e em que direções ocorrem as tensões que podem
afetar a estabilidade do corpo, para reforçar essas pontos
aumentando a segurança e durabilidade do projeto.
ESTADO PLANO DE TESÕES
1) Introdução
ESTADO PLANO DE TESÕES
- O estado geral de tensões em um ponto é caracterizado por
seis componentes independentes de tensões normais e de
cisalhamento (𝜎𝑥 , 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 , 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧 e 𝜏𝑦𝑧) .
2) Estado plano de tensões
- Simplificações são usadas para analisar os efeitos das
tensões em um único plano, considerando apenas
(𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 , 𝜏𝑥𝑦) .
ESTADO PLANO DE TESÕES
2) Estado plano de tensões
- Se o plano rotacionar o sistema de tensões (𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦) terá
valores diferentes (𝜎′𝑥 , 𝜎′𝑦 , 𝜏′𝑥𝑦).
ESTADO PLANO DE TESÕES
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦

3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES

3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦

3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES

𝜎𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES

𝜎𝑥
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦

A.cos()
A.sen()
- Tensões - Áreas
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES

𝜎𝑥.A.sen()
𝜏𝑥𝑦.A.cos()
𝜏𝑥𝑦.A.sen()
𝜎𝑦.A.cos()
- Forças (𝐹 = 𝜎. 𝐴 𝑜𝑢 𝐹 = 𝜏. 𝐴)
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑥.A.sen()
𝜏𝑥𝑦.A.cos()
𝜏𝑥𝑦.A.sen()
𝜎𝑦.A.cos()
- Diagrama de Forças

3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑥.A.sen()𝜏𝑥𝑦.A.cos()
𝜏𝑥𝑦.A.sen()𝜎𝑦.A.cos()
- Diagrama de Forças (rotacionado em sentido horário de )




3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
- Equilíbrio de Forças no eixo y
𝜎′𝑦A + 𝜏𝑥𝑦Asen()cos() + 𝜏𝑥𝑦Acos()sen() - 𝜎𝑥Asen()sen() - 𝜎𝑦Acos()cos() = 0
𝜎′𝑦 = -𝜏𝑥𝑦sen()cos() - 𝜏𝑥𝑦cos()sen() + 𝜎𝑥sen()sen() + 𝜎𝑦cos()cos()
𝜎′𝑦 = -2𝜏𝑥𝑦sen()cos() + 𝜎𝑥𝑠𝑒𝑛
2(𝜃) + 𝜎𝑦𝑐𝑜𝑠
2(𝜃)
𝜎′𝑦 = 𝜎𝑥𝑠𝑒𝑛
2(𝜃) + 𝜎𝑦𝑐𝑜𝑠
2 𝜃 -2𝜏𝑥𝑦sen()cos()
𝜎′𝑦 = 𝜎𝑥
(1−cos 2𝜃)
2
+ 𝜎𝑦
(1+cos 2𝜃)
2
-2𝜏𝑥𝑦
𝑠𝑒𝑛(2𝜃)
2
𝜎′𝑦 = 𝜎𝑥
(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
2
− 𝜎𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2
cos 2𝜃 - 𝜏𝑥𝑦sen(2)
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
- Equilíbrio de Forças no eixo x
𝜏′𝑥𝑦A + 𝜏𝑥𝑦Asen()sen() + 𝜎𝑥Asen()cos() - 𝜏𝑥𝑦Acos()cos() - 𝜎𝑦Acos()sen() = 0
𝜏′𝑥𝑦 = - 𝜏𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛
2(𝜃) - 𝜎𝑥sen()cos() + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠
2(𝜃) + 𝜎𝑦cos()sen()
𝜏′𝑥𝑦 = -(𝜎𝑥 - 𝜎𝑦)sen()cos() + 𝜏𝑥𝑦(𝑐𝑜𝑠
2 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃))
𝜏′𝑥𝑦 = −
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)
2
sen(2θ) + 𝜏𝑥𝑦cos(2𝜃)
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
- Calculando 𝜎′𝑥
Para determinar 𝜎′𝑥, basta usar a equação de 𝜎′𝑦 substituindo  por
+90.
𝜎′𝑦 = 𝜎𝑥
(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
2
− 𝜎𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2
cos 2𝜃 - 𝜏𝑥𝑦sen(2)
𝜎′𝑥 = 𝜎𝑥
(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
2
− 𝜎𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2
cos 2(𝜃 + 90) - 𝜏𝑥𝑦sen(2(𝜃 + 90))
𝜎′𝑥 = 𝜎𝑥
(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
2
− 𝜎𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2
cos(2𝜃 + 180) - 𝜏𝑥𝑦sen(2𝜃 + 180)
𝜎′𝑥 = 𝜎𝑥
(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
2
+ 𝜎𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2
cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦sen(2)
3) Cálculo de (𝝈′𝒙, 𝝈′𝒚, 𝝉′𝒙𝒚) após rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
- Resumindo:
𝜎′𝑦 = 𝜎𝑥
(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
2
− 𝜎𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2
cos 2𝜃 - 𝜏𝑥𝑦sen(2)
𝜎′𝑥 = 𝜎𝑥
(𝜎𝑥+𝜎𝑦)
2
+ 𝜎𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)
2
cos 2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦sen(2)
𝜏′𝑥𝑦 = −
(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)
2
sen(2θ) + 𝜏𝑥𝑦cos(2𝜃)
- Essas equações só podem ser usadas para rotação em sentido anti-horário.
- Para rotações em sentido horário, 𝜽 deve ser substituído por 90- 𝜽.
4) Rotação anti-horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
𝜏′𝑥𝑦
𝜏′𝑥𝑦


4) Rotação horária de .
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
𝜏′𝑥𝑦
𝜏′𝑥𝑦
90-


- Usa-se uma rotação anti-horária de 90- 𝜽:
FIM