Integração Numérica - calc.numerico

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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Integrac¸a˜o nume´rica
Ricardo Biloti
biloti@g.unicamp.br
Ca´lculo Nume´rico – UNICAMP
1S/2017
http://goo.gl/MAs5z
http://goo.gl/MAs5z Ricardo Biloti Integrac¸a˜o nume´rica
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Problema
I =
∫ b
a
f (x) dx
I Na˜o sei calcular I
I Sei calcular I , mas a expressa˜o para I e´ complicada
I So´ conhec¸o f em pontos amostrados
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O problema em ana´lise e´ o de estimar integrais definidas em intervalos finitos de func¸o˜es
reais ou, em outras palavras, computar a a´rea abaixo do gra´fico da func¸a˜o f , no intervalo [a, b].
Va´rios sa˜o os motivos para computar integrais numericamente.
Por exemplo, pode na˜o se saber computar a integral analiticamente ou porque o integrando
e´ muito complicado ou porque ha˜o haja realmente expressa˜o anal´ıtica para a integral.
Pode ocorrer o caso de haver expressa˜o anal´ıtica para integral, mas a avaliac¸a˜o dessa
expressa˜o e´ ta˜o complicada (ou cara) que torna-se mais eficiente computar a integral
numericamente.
Pode ocorrer ainda do integrando ser conhecido em apenas alguns pontos, ou seja, apenas
amostras dos integrando esta˜o dispon´ıveis. Neste caso, na˜o ha´ outra alternativa a na˜o ser o
compto nume´rico da integral.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
erf(x) =
2√
pi
∫ x
0
e−t
2
dt
-3 0 3
-1
0
1
x
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A func¸a˜o erro, erf(x), tem um papel importante na Estat´ıstica. Essa func¸a˜o e´ definida pela
integral de e−t
2
. Esta integral, no entanto na˜o pode ser expressa em termos de func¸o˜es
anal´ıticas, tendo que obrigatoriamente ser avaliada numericamente.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Regra do trape´zio
x
y
a b
f (x)
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈ f (a) + f (b)
2
h
+
f (x1) + f (x2)
2
h +
f (x2) + f (x3)
2
h
= h
(
f (x0)
2
+ f (x1) + f (x2) +
f (x3)
2
)
≡ QTC [f ]
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A aproximac¸a˜o mais simples poss´ıvel para a a´rea abaixo do gra´fico de f , que pode ser
calculada sem dificuldade, seria a a´rea do trape´zio marcado na figura.
Da figura observa-se que as bases do trape´zio medem f (a) e f (b) e a altura do trape´zio e´
(b − a), o que estamos denotando por h.
Veja pore´m que essa aproximac¸a˜o, no exemplo da figura, deixou muito a desejar, visto que
uma parte expressiva da a´rea sob o gra´fico da func¸a˜o foi negligenciada. O que fazer para
melhorar essa aproximac¸a˜o?
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Regra do trape´zio
x
y
x0 x1 x2 x3
f (x)
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈ f (x0) + f (x1)
2
h +
f (x1) + f (x2)
2
h +
f (x2) + f (x3)
2
h
= h
(
f (x0)
2
+ f (x1) + f (x2) +
f (x3)
2
)
≡ QTC [f ]
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A estrate´gia para melhorar a qualidade da aproximac¸a˜o e´ dividir o intervalo o intervalo de
integrac¸a˜o em diversos subintervalos menores, aproximando a integral em cada um desses
subintervalos pela a´rea dos respectivos trape´zios.
No exemplo, o intervalo original foi repartido em treˆs subintervalos de tamanhos iguais.
Em cada um deles, a a´rea foi aproximada pelo a´rea do trape´zio. Observe que o erro da
aproximac¸a˜o como um todo melhorou bastante.
