notas (versão 2017-1) + provas

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Notas de Álgebra Linear
versão editável
5 de junho de 2017
Sumário
Apresentação ii
1 Espaço Vetorial 1
1.1 Subespaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Subespaço gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Base e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Coordenadas e Matriz de Mudança de Base . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Transformações Lineares 20
2.1 Núcleo e imagem de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 O espaço vetorial L(V, U) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 A matriz de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Polinômio Característico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Forma canônica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Norma e Ângulo 37
3.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3 Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Transformações em Espaços com Produto Interno 42
4.1 Transformações ortogonais e unitárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
i
Apresentação
Estas notas serão revistas e completadas no decorrer do semestre. Assim o texto
está incompleto e não deve ser de nenhuma maneira a única referência a ser usada
pelo aluno. Além da bibliografia indicada, o acompanhamento das aulas se faz in-
dispensável até para tornar este texto compreensível. Estas notas foram preparadas
para a disciplina de Álgebra Linear I. Baseiam-se na bibliografia que se encontra no
final.
É sugerido ao aluno que faça os exercícios e complemente os exemplos, verifi-
cando a veracidade de qualquer afirmação feita. É imprescindível que a bibliografia
sugerida seja usada para aprofundar e complementar o estudo.
Esta é uma versão já revisada e com correções de erros já percebidos por mim e
pelos alunos que a usaram, mas ainda pode conter erros que serão corrigidos em aula
e nas próximas versões. Por isso também, mas principalmente para que a leitura seja
de fato proveitosa, qualquer passagem do texto que não esteja bem compreendida
deve originar questionamentos em sala de aula para que dúvidas sejam dirimidas.
Bons estudos!
Liane Bordignon.
ii
Capítulo 1
Espaço Vetorial
Definição 1.1. Seja A um conjunto não-vazio onde estão definidas duas operações,
chamadas de soma e produto e denotadas respectivamente por + e ·, satisfazendo
as seguintes condições:
1. (Associatividade) a+ (b+ c) = (a+ b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c para quaisquer
a, b, c ∈ A.
2. (Comutatividade) a+ b = b+ a e a · b = b · a para quaisquer a, b ∈ A.
3. (Existência de Elemento Neutro) Existe um elemento em A, que denotaremos
por 0, tal que 0 + a = a+ 0 = a para todo a ∈ A. Tal elemento será chamado
elemento neutro para a soma. Existe um elemento em A, diferente de 0, que
denotaremos por 1, tal que 1 · a = a · 1 = a para todo a ∈ A. Tal elemento
será chamado elemento neutro para o produto.
4. (Existência de Elemento Inverso) Dado a ∈ A, existe um elemento de A que
denotaremos por −a tal que a + (−a) = 0. O elemento −a é chamado de
elemento oposto de a ou elemento inverso aditivo de a. Ainda, dado a ∈ A, se
a 6= 0, existe um elemento em A que denotaremos por a−1, tal que a · a−1 = 1.
O elemento a−1 é chamando elemento inverso multiplicativo de a ou somente
elemento inverso de a.
5. (Distributividade) a · (b+ c) = a · b+ a · c para todo a, b, c ∈ A.
A terna (A,+, ·) é dita corpo.
Exemplo 1.2. Considere o conjunto Z2 = {0, 1} e as operaçoes + e · definidas
abaixo. A terna (Z2,+, ·) é corpo.
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
Pode-se demonstrar isso checando todas as propriedades acima diretamente. Por
exemplo, podemos verificar olhando nas tabelas que o elemento neutro da soma é 0
e o do produto é 1. O elemento inverso tanto para a soma como para o produto de
1 é ele mesmo, uma vez que
• 1 + 1 = 0, (ou seja, 1 = −1) e
1
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 2
• 1 · 1 = 1.
Assim, também as demais propriedades podem ser verificadas para cada elemento
ou cada par ou cada terna de elementos.
Exemplo 1.3. As ternas (Q,+, ·), (R,+, ·) e (C,+, ·) com as operações + e · usuais
são exemplos de corpos. Verifique que todos os requisitos da definição são atendidos.
De fato, neste caso dizemos que Q é subcorpo de R, (ou seja, Q ⊂ R e as operações
são as mesmas) e ambos são subcorpos de C.
Exemplo 1.4. Seja p um número primo. Considere o subconjunto de R,
Q(
√
p) = {x+ y√p | x, y ∈ Q}.
Se + e · representam a ma e o produto usuais de R, então (Q(√p),+, ·) é corpo. De
fato, Q(√p) ⊂ R e as operações são as mesmas. Logo, a associatividade, a comuta-
tividade e a distributividade estão garantidas, uma vez que (R,+, ·) é corpo. Claro,
precisamos verificar que as operações estão bem definidas em Q(√p). Vejamos: para
todo a, b, x, y ∈ R
• (a+ b√p) + (x+ y√p) = (a+ x) + (b+ y)√p ∈ Q(√p);
• (a+ b√p) · (x+ y√p) = (ax+ byp) + (ay + bx)√p ∈ Q(√p).
Logo as operações estão bem definidas. Nos resta verificar que
• os elementos neutros existem em (Q(√p): 0 = 0 + 0√p e 1 = 1 + 0√p;
• existência de elemento oposto: dado x + y√p ∈ Q(√p), −(x + y√p) = −x +
(−y)√p ∈ Q(√p);
• existência de elemento inverso: dado x+y√p ∈ Q(√p), (x+y√p)−1 = x−y
√
p
x2−y2p ∈
Q(√p).
