Calculo II UNIVESP Semana 02

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2
cálculo II
exercícios
Dessa lista, você deve entregar para avaliação os seguin-
tes exercícios: 
 → Exercício 2 — item c;
 → Exercício 5;
 → Exercício 9;
 → Exercício 11.
Cada exercício vale 2,5 pontos.
Polinômio de Taylor
O Polinômio de Taylor de uma função de várias variáveis 
é dado por uma expressão que generaliza aquelas estu-
dadas para funções de uma variável real.
Ordem 1:
L(x, y) = f(a, b) + ∂f
∂x
 (a, b)(x - a) + ∂f
∂y
 (a, b)(y - b)
Cálculo II / Exercícios 2
Ordem 2:
Q(x, y) = L(x, y) + 1
2
 ∂
2f
∂x2
 (a, b) (x - a)2 + ∂
2f
∂x∂y
 (a, b) (x - a)(y - b) + 1
2
 ∂
2f
∂y2
 (a, b) (y - a)2
Exemplo:
Determine o Polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x, y) = 2ex2 × y3, desen-
volvido no ponto (0, 1).
Solução:
f(x, y) = 2ex2 × y3
Daí segue:
f(0, 1) = 2 
∂f
∂x
 (x, y) = 4xex2 y3 ⇒ ∂f
∂x
 (0, 1) = 0
∂f
∂y
 (x, y) = 6ex2 y2 ⇒ ∂f
∂y
 (0, 1) = 6
∂2f
∂x2
 (x,y) = 4ex2 y3 + 8x2ex2 y3 ⇒ ∂
2f
∂x2
 (0,1) = 4
∂2f
∂x∂y
 (x, y) = 12xex2 y2 ⇒ ∂
2f
∂x∂y
 (0, 1) = 0
∂2f
∂y2
 (x, y) = 12ex2 y ⇒ ∂
2f
∂x2
 (0, 1) = 12 
Q(x, y) = 2 + 6(y - 1) + 2x2 + 6(y - 1)2
Isto pode ser interpretado como: 
2ex2⋅y3 ≈ 2 + 6(y - 1) + 2x2 + 6(y - 1)2
para (x, y) ≈ (0, 1) ou ainda,
lim
(x, y) → (0,1) 
2ex2⋅y3
2 + 6(y - 1) + 2x2 + 6(y - 1)2
 = 1
Se fizermos x = 0,2 e y = 1,1 obtemos: 
2e0,22 × 1,13 = 2,7706…
e
Q(0,2, 1,1) = 2,74
Cálculo II / Exercícios 3
Resolva:
exercício 1
Dada a função f(x, y, z) = x2 ey+z2:
a. Obtenha sua diferencial total em (1, 0, 0).
b. Obtenha o Polinômio de Taylor de ordem dois de f, no ponto (1, 0, 0).
Integrais duplas e triplas: além do significado Geométrico (volume debai-
xo do gráfico de uma função de duas variáveis) e Físico (massa de uma pla-
ca ou de um sólido a partir da densidade), vimos o Teorema de Fubini para 
realizar o cálculo de integrais múltiplas. É a chamada integração iterada.
Inicialmente veremos exemplos em que os domínios de integração são 
um retângulo e um cubo (paralelepípedo).
