Apostila Estatistica

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ESTATÍSTICA
DEFINIÇÃO 
PODEROSA FERRAMENTA DA MATEMÁTICA APLICADA QUE FORNECE MÉTODOS PARA A COLETA, ORGANIZAÇÃO, DESCRIÇÃO, ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS QUE SERÃO UTILIZADOS NA TOMADA DE DECISÕES.
-> LARGAMENTE UTILIZADA NA ECONÔMIA, ENGENHARIA, MEDICINA, FÍSICA, AGRICULTURA.
UTILIZANDO MEIOS DA INFORMÁTICA, A ESTATÍSTICA TEM SIDO FUNDAMENTAL NO AUXILIO A TOMADA DE DECISÕES ESTRATÉGICAS. A PARTIR DAS ANÁLISES DE DADOS ORGANIZADOS PODEMOS:
FAZER DIAGNÓSTICO
DETERMINAR TENDÊNCIAS
ELABORAR PLANEJAMENTO PRECISO
O CONCEITO ESTATÍSTICO MAIS UTILIZADO NO DIA A DIA É A MÉDIA.
O CONHECIMENTO DA MÉDIA DE UMA DISTRIBUICAO NÃO NOS DÁ MUITAS INFORMAÇÕES E PODE INCLUSIVE GERAR INTERPRETAÇÕES ERRADAS.
POR EXEMPLO, VOCE CONHECERÁ A HISTÓRIA DE UM HOMEM QUE TINHA 1,90m DE ALTURA E QUE MORREU AFOGADO AO TENTAR ATRAVESSAR UM RIO, POIS DISSERAM A ELE QUE A PROFUNDIDADE MÉDIA DO LOCAL ERA DE 1,50m.
COMO ?! VOCÊ VAI FICAR SABENDO A SEGUIR.
MÉTODO ESTATÍSTICO
METODO EXPERIMENTAL
CONSISTE EM MANTER CONSTANTES TODAS AS CAUSAS (FATORES), MENOS UMA, E VARIAR ESTA CAUSA DE MODO QUE O PESQUISADOR POSSA DESCOBRIR SEUS EFEITOS, CASO EXISTAM. -> FÍSICA, QUÍMICA, ETC.
METODO ESTATÍSTICO
MUITAS VEZES HÁ NECESSIDADE DE DESCOBRIR FATOS EM UM CAMPO EM QUE O METODO EXPERIMENTAL NÃO SE APLICA, POIS VÁRIOS FATORES AFETAM O FENÔMENO EM ESTUDO E NÃO PERMANECEM CONSTANTES ENQUANTO FAZEMOS VARIAR A CAUSA QUE NOS INTERESSA. POR EXEMPLO, O PREÇO DE UMA MERCADORIA É INFLUENCIADO PELA CARGA TRIBUTÁRIA, CUSTO DE LOGÍSTICA, DEMANDA DO CONSUMIDOR, INFLAÇÃO. -> IMPOSSÍVEL MÉTODO EXPERIMENTAL.
 
O MÉTODO ESTATÍSTICO: DIANTE DA VARIAÇÃO DE DIVERSOS FATORES EM UMA ANÁLISE OU PROCESSO, ADMITIMOS TODAS ESTAS CAUSAS PRESENTES, VARIANDO-AS E REGISTRANDO TODAS ESSAS VARIAÇÕES, PROCURANDO DETERMINAR DE MODO CLARO E OBJETIVO, NO RESULTADO FINAL, QUE INFLUÊNCIAS CABEM A CADA UMA DELAS. 
*ESTATÍSTICA DESCRITIVA: COLETA, ORGANIZAÇÃO E DESCRIÇÃO DE DADOS.
*ESTATÍSTICA INDUTIVA OU INFERENCIAL: ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DESSES DADOS, VISANDO DIAGNÓSTICO E TOMADA DE DECISÕES -> ASPECTO ESSÊNCIAL DA ESTATÍSTICA.
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
COLETA DE DADOS – CONTINUA, PERIÓDICA, OCASIONAL.
CRÍTICA DE DADOS – PROCURA FALHAS / IMPERFEIÇÕES
APURAÇÃO DE DADOS – MANUAL OU ELETRÔNICA
EXPOSIÇÃO DOS DADOS – TABELAS / GRÁFICOS
ANÁLISE DOS RESULTADOS – ESTATÍSTICA INFERENCIAL
POPULAÇÃO
A ESTATÍSTICA PARTE DA OBSERVAÇÃO DE GRUPOS, GERALMENTE NUMEROSOS, AOS QUAIS DAMOS O NOME DE POPULAÇÃO OU UNIVERSO ESTATÍSTICO.
UNIDADE ESTATÍSTICA: CADA ELEMENTO DA POPULAÇÃO
	POPULAÇÃO
	UNIDADE ESTATÍSTICA
	50 ALUNOS ESTUDAM NO CURSO DE ENGENHARIA.
	CADA ALUNO DO CURSO DE ENGENHARIA
	100.000 PEÇAS PRODUZIDAS POR UMA INDÚSTRIA ELETRO-ELETRÔNICA.
	CADA PEÇA PRODUZIDA.
AMOSTRA
A POPULACAO ESTATÍSTICA PODE SER FINITA OU INFINITA.
FINITA: NOTAS DE MATEMÁTICA DOS ALUNOS DA FIB NO SEMESTRE
INFINITA: TEMPERATURAS NOS DIVERSOS PONTOS DO BRASIL EM DETERMINADO MOMENTO
-> QUANDO O UNIVERSO ESTATÍSTICO A SER ANALISADO É MUITO GRANDE, UTILIZAMOS A TÉCNICA DA AMOSTRAGEM: MAIS ECONÔMICA E RÁPIDA.
 
TIPOS DE AMOSTRAGEM
AMOSTRAGEM: TÉCNICA QUE VISA GARANTIR O ACASO NA ESCOLHA DA AMOSTRA -> PRECISAO DE RESULTADO/ANÁLISE.
AMOSTRAGEM CASUAL OU ALEATÓRIA – NA PRATICA PODE SER REALIZADA NUMERANDO-SE A POPULAÇÃO DE 1 A n, SORTEANDO-SE POR MEIO DE UM DISPOSITIVO ALEATÓRIO QUALQUER, K NÚMEROS DESSA SEQUÊNCIA, OS QUAIS CORRESPONDERÃO AOS ELEMENTOS PERTENCENTES A AMOSTRA.
EX: OBTER AMOSTRA REPRESENTATIVA PARA PESQUISA DA ESTATURA DE 90 ALUNOS DE UMA ESCOLA:
A – NUMERAMOS OS ALUNOS DE 01 A 90
B – SORTEAMOS 9 NÚMEROS DA AMOSTRAGEM: 10% POPULACAO
-> MEDINDO AS ALTURAS DOS ALUNOS CORRESPONDENTES AOS NÚMEROS SORTEADOS, OBTEREMOS UMA AMOSTRA DAS ESTATURAS DOS 90 ALUNOS.
AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA – MUITAS VEZES A POPULACAO SE DIVIDE EM SUBPOPULACOES: ESTRATOS. UMA VEZ QUE CADA VARIÁVEL EM ESTUDO PODE APRESENTAR, DE ESTRATO EM ESTRATO, COMPORTAMENTO HETEROGÊNEO, E DENTRO DE CADA ESTRATO, UM COMPORTAMENTO HOMOGÊNEO, CONVÉM QUE O SORTEIO DOS ELEMENTOS DA AMOSTRA LEVE EM CONSIDERAÇÃO TAIS ESTRATOS.
CONSIDERA A EXISTÊNCIA DE ESTRATOS.
OBTÉM ELEMENTOS DA AMOSTRA PROPORCIONAL AO NÚMERO DE ELEMENTOS DOS MESMOS.
EXEMPLO:
SUPONDO, NO EXEMPLO ANTERIOR, QUE DOS 90 ALUNOS, 54 SEJAM MENINOS E 36 SEJAM MENINAS, VAMOS OBTER AMOSTRA PROPORCIONAL ESTRATIFICADA.
EXISTEM DOIS ESTRATOS: MASCULINO E FEMINO
VISAMOS OBTER UMA AMOSTRA DE 10% DA POPULAÇÃO
ASSIM, DEVEMOS SELECIONAR 5 MENINOS E 4 MENINAS.
RESOLVA:
EM UMA FACULDADE EXISTEM 150 ALUNOS, SENDO 37 DO CURSO DE ENGENHARIA, 21 DE ECONÔMIA, 49 DE ADMINISTRAÇÃO, 18 DE BIOLOGIA E 25 DE SOCIOLOGIA. OBTENHA UMA AMOSTRAGEM DE 16% DO TOTAL DE ALUNOS E FAÇA A DISTRIBUIÇÃO PROPORCIONAL ESTRATIFICADA.
	CURSO
	POPULACAO
	CÁLCULO PROP.
	AMOSTRA
	
ENG.
	
37
	
	
5,9 -> 6,0
	
ADM.
	
49
	
	
7,8 -> 8,0
	
ECON.
	
21
	
	
3,3 -> 3,0
	
BIOL.
	
18
	
	
2,8 -> 3,0
	
SOCIO.
	