Exemplo 1.5. Com as operações usuais, (Z,+, ·) não é corpo. De fato, 2 não possui
inverso multiplicativo.
Exercício 1.6. Considere o conjunto Z3 = {0, 1, 2}. Use a discussão no Exemplo
1.2 e defina operaçoes + e ·, de forma que (Z3,+, ·) seja corpo. Você pode fazer o
mesmo com Z4 = {0, 1, 2, 3}? Veja [3], por exemplo, para mais informações.
Observação 1.7. Quando as operações estiverem implícitas, diremos apenas que
A é um corpo.
Exercício 1.8. Mostre que:
1. Os elementos neutros e inversos de um corpo são únicos.
2. Se (A,+, ·) é um corpo, para todo a ∈ A, a · 0 = 0 e ainda se a · b = 0 então
a = 0 ou b = 0.
3. Não é possível definir um inverso para 0.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 3
4. A partir da soma e do produto, usando fortemente a unicidade dos elementos
inversos, é possível definir subtração e divisão.
Todos estes fatos e outros sobre corpos podem ser encontrados com demonstração
em [3] e [7]. Em [1] há uma apresentação muito útil do corpo R.
Definição 1.9. Sejam V um conjunto não vazio e (A,+, ·) um corpo. Suponha que
em V está definida uma operação de soma que denotaremos por � com as seguintes
características:
1. (Associatividade) u� (v � w) = (u� v)� w para quaisquer u, v, w ∈ V .
2. (Comutatividade) u� v = v � u para quaisquer u, v ∈ V
3. (Existência de Elemento Neutro) Existe um elemento em V , que denotaremos
por 0, tal que 0� u = u� 0 = u para todo u ∈ V . Tal elemento será chamado
elemento neutro.
4. (Existência de Elemento Oposto) Dado v ∈ V , existe um elemento de V que
denotaremos por −v tal que v � (−v) = 0. O elemento −v é chamado de
elemento oposto de v.
Suponha ainda que esteja definida uma operação de produto por escalar,
� : A× V → V
(λ, v) 7→ λ� v,
satisfazendo
1. 1� v = v ∀v ∈ V .
2. λ1 · λ2 � v = λ1 � (λ2 � v) ∀λ1, λ2 ∈ A e v ∈ V .
3. (λ1 + λ2)� v = λ1 � v � λ2 � v, ∀λ1, λ2 ∈ A e v ∈ V .
4. λ� (v1 � v2) = λ� v1 � λ� v2 ∀λ ∈ A e v1, v2 ∈ V .
A quádrupla (V,�,�, (A,+, ·)) é dito um espaço vetorial sobre o corpo (A,+, ·).
Quando as operações estiverem implícitas, diremos apenas que V é um espaço veto-
rial sobre A. Os elementos de V são chamados de vetores e os elementos de A são
ditos escalares. Ainda, se A = R ou A = C, diremos respectivamente que V é um
espaço vetorial real ou
complexo.
Exemplos É muito importante termos em mente uma coleção de exemplos de
espaços vetoriais sobre diferentes corpos para discutirmos aspectos gerais. Todos os
livros de Álgebra Linear apresentam exemplos e uma consulta a [6], [2], [8], [5] e [4]
pode ajudar muito aqui.
Exercício 1.10. Revise suas notas de aula e [2], [8], [6] para verificar que
1. se A é corpo, An é espaço vetorial sobre A. (Observe que esta situação inclui
Rn.)
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 4
2. (Rn,�,�,Q) e (Rn,�,�,Q(√p)) são espaços vetoriais com � e � sendo as
operações usuais de soma e produto.
3. C é espaço vetorial sobre R, sobre Q e sobre Q(√p) com as operaçòes usuais.
4. O conjunto das matrizes n×n com entradas complexas é espaço vetorial sobre
C, sobre R, sobre Q e sobre Q(
√
2) , com as operações usuais.
5. O conjunto das matrizes n× n com entradas reais, com as operações usuais é
espaço vetorial sobre R, mas não sobre sobre C.
6. O conjunto Pn(R) dos polinômios de grau menor que ou igual a n com coefici-
entes reais, é espaço vetorial sobre R, sobre Q e sobre Q(
√
2), com as operações
usuais.
7. O conjunto das matrizes 3× 3 com entradas em Z2 é um espaço vetorial sobre
Z2 com as operações usuais.
8. O conjunto
C(R,R) = {f : R→ R : f e´ cont´inua}
com as operações usuais de soma de funções e multiplicação por escalar é um
espaçco vetorial real.
Teorema 1.11. Seja (V,�,�, (A,+, ·)) um espaço vetorial. Valem as seguintes
afirmações:
1. O elemento neutro é único.
2. Dado v ∈ V , existe um único elemento −v ∈ V .
3. Para todo v ∈ V , 0� v = 0 e para todo λ ∈ A, λ� 0 = 0.
4. Dados λ ∈ A e v ∈ V , se λ� v = 0 então λ = 0 ou v = 0.
5. Para todo v ∈ V , −1� v = −v.
6. Se u� v = w � v, então u = w.
Demonstração:
1. Suponhamos que θ ∈ V seja tal que θ � v = v para todo v ∈ V . Então
θ = θ � 0 = 0.
