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RESMAT 1 CÍRCULO DE MOHR - O círculo de Mohr, denominado em memória de seu idealizador, Christian Otto Mohr, é um método gráfico bidimensional representativo do estado plano de tensões. CÍRCULO DE MOHR - As tensões normais (𝜎) no eixo horizontal e as tensões cisalhantes (τ) no eixo vertical. - O centro do círculo (C) será dada pela tensão média (𝜎𝑚), definida por: CÍRCULO DE MOHR 𝐶 = 𝜎𝑚 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 2 - O raio do círculo (R) será dada pela tensão de cisalhamento máxima (𝜏𝑚𝑎𝑥), definida por: 𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (𝜎𝑥 − 𝜎𝑚)2+𝜏2 - Com o centro e o raio é possível determinar as tensões principais. Tensão máxima (𝜎1) e Tensão mínima (𝜎2). 𝜎1 = 𝐶 + 𝑅 𝜎2 = 𝐶 − 𝑅 - O próximo passo é marcar os pontos correspondentes ao estado plano de tensões dado. 𝑋 = (𝜎𝑥, −𝜏𝑥𝑦) 𝑌 = (𝜎𝑦 , 𝜏𝑥𝑦) CÍRCULO DE MOHR 𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝑋 = (𝜎𝑥, −𝜏𝑥𝑦) 𝑌 = (𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦) 𝐶 = 𝜎𝑚 𝜎1 = 𝐶 + 𝑅𝜎2 = 𝐶 − 𝑅 - O ângulo de orientação do plano das tensões principais é chamado de 𝜃𝑃. Esse plano corresponde ao eixo horizontal do círculo de Mohr, onde a tensão cisalhante é nula (𝜏 = 0). CÍRCULO DE MOHR 𝑋 𝑌 𝐶 𝜎1𝜎2 2𝜃𝑃 Plano principal - O ângulo de orientação do plano das tensões principais é chamado de 𝜃𝑃. Esse plano corresponde ao eixo horizontal do círculo de Mohr, onde a tensão cisalhante é nula (𝜏 = 0). CÍRCULO DE MOHR 𝑋 𝑌 𝐶 𝜎1𝜎2 2𝜃𝑃 𝜎𝑥 −𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 − 𝐶 𝑡𝑔(2𝜃𝑃) = −𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 − 𝐶 - O ângulo de orientação do plano da tensão cisalhante máxima é chamados de 𝜃𝐶. Esse plano corresponde ao eixo vertical do círculo de Mohr, onde a tensão cisalhante é máxima (𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥) e as tensões normais são iguais à tensão média (𝜎1= 𝜎2= 𝜎𝑚) . CÍRCULO DE MOHR 𝑋 𝑌 𝐶 𝜎1𝜎2 2𝜃𝐶 Plano de cisalhamento máximo 2𝜃𝑃 2𝜃𝐶 = 90 − 2𝜃𝑃 𝜃𝐶 = 45 − 𝜃𝑃 CÍRCULO DE MOHR 𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜃𝐶 𝜃𝑃 𝜎2 𝜎1 𝜎𝑚 𝜎𝑚 −𝜏𝑚𝑎𝑥 Esboço dos planos de tensões para 𝜃𝑃 positivo. O sentido do cisalhamento máximo deve ser invertido em relação ao original. CÍRCULO DE MOHR 𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜃𝐶 𝜃𝑃 𝜎2 𝜎1 𝜎𝑚 𝜎𝑚 𝜏𝑚𝑎𝑥Esboço dos planos de tensões para 𝜃𝑃 negativo. - Se girarmos o elemento de tensões de um ângulo 𝜃, teremos um ângulo ∅ entre o plano principal e o novo plano: CÍRCULO DE MOHR 𝑋 𝑌 𝐶 𝜎𝑥𝜎2 2𝜃𝑃 𝑋′ 𝑌′ 2𝜃 𝜎1 −𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝜎′𝑥 𝜎′𝑦 𝜏′𝑥𝑦 −𝜏′𝑥𝑦 ∅ ∅ = 2𝜃 + 2𝜃𝑃 - Observando o triângulo formado no primeiro quadrante, temos: CÍRCULO DE MOHR 𝐶𝜎2 𝜎1𝜎′𝑥 𝜎′𝑦 𝜏′𝑥𝑦 −𝜏′𝑥𝑦 ∅ 𝑅 𝑅 ∅ cos ∅ = 𝜎′𝑥 − 𝐶 𝑅 𝜎′𝑥 = 𝐶 + 𝑅𝑐𝑜𝑠(∅) - Observando o triângulo formado no segundo quadrante, temos: CÍRCULO DE MOHR 𝐶𝜎2 𝜎1𝜎′𝑥 𝜎′𝑦 𝜏′𝑥𝑦 −𝜏′𝑥𝑦 ∅ 𝑅 𝑅 ∅ cos ∅ = 𝐶 − 𝜎′𝑦 𝑅 𝜎′𝑦 = 𝐶 − 𝑅𝑐𝑜𝑠(∅) - Observando o triângulo formado no segundo quadrante, temos: CÍRCULO DE MOHR 𝐶𝜎2 𝜎1𝜎′𝑥 𝜎′𝑦 𝜏′𝑥𝑦 −𝜏′𝑥𝑦 ∅ 𝑅 𝑅 ∅ sen ∅ = 𝜏′𝑥𝑦 𝑅 𝜏′𝑥𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(∅) ESTADO PLANO DE TESÕES 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜃 𝜎′𝑦 𝜎′𝑥 𝜏′𝑥𝑦 Esboço dos planos de tensões para rotação de um ângulo 𝜃 em sentido anti-horário. ESTADO PLANO DE TESÕES 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜃 𝜎′𝑥 𝜎′𝑦 𝜏′𝑥𝑦 Esboço dos planos de tensões para rotação de um ângulo 𝜃 em sentido horário. FIM
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