25
	
	
4,0
	
 TOTAL 150 - 24 
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA – ELEMENTOS DA POPULACAO JÁ SE ACHAM ORDENADOS: PRONTUÁRIOS MÉDICOS, LINHAS DE PRODUÇÃO.
NO CASO DA LINHA DE PRODUÇÃO, PODEMOS, A CADA 10 ITENS PRODUZIDOS, RETIRAR UM PARA PERTENCER A UMA AMOSTRA DIÁRIA, OU SEJA, FIXAMOS A AMOSTRAGEM DENTRO DOS CRITÉRIOS DE QUALIDADE DEFINIDOS PELA EMPRESA.
VARIÁVEL
PODE SER DEFINIDA COMO O CONJUNTO DE RESULTADOS POSSÍVEIS DE UM FENÔMENO
VARIÁVEL QUALITATIVA – SE OS VALORES TOMADOS NÃO SÃO NÚMERICOS: RAÇA, ÁREA DE ESTUDO, CONDIÇÃO SOCIAL.
VARIÁVEL QUANTITATIVA - SE OS VALORES TOMADOS SÃO NÚMERICOS – PREÇO, TEMPERATURA, PESO, VOLUME. IMPORTANTE: CARACTERÍSTICA QUANTITATIVA TAMBEM SE CHAMA VARIAVEL ESTATISTICA OU SIMPLESMENTE VARIÁVEL - > CADA VALOR QUE ESSA VARIÁVEL PODE ASSUMIR CHAMA-SE DADO ESTATÍSTICO.
AS VARIÁVEIS PODEM SER:
VARIÁVEL CONTÍNUA – QUANDO PODE ASSUMIR QUALQUER VALOR NO INTERVALO DE VARIAÇÃO. EX: MEDIÇÕES GERAM VARIÁVEIS CONTÍNUAS -> TEMPERATURA (90,5°C), ESTATURA (1,77m)
VARIÁVEL DISCRETA – QUANDO SÓ PODE ASSUMIR VALOR INTEIRO. EX: CONTAGENS OU ENUMERAÇÕES GERAM VARIÁVEIS DISCRETAS -> NÚMERO DE EMPRESAS DE GRANDE PORTE DE UM ESTADO (1,2,3...).
FREQUÊNCIA ABSOLUTA.
VAMOS ANALISAR A SEGUINTE SITUAÇÃO:
O QUADRO SEGUINTE MOSTRA AS NOTAS DE MATEMÁTICA DOS ALUNOS DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE UMA FACULDADE:
	
 DISCIPLINA: MATEMÁTICA CURSO: ADMINISTRAÇÃO
	
NÚMERO
	
1
	
2
	
3
	
4
	
5
	
6
	
7
	
8
	
9
	
10
	
11
	
12
	
13
	
14
	
15
	
16
	
17
	
18
	
19
	
20
	
NOTA
	
5
	
4
	
6
	
8
	
3
	
5
	
7
	
6
	
8
	
4
	
6
	
9
	
7
	
5
	
7
	
5
	
6
	
8
	
9
	
6
NESSE CASO, TEMOS:
POPULAÇÃO ESTATÍSTICA: GRUPO DOS 20 ALUNOS DE ADM
UNIDADE ESTATÍSTICA: CADA ALUNO DE ADM
VARIÁVEL ESTATÍSTICA: AS NOTAS DA PROVA
VEJAMOS AGORA A TABELA:
	i
	NOTAS ( Xi )
	CONTAGEM
	N° DE ALUNOS ( fi )
	
1
	
0
	
	
0
	
2
	
1
	
	
0
	
3
	
2
	
	
0
	
4
	
3
	
I
	
1
	
5
	
4
	
I I
	
2
	
6
	
5
	
I I I I
	
4
	
7
	
6
	
 I I I I I
	
5
	
8
	
7
	
I I I
	
3
	
9
	
8
	
I I I
	
3
	
10
	
9
	
I I
	
2
	
11
	
10
	
	
0
									 N = 20
FREQUÊNCIA ABSOLUTA ( fi ) DO VALOR Xi É O NÚMERO DE VEZES QUE A VARIÁVEL ESTATÍSTICA ASSUME O VALOR DE Xi. 
A FREQUÊNCIA ABSOLUTA DA NOTA 5,0 É 4 
A FREQUÊNCIA ABSOLUTA DA NOTA 6,0 É 5
O TOTAL DAS FREQUÊNCIAS ABSOLUTAS É:
N= f1+f2+f3+...+f11, OU SEJA:
N = 
= 20 (NÚMERO DE ELEMENTOS DA POPULAÇÃO ESTATÍSTICA)
UTILIZANDO O SOMATÓRIOO SÍMBOLO 
: USADO PARA ESCREVER ABREVIADAMENTE EXPRESSÕES QUE ENVOLVEM ADIÇÃO.
NO EXEMPLO DAS NOTAS DE MATEMÁTICA, O DESENVOLVIMENTO DO SOMATÓRIO DO 
 É DADO POR: 
= f1+f2+f3+f4+f5+f6+f7
= 0+0+0+1+2+4+5= 12
FREQUÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA.
A DISTRIBUIÇÃO DAS FREQUÊNCIAS ABSOLUTAS PODE SER COMPLETADA COM MAIS UMA COLUNA, CHAMADA FREQUÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA ( fia ), CUJOS VALORES SÃO OBTIDOS ADICIONANDO A CADA FREQUÊNCIA ABSOLUTA OS VALORES DAS FREQUÊNCIAS ANTERIORES.
VEJAMOS A SEGUINTE TABELA:
	i
	NOTAS ( Xi )
	( fi )
	( fia )
	
1
	
0
	
0
	
0
	
2
	
1
	
0
	
0
	
3
	
2
	
0
	
0
	
4
	
3
	
1
	
1
	
5
	
4
	
2
	
1+2=3
	
6
	
5
	
4
	
3+4=7
	
7
	
6
	
5
	
7+5=12
	
8
	
7
	
3
	
12+3=15
	
9
	
8
	
3
	
15+3=18
	
10
	
9
	
2
	
18+2=20
	
11
	
10
	
0
	
20
USANDO A DEFINIÇÃO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA, PODEMOS OBSERVAR:
7 ALUNOS NÃO OBTIVERAM NOTA SUPERIOR A 5.
20 – 15 = 5 ALUNOS OBTIVERAM NOTA 8 OU ACIMA DE 8.
 f6a = 
= 7
EXERCÍCIO:
O PESO (KGS) DE 20 TRABALHADORES DE UMA EMPRESA COM 100 FUNCIONÁRIOS ESTA REGISTRADO A SEGUIR:
 
COM BASE NOS DADOS OBTIDOS, RESPONDA:
QUAL A POPULAÇÃO E A UNIDADE ESTATÍSTICA DESSA PESQUISA?
100 FUNCIONÁRIOS DA EMPRESA; CADA TRABALHADOR.
QUAL É A SUA AMOSTRA ?
20 FUNCIONÁRIOS ESCOLHIDOS AO ACASO
QUAL É A VARIÁVEL NESSA PESQUISA ? É DISCRETA OU CONTÍNUA ? 
PESO DO TRABALHADOR; VARIÁVEL CONTÍNUA 
QUE FREQUÊNCIAS ABSOLUTAS TEM OS VALORES 65KG,75KG,80KG,91KG
QUANTOS TRABALHADORES TEM PESO < DE 70 KGS? ≥ 70 KGS? > 70 KGS?
7 TRABALHADORES 20 – 7 = 13 20 – 10 = 10 
RESPOSTAS:
	PESO (Xi)
	(fi)
	(fia)
	50
	1
	1
	52
	2
	1+2=3
	65
	3
	3+3=6
	68
	1
	6+1=7
	70
	3
	7+3=10
	73
	1
	10+1=11
	75
	2
	11+2=13
	77
	1
	13+1=14
	80
	3
	14=3=17
	82
	1
	17+1=18
	86
	1
	18+1=19
	91
	1
	19+1=20
 
					
FREQUÊNCIA RELATIVA. 
CHAMA-SE FREQUÊNCIA RELATIVA (fr) DO VALOR Xi DA VARIÁVEL, O QUOCIENTE ENTRE A FREQUÊNCIA ABSOLUTA (fi ) E O NÚMERO DE ELEMENTOS N DA AMOSTRA, OU SEJA:
fr = 
 
TOMANDO COMO EXEMPLO O QUADRO DE NOTAS DE MATEMÁTICA DOS ALUNOS DE ENGENHARIA, PODEMOS COMPLETA-LO COM MAIS 2 COLUNAS: A COLUNA DAS FREQUÊNCIAS RELATIVAS (fr) E A COLUNA DAS FREQUÊNCIAS RELATIVAS ACUMULADAS (fra).
	NOTAS ( Xi )
	( fi )
	( fia )
	( fr )
	( fra )
	
3
	
1
	
1
	
5%
	
5%
	
4
	
2
	
1+2=3
	
10%
	
15%
	
5
	
4
	
3+4=7
	
20%
	
35%
	
6
	
5
	
7+5=12
	
25%
	
60%
	
7
	
3
	
12+3=15
	
15%
	
75%
	
8
	
3
	
15+3=18
	
15%
	
90%
	
9
	
2
	
18+2=20
	
10%
	
100%
OBSERVANDO A TABELA TEMOS:
15% DOS ALUNOS OBTIVERAM MÉDIA 7,0
60% DOS ALUNOS OBTIVERAM MÉDIA INFERIOR A 7,0.
100% - 60% = 40% OBTIVERAM MÉDIA IGUAL OU SUPERIOR A 7,0.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS. 
O NÚMERO DE VARIÁVEIS ENVOLVIDAS EM UMA ANÁLISE ESTATÍSTICA PODE SER ÀS VEZES MUITO AMPLA E DIFERENTE, SENDO NECESSÁRIO AGRUPAR OS VALORES DA VARIÁVEL EM INTERVALOS, QUE EM ESTATÍSTICA, PREFERIMOS CHAMAR DE CLASSES. 
 
DEVE-SE ESCOLHER CONVENIENTEMENTE A AMPLITUDE DOS INTERVALOS.
AO AGRUPARMOS OS VALORES DA VARIÁVEL EM CLASSES, GANHAMOS EM SIMPLICIDADE E CLAREZA, MAS PERDEMOS EM PORMENORES.
EX: TABELA DE ESTATURAS DE 40 ALUNOS DE UM COLÉGIO
 
 
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS. 
CLASSES DE FREQUÊNCIA OU, SIMPLESMENTE, CLASSES SÃO INTERVALOS DE VARIAÇÃO DA VARIÁVEL.
AS CLASSES SÃO REPRESENTADAS SIMBOLICAMENTE POR i, SENDO i = 1,2,3,..., K ( K -> É O NÚMERO TOTAL DE CLASSES DE UMA DISTRIBUIÇÃO ).
 