2. Dado v ∈ V , suponhamos que exista u ∈ V tal que v � u = 0. Então
u = ((−v)� v)� u = −v � (v � u) = −v.
3. Dado v ∈ V , 0 � v = (0 + 0) � v = 0 � v � 0 � v, pelas propriedades do
produto por escalar. Usando a existência de elemento oposto e associatividade
da soma em V , temos
0 = 0� v � (−0� v) = 0� v � (0� v � (−0� v)) = 0� v.
Analogamente
0 = λ�0� (−λ�0) = λ�(0� 0)� (−λ�0) = λ�0� (λ�0� (−λ�0)) = λ�0.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 5
4. Suponha que λ�v = 0 e λ 6= 0. Então, como A é um corpo, pelas propriedades
de seu produto, existe λ−1. Pelas propriedades do produto por escalar e pelo
item 3 do Teorema 1.11 , temos
0 = λ−1 � (λ� v) = (λ−1 · λ)� v = 1� v = v.
Logo ou λ = 0 ou v = 0, se λ� v = 0.
5. Como já mostramos que dado v ∈ V , existe um único elemento −v ∈ V , basta
mostrarmos agora que v � (−1)� v = 0. De fato,
v � (−1)� v = 1� v � (−1)� v = (1 + (−1))� v = 0� v = 0.
Logo, (−1)� v = −v.
6. Fica para o leitor.
�
Exercício 1.12. Em um espaço vetorial V sobre o corpo A, defina u−v := u�(−v).
Mostre que dados u, v ∈ V , λ� (u− v) = λ� u− λ� v.
Observação 1.13. Eventualmente, quando não causar dificuldades de compreensão
do texto, omitiremos os símbolos que indicam o produto e o produto por escalar e
usaremos apenas + para indicar a soma, tanto entre elementos do corpo como do
espaço vetorial.
Definição 1.14. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo A. Dados v1, v2, . . . , vn ∈
V e α1, α2, . . . , αn ∈ A, o vetor v = α1v1 + α2v2 + · · · + αnvn é dito combinação
linear de v1, v2, . . . e vn.
Exemplo 1.15. Considere o espaço vetorial real C(R,R). Dada uma matriz função
contínua f ∈ C(R,R),
f =
1
2
g +
1
2
h
onde g(t) = f(t)− f(−t) e h(t) = f(t) + f(−t). Observe que g é uma função ímpar
e h é uma função par, ou seja, cada vetor de C(R,R) se escreve como combinação
linear de uma função par e de uma função ímpar.
1.1 Subespaço vetorial
Definição 1.16. Seja V um espaço vetorial sobre A. Um subconjunto não-vazio W
de V é um subespaço vetorial de V se ele mesmo for um espaço vetorial sobre A,
com as mesmas operações de soma e produto por escalar de V .
Teorema 1.17. Seja V um espaço vetorial sobre A. Um subconjunto não-vazio W
de V é um subespaço de V se e somente se para todo λ ∈ A e u, v ∈ W , λu+v ∈ W .
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 6
Demonstração: Se W é um subespaço de V , o próprio W é um espaço vetorial
sobre A e portanto para todo λ ∈ A e u, v ∈ W , λu+ v ∈ W .
Por outro lado, se para todo λ ∈ A e u, v ∈ W , λu + v ∈ W , para verificarmos
que W é um subespaço de V , precisamos verificar que W é um espaço vetorial sobre
A com as operações definidas em V .
De fato, para todo u, v ∈ W , u+v = 1u+v ∈ W , então a soma está bem definida
em W .
Já sabemos que a soma é comutativa e associativa.
Agora, do Teorema 1.11, sabemos que 0 = 0v para qualquer v ∈ V . Ainda, como
W 6= ∅, dado u ∈ W , 0 = 0u = (−1 + 1)u = −1u + u ∈ W. Portanto, 0 ∈ W , e
assim a soma tem elemento neutro em W .
Ainda, dado v ∈ W , pelo Teorema 1.11, −v = (−1)v + 0 ∈ W e portanto todo
elemento de W possui elemento oposto em W .
O produto por escalar está bem definido, uma vez que 0 ∈ W e daí, pela hipótese,
temos para todo u ∈ W , λu = λu + 0 ∈ W . As características exigidas para o
produto por escalar são válidas para o produto por escalar em W , uma vez que já
se verificavam em V . (Verifique, caro aluno!) �
Observação 1.18. O Teorema 1.17 nos ensina que para verificar que W ⊂ V , onde
V é um espaço vetorial, é subespaço de V , basta verificar que
1. W 6= ∅.
2. Se u, v ∈ W , então u+ v ∈ W .
3. Se v ∈ W , então λv ∈ W .
Exemplos
Exemplo 1.19. Segue do Teorema 1.17 que W = {0}, dito subespaço nulo, e V são
subespaços de V . Confira!
Exemplo 1.20. Dado um conjunto de vetores de V , o conjunto W de todas as
combinações lineares destes vetores é um subespaço de V . (Verificar)
Exemplo 1.21. Uma reta em R2, identificado com o plano cartesiano, que contém
a origem é subespaço de R2. Uma reta em R2, identificado com o plano cartesiano,
que não contém a origem, e portanto não contém o elemento neutro de R2, não é
subespaço de R2.
