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CURSO DE ENGENHARIA 
CÁLCULO DIF. INT. II 
EXERCÍCIOS DE REVISÃO PARA A AV1 
 
Obs.: As letras em negrito representam vetores. 
1 - Calcular os limites das funções vetoriais: 
a) * 
 
 
 + 
b) [( ) ( ) ] 
 
2 - Uma partícula se desloca no plano com o vetor posição dado por: R(t) = ti + t
2
j, em que t  0. Pede-se: 
a) o gráfico da trajetória; 
b) os vetores velocidade e aceleração da partícula; 
c) os módulos da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t = 1 s e t = 5 s; 
 
3 - Uma partícula se desloca no plano com o vetor posição dado por: R(t) = (2cos t)i + (3sen t)j, em que 0  t 
 2. Pede-se: 
a) o gráfico da trajetória; 
b) os vetores velocidade e aceleração da partícula; 
c) os módulos da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t = 0 e t = /2 s; 
 
4 – Calcular as integrais definidas abaixo: 
a) ∫ [( ) ( ) ] 
 
 
 
b) ∫ [( ) ( ) ] 
 
  
 
 
5 – O vetor velocidade de uma partícula é dado por: ( ) . Determinar o vetor posição da 
partícula, sabendo que no instante inicial, t = 0, o vetor posição é R(0) = i + j. 
 
6 – O vetor aceleração de uma partícula é dado por: . Determinar o vetor velocidade da partícula, 
sabendo que no instante inicial, t = 0, o vetor velocidade é v(0) = 10i + 10j. 
 
7 - Substituir a equação polar por uma equação cartesiana equivalente. 
a) r.sen = 0 b) r2 = 4r.sen
 
8 - Substituir a equação cartesiana por uma equação polar equivalente. 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) y
2
 = 4x 
 
9 – Calcular o coeficiente angular (dy/dx) das curvas abaixo em cada ponto indicado. 
a) r = -1 + sen em  = 0 e  = ; 
b) r = cos(2) em  = -/2,  = 0 e  = . 
 
10 - Encontrar as retas tangentes no polo (origem), para as funções abaixo: 
a) r = 3.cos 0    2 
b) r = sen(4) 0    2 
 
11 – Determinar a área de cada região abaixo: 
a) dentro da limaçon oval r = 4 + 2.cos 
b) dentro de uma das quatro pétalas da rosácea r = cos(2) 
 
12 – Determinar a área da região correspondente à intersecção dos círculos r = 2cos e r = 2sen. 
 
13 – Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(3, -4, 1) e é paralela ao vetor: v = i 
+ j +k. 
 
14 – Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P (2, 4, 5) e é perpendicular ao plano 
3x + 7y – 5z = 21. 
 
15 - Determinar a equação do plano que passa pelo ponto P (0, 2, -1) e é normal ao vetor: n = 3i - 2j – k. 
 
16 – Determinar a equação do plano que passa pelos pontos P (1, 1, -1), Q (2, 0, 2) e R (0, -2, 1). 
 
17 – Uma partícula se desloca no espaço com o vetor posição dado por: r(t) = (2cost)i + (2sent)j + 51/2tk. 
Determinar o vetor tangente unitário da curva. Calcular o comprimento da curva entre os instantes t = 0 e t = 
. 
 
18 - Determinar os vetores unitários T e N, e a curvatura, , para a curva plana: r(t) = ti + ln(cost)j 
compreendida entre -/2  t  /2. 
 
19 - Determinar os vetores unitários T e N, e a curvatura, , para a curva: r(t) = (3sent)i + (3cost)j + 4tk. 
 
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS 
 
1 – No cálculo dos limites substitui-se a variável t nas respectivas equações e realiza-se o caçulo: 
a) * 
 
 
 + * 
 
 ( )
 + 
b) [( ) ( ) ] [ ] 
 
2 – a) as funções componentes escalares são: x = f(t) = t e y = g(t) = t2. Assim, a dependência entre x e y é: y 
= x
2
. Como t  0, então, x  0 e y  0, logo a trajetória é o ramo da parábola no primeiro quadrante, conforme 
a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) v(t) = 
 ( )
 
 = i + 2tj e a(t) = 
 ( )
 
 
 ( )
 
 = 2j 
 
c) |v| = √ ( ) √ e |a| = √ = 2 
para t = 1, então |v| = √ e |a| = 2 
para t = 5, então |v| = √ e |a|| = 2 
 
3 – a) as funções componentes escalares são: x = f(t) = 2cos t e y = g(t) = 3sen t. Para determinar a 
dependência entre y e x, faz-se: x/2 = cos t e y/3 = sen t. Elevando ambas as expressões ao quadrado e 
somando-as membro a membro, vem: 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 . Essa equação representa 
uma elipse com centro na origem e tendo eixo maior igual a 3 no eixo das ordenadas e eixo menor igual a 2 
no eixo das abscissas, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
       








x
y
A partícula descreve uma trajetória elipse anti-horária, pois em t = 0 a partícula se encontra no ponto (2,0) e 
em t = /2, se encontra no ponto (0,3). 
 
b) v(t) = 
 ( )
 