EM NOSSO EXEMPLO, O INTERVALO DE 154 - 158 
DEFINE A SEGUNDA CLASSE ( i = 2 ). COMO A DISTRIBUICAO É FORMADA DE SEIS CLASSES, PODEMOS AFIRMAR QUE K=6.
LIMITES DE CLASSE SÃO OS EXTREMOS DE CADA CLASSE.
RESOLUÇÃO 886/66 DO IBGE.
O MENOR NÚMERO É O LIMITE INFERIOR DA CLASSE ( L i ) E O MAIOR NÚMERO, O LIMITE SUPERIOR DA CLASSE ( L i ).
NA SEGUNDA CLASSE, TEMOS:
L 2 = 154 E L2 = 158
AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE OU, SIMPLESMENTE INTERVALO DE CLASSE, É A MEDIDA DO INTERVALO QUE DEFINE A CLASSE.
OBTIDA PELA DIFERENÇA ENTRE OS LIMITES SUPERIOR E INFERIOR DESSA CLASSE E INDICADA POR: hi. ASSIM:
hi = Li - L i
NA DISTRIBUIÇÃO DA TABELA ANTERIOR TEMOS:
h2 = L2 - L 2 -> h2 = 158 – 154 = 4 h2 = 4
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT) É A DIFERENÇA ENTRE O LIMITE SUPERIOR DA ÚLTIMA CLASSE E O LIMITE INFERIOR DA PRIMEIRA CLASSE.
AT = L( MÁX.) – L ( MÍN.) 
EM NOSSO TABELA ANTERIOR, TEMOS:
AT = 174 – 150 = 24 -> AT = 24 cm
OBS: FICA CLARO QUE SE AS CLASSES POSSUEM O MESMO INTERVALO, VERIFICAMOS A RELAÇÃO:
 = K
DO NOSSO EXEMPLO, CONCLUIMOS:
 
= 6 -> A DISTRIBUIÇÃO É FORMADA DE 6 CLASSES.
AMPLITUDE AMOSTRAL (AA) É A DIFERENÇA ENTRE O VALOR MÁXIMO E MÍNIMO DA AMOSTRA:
AA = L X(MÁX.) – X(MÍN.)
DO NOSSO EXEMPLO, TEMOS:
AA = 173 – 150 = 23 AA = 23 cm
OBS: NOTAMOS QUE A AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT) JAMAIS COINCIDE COM A AMPLITUDE AMOSTRAL (AA).
PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE (Xi) É, COMO O PRÓPRIO NOME INDICA, O PONTO QUE DIVIDE O INTERVALO DE CLASSE EM DUAS PARTES IGUAIS.
Xi = 
ASSIM, O PONTO MÉDIO DA SEGUNDA CLASSE EM NOSSO EXEMPLO É:
X2 = 
 -> X2 = 
 = 156 -> X2 = 156 cm
OBS: O PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE É O VALOR QUE A REPRESENTA
DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES.
A PRIMEIRA PREOCUPAÇÃO QUE TEMOS NA CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA, É A DETERMINACAO DO NÚMERO DE CLASSES E CONSEQUENTEMENTE DA AMPLITUDE E DOS LIMITES DOS INTERVALOS DE CLASSE.
REGRA DE STURGES: NOS DÁ O NÚMERO DE CLASSES EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE VALORES DA VARIÁVEL.
i = 1 + 3,3 ● LOG n
ONDE:
i É O NÚMERO DE CLASSES
n É O NUMERO TOTAL DE DADOS
ESSA REGRA NOS PERMITE OBTER A SEGUINTE TABELA :
	n
	i
	
3 I—I 5
 6 I—I 11
12 I—I 22
23 I—I 46
47 I—I 90
 91 I—I 181
181 I—I 392
	
3
4
5
6
7
8
9
OBS: VALE RESSALTAR QUE A REGRA DE STURGES E A REGRA DA RAIZ, NÃO NOS LEVAM A UMA DECISÃO FINAL; ESTA VAI DEPENDER DE UM JULGAMENTO PESSOAL, QUE DEVE ESTAR LIGADO A NATUREZA DOS DADOS, DA UNIDADE USADA PARA EXPRESSÁ-LOS E DO OBJETIVO QUE SE TEM EM VISTA, PROCURANDO EVITAR CLASSE COM FREQUÊNCIA NULA OU FREQUÊNCIA RELATIVA MUITO EXAGERADA.
DETERMINAÇÃO DA AMPLITUDE.
DECIDIDO O NÚMERO DE CLASSES QUE DEVE TER A DISTRIBUIÇÃO, RESTA-NOS RESOLVER O PROBLEMA DA DETERMINAÇÃO DA AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE, O QUE CONSEGUIMOS DIVIDINDO A AMPLITUDE TOTAL PELO NÚMERO DE CLASSES:
h = 
OS LIMITES DOS INTERVALOS DEVERÃO, SE POSSÍVEL, FORNECER, PARA PONTOS MÉDIOS, NÚMEROS QUE FACILITEM OS CÁLCULOS. 
EM NOSSO EXEMPLO, TEMOS:
 
PARA n = 40, PELA TABELA DE STURGES, i = 6
h = 
 = 4
ISTO É, SEIS CLASSES DE INTERVALOS IGUAIS A 4.
EXERCÍCIOS
1) AS NOTAS OBTIDAS POR 50 ALUNOS DE UMA CLASSE FORAM:
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	6
	7
	7
	8
	2
	3
	3
	4
	5
	6
	6
	7
	8
	8
	2
	3
	4
	4
	5
	6
	6
	7
	8
	9
	2
	3
	4
	5
	5
	6
	6
	7
	8
	9
	2
	3
	4
	5
	5
	6
	7
	7
	8
	9
COMPLETE A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS ABAIXO:
	i
	NOTAS
	Xi
	fi
	1
	0 - 2
	1
	1
	2
	2 - 4
	3
	11
	3
	4 - 6
	5
	13
	4
	6 - 8
	7
	16
	5
	8 – 10
	9
	9
 
= 50
QUAL A AMPLITUDE AMOSTRAL? 9 – 1 = 8
QUAL A AMPLITUDE DA DISTRIBUIÇÃO?10 – 0 = 10 
 	
QUAL O NÚMERO DE CLASSES? 5 
 
QUAL É LIM.INF. 4 CLASSE? 6 
 
QUAL É LIM.SUP. 2 CLASSE? 4
QUAL A AMPLITUDE DO 2 INTERVALO CLASSE? 4 – 2 = 2 
 
 n = ? 50 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO.
UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA PODE SER REPRESENTADA GRAFICAMENTE PELO HISTOGRAMA, POLÍGONO DE FREQUÊNCIA E PELO POLÍGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA.
O HISTOGRAMA É UM GRÁFICO FORMADO POR UM CONJUNTO DE COLUNAS RETANGULARES. NO EIXO DAS ABCISSAS MARCAMOS AS CLASSES, CUJAS AMPLITUDES CORRESPONDEM ÀS BASES DOS RETÂNGULOS. NO EIXO DAS ORDENADAS MARCAMOS AS FREQUÊNCIAS ABSOLUTAS, QUE CORRESPONDEM ÀS ALTURAS DOS RETÂNGULOS. OS PONTOS MÉDIOS DAS BASES COINCIDEM COM OS PONTOS MÉDIOS DOS INTERVALOS DE CLASSE.
NOTA: A ÁREA DE UM HISTOGRAMA É PROPORCIONAL A SOMA DAS FREQUÊNCIAS
 
 
O POLIGONO DE FREQUÊNCIA É UM GRÁFICO EM LINHA, SENDO AS FREQUÊNCIAS MARCADAS SOBRE PERPENDICULARES AO EIXO HORIZONTAL, LEVANTADAS PELOS PONTOS MÉDIOS DOS INTERVALOS DE CLASSE.
 
PARA OBTERMOS O POLIGONO, DEVEMOS UNIR POR MEIO DE SEGMENTOS DE RETAS, TODOS OS PONTOS MÉDIOS DAS CLASSES. 
 
O POLIGONO DE FREQUÊNCIA ACUMULADA É TRAÇADO MARCANDO-SE AS FREQUENCIAS ACUMULADAS SOBRE PERPENDICULARES AO EIXO HORIZONTAL, LEVANTADAS NOS PONTOS CORRESPONDENTES AOS LIMITES SUPERIORES DOS INTERVALOS DE CLASSE.
 
A CURVA DE FREQUÊNCIA.
COMO, EM GERAL, OS DADOS PERTENCEM A UMA AMOSTRA EXTRAÍDA DE UMA POPULAÇÃO, PODEMOS IMAGINAR AS AMOSTRAS CADA VEZ MAIS AMPLAS E A AMPLITUDE CADA VEZ MENOR, O QUE NOS PERMITE CONCLUIR QUE A LINHA POLIGONAL TENDE A SE TRANSFORMAR EM UMA CURVA – CURVA DE FREQUÊNCIA, MOSTRANDO DE MODO MAIS EVIDENTE A VERDADEIRA NATUREZA DA DISTRIBUIÇÃO DA POPULAÇÃO.
PODEMOS DIZER QUE, ENQUANTO O POLÍGONO DE FREQUÊNCIA NOS DÁ A IMAGEM REAL DO FENÔMENO ESTUDADO, A CURVA DE FREQUÊNCIA NOS DÁ A IMAGEM TENDÊNCIAL. 
APÓS O TRAÇADO DE UM POLÍGONO DE FREQUÊNCIA É NECESSÁRIO QUE SE FAÇA UM POLIMENTO – CURVA POLIDA, DE MODO A MOSTRAR O QUE SERIA TAL POLÍGONO COM UM NÚMERO MAIOR DE DADOS.
 