Exemplo 1.22. O conjunto de soluções de um sistema linear homogêneo com n
incógnitas é subespaço de Rn. Verifique!
Exemplo 1.23. O conjunto C = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1} não é subespaço de
R2. De fato, (0, 1) e (0, 0) ∈ C e 2(0, 1) + (0, 0) /∈ C. Portanto, pelo Teorema 1.17,
C não é subespaço de R2.
Exercício 1.24. Esboce os subconjuntos de R2 mencionados nos Exemplos 1.21 e
1.20. Dê exemplos de outros subconjuntos de R2 que também não são subespaços.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 7
Exemplo 1.25. Considere W1 = {(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R} e W2 = {(0, y) ∈ R2 | y ∈
R}. A união W = W1 ∪W2 não é subespaço de R2 embora W1 e W2 o sejam. De
fato, (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) /∈ W .
Exercício 1.26. Mostre que se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial tais
que W1 6⊂ W2 e W2 6⊂ W1 então sua união não é um subespaço de V .
Proposição 1.27. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo A. A intersecção de
uma coleção qualquer de subespaços de V é um subespaço de V .
Demonstração: Seja ∆ um conjunto de índices. Seja W = ∩δ∈∆Wδ com Wδ
subespaço de V . Uma vez que 0 ∈ Wδ ∀δ ∈ ∆, é fato que 0 ∈ W e portanto W 6= ∅.
Ainda, dado u, v ∈ W , temos que u, v ∈ Wδ ∀δ ∈ ∆ e pelo Teorema 1.17, para todo
λ ∈ A, λu + v ∈ Wδ ∀δ ∈ ∆. Portanto para todo λ ∈ A, λu + v ∈ W e, novamente
pelo Teorema 1.17, W é subespaço de V .
�
Exercício 1.28. Escolha 20 exercícios que você considera interessante em livros de
Álgebra Linear, execute-os, discuta-os com seus colegas e apresente-os à professora.
1.2 Subespaço gerado
Definição 1.29. Seja V um espaço vetorial. Seja S um subconjunto não vazio de
V . O subespaço gerado por S é a intersecção W de todos os subespaços de V que
contêm S. Neste caso dizemos que S gera W ou que os vetores de S geram W e
escrevemos W = 〈S〉.
Exemplo 1.30. Seja S = {0} subconjunto de um espaço vetorial V qualquer. O
subespaço gerado por S é o subespaço nulo. Mais do que isso, segue direto da
definição
que o subespaço gerado pelo conjunto de todos os vetores de qualquer
subespaço W de V é W .
Exemplo 1.31. Seja S = {3 + 2x} ⊂ P3(R). O subespaço W de P3(R) gerado
por S deve conter S e, como é subespaço, deve conter todos os vetores do tipo
λ(3 + 2x) = 3λ + 2λx, com λ ∈ R. Então W contém M = {3λ + 2λx | λ ∈ R},
que é subespaço de P3(R) (Verifique!) e M contém S (Verifique!). Ainda, W está
contido em M pois é a interseção de todos os subespaços de P3(R) que contém S.
Logo W = M .
Teorema 1.32. O subespaço gerado por um subconjunto não vazio S de um espaço
vetorial V é o conjunto de todas as combinações lineares de vetores de S.
Demonstração: Seja W o subespaço gerado por S. Seja L o conjunto de todas as
combinações lineares de vetores em S. Vamos mostrar que L = W .
Cada combinação linear
v = α1v1 + α2v2 + · · ·αnvn
de vetores v1, . . . , vn em S está em W , uma vez que W contém S e é subespaço de
V . Portanto L ⊂ W .
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 8
Por outro lado, S ⊂ L, pois cada u ∈ S pode ser escrito como a combinação
linear 1u = u. Isto garante que S ⊂ L e L 6= ∅. Dados u, v ∈ L, temos
u = β1u1 + β2u2 + · · ·+ βnun
para escalares β1, . . . , βn e vetores u1, . . . , un ∈ S, e
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk
para escalares α1, . . . , αk e vetores v1, . . . , vk ∈ S.
Assim, qualquer que seja λ escalar,
u+ λv = (β1u1 + · · ·+ βnun) + λ(α1v1 + α2v2 + · · ·+ αkvk)
= β1u1 + · · ·+ βnun + λα1v1 + · · ·λαkvk
também é combinação linear de vetores de S e portanto está em L. Logo, pelo
Teorema 1.17, L é subespaço de V . Como L é subespaço de V e contém S, W ⊂ L.
Logo L = W , como queríamos demonstrar. �
Exemplos
Exemplo 1.33. O subespaço de R3, W = {(x, y, 0) | x, y ∈ R} é gerado pelo con-
junto S = {(1, 1, 0), (−1, 1, 0)}, uma vez queW é o conjunto de todas as combinações
lineares de elementos de S.
Exemplo 1.34. O subespaço de R2 gerado por S = {(x, y) ∈ R | x2 + y2 = 1} é
R2. De fato, (1, 0), (0, 1) ∈ S e cada vetor de R2 pode ser escrito como combinação
linear destes dois. Portanto pelo Teorema 1.32, S gera R2.