 = -2sen(t) i + 3cos(t) j e a(t) = 
 ( )
 
 
 ( )
 
 = -2cos(t) i – 3sen(t)j 
 
c) |v| = √( ) ( ) √ 
e 
|a| = √( ) ( ) √ 
para t = 0, então |v| = e |a| = 2 
para t = /2, então |v| = 2 e |a|| = 3 
 
4 – a) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )| 
 ( )| 
 
 
 
 
 
 
 = [((3(2) - 2
3
) – (3(0) – 03)]i + [(2(2)2 + 2) – (2(0)2 – 0)]j = -2i + 10j. 
b) ∫ ( ) ∫ ( ) ( )| 
 
 ( )| 
 
 
 
 
 
– 
 = 
= - [(cos(/4) – cos(-/4)]i + [(/4 + sen(/4)) – (-/4 + sen(-/4))]j = -(
√ 
 
 
√ 
 
)i + [(
 
 
 
√ 
 
) ( 
 
 
 
√ 
 
)]j 
= (
 
 
 √ ) 
 
5 – R(t) = ∫ ( ) ∫[( ) ] ∫[( ) ] ∫[ ] = (t4/4 + 2t)i + t2/2j + C 
onde C é o vetor constante de integração. O cálculo do vetor C se faz, utilizando a condição inicial: 
para t = 0, então R(0) = [(0)
4
/4 + 2(0)]i + [(0)
2
/2]j + C = i + j 
Logo, C = i + j 
O vetor posição da partícula será: R(t) = (t
4
/4 + 2t
2
 + 1)i + (t
2
/2 + 1)j 
 
6 - v(t) = ∫ ( ) ∫[( ) ] -32tj + C 
onde C é o vetor constante de integração. O cálculo do vetor C se faz, utilizando a condição inicial: 
para t = 0, então v(0) = -32(0)j + C = 10i + 10j 
Logo, C = 10i + 10j 
O vetor velocidade da partícula será: v(t) = 10i + (10 – 32t)j 
 
7 – a) Como y = rsen, então y = 0. 
 
b) Como r
2
 = x
2
 + y
2
 e y = rsen, então, tem-se: x2 + y2 = 4y. 
 
8 – a) Substituindo x = rcos e y = rsen, vem: 
( ) 
 
 
( ) 
 
 ou r2(4cos2 + 9sen2) = 36. 
 
b) Fazendo as mesmas substituições realizadas no item anterior, vem: (rsen)2 = 4(rcos) ou rsen2 = 4cos. 
 
9 – O coeficiente angular é dado pela expressão da derivada: 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ) ( ) ( )
 
 
a) f() = -1 + sen e f’() = cos 
para  = 0, vem: f(0) = -1; f’(0) = 1; sen0 = 0 e cos0 = 1, assim: 
 
 
 
 ( ) ( )( )
 ( ) ( )( )
 
 
 
 
 
para  = , vem: f() = -1; f’() = -1; sen = 0 e cos = -1, assim: 
 
 
 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
 
 
 
 
 
b) f() = cos(2) e f’() = -2sen(2) 
para  = -/2, vem: f(-/2) = cos[2(-/2)] = -1; f’(-/2) = -2sen[2(-/2)] = 0; sen(-/2) = -1 e cos(-/2) = 0; 
assim: 
 
 
 
 ( ) ( )( )
 ( ) ( )( )
 
 
 
 
 
para  = 0, vem: f(0) = cos(2.0) = 1; f’(0) = -2.sen(2.0) = 0; sen(0) = 0 e cos(0) = 1; assim: 
 
 
 
 ( ) ( )( )
 ( ) ( )( )
 
 
 
 = não definida – a reta tangente é vertical 
 
para  = , vem: f() = cos(2.) = 1; f’() = -2.sen(2.) = 0; sen() = 0 e cos() = -1; assim: 
 
 
 
 ( ) ( )( )
 ( ) ( )( )não definida – a reta tangente é vertical 
Obs: Os gráficos das duas funções estão representados abaixo: 
a) r = -1 + sen b) r = cos(2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
       








x
y
10 – O coeficiente angular no polo é dado por: 
 
 
 = m; e a equação da reta tangente passando pela 
origem é dada por: y = mx. 
a) r = f() = 3.cos = 0 
Os valores de  que satisfazem a equação acima são:  = /2 e  = 3/2. 
Assim: tg(/2) = não é definida – reta tangente vertical: x = 0; 
e tg(3/2) = não é definida – reta tangente vertical: x = 0. 
 
b) r = f() = sen(4) = 0 
Os valores de que satisfazem a equação acima são: 4 = 0, , 2, 3, 4, ... 
logo  = 0, /4, /2, 3/4, , 5/4, 3/2, 7/4 e 2. 
 