 
MEDIDAS DE POSIÇÃO
O ESTUDO SOBRE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS PERMITE-NOS DESCREVER E LOCALIZAR OS GRUPOS DOS VALORES QUE UMA VARIÁVEL PODE ASSUMIR, VERIFICANDO SE ELA SE LOCALIZA NO INÍCIO, NO MEIO, NO FINAL OU SE HÁ UMA DISTRIBUIÇÃO POR IGUAL. 
PARA RESSALTAR AS TENDÊNCIAS CARACTERÍSTICAS DE CADA DISTRIBUIÇÃO, NECESSITAMOS INTRODUZIR CONCEITOS QUE SE EXPRESSEM ATRAVÉS DE NÚMEROS E QUE NOS PERMITAM SINTETIZAR E TRADUZIR ESSAS TENDÊNCIAS. ESSES CONCEITOS SÃO:
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIDAS DE VARIABILIDADE
MEDIDAS DE ASSIMETRIA
MEDIDAS DE CURTOSE.
MEDIDAS DE POSIÇÃO: NOS ORIENTAM QUANTO A POSIÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO EM RELAÇÃO AO EIXO HORIZONTAL (EIXO DAS ABSCISSAS).
AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE POSIÇÃO SÃO AS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL, QUE RECEBEM ESTA DENOMINAÇÃO PELO FATO DE OS DADOS OBSERVADOS TENDEREM, EM GERAL, A SE AGRUPAR EM TORNO DE VALORES CENTRAIS. AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL SÃO:
MÉDIA ARITMÉTICA
MEDIANA 
MODA
SEPARATRIZES 
NO CÁLCULO DE VÁRIAS MEDIDAS ESTATÍSTICAS, VAMOS UTILIZAR SOMAS DE UM GRANDE NÚMERO DE PARCELAS. PARA FACILITAR A REPRESENTAÇÃO DESTAS SOMAS, INTRODUZIREMOS O CONCEITO DE SOMATÓRIO.
QUANDO QUEREMOS REPRESENTAR UMA SOMA DE n VALORES DO TIPO X1+X2+...+Xn, PODEMOS CODIFICÁ-LA ATRAVÉS DA EXPRESSÃO: 
X1+X2+...+Xn = 
ONDE:
- É UTILIZADO PARA REPRESENTAR A OPERAÇÕES DE ADIÇÃO ENTRE AS PARCELAS.
Xi - É A PARCELA GENÉRICA 
EXEMPLOS:
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 = 
+
+ 
+
 = 
 
X3 + X4 + X5 + X6 = 
 	MÉDIA ARITMÉTICA 
MÉDIA ARITMÉTICA É O QUOCIENTE ENTRE A SOMA DOS VALORES DA VARIÁVEL Xi PELO NÚMERO TOTAL n:
�� EMBED Equation.3 = 
SENDO:
 - A MÉDIA Xi - VALORES DA VARIÁVEL n - O NÚMERO DE VALORES 
EXEMPLO 1:
SABENDO QUE A PRODUÇÃO DIÁRIA DE AÇO DE UMA INDÚSTRIA SIDERÚRGICA A, DURANTE UMA SEMANA, FOI DE 10, 14, 13, 15, 16, 18, 12 TONELADAS, TEMOS A PRODUÇÃO MÉDIA DA SEMANA:
= 
 = 
 = 14 TONELADAS
 
-> SINTETIZA E REPRESENTA A SÉRIE DE VALORES
DESVIO EM RELACAO À MÉDIA - di
DENOMINAMOS DESVIO EM RELACAO A MÉDIA, A DIFERENCA ENTRE CADA ELEMENTO DE UM CONJUNTO DE VALORES E A MÉDIA ARITMÉTICA.
PARA O EXEMPLO ACIMA, TEMOS:
d1 = x1 - -> d1 = 10 - 14 = - 4 d2 = x2 - -> d2 = 14 - 14 = 0
 d4 = x4 - -> d4 = 15 - 14 = 1 d7 = x7 - -> d7 = 12 - 14 = -2
EXEMPLO 2:
UMA LIVRARIA VENDE A SEGUINTE QUANTIDADE DE LIVROS DE LITERATURA DURANTE UMA CERTA SEMANA:
	2° FEIRA
	3° FEIRA
	4° FEIRA
	5° FEIRA
	6° FEIRA
	SABADO
	28
	23
	22
	27
	25
	13
QUAL FOI A MÉDIA DE LIVROS VENDIDOS DURANTE ESSA SEMANA?
 = 
 = 23 -> = 23
A MÉDIA ARITMÉTICA SIGNIFICA QUE, SE A VENDA DIÁRIA DESSA SEMANA FOSSE SEMPRE A MESMA, OU SEJA, 23 LIVROS POR DIA, IRÍAMOS OBTER O MESMO TOTAL DE LIVROS VENDIDOS: 138
VERIFICAMOS QUE NA 4° FEIRA E NO SÁBADO A VENDA FOI ABAIXO DA MEDIA, ENQUANTO NA 2°, 5° E 6° FOI ACIMA DA MÉDIA. VEJAMOS O GRÁFICO:
 
 	MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA SEM INTERVALOS DE CLASSE
TABELA DE SALÁRIOS DE UMA EMPRESA
	Xi - SALÁRIO ( R$ )
	fi - N° DE FUNCIONÁRIOS
	600,00
	12
	900,00
	7
	1200,00
	5
	1800,00
	6
	4500,00
	8
	TOTAL
	
 = 38
QUAL A MÉDIA SALARIAL DE FUNCIONÁRIOS DESTA EMPRESA ?
12 GANHAM 600,00 12 X 600,00 -> Xi x fi
7 GANHAM 900,00		
5 GANHAM 1200,00
6 GANHAM 1800,00
8 GANHAM 4500,00 8 X 4500,00 -> Xi x fi
A MÉDIA SALARIAL DESSES FUNCIONÁRIOS PODE SER CALCULADA DA SEGUINTE FORMA:
= 
 -> = R$ 1744,73
A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA FACILITA O CÁLCULO DE MÉDIAS, QUANDO HÁ VALORES QUE SE REPETEM VÁRIAS VEZES. NESSE CASO MULTIPLICAMOS OS VALORES PELO N° DE VEZES ( PESO ) QUE ELES OCORREM:
 = 
 = 
 	MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA COM INTERVALOS DE CLASSE
NESSE CASO, CONVENCIONAMOS QUE TODOS OS VALORES INCLUIDOS EM UM DETERMINADO INTERVALO DE CLASSE COINCIDEM COM SEU PONTO MÉDIO.
 
 ABRIMOS UMA COLUNA PARA OS PTOS MÉDIOS
 							
 COLUNAS PARA Xi fi
									
NESTE CASO OBTEMOS A MÉDIA PONDERADA:
 = 
 	
= 6440 	 
= 40 
 = 
 = 161 	 = 161 cm
MEDIANA – Md
É UM VALOR REAL QUE SEPARA OS VALORES DA SÉRIE EM ANÁLISE EM DUAS PARTES, DEIXANDO A SUA ESQUERDA O MESMO NÚMERO DE ELEMENTOS QUE A SUA DIREITA. PORTANTO, A MEDIANA (Md) É UM VALOR QUE OCUPA A POSIÇÃO CENTRAL EM UMA SÉRIE.
CÁLCULO DA MEDIANA COM DADOS BRUTOS:
INICIALMENTE DEVEMOS ORDENAR OS DADOS BRUTOS EM ORDEM CRESCENTE. EM SEGUIDA DETERMINAMOS O NÚMERO n DE ELEMENTOS DA AMOSTRAGEM.
SE n É IMPAR – A AMOSTRAGEM ADMITE APENAS UM TERMO CENTRAL QUE OCUPA A POSIÇÃO ( ) . O VALOR DO ELEMENTO QUE OCUPA ESTA POSIÇÃO É A MEDIANA. 
EX: DETERMINAR A MEDIANA DA SÉRIE:
X: 2,20,12,23,20,8,12
RESP: ORDENANDO ESTES ELEMENTOS, OBTEMOS -> 2,8,12,12,20,20,23
O NÚMERO DE ELEMENTOS É n = 7 (ÍMPAR). A POSIÇÃO DO TERMO CENTRAL É 
 = 4 , OU SEJA, A 4° POSIÇÃO.
DESTA FORMA, A MEDIANA É O QUARTO ELEMENTO DA SÉRIE -> Md = 12.
 4°
 2,8,12 – 12 – 20,20,23
 50% 
 12 50% 
 12
SE n É PAR – A AMOSTRAGEM ADMITE DOIS TERMOS CENTRAIS QUE OCUPAM POSIÇÕES ( 
) E (
)+1. A MEDIANA É CONVENCIONADA COMO SENDO A MÉDIA DOS VALORES QUE OCUPAM ESTAS POSIÇÕES CENTRAIS. 
EX: DETERMINAR A MEDIANA DA SÉRIE:
X: 7,21,13,15,10,8,9,13
RESP: ORDENANDO ESTES ELEMENTOS, OBTEMOS -> 7,8,9,10,13,13,15,21O NÚMERO DE ELEMENTOS É n = 8 (PAR). AS POSIÇÕES DOS TERMOS CENTRAIS SÃO: = 4° E 
+1= 5°.
O ELEMENTO QUE OCUPA A QUARTA POSIÇÃO NA SÉRIE É 10 E O QUE OCUPA A QUINTA POSIÇÃO É 13. PORTANTO:
 4° 
5°
Md = = 11,5
 7,8,9,10 – 11,5 – 13,13,15,21
 50% 
 11,5 50% 
 11,5
OBS 1: A MEDIANA NÃO PRECISA SER NECESSARIAMENTE UM ELEMENTO DA SÉRIE ANALISADA.
OBS 2: A MEDIANA DEPENDE DA POSIÇÃO E NÃO DOS VALORES DOS ELEMENTOS NA SÉRIE. ESSA É UMA DAS GRANDES DIFERENÇAS ENTRE MEDIANA E A MÉDIA ( QUE SE DEIXA INFLUENCIAR MUITO POR VALORES EXTREMOS). VEJAMOS O EXEMPLO A SEGUIR:
5,7,10,13,15 -> = 10 E Md=10
5,7,10,13,65 -> = 20 E Md=10
 	CÁLCULO DA MEDIANA NA VARIÁVEL DISCRETA
SE OS DADOS ESTÃO APRESENTADOS NA FORMA DE UMA VARIÁVEL DISCRETA, ELES JÁ ESTÃO NATURALMENTE ORDENADOS.
ASSIM, BASTA VERIFICAR SE O NÚMERO DE ELEMENTOS DA SÉRIE É IMPAR OU PAR E APLICAR O MESMO RACIOCÍNIO DOS EXEMPLOS ANTERIORES.
EX: DETERMINAR A MEDIANA DA SÉRIE:
 LOCALIZA COM FACILIDADE AS POSIÇÕES DOS ELEMENTOS DA SÉRIE
 