Exemplos:
a. Calcule o volume abaixo do gráfico de z = senx + 5, acima do plano 
xy, na região,
D = [0, π] × [1, 6]
Solução:
Volume = ∬D f(x, y)dA = ∫1
6
∫
π
0
 (senx + 5)dxdy = ∫
1
6
(-cosx + 5x) | 
π
0
 dy = 
∫
1
6
(2 + 5π)dy = (2 + 5π)y |
1
6
 = 5(2 + 5π)
b. Calcule a massa do cubo [0,1] × [0,1] × [0,1] com função densidade 
δ = δ(x, y, z) = xyz
Solução:
Massa = ∭D δ(x, y, z)dV = ∫
1
0
∫
1
0
∫
1
0 
xyzdzdydx = ∫
1
0
∫
1
0 
1
2
 xyz2 |
1
0
 dydx = 
∫
1
0
∫
1
0 
1
2
 xydydx = ∫
1
0 
1
4
 xy2 |
1
0
 dx = ∫
1
0
1
4
 xdx = 1
8
 x2 |
1
0
 = 1
8
exercício 2
Calcule ∬D f(x, y)dA nos casos abaixo:
Cálculo II / Exercícios 4
a. f(x, y) = x3 y4 e D = [0, 1] × [0, 2] 
b. f(x, y) = senx × seny e D = [0, π] × [0, π]
c. f(x, y) = x
2
y
 e D = [1, 3] × [1, e] (2,5 pontos)
exercício 3
Calcule a massa da placa [0, 1] × [0, 1] densidade δ = δ(x, y) = xy.
exercício 4
Complete:
∫
3
-1 
∫
2
0 
∫
3
2
 f(x, y, z)dzdydx = ∫
?
?
∫
?
?
∫
?
? 
f(x, y, z)dxdydz = ∫
?
?
∫
?
?
∫
?
?
 f(x, y, z)dydzdx
exercício 5 (2,5 pontos)
Calcule ∭D f(x, y, z)dV sendo D = [0,2]×[1,3]×[0,3] e f(x, y, z) = x + y + z.
exercício 6
Determine ∭D f(x, y, z)dV sendo D = {(x, y, z)| -1 ≤ x, y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 4} e 
f(x, y, z) = xy + 2z
Teorema de Fubini. Caso geral
Nem sempre os domínios de integração são retângulos ou paralelepípedos. 
No plano temos:
Teorema de Fubini (caso geral):
D = {(x, y)| a ≤ x ≤ b, e g(x) ≤ y ≤ h(x)}
∬D f(x, y) dxdy = ∫
b
a 
∫
h(x)
g(x) f(x, y) dydx
E, de maneira simétrica, se
D = {(x,y) | c ≤ y ≤ d e u(y) ≤ x ≤ v(y)}
então,
∬D f(x, y) dxdy = ∫
d
c 
∫
v(y)
u(y) f(x, y)dxdy
Cálculo II / Exercícios 5
Exemplo:
Calcule ∬D (2x + y
3)dA sendo D = {(x, y) ∈ ℝ2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2}
Solução:
∬D (2x + y
3)dA = ∫
1
0 
∫
x2
0 (2x + y
3)dydx = 
= ∫
1
0 
2xy + y
4
4
 | 
x2
0 
= ∫
1
0 
2x3 + x
8
4
dx = 
 
x4
2
 + x
9
36
 | 
1
0 
= 
= 1
2
 + 1
36
 = 19
36
exercício 7
Calcule a massa da placa {(x, y) ∈ ℝ2 | 1 ≤ y ≤ 2, 1 ≤ x ≤ 2y} com densidade 
δ(x, y) = x + y2.
exercício 8
Calcule o volume debaixo de f(x, y) = x sobre a região limitada entre 
os gráficos de y = x2 e y = x (observe que x estará entre 0 e 1).
exercício 9 (2,5 pontos)
Seja D a região do plano limitada pelas curvas y = x2 e y = x4, com x ≥ 0. 
Calcule a integral dupla em D da função f(x, y) = xy2.
No caso do espaço em três dimensões temos várias possibilidades de or-
dens. Vamos destacar uma delas, lembrando que as outras são análogas.
Teorema de Fubini. Caso Geral.
D = {(x, y, z) ∈ ℝ3 | a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ h(x), u(x, y) ≤ z ≤ v(x, y)}
∭D f(x, y, z)dV = ∫
b
a 
∫
h(x)
g(x) ∫
v(x, y)
u(x, y) f(x, y, z)dzdydx
Exemplo:
Sendo
D = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ x + y}
obtenha ∭D x
2dxdydz.
Cálculo II / Exercícios 6
Solução:
∭D x
2dxdydz = ∫
2
0 
∫
1
0 
∫
x + y
0 x
2dzdydx = ∫
2
0 
∫
1
0
(x2z) | 
x + y
0 
dxdy ∫
2
0 
∫
1
0
(x3 + x2y)dydx = 
∫
2
0 
x3y + 1
2
 x2y2 | 
1
0 dx = ∫
2
0 
x3 + 1
2
 x2 dx = 
x4
4
 + x
3
6
 | 
2
0 = 
16
3
exercício 10
Se D é o sólido descrito por,
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ z ≤ 1 - x
obtenha ∭D xdxdydz.
exercício 11 (2,5 pontos)
Calcule a massa do tetraedro de vértices (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) 
com densidade δ = δ(x, y, z) = y.
Cálculo II / Exercícios 7
gabarito
exercício 1
a. 
f(x, y, z) = x2e y + z2
f(1, 0, 0) = 12e0 + 0 = 1
∂f
∂x
 (x, y, z) = 2xe y + z2 ⇒ ∂f
∂x
 (1, 0, 0) = 2e0 = 2
∂f
∂y
 (x, y, z) = x2e y + z2 ⇒ ∂f
∂y
 (1, 0, 0) = 1e0 = 1
∂f
∂z
 (x, y, z) = 2zx2e y + z2 ⇒ ∂f
∂z
 (1, 0, 0) = 0
Diferencial total:
df(1, 0, 0) = 2dx + 1dy + 0dz = 2dx + dy
b. 
∂2f
∂x2
 (x, y, z) = 2e y + z2 ⇒ ∂
2f
∂x2
 (1, 0, 0) = 2
∂2f
∂y2
 (x, y, z) = x2e y + z2 ⇒ ∂
2f
∂x2
 (1, 0, 0) = 1
∂2f
∂z2
 (x, y, z) = 2x2e y + z2 + 4z2x2e yz2 ⇒ ∂
2f
∂x2
 (1, 0, 0) = 2
∂2f
∂x∂y
 (x, y, z) = 2xe y + z2 ⇒ ∂
2f
∂x∂y
 (1, 0, 0) = 2
∂2f
∂x∂z
 (x, y, z) = 4xze y + z2 ⇒ ∂
2f
∂x∂z
 (1, 0, 0) = 0
∂2f
∂y∂z
 (x, y, z) = x22ze yz2 ⇒ ∂
2f
∂y∂z
 (1, 0, 0) = 0
Polinômio de Taylor:
Q(x, y) = 1 + 2(x - 1) + y + (x - 1)2 + 1
2
 y2 + z2 + 2(x - 1)y
Cálculo II / Exercícios 8
exercício 2
a. 
∫
1
0
∫
2
0 
x3y4dydx = ∫
1
0 
x3⋅ y
5
5
 | 
2
0
 dx = ∫
1
0 
32
5
 x3 dx = 32
5
 1
4
 x4 | 
1
0
 = 8
5
b. 