De forma geral, e´ fa´cil perceber que a aproximac¸a˜o da integral pela Regra ou Quadratura do
Trape´zio Composta, ou seja, aplicada em n subintervalos, e´ dada por
QTC [f ] = h
(
f (x0)
2
+ f (x1) + f (x2) + · · ·+ f (xn)
2
)
.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
QTC [f ] = h
(
f (x0)
2
+ f (x1) + · · ·+ f (xn−1) + f (xn)
2
)
Aproxime I =
∫ 4
1
f (x) dx para f (x) = 1x e
x
2 , usando 3 intervalos.
h =
(4− 1)
3
= 1
x 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000
f (x) 1.6487 1.3591 1.4939 1.8473
I ≈ 1 (0.82436 + 1.3591 + 1.4939 + 0.92363) = 4.6010
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Regra do trape´zio
x
y
a b
p1(x)
f (x)
f (x) ≈ p1(x)
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
p1(x) dx
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Perceba que a regra do trape´zio pode ser entendida tambe´m como a integral exata do
polinoˆmio de grau 1 que interpola a func¸a˜o, nos extremos do intervalo de integrac¸a˜o.
Desta forma, o erro de aproximac¸a˜o e´ causado pelo erro de interpolac¸a˜o.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Erro da regra do trape´zio
f (x) = p1(x) +
f ′′(ξx)
2!
(x − a)(x − b)
∫ b
a
f (x) dx −
∫ b
a
p1(x) dx =
∫ b
a
f ′′(ξx)
2!
(x − a)(x − b) dx
T. do Valor Intermedia´rio→ = f
′′(ξ)
2
∫ b
a
(x − a)(x − b) dx
= −(b − a)
3
12
f ′′(ξ)
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Relembrando a teoria de interpolac¸a˜o, o erro de interpolac¸a˜o por um polinoˆmio de grau 1,
nos pontos a e b, e´
f ′′(ξx )
2!
ω(x),
onde ω(x) = (x − a)(x − b). Assim, a diferenc¸a entre a integral de f , I , e a integral de p1,
QT [f ], e´ exatamente a integral do erro de interpolac¸a˜o.
Como ξx depende de x , e na˜o ser conhecido, na˜o e´ poss´ıvel computar de fato a integral do
erro. Podemos pore´m nos valer do
Teorema do Valor Intermedia´rio Se p e q sa˜o func¸o˜es cont´ınuas em (a, b), e q na˜o troca
de sinal em (a, b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
∫ b
a
p(x)q(x) dx = p(x)
∫ b
a
q(x) dx .
Como a func¸a˜o ω na˜o troca de sinal no intervalo (a, b), o T.V.I. se aplica a` integral do erro
de interpolac¸a˜o, permitindo conseguirmos uma expressa˜o para o erro de integrac¸a˜o.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Erro da regra do trape´zio
Como
I − QT [f ] = −(b − a)
3
12
f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b)
Se p ∈ P1, enta˜o
I − QT [p] = 0
A regra do trape´zio e´ exata para polinoˆmios de grau 1
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Como o erro de integrac¸a˜o depende da derivada segunda do integrando, e´ fa´cil perceber que
a quadratura do trape´zio e´ exata se o integrando for um polinoˆmio de grau 1.
Claro que isso ja´ era esperado, visto que essa fo´rmula foi constru´ıda aproximando-se a func¸a˜o
por um polinoˆmio interpolador de grau 1, aproximac¸a˜o essa que seria exata se a func¸a˜o ja´
fosse tambe´m um polinoˆmio de grau 1.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Erro da regra do trape´zio composta
x
y
x0 x1 x2 x3
f (x)
I − QTC [f ] = E1 + E2 + E3
= −h
3
12
f ′′(ξ1)− h
3
12
f ′′(ξ2)− h
3
12
f ′′(ξ3)
= −3h
3
12
[
f ′′(ξ1) + f ′′(ξ2) + f ′′(ξ3)
3
]
= −3h
3
12
f ′′(ξ)
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Ricardo Biloti Integrac¸a˜o nume´rica
Sabendo o erro para a quadratura do trape´zio simples fica simples determinar o erro da
quadratura do trape´zio composta, como a soma dos erros de integrac¸a˜o em cada um dos
subintervalos.
