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RESMAT 1
CÍRCULO DE MOHR
- O círculo de Mohr, denominado em memória de seu idealizador, Christian Otto
Mohr, é um método gráfico bidimensional representativo do estado plano de
tensões.
CÍRCULO DE MOHR
- As tensões normais (𝜎) no eixo horizontal e as tensões cisalhantes (τ) no eixo
vertical.
- O centro do círculo (C) será dada pela tensão média (𝜎𝑚), definida por:
CÍRCULO DE MOHR
𝐶 = 𝜎𝑚 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
- O raio do círculo (R) será dada pela tensão de cisalhamento máxima (𝜏𝑚𝑎𝑥), definida por:
𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = (𝜎𝑥 − 𝜎𝑚)2+𝜏2
- Com o centro e o raio é possível determinar as tensões principais. Tensão máxima (𝜎1) e
Tensão mínima (𝜎2).
𝜎1 = 𝐶 + 𝑅 𝜎2 = 𝐶 − 𝑅
- O próximo passo é marcar os pontos correspondentes ao estado plano de tensões dado.
𝑋 = (𝜎𝑥, −𝜏𝑥𝑦) 𝑌 = (𝜎𝑦 , 𝜏𝑥𝑦)
CÍRCULO DE MOHR
𝑅 = 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑋 = (𝜎𝑥, −𝜏𝑥𝑦)
𝑌 = (𝜎𝑦, 𝜏𝑥𝑦)
𝐶 = 𝜎𝑚 𝜎1 = 𝐶 + 𝑅𝜎2 = 𝐶 − 𝑅
- O ângulo de orientação do plano das tensões principais é chamado de 𝜃𝑃. Esse
plano corresponde ao eixo horizontal do círculo de Mohr, onde a tensão cisalhante
é nula (𝜏 = 0).
CÍRCULO DE MOHR
𝑋
𝑌
𝐶 𝜎1𝜎2
2𝜃𝑃
Plano principal
- O ângulo de orientação do plano das tensões principais é chamado de 𝜃𝑃. Esse
plano corresponde ao eixo horizontal do círculo de Mohr, onde a tensão cisalhante
é nula (𝜏 = 0).
CÍRCULO DE MOHR
𝑋
𝑌
𝐶 𝜎1𝜎2
2𝜃𝑃
𝜎𝑥
−𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝐶
𝑡𝑔(2𝜃𝑃) =
−𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝐶
- O ângulo de orientação do plano da tensão cisalhante máxima é chamados de 𝜃𝐶.
Esse plano corresponde ao eixo vertical do círculo de Mohr, onde a tensão
cisalhante é máxima (𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥) e as tensões normais são iguais à tensão média
(𝜎1= 𝜎2= 𝜎𝑚) .
CÍRCULO DE MOHR
𝑋
𝑌
𝐶 𝜎1𝜎2
2𝜃𝐶
Plano de cisalhamento máximo
2𝜃𝑃
2𝜃𝐶 = 90 − 2𝜃𝑃
𝜃𝐶 = 45 − 𝜃𝑃
CÍRCULO DE MOHR
𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 𝜃𝐶
𝜃𝑃
𝜎2 𝜎1
𝜎𝑚
𝜎𝑚
−𝜏𝑚𝑎𝑥
Esboço dos planos de tensões para 𝜃𝑃 positivo.
O sentido do cisalhamento máximo deve ser
invertido em relação ao original.
CÍRCULO DE MOHR
𝜎𝑦𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜃𝐶
𝜃𝑃
𝜎2
𝜎1
𝜎𝑚
𝜎𝑚
𝜏𝑚𝑎𝑥Esboço dos planos de tensões para 𝜃𝑃 negativo.
- Se girarmos o elemento de tensões de um ângulo 𝜃, teremos um ângulo ∅ entre o
plano principal e o novo plano:
CÍRCULO DE MOHR
𝑋
𝑌
𝐶 𝜎𝑥𝜎2
2𝜃𝑃
𝑋′
𝑌′
2𝜃
𝜎1
−𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
−𝜏′𝑥𝑦
∅
∅ = 2𝜃 + 2𝜃𝑃
- Observando o triângulo formado no primeiro quadrante, temos:
CÍRCULO DE MOHR
𝐶𝜎2 𝜎1𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
−𝜏′𝑥𝑦
∅
𝑅
𝑅
∅
cos ∅ =
𝜎′𝑥 − 𝐶
𝑅
𝜎′𝑥 = 𝐶 + 𝑅𝑐𝑜𝑠(∅)
- Observando o triângulo formado no segundo quadrante, temos:
CÍRCULO DE MOHR
𝐶𝜎2 𝜎1𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
−𝜏′𝑥𝑦
∅
𝑅
𝑅
∅
cos ∅ =
𝐶 − 𝜎′𝑦
𝑅
𝜎′𝑦 = 𝐶 − 𝑅𝑐𝑜𝑠(∅)
- Observando o triângulo formado no segundo quadrante, temos:
CÍRCULO DE MOHR
𝐶𝜎2 𝜎1𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
−𝜏′𝑥𝑦
∅
𝑅
𝑅
∅
sen ∅ =
𝜏′𝑥𝑦
𝑅
𝜏′𝑥𝑦 = 𝑅𝑠𝑒𝑛(∅)
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜃
𝜎′𝑦
𝜎′𝑥
𝜏′𝑥𝑦
Esboço dos planos de tensões para rotação de um ângulo 𝜃 em sentido anti-horário.
ESTADO PLANO DE TESÕES
𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥
𝜃 𝜎′𝑥
𝜎′𝑦
𝜏′𝑥𝑦
Esboço dos planos de tensões para rotação de um ângulo 𝜃 em sentido horário.
FIM