	Xi
	fi
	fia
	POSIÇÃO
	2
	1
	1
	1°
	5
	4
	5
	2° A 5°
	8
	10
	15
	6° A 15°
	10
	6
	21
	16° A 21°
	12
	2
	23
	22° A 23°
 n = 23 
 
POSIÇÕES DAS VARIÁVEIS: 2,5,5,5,5,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,10,10,10,10,10,10,12,12
 
1° 
5° 
15° 
21°
SOLUÇÃO: DETERMINAR O NÚMERO DE ELEMENTOS n = fi = 23 -> ÍMPAR , OU SEJA , A SÉRIE ADMITE APENAS UM TERMO CENTRAL QUE OCUPA A POSIÇÃO ( ) = 
 = 12° -> DESTA FORMA, A MEDIANA OCUPA A 12° POSIÇÃO
 
12° POSIÇÃO
 2,5,5,5,5,8,8,8,8,8,8 – 8 - 8,8,8,10,10,10,10,10,10,12,12
Md = 8
EX: CALCULAR A MEDIANA DA SÉRIE:
	Xi
	fi
	0
	3
	1
	5
	2
	8
	3
	10
	5
	6
SOLUÇÃO: DETERMINAMOS O NÚMERO DE ELEMENTO n = fi = 32 -> PAR 
A SÉRIE TEM DOIS TERMOS CENTRAIS QUE OCUPAM AS POSIÇÕES 
=16° E 
+1=17°.
PARA LOCALIZARMOS ESTES ELEMENTOS, INSERIMOS A COLUNA DE FREQ. ACUMULADA DA SÉRIE.
 
	Xi
	fi
	fia
	0
	3
	3
	1
	5
	8
	2
	8
	16
	3
	10
	26
	5
	6
	32
O ELEMENTO QUE OCUPA A 16° POSIÇÃO = 2
O ELEMENTO QUE OCUPA A 17° POSIÇÃO = 3
Md = 
 = 2,5 Md = 2,5
 O,1,2 - 2,5 - 3,5
 50% 
 2,5 50% 
 2,5
 	CÁLCULO DA MEDIANA NA VARIÁVEL CONTÍNUA
PARA CALCULARMOS A MEDIANA NESSA SITUAÇÃO, PRIMEIRO IDENTIFICAMOS A CLASSE MEDIANA E DEPOIS DETERMINAMOS O VALOR DA MEDIANA ATRAVÉS DE UMA INTERPOLAÇÃO. VEJAMOS O EXEMPLO A SEGUIR:
	CLASSE
	INT.CLASSE
	fi
	fia
	1
	3 - 6
	2
	2
	2
	6 - 9
	5
	7
	3
	 9 – 12 CLASSE MEDIANA
	8
	15
	4
	12 - 15
	3
	18
	5
	15 - 18
	1
	19
O n DA SÉRIE É = Σ fi = 19 -> NÃO INTERESSA NESSE CASO SE É PAR OU ÍMPAR, POIS TEMOS AGORA UM INTERVALO DE CLASSES (VARIÁVEL CONTÍNUA), E O VALOR DA VARIÁVEL QUE OCUPA A POSIÇÃO DE MEDIANA NÃO É IDENTIFICÁVEL.
A MEDIANA, POR DEFINIÇÃO, SEPARA O NÚMERO DE ELEMENTOS DA SÉRIE EM DOIS GRUPOS, CADA UM COM 50% DOS ELEMENTOS. 
ASSIM, A POSIÇÃO DA MEDIANA NA SÉRIE É 
 = 
= 9,5° , OU SEJA , A CLASSE MEDIANA ESTA ENTRE A 9° E A 10° POSIÇÃO DA SÉRIE.
CONSTATAMOS QUE A MEDIANA ESTA NA 3° CLASSE -> É UM VALOR COMPREENDIDO ENTRE 9 E 12.
UTILIZANDO A FÓRMULA DA MEDIANA NA VARIÁVEL CONTÍNUA:
Md = 
Md + 
 
 Md = 9 + 
 
 Md= 9,93 
ONDE:
Md= LIMITE INF. DA CLASSE MEDIANA 
= FREQ. ACUM. DA CLASSE ANT. A CLASSE MEDIANA
= FREQ.SIMPLES DA CLASSE MEDIANA 
= AMPLITUDE
MODA – Mo
É O VALOR DE MAIOR FREQUÊNCIA DA SÉRIE DE DADOS.
CÁLCULO DA MODA COM DADOS BRUTOS:
EXEMPLO 1: 
 		X: 2,8,3,5,4,5,3,5,5,1 
O ELEMENTO DE MAIOR FREQUÊNCIA É 5. PORTANTO Mo=5 -> SEQUÊNCIA UNIMODAL.
EXEMPLO 2: 
 		X: 1,6,10,5,9,6,10,2,7
ESTA SEQUÊNCIA APRESENTA O ELEMENTO 6 E O 10 COMO ELEMENTOS DE MAIOR FREQUÊNCIA. PORTANTO Mo=6 E Mo=10 -> SEQUÊNCIA BIMODAL.
EXEMPLO 3: 
 		X: 2,2,5,8,5,8
TODOS OS ELEMENTOS DA SÉRIE APRESENTAM A MESMA FREQUÊNCIA. NÃO HÁ UM ELEMENTO QUE SE DESTAQUE PELA MAIOR FREQUÊNCIA -> SÉRIE AMODAL.
 CÁLCULO DA MODA NA VARIÁVEL DISCRETA:
É O CASO MAIS SIMPLES, POIS NOTAMOS QUE NA APRESENTAÇÃO DA VARIÁVEL DISCRETA, AS FREQUÊNCIAS JÁ ESTÃO COMPUTADAS NA SEGUNDA COLUNA. BASTA IDENTIFICAR O ELEMENTO DE MAIOR FREQUÊNCIA.
	Xi
	fi
	0
	2
	2
	5
	3
	8
	4
	3
	5
	1
 SÉRIE UNIMODAL Mo = 3
 CÁLCULO DA MODA NA VARIÁVEL CONTÍNUA:
PARA DETERMINAR A MODA DE UMA VARIÁVEL CONTÍNUA, PODEMOS OPTAR POR VÁRIOS PROCESSOS, DO MAIS SIMPLES, QUE CONSISTE EM TOMAR O PONTO MÉDIO DA CLASSE MODAL (MODA BRUTA), A PROCESSOS MAIS BEM ELABORADOS E PRECISOS, COMO POR EXEMPLO A MODA DE PEARSON, A MODA DE KING E A MODA DE CUZBER.
MODA BRUTA: Mo = 
ONDE:
= lim. inferior da classe modal 
= lim. Superior da classe modal
 
EX: CALCULAR À MODA DA SÉRIE:
	CLASSE i
	ESTATURAS ( cm )
	fi
	1
	150-154
	4
	2
	154-158
	9
	3
	158-162
	11
	4
	162-166
	8
	5
	166-170
	5
	6
	170-174
	3
 
Σ = 40
CLASSE MODAL É i = 3 
= 158 
= 162
COMO: Mo = 
 
 Mo = 
 
 Mo = 160 cm
UTILIZAÇÃO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
EMPREGAMOS A MEDIANA QUANDO:
DESEJAMOS OBTER O PONTO QUE DIVIDE A DISTRIBUIÇÃO EM PARTES IGUAIS
HÁ VALORES EXTREMOS QUE AFETAM DE MANEIRA ACENTUADA A MÉDIA
EMPREGAMOS A MODA QUANDO:
DESEJAMOS OBTER UMA MEDIDA RÁPIDA E APROXIMADA DE POSIÇÃO
QUANDO A MEDIDA DE POSIÇÃO DEVE SER O VALOR DE MAIOR FREQUÊNCIA.
QUAL MEDIDA DEVE SER UTILIZADA PARA CARACTERIZAR A SÉRIE ?
FORTE CONCENTRAÇÃO DE DADOS NA ÁREA CENTRAL: MÉDIA, MEDIANA E A MODA FICAM TAMBÉM SITUADAS EM SUA ÁREA CENTRAL -> OPTAMOS PELA MÉDIA.
 = Md = Mo 
 CURVA SIMÉTRICA
FORTE CONCENTRAÇÃO DE DADOS NO ÍNICIO OU NO FINAL: MEDIANA E A MODA POSICIONADAS MAIS NO ÍNICIO/FINAL. MÉDIA FORTEMENTE AFETADA POR VALORES TAMBÉM POSICIONADOS NO ÍNICIO/FINAL -> OPTAMOS PELA MEDIANA.
Mo < Md < 
 CURVA ASSIMÉTRICA POSITIVA
 < Md < Mo 
 CURVA ASSIMÉTRICA NEGATIVA
VEJAMOS OS EXEMPLOS:
TEMOS:
=12 Kgs		 =12,9 Kgs	 =11,1 Kgs
 Md=12 Kgs		 Md=13,5 Kgs		 Md=10,5 Kgs
 Mo=12 kgs		 Mo=16 kgs 		 Mo=8 kgs
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE
EM MUITAS SITUAÇÕES NÃO É SUFICIENTE SABERMOS UMA DAS MEDIDAS DE POSIÇÃO PARA CARACTERIZAR PERFEITAMENTE UM CONJUNTO DE VALORES, POIS MESMO SABENDO, POR EXEMPLO, QUE A TEMPERATURA MÉDIA DE DUAS CIDADES É A MESMA, E IGUAL A 24° C, AINDA ASSIM SOMOS LEVADOS A PENSAR A RESPEITO DO CLIMA DESSAS CIDADES. EM UMA DELAS PODERÁ HAVER GRANDE VARIAÇÃO ENTRE OS LIMITES DE FRIO E CALOR E MESMO ASSIM TERMOS UMA TEMPERATURA MÉDIA DE 24° C. A OUTRA CIDADE PODERÁ TER UMA VARIAÇÃO PEQUENA DE TEMPERATURA E POSSUIR ASSIM, UM CLIMA MAIS FAVORÁVEL.
VAMOS ANALISAR OS SEGUINTES VALORES DAS VARIÁVEIS X,Y,Z:
X: 70,70,70,70,70		 = 70
Y: 68,69,70,71,72	 
= 70
Z: 5,15,50,120,160	 
= 70
OBSERVAMOS:
OS TRÊS CONJUNTOS APRESENTAM A MESMA MÉDIA ARITMÉTICA:70
X É MAIS HOMOGÊNEO QUE OS CONJUNTOS Y E Z
Y É MAIS HOMOGÊNEO QUE O CONJUNTO Z
X APRESENTA VARIABILIDADE NULA
Y APRESENTA VARIABILIDADE MENOR QUE Z
PORTANTO, PARA QUALIFICAR OS VALORES DE UMA VARIÁVEL, RESSALTANDO A MAIOR OU MENOR DISPERSÃO OU VARIABILIDADE ENTRE ESSES VALORES E A SUA MEDIDA DE POSIÇÃO, A ESTATÍSTICA RECORRE ÀS MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE: AMPLITUDE, DESVIO MÉDIO, VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO, COEFICIENTE DEVARIAÇÃO.
	