Exercício 1.35. Determine um conjunto S que gera e esteja propriamente con-
tido (seja o mais econômico possível, excluindo elementos que não são estritamente
necessários!) em
1. P5(R).
2. W = {f : R→ R | f(x) = a0 +a1x+ . . . anxn, para algum n ∈ N, ai ∈ R, 0 ≤
i ≤ n}, subespaço vetorial de F(R).
3. o subespaço do espaço M3×3 com entradas reais, constituído pela matrizes
diagonais.
Corolário 1.36. Seja V um espaço vetorial e sejam W1 e W2 seus subespaços. O
subespaço gerado pela união W1 ∪W2 é
W = {v ∈ V : v = w1 + w2, w1 ∈ W1, w2 ∈ W2}.
Corolário 1.37. Seja V um espaço vetorial sobre A. Sejam I um conjunto de
índices e Wi, i ∈ I subespaços de V . O subespaço W = 〈∪i∈IWi〉 é formado por
todos os vetores que podem ser escritos como uma soma finita de vetores, cada um
deles pertencente a um subespaço Wi para algum i ∈ I.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 9
Definição 1.38. Seja V um espaço vetorial sobre A. Sejam I um conjunto de
índices e Wi, i ∈ I subespaços de V . O subespaço W = 〈∪i∈IWi〉 é dito soma dos
subespaços Wi, i ∈ I. Dizemos que a soma desses subespaços é uma soma direta
quando a intersecção de cada Wi com a soma dos demais Wj for o subespaço nulo.
Nesse caso, escrevemos W =
⊕
i∈I
Wi para indicar que se trata de uma soma direta.
Observação 1.39. A definição de soma de subespaços também se estende para
soma de subconjuntos quaisquer de V .
Notação. Quando nos referimos apenas a um conjunto finito de subespaços
W1,W2, . . . ,Wn
podemos denotar respectivamente a soma ou a soma direta destes subespaços por
n∑
i=1
Wi = W1 +W2 + · · ·+Wn ou W1 ⊕W2 ⊕ · · · ⊕Wn.
Exemplo 1.40. Chamamos de matriz simétrica uma matriz quadrada Mn×n tal
que mij = mji para todo 1 ≤ i, j ≤ n (M = M t) e de matriz antiimétrica uma
matriz quadrada Mn×n tal que mij = −mji para todo 1 ≤ i, j ≤ n (M = −M t).
Seja K um corpo. O conjunto Sn×n(K) das matrizes simétricas com entradas em K
e o conjunto Tn×n(K) das matrizes anti-simétricas com entradas em K são espaços
vetoriais sobre K. (verifique!). Assim, ambos são subespaços do espaço vetorial das
matrizes n× n,Mn×n(K).
Além disso, dada uma matriz Mn×n ∈Mn×n(K),
Mn×n =
1
2
(M +M t) +
1
2
(M −M t).
Como (M +M t) é simétrica e (M −M t) é antissimétrica (por quê?), temos que,
neste caso,
Sn×n + Tn×n =Mn×n.
Mais do que isso, como Sn×n∩Tn×n = {O} onde O é a matriz n×n nula, temos que
Mn×n = Sn×n ⊕ Tn×n.
Exercício 1.41. Considere os subespaços de R3 , W1 = {(x, 0, 0) ∈ R3 | x ∈ R} e
W2 = {(x, y, 0) ∈ R3 | x, y ∈ R}. Descreva os elementos deW = W1 +W2. Podemos
escrever W = W1 ⊕W2?
Exercício 1.42. Para cada α ∈ R, considere o subespaço de R2,
Wα = {(x, αx) ∈ R2 | x ∈ R}.
1. Mostre que se γ, σ são reais distintos, então R2 = Wγ ⊕Wσ.
2. Mostre que R2 =
∑
α∈R
Wα.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 10
Proposição 1.43. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo A. Sejam W1 e W2
subespaços de V . Se W = W1 ⊕W2, então para cada w ∈ W , existem e são únicos
w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 tais que w = w1 + w2.
Demonstração: Que cada vetor de w ∈ W se escreve como w = w1 + w2 com
w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2 é uma consequência do Corolário 1.36 e do fato que todos os
múltiplos de um vetor de um determinado subespaço pertencem a este subespaço.
Para provar a unicidade, suponhamos que para um dado w ∈ W , existam
w1, w
′
1 ∈ W1 e w2, w′2 ∈ W2 tais que w = w1 + w2 = w′1 + w′2. Então teríamos
w1−w′1 = w2 +w′2 com w1−w′1 ∈ W1 e w2 +w′2 ∈ W2. Uma vez que W1∩W2 = {0}
devemos ter w1 − w′1 = w2 + w′2 = 0 e portanto w1 = w′1 e w2 = w′2 pela unicidade
do elemento oposto. �
A Proposição 1.43 de fato se estende para uma soma direta qualquer de subes-
paços.
Teorema 1.44. Seja V um espaço vetorial sobre A. Sejam I um conjunto de índices
e Wi, i ∈ I subespaços de V . Se W = 〈∪i∈IWi〉 =
⊕
i∈I
Wi então para cada w ∈ W ,
existem e são únicos wj1 , wj2 , . . . wjn com wji ∈ Wji tais que w = wj1+wj2+· · ·+wjn.
1.3 Base e dimensão
Definição 1.45. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo A. Um subconjunto S
de V é dito linearmente dependente se existem vetores v1, v2, . . . , vn ∈ S distintos e
escalares α1, α2, . . . , αn ∈ A, não todos nulos, tais que
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0.
Um conjunto que não é linearmente dependente é dito linearmente independente.
Observação 1.46. Por comodidade, diremos apenas que un conjunto de vetores S
é LI ou LD, caso seja, respectivamente linearmente independente ou dependente.
Teorema 1.47. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo A. Um conjunto S ⊂ V
que não contém o vetor nulo é linearmente dependente se e somente se pelo menos
um dos vetores de S pode ser escrito como combinação linear de outros vetores
distintos de S.
Demonstração: Por definição, se S é linearmente dependente e não contém o vetor
nulo, existem vetores distintos (necessariamente mais que um) v1, v2, . . . , vn ∈ S e
escalares α1, α2, . . . , αn ∈ A, não todos nulos, tais que
α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn = 0.
Suponhamos, sem perda de generalidade, α1 6= 0. Então, das definições de corpo e
de espaço vetorial, concluímos que
v1 = (−α−11 α2)v2 + · · ·+ (−α−11 αn)vn.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 11
Por outro lado, se u ∈ S é tal que u = α1u1 +α2u2 + · · ·+αmum com ui distintos
e ui 6= u, para todo 1 ≤ i ≤ m e α1, α2, . . . , αm ∈ A, então
α1u1 + α2u2 + · · ·+ αmum + (−1)u = 0
(por quê?) e nem todos os escalares envolvidos nesta última combinação linear são
nulos. Portanto S é LD.
�
Exemplo 1.48. O subonjunto de R2, S = {(1, 2), (3, 4)} é linearmente indepen-
dente, uma vez que
α(1, 2) + β(3, 4) = (0, 0)⇔
{
α + 3β = 0
2α + 4β = 0
⇔ α = β = 0.
Exemplo 1.49. O subconjunto S = {x2,−1, 2x2} de P2 é linearmente dependente
uma vez que (−2) · x2 + 1 · 2x2 = 0.
A seguinte proposição decorre diretamente da Definição 1.45 e sua demonstração
é deixada como exercício:
Proposição 1.50. São válidas as seguintes afirmações:
1. Todo conjunto que contém um conjunto linearmente dependente é linearmente
dependente.
2. Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente in-
dependente.
3. Todo o conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
4. Um conjunto S de vetores é linearmente independente se e somente se todo
subconjunto finito de S é linearmente independente.
Definição 1.51. Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto linearmente
independente que gera V .
Exemplo 1.52. Dado um corpo A, B = {e1, e2, . . . en} ⊂ An, onde
e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, 0 . . . , 0),
.
.
.
en = (0, 0, . . . , 1),
é uma base de An. De fato, dado (a1, . . . , an) ∈ An,
(a1, . . . , an) = a1e1 + · · ·+ anen,
ou seja, B gera An. Ainda, se (a1, . . . , an) é o vetor nulo, os escalares na combinação
linear são todos nulos, ou seja, B é linearmente independente. Esta base é conhecida
como base canônica de An.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 12
Exemplo 1.53. O conjunto B = {1, x, . . . , xn} é base de Pn(R). Verifique.
Exemplo 1.54. O conjunto B = {(1)} é base de (R,+, ·,R). Mas não existe
uma base com um número finito de vetores de (R,+, ·,Q). De fato, não podemos
escrever todos os irracionais como soma de um número finito de reais multiplicados
por racionais. Pense nisso! E pergunte sobre!
Observação 1.55. Lembramos que combinação linear sempre envolve um conjunto
finito de vetores, mas uma base não necessariamente é um conjunto finito.
Proposição 1.56. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo A que possui mais
que um elemento. Seja
S = {v1, v2, . . . , vn}
um subconjunto finito de V . Nestas condições, S é base de V se e somente se
qualquer vetor de V se escreve como combinação linear de um subconjunto de vetores
de S de maneira única.
Demonstração: Se S é base, S gera V , ou seja, cada vetor de v se escreve como
combinação linear de vetores de S, pelo Teorema 1.32. Agora vamos mostrar que
esta forma é única. De fato, dado v ∈ V , suponhamos que
v = α1v1 + · · ·+ αnvn
e
v = β1v1 + · · ·+ βnvn
onde v1, . . . , vn ∈ S. Então
0 = v− v = (α1v1 + · · ·+αnvn)− (β1v1 + · · · βnvn) = (α1−β1)v1 + · · ·+ (αn−βn)vn
Logo, como S é base e portanto linearmente independente, para todo 1 ≤ i ≤ n,
αi − βi = 0, ou seja, αi = βi.
Suponhamos agora que todo vetor v ∈ V se escreve de maneira única como
combinação linear de vetores de S. Com isso temos que S gera V . Além disso,
0 = 0v1 + · · ·+ 0vn
e esta é a única combinação linear possível para o vetor nulo por hipótese. Logo, S
é também linearmente independente e portanto é uma base. �
Definição 1.57. Um espaço vetorial V é de dimensão n se possui uma base com
n vetores. Neste caso, dizemos também que V é um espaço de dimensão finita.
Indicaremos a dimensão de V por dimV .