De forma geral,
I − QTC [f ] = −
h3
12
[
f ′′(ξ1) + f ′′(ξ2) + · · ·+ f ′′(ξn)
]
= −nh
3
12
[
f ′′(ξ1) + f ′′(ξ2) + · · ·+ f ′′(ξn)
n
]
= −nh
3
12
f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b),
onde usamos que ame´dia de n valores de uma func¸a˜o cont´ınua e´ o valor dessa func¸a˜o em
algum ponto.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Erro da regra do trape´zio composta
I − QTC [f ] = −nh
3
12
f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b)
Como nh = (b − a), temos que
I − QTC [f ] = −(b − a)h
2
12
f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b)
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Como o erro na Regra do Trape´zio composta e´ proporcional a h2, dizemos que essa e´ uma
regra de segunda ordem.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
Em quantos intervalos e´ necessa´rio particionar [0, 1] para estimar a
integral abaixo com quatro casas corretas?
I =
∫ 1
0
e−x
2
dx
|I − QTC | ≤ (b − a)h
2
12
M2 ≤ h
2
12
2 ≤ 10−4
h ≤
√
6 · 10−2 ⇒ n ≥ 41, |I − QTC | = 3.6475 · 10−5
n = 25, |I − QTC | = 9.8106 · 10−5
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d2
dx2
(e−x
2
) = −2e−x2 (1− 2x2)
Como e−x
2
e (1 − 2x2) tambe´m sa˜o ambas descrescentes em [0, 1], o ma´ximo da derivada
segunda em mo´dulo, deve estar em algum dos extremos da func¸a˜o.
2e−x
2
(1− 2x2)|x=0 = 2
2e−x
2
(1− 2x2)|x=1 = 2
e
Assim, M2 =
2√
pi
2 = 4√
pi
= 2.2568.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exerc´ıcio
I Aproxime
∫ 3
2
1
1 + t
dt, usando 3 subintervalos.
I Qual a estimativa para o erro?
I Qual o erro de fato cometido?
I Quantos pontos devem ser usados na regra do trape´zio para
garantir que o erro seja menor que 10−5?
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Se f (x) = (1 + t)−1, enta˜o
∫
f (t)dt = ln(1 + t). Ale´m disso, f ′′(t) = 2(1 + t)−3. Portanto,
M2 = max2≤t≤3 |f ′′(t)| = f ′′(2) = 2/27.
Se n = 3, h = (b − a)/n = (3− 2)/3 = 1/3, logo
QTC [f ] = h [f (2)/2 + f (2 + 1/3) + f (2 + 2/3) + f (3)/2] = 0.28813.
|I − QTC | ≤
(b − a)h2
12
M2 =
(3− 2)(1/3)2
12
2
27
= 9.8765 · 10−2
De fato I = ln(4)− ln(3) = ln(4/3) = 0.28768, e |I − QTC | = 4.4924 · 10−4.
Para que garantir que |I − QTC | ≤ 10−5, temos que impor que
(b − a)h2
12
M2 =
(3− 2)h2
12
2
27
≤ 10−5 ⇒ h ≤ 4.0249 · 10−2
ou seja n ≥ 25.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Regra do Trape´zio: Resumo
I Fa´cil aplicac¸a˜o
I Permite subintervalos de tamanho distinto, ou seja
independentemente de como f tenha sido tabelada
I Exata para polinoˆmios de grau 1: |I − QTC | = O(h2)
I Pode precisar de muitos pontos para atingir precisa˜o
necessa´ria
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Regra de Simpson
x
y
a m b
p2(x)
f (x)
f (x) ≈ p2(x) = fa+ (x − a)
h
(
(fm − fa) + (fb − 2fm + fa)
2h
(x −m)
)
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
p2(x) dx =
h
3
(fa + 4fm + fb) ≡ QS [f ]
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Enquanto que na Regra do Trape´zio usamos dois pontos da func¸a˜o para construir uma reta
interpoladora, na Regra de Simpson usamos treˆs pontos, os extremos do intervalo e o ponto
me´dio, para interpolar a func¸a˜o por uma para´bola. A a´rea abaixo da func¸a˜o e´ aproximada
pela a´rea abaixo da para´bola.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Simpson Composto
x
y
x0 x1 x2 x3 x4
f (x)
n
2∑
k=1
∫ x2k
x2k−2
f (x)dx ≈
n
2∑
k=1
h
3
[f (x2k−2)+4f (x2k−1)+ f (x2k)] ≡ QSC [f ]
(n par)
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A regra de Simpson composta nada mais e´ que aplicar a regra de Simpson a cada dois
subintervalos e soma-las. Um detalhe importante e´ que e´ preciso ter uma quantidade par de
subintervalos (quantidade impar de pontos).