Os valores das tangentes e as equações das retas tangentes são: 
 
 tg equação da reta 
0 0 y = 0 (horizontal) 
/4 1 y = x 
/2 nd x = 0 (vertical) 
3/4 -1 y = -x 
 0 y = 0 (horizontal) 
5/4 1 y = x 
3/2 nd x = 0 (vertical) 
7/4 -1 y = -x 
2 0 y = 0 (horizontal) 
 
Obs.: Os gráficos das duas funções estão representados abaixo: 
a) r = 3cos b) r = sen(4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       








x
y
       








x
y
11 – Em coordenadas polares a área de uma região é calculada por: área = ∫ (
 
 
 ) 
 
 
 
onde  e  são limites de integração do ângulo azimutal, . 
a) r = 4 + 2cos 
O gráfico dessa função está representado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ângulo, , varia desde  = 0 até  = 2 para cobrir toda a região interna da curva, logo a área será: 
área = 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 = 
 
 
∫ ( )
 
 
 ∫ ( )
 
 
 
área = *∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
+ * ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
+ 
área = 2[ 4|0
2
 + 4sen|0
2
 + (1/2)(|0
2
 + (1/2)sen(2)|0
2
] = 2[8 +] = 18 
Obs.: cos
2 = (1/2)(1 + cos2) 
 
b) r = cos(2) 
O gráfico dessa função está representado abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como as 4 pétalas apresentam a mesma área, podemos calcular a área da pétala à direita. 
Os limites de  para este caso são: cos(2) = 0, então 2 = -/2 e /2, ou seja,  vai de -/4 até /4. 
área = 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
área = (1/4)[(/4 – (-/4)) + (sen - sen(-))] 
área = /8 
 
12 – A área da região procurada está representada na figura abaixo. É a região comum entre os círculos. 
       








x
y
       








x
y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A interseção dos dois círculos fornece: 2cos = 2sen ou cos = sen, assim  = /4. 
Os limites de integração são: para o círculo em azul:  vai de 0 até /4; e para o círculo preto:  varia de /4 
até /2. 
Assim, a área da interseção é: 
área = 
 
 
*∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 + *∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 + 
área = *
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
∫ ( )
 
 
 + 
área 
 
 
 
 
 
* ( 
 
 
) ( )+ (
 
 
 
 
 
) 
 
 
* ( 
 
 
) ( 
 
 
)+ 
área = /2 - 1 
Obs.: sen
2 = (1/2)(1 – cos2) 
 
13 – Se v = v1i + v2j + v3k é um vetor paralelo a uma reta que passa pelo ponto P(xo,yo,zo), então, as 
equações paramétricas da reta são: x = xo + v1t; y = yo + v2t; e z = zo + v3t. 
Substituindo os dados do problema nas expressões gerais das equações paramétricas, vem: 
x = 3 + t y = -4 + t z = 1 + t 
 
14 – O vetor normal ao plano dado é: n = 3i + 7j – 5k. Esse vetor é paralelo à reta procurada, pois a reta é 
perpendicular ao plano, assim: n = v; e as equações paramétricas da reta são: 
x = 2 + 3t y = 4 + 7t z = 5 – 5t 
 
15 – A equação de um plano que passa por um ponto P(xo,yo,zo) e é normal ao vetor: n = Ai + Bj + Ck é: 
A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0. 
Substituindo os dados do problema na expressão geral do plano, vem: 
3(x – 0) - 2(y – 2) – (z + 1) = 0 ou 3x – 2y –z + 3 = 0 
 
16 – A partir dos três pontos, constroem-se dois vetores, por exemplo: PQ = i – j + 3k e PR = -i – 3j + 2k. 
O produto vetorial destes dois vetores é normal ao plano que contém os três pontos. 
       








x
y
n = PQxPR = |
 
 
 
| = 7i – 5j – 4k 
 
A equação do plano, usando o ponto P é: 7(x – 1) – 5(y – 1) – 4(z + 1) = 0 ou 7x – 5y – 4z – 6 = 0. 
 
17 – Cálculo do vetor tangente unitário: 
v(t) = -2sent i + 2cost j + 5
1/2
 k 
|v| = √ 
T = 
 
| |
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
Cálculo do comprimento da curva: s = ∫ | |
 
 
 
s = ∫ 
 
 
 = 3( - 0) = 3. 
 
 
18 – Cálculo do vetor tangente unitário (T): 
O vetor tangente unitário é o versor do movimento, assim: 
T = v/|v| 
vetor velocidade: v(t) = dR(t)/dt = i – (sent/cost)j = i – (tgt)j 
modulo do vetor velocidade: |v| = √ √ 
 
 
 
vetor tangente unitário: T = 
 
 
 
 
 
 
o vetor normal unitário, N, é dado por: N = 
 
| |
 
cálculo de dT/dt: dT/dt = -sent i – cost j 
cálculo de |dT/dt|: |dT/dt| = √( ) ( ) = 1 
assim, 
N = -sent i – cost j 
A curvature, , é dada pela expressão: 
 
| |
|
 
 
| 
logo, 
 = (1/sec t) = cost 
 
19 – Os cálculos de T, N e  são análogos aos do exercício anterior, assim: 
T = v/|v N = 
 
| |
 
 
| |
|
 
 
| 
Logo: 
v = 3cost i – 3sent j + 4k 
|v| = √( ) ( ) 
vetor tangente unitário: T = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dT/dt = = 
 
 
 
 
 
 e | dT/dt| = 3/5 
vetor normal unitário: N = 
curvatura: