Questões Cálculo 2 AV BDQ

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1))Verifique se a função F(x,y,z)= x.cosy + y.senx + z.senx.cosy é harmônica.
∂F/∂x = (xcos(y)+ysen(x)+2sen(x)cos(y))
	(cos(y)+xcos(x).1+2cos(y)cos(x).1)
	=0-ysen(x).1-2cos(x).sen(x).1
∂F/∂y = (-xsen(y)2=sen(x)-2sen(x)sen(y).1
	=-xcos(y)=0-2sen(x)cos(y)
∂F/∂z = (0=0=sem(x)cos(y))
	=0 	não é harmônico
2))Esboce a região limitada pelas funções y= y=0 , x=0 e x=ln2, expressando a área da região como uma integral dupla iterada e encontre o valor de sua área.
A = 
 [-y]0a dx
 [-0] dx
 []0 a ln2
 = = = 2 – 1 = 1 U.A
3)) calcule ∂F/∂x e ∂F/∂y F(x.y) = (x³=(y/2))²/3
= 1/3.(x+x y/x x³+ y²/y)
∂F/∂x = 1/3.(x+3yx²)=2 x+yx²
∂F/∂y = 1/3.(0+x³+2 y/4)
 = 1/3(x³+y/2) = 1/3x³ + y/6
4)) Os conceitos.... determine a derivada direcional de F(x,y) =x³+xy +2y na parte (2,1) na direção do vetor(3,-4).
U é unitário== 5
Vetor unitário w = 3/5i + 4/5j
VF ∂F/∂x i + ∂F/∂y j(2x+y)i +(x+4y)j
(VF) = (2.2+1)i + (2+4.1)j = 5i + 6j
(VF) = (5 , 6) . (3/5 , -4/5)= 5 3/5 +(6(-4/5)
= 15/5 – 24/5 = - 9/5
5)) calcule a integral l l 1/xyz dxdydz
 l 1/yz [ln (x) ]1 a xdydz
 l1/yz (1-0) dydz
1/z [ln(y) ]1 a dz
1/z (1 – 0) dz
1/z dz
[ln(z) ]1 a 
(1 – 0) = 1
6)) verifique se a função f(x,y,z) = x.cosy + y.senx + z.senx.cosy é harmônico.
fx =cosy + ycosx + z.cosx.cosy
fxx = -ysenx – z.senx.cosy
fy = -x.seny + senx – z.senx.seny
fyy = -xcosy – z.senx.cosy
fz = senx.cosy
fzz = 0
fxx+fyy+fzz = 0
-ysenx – zsenxcosy – xcosy – senxcosy ‡ 0
Não é harmônico.
7))Encontre o vetor aceleração de uma partículapara o instante t = 1, onde sua posição é dada pelo vetor r(t)i + (t²-1)j +2tk.
V(t) = dr/dt = i + 2tj + 2k
A(t) = dv/dt = 2j
8)) Calcule. dydx
 dydx = ()dx = )dx = 3/2 )). / 3/2 = 3/2 (e-1) = [ 3/2 (e-1) . 2/3] - [ 3/2 (e-1) . 2/3] = (e-1).8.2/3.3/2 - [ (e-1) .1.2/3.3/2] = 8.(e-1) [ (e-1)] = 8e – 8 – e + 1 = 7e -7 = 7(e-1)
9)) Encontre um versor normal a curva r(t) = ((
r’(t) = (
r’’ = (
(
10)) Se resistores elétricos de R1,R2,R3 Ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a artr da equação 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ . Encontre o valor de Or/Or2 quando R₁ = 30, R₂ = 45 e R₃ =90ohms.
∂r/∂ r₁ = r²/ r₁² = (r/ r₂)² => 1/R = 1/30+1/45+1/90
= (3+2+1)/90 = 6/90 = 1/15
R = 15 ∂r/∂r₂ = (15/45)² = (1/3) = 1/9
11)) encontre uma função potencial f para o campo F = 2xi + 3yj + 4zk
X² + 3y²/2 + 2z² + c
12)) Encontre o vetor aceleração da partícula de posição r(t) = i + 2/9 (j – 2 ) k no instante t = ln 3.
V(t) = i 2/9 2 j - 2 k 
a(t) = i + 8/9 j - 2k Em t = ln3
a(ln3) = i + 8/9 - 2 = 3i + 8/9 . 9j – 2.3k
= 3i + 8j -6k.
13)) Seja função f(x,y) = sem²(x-3y), encontre ∂f/∂x
2sen(x-3y). cós(x-3y)
14)) um competidor em sua asa-delta... r(t) = (cós t)i + (3sen t)j + t²k.... intervalo de tempo(0, 4pi), encontre o módulo da vel no instante t.
R(t) = 3senti + 3costj + 2tk
| N(t) | = = 
15)) Esboce a região limitada pelas funções x = -y² ey = x +2 apresentada a área da região como uma integral dupla iterada. Encontre o valor de sua área.
Y=-y² => x’ = (1)² =-10, x = -(-2)² = -4
Y=x+2 => x=y-2
Y² + y – 2 = 0 => y’ = 1 => y’’ = -2
 dxdy
Y 2/2-2y+y³/3 = 1²/2-2.1+1³/3 – (-2/2)² +(-2/3)³
= (5-12)/6 – 16/3 = -7/6 -10x²/3x² = -7/6 – 20/6 = - 27/6 = 9/2 => 9/2ua.
 16)) Calcule a integral de linha onde a curva C é a reta que sai de A (0,0) e chega em B (1,2).
(1+xy²)ds
C: => x= x + at => x=t => dx=1dt
C: => y=y+bt => y=2t => dy=2 dt
 ((1 + t . (2t)²)ds
ds = dx
ds = => dt
 (1 +4t³) dt => (t+4. = 
 = 2
17)) Calcule a integral de linha do campo vetorial dado por F(x,y) – (-y,x), ao longo do triângulo de vértices A(1,1), B (-1,1) e C (0,1) no sentido trigonométrico.
C1: AB x=x+at => x=1-2t
 Y=y+bt => y=1 == tE(0,1)
 (-1, 1-2t).(-2,0)dt
 2dt = 2t = 2
C2: BC x=x+at x=-1 +t
 Y=y+bt y=1-2t tE(0,1)
 (-1+2t, -1+t).(1,-2)dt
 (-1+2t + 2 – 2t) dt => 1dt = t = 1
C3: CA x=x+at x=7
 Y=y+bt y=-1+2t = tE(0,1)
(1-2t, t).(1,-2)dt (1-2t+2t) dt = t = 1
18)) Se r(t) = 2 cost i + sent j + 2tk, então: 
 (t) dt = ( + (j + (k 2sent i – cost j + 2 t²/2 k + C 2sent i – cost j +t² k + C
19)) Verifique se a função f(x,y,z) = 3.x.y² + 2.x².y – 3.x.z² - 2.y.z² é harmônica.
Fx= 3y² + 4x.y – 3z²-0
Fxx= 0+4y-0.0
Fy=3x2y+2x².1-0-2z²
Fyy=6x+0-0-0
Fz=-3x.2z-2y2z
Fzz=-6x-4y
4y+6x-6x-4y=0 0=0 É harmônica.
20)) A integral (dydx fornece a área de uma região no plano xy. Esboce a região, identifique cada curva limite com sua equação, escreva as coordenadas dos pontos onde há intersecção das curvas. Depois encontre a área da região.
(dydx
dy = y cosx-senx
 - 
Senx – (-cosx) senx + cosx sen -(sen0 + cos0)
/2 + /2 – 0 – 1 2/2 -1