∫
π
0
∫
π
0 
senx.senydydx = ∫
π
0 
senx.(-cosy) | 
π
0 
dx = 
∫
π
0 
2senxdx = 2(-cosx) |
π
0
 = 4
c. (2,5 pontos)
∫
3
1
∫
e
1 
x2
y 
dydx = ∫
3
1 
x2lny | 
e
1
 dx = ∫
3
1 
x2dx = x
3
3
 | 
3
1
 = 9 - 1
3
 = 26
3
exercício 3
Massa = ∬D xydA = ∫
1
0
∫
1
0 
xydydx = ∫
1
0 
1
2
 xy2 |
1
0
 = ∫
1
0 
1
2
 xdx = 1
4
 x2 |
1
0
 = 1
4
exercício 4
∫
3
-1
∫
2
0 
∫
3
2
 f(x, y, z)dzdydx = ∫
3
2 
∫
2
0 
∫
3
-1
 f(x, y, z)dxdydz = ∫
3
-1 
∫
3
2 
∫
2
0 
 f(x, y, z)dydzdx
exercício 5 (2,5 pontos)
∭D f(x, y, z)dV = ∫
2
0 
∫
3
1 
∫
3
0
 (x + y + z)dzdydx = ∫
2
0 
∫
3
1
 xz + yz + z
2
2 
 | 
3
0
dydx = 
∫
2
0 
∫
3
1 
3x + 3y + 9
2 
 dydx = ∫
2
0 
3xy + 3y
22
 + 9
2
 y | 
3
1
dx
= ∫
2
0 
(6x + 21)dx = (3x2 + 21x)| 
2
0
 = 54
exercício 6
∭D f(x, y, z)dV = ∫
2
-1
∫
2
-1 
∫
4
0
 (xy + 2z)dzdydx = ∫
2
-1
∫
2
-1 
(xyz + z2) | 
4
0
dydx = 
∫
2
-1
∫
2
-1 
(4xy + 16)dydx = ∫
2
-1
(2xy2 + 16y) | 
2
-1
dx = 
∫
2
-1
(6x + 48) dx = (3x
2 + 48x) | 
2
-1
 = 12 + 96 - 3 + 48 = 153
Cálculo II / Exercícios 9
exercício 7
Massa = ∫
2
1 
∫
2y
1 (x + y
2)dxdy = ∫
2
1
 1
2
 x2 + xy2 | 
2y
1 dy = 
∫
2
1 
2y2 + 2y3 - 1
2
 - y2 dy = y
3
3
 + y
4
2
 - y
2
 | 
2
1 = 
8
3
 + 8 - 1 - 1
3
 - 1
2
 + 1
2
 = 28
3
exercício 8
Volume = ∬D x dydx = ∫
1
0 
∫
x
x2 
x dydx = ∫
1
0 
x y | 
x
x2
 dx = 
∫
1
0 
x (x - x2)dx = ∫
1
0
 x
3
2 - x
5
2 
 dx = 2
5
 x
5
2 - 2
7
 x
7
2 
 
 |
1
0
 = 2
5
 - 2
7
 = 4
35
exercício 9 (2,5 pontos)
∫
1
0 
∫
x2
x4
 xy2dydx = ∫
1
0 
xy3
3
 | 
x2
x4
 dx = ∫
1
0 
 x
7
3
 - x
13
3
 dx = 
 x
8
24
 - 
x14
42
 |
1
0
 = 1
56
exercício 10
∭D xdxdydz = ∫
1
0 
∫
x
0 
∫
1 - x
0 xdzdydx = ∫
1
0 
∫
x
0 
xz | 
1 - x
0 
dydx = 
∫
1
0 
∫
x
0
(x - x2)dydx = ∫
1
0 
(xy - x2y) | 
x
0
dx = ∫
1
0 
(x2 - x3)dx = 
= 
x3
3
 - x
4
4
 | 
1
0 = 
1
3
 - 1
4
 = 1
12
exercício 11 (2,5 pontos)
x
z
y
Cálculo II / Exercícios 10
Massa ∭Dδ(x, y, z)dV = ∫
1
0 
∫
1 - x
0 
∫ 0
1 - x - y
 ydzdydx = ∫
1
0 
∫
1 - x
0 
yz | 0
1 - x - y dydx
∫
1
0 
∫ 0
1 - X
(y - yx - y2)dydx = ∫
1
0 
y2
2
 - x y
2
2
 - y
3
3
 | 
1 - x
0 dx = 
∫
1
0 
1 - 2x + x2
2
 - x 1 - 2x + x
2
2
 - 1 - 3x + 3x
2 - x3
3
 dx = 
∫
1
0 
1
6
 - x
2
 + x
2
2
 - x
3
6
 dx = 
 
x
6
 - x
2
4
 + x
3
6
 - x
4
24
 | 
1
0
 = 
1
6
 - 1
4
 + 1
6
 - 1
24
 = 1
24