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
QSC [f ] =
h
3
(f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + · · ·+ 2fn−2 + 4fn−1 + fn)
Aproxime I =
∫ 4
1
f (x) dx para f (x) = 1x e
x
2 , usando 2 intervalos.
h =
(4− 1)
2
= 1.5
x 1.0000 2.5000 4.0000
f (x) 1.6487 1.3961 1.8473
I ≈ 1.5
3
(1.6487 + 4 · 1.3961 + 1.8473) = 4.5403
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Erro na regra de Simpson
I =
∫ b
a
p2(x) dx +
∫ b
a
f ′′′(ξx)
3!
(x − a)(x −m)(x − b) dx
Pode-se mostrar que
I − QS [f ] = − 1
90
(
b − a
2
)5
f (4)(ξ)
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A estimativa do erro para a regra de Simpson, em princ´ıpio, segue o mesmo caminho tomado
na estimativa feita para a regra do Trape´zio. Pore´m, naquele caso foi poss´ıvel utilizar o
Teorema do Valor Intermedia´rio, visto que a func¸a˜o (x − a)(x − b) na˜o troca de sinal no
intervalo (a, b). O mesmo na˜o e´ verdade para a func¸a˜o (x − a)(x − m)(x − b). Logo,
na˜o podemos usar o Teorema do Valor Intermedia´rio, sendo necessa´rio valer-nos de outras
ferramentas mais elaboradas, que esta˜o fora do escopo dessas notas.
E´ poss´ıvel provar que o erro na regra de Simpson depende da derivada quarta da func¸a˜o.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Erro na regra de Simpson
Como
I − QS [f ] = − 1
90
(
b − a
2
)5
f (4)(ξ), ξ ∈ (a, b)
Se p ∈ P3, enta˜o
I − QS [p] = 0
A regra de Simpson e´ exata para polinoˆmios de grau 3
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O erro depender da derivada quarta da func¸a˜o e´ uma feliz surpresa. Lembre que essa fo´rmula
foi constru´ıda com a interpolac¸a˜o da func¸a˜o por um polinoˆmio de grau 2. Era de se esperar
que a aproximac¸a˜o fosse exata enta˜o para polinoˆmio de grau 2, mas de fato, como polinoˆmios
de grau 3 tambe´m tem derivada quarta nula, a regra de Simpson tambe´m e´ exata para esta
classe de func¸o˜es.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Erro na regra de Simpson composta
I − QS [f ] = −h
5
90
f (4)(ξ)
I − QSC [f ] = −n
2
h5
90
f (4)(ξ) = −(b − a)h
4
180
f (4)(ξ), ξ ∈ (a, b)
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No caso da regra de Simpson composta, o erro de cada aproximac¸a˜o simples deve ser somado.
Como os subintervalos sa˜o usados dois-a-dois, totalizando n/2 parcelas, e lembrando que
nh = (b − a), chega-se a fo´rmula final do erro de integrac¸a˜o para a regra de Simpson
composta. Como essa fo´rmula e´ proporcional a h4, dizemos que e´ uma aproximac¸a˜o de
quarta ordem.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
Em quantos intervalos e´ necessa´rio particionar [0, 1] para estimar a
integral abaixo com quatro casas corretas?
I =
∫ 1
0
e−x
2
dx
|I − QSC | ≤ (b − a)h
4
180
M4 ≤ h
4
180
12 ≤ 10−4
h4 ≤ 15 · 10−4 ⇒ n ≥ 5
|I − QSC | = 6.2587 · 10−6
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exerc´ıcio
I Aproxime
∫ 3
2
1
1 + t
dt, com 4 subintervalos.
I Qual a estimativa para o erro?
I Qual o erro de fato cometido?
I Quantos pontos devem ser usados na regra do trape´zio para
garantir que o erro seja menor que 10−6?
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Newton–Cotes
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
pn(x) dx
onde pn e´ o polinoˆmio interpolador de f em
a = x0 < x1 < · · · < xn = b,
partic¸a˜o regular de [a, b].
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Nas fo´rmula de quadratura do tipo Newton–Cotes, o integrando e´
aproximado por um
polinoˆmio p. Esse polinoˆmio p interpola o integrando f em pontos igualmente distribu´ıdos
no intervalo de integrac¸a˜o [a, b].
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Abordagem
I =
∫ b
a
f (x) dx ≈ A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn) = Q[f ]
Newton–Cotes
Escolhe Ak para que Q[p] seja exato para p ∈ Pn
Quadratura Gaussiana
Escolhe Ak e xk para que Q[p] seja exato para p ∈ P2n+1
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Nas Quadraturas Guassianas, tantos os pesos Ak quanto os no´s de integrac¸a˜o xk sa˜o escolhidos
de modo a atingir a melhor precisa˜o poss´ıvel.
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
∫ 1
−1
f (x) dx ≈ A0f (x0) + A1f (x1) = Q[f ]
Para que Q[p] seja exata para p ∈ P3, basta que
∫ 1
−1
1 dx = Q[1],
∫ 1
−1
x2 dx = Q[x2],
∫ 1
−1
x dx = Q[x ],
∫ 1
−1
x3 dx = Q[x3].
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
2 = A0 + A1
0 = x0A0 + x1A1
2
3 = x
2
0A0 + x
2
1A1
0 = x30A0 + x
3
1A1
A0 = 1 = A1, x0 = −
√
3
3
= −x1
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Gauss-Legendre
x
y
−1 x0 x1 1
f (x)
I =
∫ 1
−1
f (x) dx ≈ f
(
−
√
3
3
)
+ f
(√
3
3
)
≡ QGL[f ]
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Exemplo
I =
∫ 1
0
e−x
2
dx
Fazendo x = (y+1)2 , e portanto y = 2x − 1
I =
1
2
∫ 1
−1
e−(
y+1
2 )
2
dy
I ≈ QGL = 1
2
[
e
−
(
−
√
3
6
+ 1
2
)2
+ e
−
(√
3
6
+ 1
2
)2]
= 0.74659
|I − QGL| = 2.2944 · 10−4
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Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Comparac¸a˜o
I =
∫ 1
0
e−x
2
dx
Me´todo #f Erro
Trape´zio 5 3.84 · 10−3
Simpson 5 3.12 · 10−5
Gauss-Legendre (2) 4 2.08 · 10−5
Gauss-Legendre (3) 3 9.55 · 10−6
Trape´zio 21 1.53 · 10−4
Simpson 21 5.11 · 10−8
Gauss-Legendre (2) 20 3.40 · 10−8
Gauss-Legendre (3) 21 1.29 · 10−11
http://goo.gl/MAs5z Ricardo Biloti Integrac¸a˜o nume´rica
Introduc¸a˜o Simpson Quadratura Gaussiana
Resumo
I Newton–Cotes
I Construc¸a˜o por interpolac¸a˜o
I Malha regular em [a, b]
I Exato para p ∈ Pn
I Aplica´vel a dados tabelados
em geral regularmente amostrados
I Quadratura Gaussiana
I Construc¸a˜o via polinoˆmios ortogonais
I Malha na˜o regular em [a, b]
I Exato para p ∈ P2n+1
I Aplica´vel quando f esta´ dispon´ıvel
http://goo.gl/MAs5z Ricardo Biloti Integrac¸a˜o nume´rica
	Introdução
	Simpson
	Quadratura Gaussiana