AMPLITUDE TOTAL
A AMPLITUDE TOTAL É A DIFERENÇA ENTRE O MAIOR E O MENOR VALOR DA SEQUÊNCIA.
AT = X(MÁX.) – X(MÍN.)
EXEMPLO:
PARA OS VALORES:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
AT = 70 – 40	AT = 30
OBS: QUANTO MAIOR A AMPLITUDE TOTAL, MAIOR A VARIABILIDADE DOS VALORES DA VARIÁVEL. A AMPLITUDE É APENAS UMA INDICAÇÃO APROXIMADA DA VARIABILIDADE, QUE TEM POUCA SENSIBILIDADE ESTATÍSTICA.
 CÁLCULO DA AMPLITUDE TOTAL NA VARIÁVEL DISCRETA:
	Xi
	fi
	2
	1
	3
	6
	5
	10
	7
	3
AT= 7 - 2 AT= 5 UNID.
 CÁLCULO DA AMPLITUDE TOTAL NA VARIÁVEL CONTÍNUA:
	CLASSE
	Xi
	fi
	1
	2 - 4
	5
	2
	4 - 6
	10
	3
	6 - 8
	20
	4
	8 - 10
	7
	5
	10 - 12
	2
 AT = L( MÁX.) – L ( MÍN.) 
 AT= 12 – 2 = 8 UNID.
DESVIO MÉDIO SIMPLES
O CONCEITO ESTATÍSTICO DE DESVIO CORRESPONDE AO CONCEITO MATEMÁTICO DE DISTÂNCIA.
O DESVIO MÉDIO SIMPLES – DMS, É DEFINIDO COMO SENDO UMA MÉDIA ARITMÉTICA DOS DESVIOS DE CADA ELEMENTO DA SÉRIE PARA A MÉDIA DA SÉRIE.
 CÁLCULO DO DESVIO MÉDIO SIMPLES
CALCULAMOS INICIALMENTE A MÉDIA DA SEQUÊNCIA
OBTEMOS A DISTÂNCIA DE CADA ELEMENTO DA SÉRIE PARA SUA MÉDIA
FINALMENTE, CALCULAMOS A MÉDIA DESTAS DISTÂNCIAS.
DMS = 
 IMPORTANTE: 
 
 MÓDULO
EX: CALCULE O DMS PARA A SEQUÊNCIA:
X: 2,8,5,6
SOLUÇÃO: 
 = 
 
 
= 5,25
= 
 = 3,25 		
 = 
 = 2,75
 = 
 = 0,25 		
 = 
 = 0,75
O DMS É A MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES DESTES VALORES
DMS = 
 = 1,75
INTERPRETAÇÃO: EM MÉDIA, CADA ELEMENTO DA SEQUÊNCIA ESTA AFASTADO DO VALOR 5,25 POR 1,75 UNIDADES.
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO
AO OPERARMOS COM O DMS, UTILIZAMOS O MÓDULO DOS NÚMEROS PARA QUE AS DIFERENÇAS 
PUDESSEM SER INTERPRETADAS COMO DISTÂNCIAS. ESTE ARTIFÍCIO MATEMÁTICO APRESENTA GRANDES LIMITAÇÕES QUANDO TRABALHAMOS COM UMA ESTATÍSTICA MAIS AVANÇADA. DESTA FORMA, PARA SE CONSEGUIR QUE ESTAS DIFERENÇAS SE TORNEM SEMPRE POSITIVAS, CONSIDERAMOS O SEU QUADRADO 
 
, GARANTINDO ASSIM, MAIOR PRECISÃO MATEMÁTICA. 
A VARIÂNCIA E O DESVIO PADRÃO SÃO MEDIDAS QUE NÃO SÃO INFLUENCIADAS PELOS VALORES EXTREMOS COMO É O CASO DA AMPLITUDE TOTAL, POIS LEVAM EM CONSIDERAÇÃO A TOTALIDADE DOS VALORES DA VARIÁVEL EM ESTUDO, O QUE FAZ DELA ÍNDICES DE VARIABILIDADE BASTANTE ESTÁVEIS E GERALMENTE MAIS EMPREGADOS.
VARIÂNCIA É UMA MÉDIA ARITMÉTICA CALCULADA A PARTIR DOS QUADRADOS DOS DESVIOS OBTIDOS ENTRE OS ELEMENTOS DA SÉRIE E A SUA MÉDIA
FÓRMULA - DADOS BRUTOS:
 = 
O DESVIO PADRÃO É A RAIZ QUADRADA POSITIVA DA VARIÂNCIA
FÓRMULA - DADOS BRUTOS:
S = 
EXEMPLO: CALCULE O DESVIO PADRÃO DA SEQUÊNCIA X: 4,5,8,5
SOLUÇÃO:
A SEQUÊNCIA CONTÉM n = 4 ELEMENTOS E TEM POR MÉDIA 
=
 
 
= 5,5
OS QUADRADOS DAS DIFERENÇAS 
 VALEM:
=
= 2,25 
=
= 0,25
= 
= 6,25 
= 
= 0,25
SOMANDO-SE ESTES VALORES TEMOS: 
= 9
SUBSTITUINDO ESTES VALORES NA FÓRMULA DE DESVIO PADRÃO, OBTEMOS:
S = 
 
 S = 
 = 
= 1,50 
IMPORTANTE:
NO CÁLCULO DA VARIÂNCIA, QUANDO ELEVAMOS AO QUADRADO A DIFERENÇA 
, A UNIDADE DE MEDIDA DA SÉRIE FICA TAMBÉM ELEVADA AO QUADRADO, OU SEJA, SE OS DADOS DA SÉRIE SÃO EXPRESSOS EM METROS, A VARIÂNCIA É EXPRESSA EM METROS QUADRADOS. 
CONSEQUENTEMENTE, EM VÁRIOS SITUAÇÕES, A UNIDADE DE MEDIDA DA VARIÂNCIA NÃO FAZ SENTIDO, POIS SE, POR EXEMPLO, OS DADOS FOREM EXPRESSOS EM GRAUS CENTIGRADOS OU LITROS, A VARIÂNCIA NÃO PODERÁ SER EXPRESSA EM
�� EMBED Equation.3 OU 
. ASSIM, CONCLUIMOS QUE O VALOR DA VARIÂNCIA NÃO TEM INTERPRETAÇÃO. EXATAMENTE PARA SUPRIR ESTA DEFICIÊNCIA DA VARIÂNCIA É QUE SE DEFINE O DESVIO PADRÃO, O QUAL TERÁ SEMPRE A MESMA UNIDADE DE MEDIDA DA SÉRIE.
FÓRMULA DO DESVIO PADRÃO – VARIÁVEL DISCRETA:
S = 
EXEMPLO: CALCULE O DESVIO PADRÃO DA SÉRIE ABAIXO, REPRESENTATIVA DE UMA AMOSTRA.
	Xi
	fi
	2
	3
	3
	5
	4
	8
	5
	4
SOLUÇÃO: O NUMERO DE ELEMENTOS DA SÉRIE É n = 
= 20
A MÉDIA DA SÉRIE É 
 = 
	Xi
	fi
	Xi.fi
	2
	3
	6
	3
	5
	15
	4
	8
	32
	5
	4
	20
 
= 20	 
=73 MÉDIA 
 
= 
= 
= 3,65
	Xi
	fi
	Xi.fi
	
	2
	3
	6
	8,1675
	3
	5
	15
	2,1125
	4
	8
	32
	0,9800
	5
	4
	20
	7,2900
 
= 20 
=73 Σ
=18,55 
ASSIM, O DESVIO PADRAO É S =
 = 
 = 0,96
FÓRMULA DO DESVIO PADRÃO – VARIÁVEL CONTÍNUA:
S = 
 
 Xi SÃO OS PONTOS MÉDIOS DA CLASSE
EXEMPLO: CALCULE O DESVIO PADRÃO DA SÉRIE ABAIXO, REPRESENTATIVA DE UMA AMOSTRA.
	CLASSE
	INT.CLASSE
	fi
	1
	0 - 4
	1
	2
	4 - 8
	3
	3
	8 - 12
	5
	4
	12 - 16
	1
SOLUÇÃO: O NÚMERO DE ELEMENTOS DA SÉRIE É n = 
= 10
A MÉDIA DA SÉRIE É 
 = 
 
 Xi SÃO OS PONTOS MÉDIOS 
	CLASSE
	INT.CLASSE
	fi
	Xi
	Xi.fi
	1
	0 - 4
	1
	2
	2
	2
	4 - 8
	3
	6
	18
	3
	8 - 12
	5
	10
	50
	4
	12 - 16
	1
	14
	14
 
