Lista 8 Geometria Analitica UFF

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UFF - IME - GGM
Disciplinas: GGM 127/125/160
Posic¸o˜es relativas, distaˆncia e aˆngulos no Espac¸o
1. Considere as seguintes retas:
m :
 x = 1− ty = 2 + t
z = 3
, t ∈ R n :
{
x− 2 = y+12
z = 2
r :
x+ 7
2
=
y
2
=
z + 2
−1 s :
{
x− y = 3
−2x+ 2y − z = 7
E os planos
α : 2x− y + z = 1 β : −y + 3z = 4
Determine a posic¸a˜o relativa, o aˆngulo e a distaˆncia entre os seguintes pares de objetos:
(a) m e α (b) n e r (c) α e β (d) m e s (e) n e s
2. Um plano Π1 e´ paralelo ao plano Π2 : 2x− 2y+ z = −4 e o ponto (2, 2, 2) e´ equidistante de Π1 e Π2. Determine
a equac¸a˜o de Π1.
3. Calcule a reta r que conte´m o ponto A = (0, 2, 2) e e´ paralela aos planos Π1 : 3x + 12y − 3z = 5 e Π2 :
3x− 4y + 9z = −7.
4. Uma flecha e´ lanc¸ada em trajeto´ria retil´ınea, passando pelo ponto (1, 1, 2) na direc¸a˜o de um alvo colocado em
(4, 4, 5). A que distaˆncia a flecha passa de um observador situado nas coordenadas (2, 3, 4)?
5. Um avia˜o passa por pontos de coordenadas (1, 2, 1) e (5, 6,−3), enquanto que um segundo avia˜o tem trajeto´ria
que passa pelos pontos (3, 4, 5) e (−1, 4, 9). Supondo trajeto´rias retil´ıneas, qual a menor aproximac¸a˜o poss´ıvel
entre os dois avio˜es?
6. Determine a equac¸a˜o duma reta r que passa pelo ponto P = (3,−1, 4) sabendo que r intersecta ao eixo OY e
que a distaˆncia do (0, 0, 0) a` r e´ 3.
7. Calcule a reta sime´trica da reta r : {(1 + 2t, 1− t,−3 + t : t ∈ R} com respeito do plano Π : 2x− y + z = −2.
8. Seja Π um plano tal que
Π ∩ΠXY = r1 :
{ −x+ 4y = −12
z = 0
Π ∩ΠY Z = r2 :
{
2y + 5z = −6
x = 0
Determine a equac¸a˜o de Π.
9. Determine a equac¸a˜o do plano Π que fica a distaˆncia 1 da reta r : {(1 + t, 3− 2t,−6) : t ∈ R} e que passa pelo
ponto P = (1, 2,−1). O problema tem soluc¸a˜o u´nica?
10. Determine a equac¸a˜o do plano Π1 que conte´m a reta r : {(1 + 2t, 7− 2t, 1 + 2t) : t ∈ R} e que forma um aˆngulo
de pi/6 radianos com o plano Π2 : x+ y + z = 5. O problema tem soluc¸a˜o u´nica?
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