=10 
=84 
= 
= 
=8,4
	CLASSE
	INT.CLASSE
	fi
	Xi
	Xi.fi
	
	1
	0 - 4
	1
	2
	2
	40,96
	2
	4 - 8
	3
	6
	18
	17,28
	3
	8 - 12
	5
	10
	50
	12,80
	4
	12 - 16
	1
	14
	14
	31,36
 
= 10 
=84 Σ
= 102,4 
O DESVIO PADRAO É S =
 = 
 = 3,2
DESVIO PADRÃO E O CONTROLE DE PROCESSOS
EMPRESA: SIDERÚRGICA GERDAU
SETOR: UNIDADE DE PRODUÇÃO DE AÇOS ESPECIAIS
PROCESSO: FABRICAÇÃO DE CHAPAS DE AÇO
ANÁLISE: CONTROLE DIMENSIONAL DE ESPESSURA (mm)
1° ETAPA
SELEÇÃO DE AMOSTRAGEM DO LOTE PARA CONTROLE DIMENSIONAL – 58 CHAPAS
� 
2° ETAPA
DETERMINAÇÃO DA MEDIDA PADRÃO PARA ANÁLISE DE TOLERÂNCIA: 
= 7,7mm 
 3° ETAPA
ESPECIFICAÇÃO DOS LIMITES - GRAU DE PRECISÃO INDUSTRIAL: S = 
1,16mm
MEDIDAS ACEITÁVEIS: 
+ S = 8,8mm 	
- S = 6,5mm
EXECUÇÃO DE MEDIÇÕES E CÁLCULOS PARA RELATÓRIO OPERACIONAL
DINAMIC RANGE – FAIXA DINÂMICA
CONCLUSÃO: 
PODEMOS AFIRMAR QUE 65% DAS PEÇAS TEM 7,7 
 1,16mm
ÍNDICE DE REJEIÇÃO DE PEÇAS ELEVADO: 35%
NECESSIDADE URGENTE DE INTERVENÇÃO OPERACIONAL / CALIBRAÇÃO DE EQUIPAMENTOS.
DESVIO PADRÃO E O PLANEJAMENTO FINANCEIRO
O DEPTO. CONTROLE DE QUALIDADE DA PHILIPS, USANDO MÉTODOS ESTATÍSTICOS, DETERMINOU QUE SUA FÁBRICA DE LÂMPADAS FRIAS PODIA ESPERAR QUE 0,35%
0,17% DAS PEÇAS PRODUZIDAS APRESENTASSEM DEFEITOS. SE A COMPANHIA OFERECE GARANTIA DE DEVOLUÇÃO DA QUANTIA PAGA PELAS UNIDADES DEFEITUOSAS, QUANTO ELA DEVE RESERVAR NO ORÇAMENTO PARA COBRIR GASTOS COM PRODUTOS DEFEITUOSOS RELATIVOS A UMA PRODUÇÃO DE 100.000 UNIDADES ? OBS: PREÇO DE VENDA DO PRODUTO – R$ 8,95.
SOLUÇÃO: 
 
SEJA r A PORCENTAGEM DE UNIDADES DEFEITUOSAS
 DISTÂNCIA
 - 0,0017 r		 + 0,0035
VARIAÇÃO MÁXIMA 0,35% 
 VARIAÇÃO MÍNIMA 0,17% = MÁX. 0,52% DE PECAS DEFEITUOSAS / MÍN. 0,18% DE PECAS DEFEITUOSAS.
 0,0018 
 100.000 r 
 0,0052
 X É O NÚMERO DE UNIDADES DEFEITUOSAS EM UM TOTAL DE 100.000
 180 
 X 
 520 
CUSTO COM PEÇAS DEFEITUOSAS: 180 X R$ 8,95 = R$ 1.611,00
 520 X R$ 8,95 = R$ 4.654,00
PORTANTO A EMPRESA DEVE RESERVAR R$ 4.654,00 NO SEU BUDGET.
MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA - COEF. DE VARIAÇÃO
SE UMA SÉRIE X APRESENTA 
=10 E S(x)=2 E UMA SÉRIE Y APRESENTA 
=100 E S(y) = 5, DO PONTO DE VISTA DA VARIABILIDADE ABSOLUTA, A SÉRIE Y APRESENTA MAIOR VARIABILIDADE QUE A SÉRIE X.
NO ENTANTO, SE LEVARMOS EM CONSIDERAÇÃO AS MÉDIAS DAS SÉRIES, O DESVIO PADRÃO DE Y QUE É 5 EM RELAÇÃO A 100 É UM VALOR MENOS SIGNIFICATIVO QUE O DESVIO PADRÃO DE X QUE É 2 EM RELAÇÃO A 10.
ISTO NOS LEVA A DEFINIR O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO RELATIVA:
CV = 
 ONDE: S = DESVIO PADRÃO 
= MÉDIA
OBS: O CV, COMO É UMA DIVISAO DE ELEMENTOS DE MESMA UNIDADE, É UMNÚMERO PURO, PORTANTO, PODE SER EXPRESSO EM PERCENTUAL.
DESTE MODO, SE CALCULARMOS O CV DA SERIE X CITADA NO INICIO OBTEREMOS:
CV(x) = 
 x 100 = 20%
CALCULANDO O COEFICIENTE DE VARIACAO DA SERIE Y OBTEREMOS:
 
CV(y) = 
 x 100 = 5%
ANALISANDO OS VALORES DOS COEFICIENTES, CONCLUIMOS QUE A SERIE X ADMITE MAIOR DISPERSÃO RELATIVA.
A MEDIDA DE DISPERSÃO RELATIVA LEVA EM CONSIDERAÇÃO A MEDIDA DE DISPERSÃO ABSOLUTA E A MÉDIA DA SÉRIE 
 MEDIDA MAIS COMPLETA QUE A MEDIDA DE DISPERSÃO ABSOLUTA.
SÉRIE (y): MAIOR DISPERSÃO ABSOLUTA SÉRIE (x): MAIOR DISPERSÃO RELATIVA
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO.
EM NOSSO DIA A DIA PROFISSIONAL, É MUITO COMUM TERMOS DE ANALISAR E COMPREENDER AS RELAÇÕES QUE EXISTEM ENTRE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS.
ASSIM, QUANDO CONSIDERAMOS VARIÁVEIS COMO PESO E ALTURA, TEMPERATURA E PRESSÃO, RENDA E ESCOLARIDADE, PROCURAMOS VERIFICAR SE EXISTE ALGUMA RELAÇÃO ENTRE AS VARIÁVEIS DE CADA UM DOS PARES E QUAL O GRAU DESSA RELAÇÃO.
SENDO A RELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS DE NATUREZA QUANTITATIVA, A CORRELAÇÃO É O INSTRUMENTO ADEQUADO PARA ANÁLISE DESTA RELAÇÃO.
UMA VEZ CARACTERIZADA A RELAÇÃO, PROCURAMOS DESCREVÊ-LA ATRAVÉS DE UMA FUNÇÃO MATEMÁTICA. A REGRESSÃO É O INSTRUMENTO ADEQUADO PARA A DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS DESSA FUNÇÃO.
CORRELAÇÃO 
COMO SABEMOS, O PERÍMETRO E O LADO DE UMA QUADRADO ESTÃO RELACIONADOS. A RELAÇÃO QUE OS LIGA É PERFEITAMENTE DEFINIDA E PODE SER EXPRESSA POR MEIO DE UMA SENTENÇA MATEMÁTICA:
 P = 4 L		 P 
 PERÍMETRO 		L 
 LADO
ATRIBUINDO-SE UM VALOR QUALQUER A L, É POSSÍVEL DETERMINAR EXATAMENTE O VALOR DE P 
 RELAÇÕES FUNCIONAIS.
JÁ A RELAÇÃO QUE EXISTE ENTRE, POR EXEMPLO, PESO E ESTATURA, NÃO É DO MESMO TIPO DA ANTERIOR; É BEM MENOS PRECISA
 RELAÇÕES ESTATÍSTICAS.
QUANDO VARIÁVEIS ESTÃO LIGADAS POR UMA RELAÇÃO ESTATÍSTICA, DIZEMOS QUE EXISTE CORRELAÇÃO ENTRE ELAS. 
DIAGRAMA DE DISPERSÃO
CONSIDEREMOS UMA AMOSTRA FORMADA POR 10 DOS 98 ALUNOS DA FACULDADE A E PELAS NOTAS OBTIDAS POR ELES EM MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA:
 
REPRESENTANDO, EM UM SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL, OS PARES ORDENADOS ( X,Y), OBTEMOS O DIAGRAMA DE DISPERSÃO, O QUAL NOS FORNECE UMA IDÉIA ÚTIL DA CORRELAÇÃO EXISTENTE.
CORRELAÇÃO LINEAR 
 TEM COMO “IMAGEM” UMA RETA
GRAU DE INTENSIDADE (FORÇA) DA CORRELAÇÃO
PODEMOS DIZER QUE A FORÇA DE CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS X E Y AUMENTA À MEDIDA QUE OS PONTOS NO DIAGRAMA DE DISPERSÃO, MAIS COMPACTAMENTE SE AGRUPAM EM TORNO DE UMA LINHA RETA IMAGINÁRIA.
OBSERVAMOS NOS DIAGRAMAS QUE, EM RELAÇÃO A RENDA, OS HOMENS APRESENTAM UMA CORRELAÇÃO MAIS FORTE DO QUE AS MULHERES, EMBORA AMBOS OS DIAGRAMAS INDIQUEM QUE A RENDA TENDE A AUMENTAR COM O AUMENTO DOS ANOS DE ESCOLARIZAÇÃO. 
SENTIDO DA CORRELAÇÃO
A CORRELAÇÃO PODE SER CLASSIFICADA EM POSITIVA OU NEGATIVA.
 POSITIVA – RETA ASCENDENTE NEGATIVA – RETA DESCENDENTE
CORRELAÇÃO POSITIVA
 ALTO VALOR EM X TENDE A GERAR ALTO VALOR EM Y
CORRELAÇÃO NEGATIVA
 ALTO VALOR EM X TENDE A GERAR BAIXO VALOR EM Y
CORRELAÇÃO CURVILÍNEA OU NÃO LINEAR
CORRELAÇÕES CURVILÍNEAS SÃO INDICATIVAS QUE UMA VARIÁVEL AUMENTA A MEDIDA QUE A OUTRA TAMBÉM AUMENTA, ATE OCORRER UMA REVERSÃO; A PARTIR DAÍ, UMA DAS VARIÁVEIS COMECA A DECRESCER, ENQUANTO A OUTRA CONTINUA A CRESCER.
COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR
O INSTRUMENTO EMPREGADO PARA A MEDIDA DA CORRELAÇÃO LINEAR É O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO r . ESSE COEFICIENTE INDICA O GRAU DE INTENSIDADE E TAMBÉM O SENTIDO DESSA CORRELAÇÃO (POSITIVO OU NEGATIVO). TAL COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO OSCILA ENTRE -1,00 E +1,00 CONFORME SE SEGUE:
-1
 CORRELAÇÃO NEG. PERFEITA -0,95
 CORRELAÇÃO NEG. FORTE
-0,50
 CORRELAÇÃO NEG. MODERADA -0,10
 CORRELAÇÃO NEG. FRACA
r = 0,00
 AUSÊNCIA DE CORRELAÇÃO
+1
 CORRELAÇÃO POS. PERFEITA +0,95
 CORRELAÇÃO POS. FORTE
+0,50
 CORRELAÇÃO POS. MODERADA +0,10
 CORRELAÇÃO POS. FRACA
FAREMOS USO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON:
 r =
n É O N° DE OBSERVAÇÕES
X E Y SÃO AS VARIÁVEIS ANALISADAS
OS VALORES LIMITES DE r SÃO -1 E +1 
 INTERVALO 
OBS:
PARA QUE UMA RELAÇÃO POSSA SER DESCRITA POR MEIO DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO DE PEARSON, É IMPRESCINDÍVEL QUE ELA SE APROXIME DE UMA FUNÇÃO LINEAR. VERIFICA-SE A LINEARIDADE DO DIAGRAMA DE DISPERSÃO: SE A ELIPSE APRESENTA SALIÊNCIAS MUITO ACENTUADAS, PROVAVELMENTE TRATA-SE DE CORRELAÇÃO CURVILÍNEA.
PARA PODERMOS TIRAR ALGUMAS CONCLUSÕES SIGNIFICATIVAS SOBRE O COMPORTAMENTO SIMULTÂNEO DAS VARIÁVEIS ANALISADAS, É NECESSÁRIO QUE: 0,6 ≤ r ≤ 1
EXEMPLO: CALCULE E INTERPRETE O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO REFERENTE À ANÁLISE ENTRE AS SEGUINTES NOTAS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA:
O MODO MAIS PRÁTICO PARA OBTERMOS r É ABRIR NA TABELA, COLUNAS CORRESPONDENTES AOS VALORES Xi Yi, Xi
Yi
 
ORGANIZANDO OS DADOS, OBTEMOS:
 n = 10
= 65
= 65
= 473
= 481
= 475
 r =
r = 
r = 
= 
r = 
= 0,911
O RESULTADO INDICA UMA CORRELAÇÃO LINEAR POSITIVA ALTAMENTE SIGNIFICATIVA ENTRE AS DUAS VARIÁVEIS.
EXERCÍCIO: A TABELA ABAIXO APRESENTA OS VALORES QUE MOSTRAM COMO O COMPRIMENTO DE UMA BARRA DE AÇO VARIA CONFORME A TEMPERATURA:
DETERMINE O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO.
SOLUÇÃO:
OBS: SIMPLIFICAMOS O CÁLCULO, REDUZINDO UMA CASA DECIMAL EM AMBAS AS VARIÁVEIS.
	TEMPERATURA X
	COMPRIMENTO Y
	X 
 Y
	X
	Y
	10
	103
	1030
	100
	10609
	15
	105
	1575
	225
	11025
	20
	110
	2200
	400
	12100
	25
	111
	2775
	625
	12321
	30
	114
	3420
	900
	12996
	Σ= 100
	Σ= 543
	Σ= 11.000
	Σ= 2.250
	Σ= 59.051
n = 5 
 r =
r = 
r = 
 = 
= 0,98
RESP: O r = 0,98 INDICA UMA CORRELAÇÃO LINEAR POSITIVA E DE ALTO GRAU DE INTENSIDADE ENTRE A TEMPERATURA E O COMPRIMENTO DA BARRA DE AÇO.
REGRESSÃO – AJUSTAMENTO DA RETA.
SEMPRE QUE DESEJAMOS ESTUDAR DETERMINADA VARIÁVEL EM FUNÇÃO DE OUTRA, FAZEMOS UMA ANÁLISE DE REGRESSÃO.
A ANÁLISE DE REGRESSÃO TEM POR OBJETIVO DESCREVER ATRAVÉS DE UM MODELO MATEMÁTICO, A RELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS, DETERMINANDO A RETA QUE MELHOR SE AJUSTA AOS PONTOS DO GRÁFICO: RETA DE REGRESSÃO.
PARA DETERMINAR O AJUSTAMENTO DE UMA RETA A RELAÇÃO ENTRE ESTAS DUAS VARIÁVEIS, GARANTINDO ESTIMATIVAS MAIS PRECISAS, DEVE-SE OBTER UMA FUNÇÃO DEFINIDA POR:
Y = aX+b 
 A E B SÃO OS PARÂMETROS
PARA CALCULAR OS VALORES DOS PARÂMETROS a E b E ASSIM PODERMOS TRAÇAR A RETA NO GRÁFICO, USAMOS AS FÓRMULAS:
 a =
 b =
n É O N° DE OBSERVAÇÕES
É A MÉDIA DOS VALORES Xi 
 (
=
)
É A MÉDIA DOS VALORES Yi 
 (
=
)
IMPORTANTE: PARA OBTER A ESTIMATIVA DA VARIÁVEL Y, UTILIZAMOS:
 = aX+b ONDE 
 É O Y ESTIMADO 
EXEMPLO: DETERMINE A EQUAÇÃO DE REGRESSÃO E OBTENHA A ESTIMATIVA DE UMA NOTA Y DE ESTATÍSTICA CORRESPONDENTE A UMA NOTA DE MATEMÁTICA X= 4
a = 
 = 
= 
= 0,8632
COMO:
=
 = 6,5	 E 
=
 = 6,5 
b =
 
 b = 6,5 – 0,8632 X 6,5 = 0,8892
ASSIM:
a = 0,86 E b = 0,89
PARA TRAÇARMOS A RETA NO GRÁFICO, BASTA DETERMINAR DOIS DE SEUS PONTOS NA EQUAÇÃO DA RETA:
 = aX+b 
 
 = 0,86X+0,89 EQUAÇÃO DA RETA
1° PONTO: X = 0 
 
= 0,89	 2° PONTO: X = 5 
 
= 0,86 x 5 + 0,89 = 5,19
DETERMINADOS PONTOS, OBTEMOS A RETA DE REGRESSÃO:
1° PONTO: X = 0 
= 0,89	 2° PONTO: X = 5 
= 5,19
USANDO A EQUAÇÃO DE REGRESSÃO, PODEMOS ESTIMAR A NOTA Y CORRESPONDENTE A UMA EVENTUAL NOTA 4,0 DE MATEMÁTICA:
 = 0,86X+0,89
X = 4 
 
 = 0,86 X 4 + 0,89 = 4,33
O MESMO ACONTECE COM A NOTA 1,0. REPETINDO O PROCEDIMENTO, TEMOS:
X = 1 
 
 = 0,86 X 1 + 0,89 = 1,75
IMPORTANTE: COMO 4 
�� EMBED Equation.3 , DIZEMOS QUE HOUVE UMA INTERPOLAÇÃO. 
		 COMO 1 
�� EMBED Equation.3 , DIZEMOSQUE HOUVE UMA EXTRAPOLAÇÃO.
EXERCÍCIO: CERTA EMPRESA, ESTUDANDO A VARIAÇÃO DA DEMANDA DE SEU PRODUTO EM RELAÇÃO A VARIAÇÃO DO PRECO DE VENDAS, OBTEVE A TABELA:
DETERMINE A EQUAÇÃO DA RETA AJUSTADA.
ESTIME Y PARA X = 60 E X = 120
SOLUÇÃO:
a = 
 = 
 = -1,87
=
 = 66,3	 
=
 = 262,8
b =
 
 b = 262,8 – (-1,87) X 66,3 = 386,8
 = aX+b 
 
 = -1,87X+386,8 EQUAÇÃO DA RETA
Y ESTIMADO PARA X = 60 
 
 = -1,87
60+386,8 = 274,6
Y ESTIMADO PARA X = 120 
 
 = -1,87
120+386,8 = 162,4
	
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Plan1
		PRECO (Xi)		38		42		50		56		59		63		70		80		95		110
		DEMANDA (Yi)		350		325		297		270		256		246		238		223		215		208
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Plan1
		Xi		Yi		Xi Yi		Xi ²
		38		350		13300		1444
		42		325		13650		1764
		50		297		14850		2500
		56		270		15120		3136
		59		256		15104		3481
		63		246		15498		3969
		70		238		16660		4900
		80		223		17840		6400
		95		215		20425		9025
		110		208		22880		12100
		663		2,628		165,327		48,719
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Plan1
		TEMPERATURA °C		100		150		200		250		300
		COMPRIMENTO (mm)		1030		1050		1100		1110		1140
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Plan1
		DISTRIBUICAO A						DISTRIBUICAO B						DISTRIBUICAO C
		PESOS Kg		fi				PESOS Kg		fi				PESOS Kg		fi
		2 - 6		6				2 - 6		6				2 - 6		6
		6 - 10		12				6 - 10		12				6 - 10		30
		10 - 14		24				10 - 14		24				10 - 14		24
		14 - 18		12				14 - 18		30				14 - 18		12
		18 - 22		6				18 - 22		6				18 - 22		6
				Σ=60						Σ=78						Σ=78
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Plan1
		65		52		73		80		65		50		70
		75		80		65		70		77		82		91
		75		52		68		86		70		80		-
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