Observação 1.58. Observe que se um espaço vetorial tem como único elemento o
vetor nulo, então não possui base, logo não tem, segundo a definição acima, dimensão
finita. Definimos a dimensão do espaço nulo como 0.
Exemplo 1.59. Os espaços Rn têm dimensão n pois a base canônica destes espaços
possuem n elementos.
Como consequência do próximo teorema, garantiremos que dimV quando V tem
dimensão finita está bem definida.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 13
Teorema 1.60. Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores,
S = {u1, u2, . . . , um}. Nestas condições, todo conjunto linearmente independente de
vetores de V é finito e contém no máximo m elementos.
Demonstração: Vamos demonstrar que todo subconjunto C de V que possui mais
de m vetores é linearmente dependente. Suponha que {v1, . . . , vn} ⊂ C, com n > m.
Como S gera V , para cada vi, 1 ≤ j ≤ n, existem escalares a1j, . . . , amj tais que
vj = a1ju1 + · · ·+ amjum =
m∑
i=1
aijui.
Dados escalares x1, . . . , xn quaisquer,
x1v1+· · ·+xnvn =
n∑
j=1
xjvj =
n∑
j=1
xj(
m∑
i=1
aijui) =
n∑
j=1
m∑
i=1
(aijxj)ui =
m∑
i=1
(
n∑
j=1
aijxj
)
ui.
Encontrar escalares x1, . . . , xn tais que(
m∑
i=1
aijxj
)
= 0, (1.1)
∀1 ≤ i ≤ m equivale a resolver um sistema linear com m equações e n incógnitas,
n > m. Pode-se demonstrar (você já deve ter visto a demonstração ou deve procurá-
la) que existem escalares x1, . . . , xn não todos nulos que satisfazem a igualdade (1.1),
para cada 1 ≤ i ≤ m. Logo, existem escalares x1, . . . , xn não todos nulos tais que
x1v1 + · · ·+ xnvn = 0
e portanto C é linearmente dependente. Assim mostramos que não é possível termos
um conjunto linearmente independente com mais de m vetores de V .
�
Corolário 1.61. Se V é um espaço de dimensão n então qualquer base de V tem
n elementos.
Demonstração: De fato, suponha que existam duas bases, uma com m outra com
n elementos. Como ambas as bases são conjuntos linearmente independentes, pelo
Teorema 1.60, m ≤ n e n ≤ m. Logo m = n. �
Exercício 1.62. Mostre que, se dimV = n, todo conjunto com mais que n elementos
é linearmente dependente.
Corolário 1.63. Se dimV = n, nenhum subconjunto S de V , com menos de n
elementos, gera V .
Demonstração: Seja B uma base de V . Pelo Corolário 1.61, B possui n elementos.
Suponha que exista S ⊂ V , com m elementos, m < n, que gera V . Este conjunto
S não pode ser linearmente independente, pois seria uma base, contradizendo o
Corolário 1.61. Logo o vetor nulo pode ser escrito como combinação linear de vetores
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 14
de S com escalares não todos nulos. Ora, cada vetor de S pode ser escrito como
combinação linear de vetores de B. Assim, o vetor nulo pode ser escrito como
combinação linear de vetores de B com escalares não todos nulos. Absurdo, pois B
é linearmente independente.
Logo não existe tal conjunto S. �
Exemplo 1.64. O conjunto B = {1, x, x2} é base de P2(R). De fato,
α.1 + βx+ γx2 = 0 ∀x ∈ R⇔ α = β = γ = 0,
ou seja,
α.1 + βx+ γx2 = 0
onde 0 significa o polinômio nulo somente se α = β = γ = 0. Portanto, B é
linearmente independente. Ainda, qualquer polinômio em P2(R) se escreve como
a.1 + bx + cx2 com a, b, c ∈ R, ou seja, B gera P2(R). Assim sabemos que S =
{1 + x, 1− x2} não gera P2(R).
Exemplo 1.65. O espaço vetorial (C,+, ·,C) tem dimensão 1 mas (C,+, ·,R) tem
dimensão 2. De fato, B = {1, i} é base de (C,+, ·,R). Vejamos: α.1+βi = 0+0i⇔
α = β = 0, ou seja B é LI. Ainda todo vetor de C se escreve como a.1 + bi, com
a, b ∈ R, ou seja, B gera (C,+, ·,R).
Exercício 1.66. Tente deteminar uma base para cada espaço vetorial visto até
agora, inclusive dos que são subespaços de outros. Quais têm dimensão finita?
Exercício 1.67. Mostre que se S = {v1, . . . , vn} ⊂ V é LI e u ∈ V não é combinação
linear dos elementos de S, então S ∪ {u} é LI.
Teorema 1.68. Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita,
todo subconjunto de W que é linearmente independente é finito e é parte de uma
base de W .
Demonstração: Seja S um subconjunto de W linearmente independente. Tal S
também é um conjunto linearmente independente de V . Portanto, pelo Teorema
1.60, S é finito.
Se S gera W , S é uma base e o teorema está demonstrado. Se S não gera W ,
existe w1 ∈ W que não pode ser escrito como combinação linear dos elementos de S.
Então pela Teorema 1.47, S1 = S ∪ {w1} é linearmente independente. Novamente,
se S1 gera W , temos o teorema demonstrado. Se não, repetimos o procedimento,
tomando w2 ∈ W tal que S2 = S ∪ {w2} seja linearmente independente.
Como V tem dimensão finita, se repetirmos este procedimento até produzirmos
um conjunto Sk com dimV elementos linearmente independente contendo S, este
conjunto deve gerar V . De fato, se Sk não gerar V existirá um elemento de V , v,
que não é combinação linear dos elementos de Sk e Sk ∪ {v} será um conjunto com
mais que dimV elementos linearmente independente, pela Teorema 1.47. Mas isso
não é possível, pelo Teorema 1.60. Assim Sk contém um conjunto B que gera W
com
S ⊂ B. �
Corolário 1.69. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Se W é subespaço
de V , W 6= {0} e W 6= V , então W tem dimensão finita e dimW < dimV .
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 15
Demonstração: Seja w ∈ W , w 6= 0. Pelo Teorema 1.68, existe uma base finita
B de W que contém {w}. Ainda, como W 6= V , existe v ∈ V tal que v não
é combinação linear dos elementos de B. Assim, pela Teorema 1.47, B ∪ {v} é
linearmente independente. Portanto, pelo Teorema 1.60, B ∪{v} possui no máximo
dimV elementos e assim B possui um número estritamente menor que dimV de
elementos, ou seja, dimW < dimV . �
Corolário 1.70. Num espaço vetorial V de dimensão finita, todo conjunto não vazio
linearmente independente está contido em uma base de V .
Corolário 1.71. Seja A uma matriz n× n com elementos pertencentes a um corpo
K. Suponha que as linhas de A, identificadas como vetores de Kn, formem um
conjunto linearmente independente. Nestas condições, A é inversível.
Demonstração: O conjunto das n linhas de A {a1, . . . , an}, vistas como n-uplas,
gera um subespaço de Kn de dimensão n. Portanto, pelo Corolário 1.69, as linhas
de A formam uma base de Kn. Assim, para cada elemento da base canônica de Kn,
{e1, . . . , en}, existem escalares bij tais que
ei =
n∑
j=1
bijaj, 1 ≤ i ≤ n.
Logo, a matriz B com elementos bij é a matriz inversa de A. �
Exemplo 1.72. Seja P(R) o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais.
Com as operações usuais, P(R) é espaço vetorial sobre R (Verifique!). Para todo n
natural, Pn(R) é subespaço de P(R), com dimensão n = 1 (Verifique!). Logo P(R)
não tem dimensão finita, pelo Teorema 1.69. Ainda, P(R) é subespaço do espaço
vetorial F(R,R) (Veri... Você já sabe...). Logo F(R,R) não tem dimensão finita.
Teorema 1.73. SeW1 eW2 são subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial
V , então W1 +W2 é de dimensão finita e
dimW1 + dimW2 = dim(W1 +W2) + dim(W1 ∩W2).
Demonstração: Veja [6]. �
Exercícios Em [6], [8] e [2] há muitos exercícios sobre os assuntos vistos até aqui.
Escolha uma boa quantidade deles e faça-os.
1.4 Coordenadas e Matriz de Mudança de Base
Definição 1.74. Uma ordenação de um conjunto C com n elementos, é uma função
f : {1, 2, . . . , n} → C.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 16
Definição 1.75. Dado um espaço vetorial V de dimensão finita, uma base ordenada
de V é uma base com uma ordenação.
Denotamos os elementos de uma base ordenada com um índice natural, indicando
a ordenação. Exemplo: B = {v1, v2, . . . , vn}. Observamos que duas bases ordenadas
são iguais se contém os mesmos vetores e possuem a mesma ordenação.
Definição 1.76. Seja B uma base ordenada de uma espaço vetorial V de dimensão
n. Dado v ∈ V , a (única) n-upla de escalares (x1, x2, . . . , xn) tal que
v = x1v1 + · · ·xnvn
é dita n-upla de coordenadas de v na base B e xi , 1 ≤ i ≤ n é dita a i-ésima
coordenada de i na base ordenada B. Denotamos a matriz coluna

x1
x2
.
.
.
xn
 por [v]B
(Lemos: v na base B).
Proposição 1.77. Seja V um espaço vetorial sobre A de dimensão n e seja B uma
base ordenada de V . Nestas condições
• [ ~0 ]B =

0
0
.
.
.
0
 .
• Para qualquer λ ∈ A e u, v ∈ V , se [u]B =

u1
u2
.
.
.
un
 e [v]B =

v1
v2
.
.
.
vn
, então
[λu+ v]B = λ

u1
u2
.
.
.
un
+

v1
v2
.
.
.
vn
 .
Exemplo 1.78. Dada uma base ordenada B = {v1, v2, . . . , vn}, se
x1
x2
.
.
.
xn
 = [vi]B,
então xj = 0 se j 6= i e xi = 1.
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 17
Corolário 1.79. Seja S um subconjunto de um espaço vetorial V de dimensão n
sobre um corpo A e seja B uma base ordenada de V . Considere as coordenadas de
cada vetor de S na base B como uma n-upla de An. Seja Z o conjunto destas n-uplas.
Nestas condições, S é linearmente independente se e somente se Z é linearmente
independente como subconjunto de An.
Sejam B = {v1, v2, . . . , vn} e B′ = {u1, . . . , un} duas bases ordenadas de um
espaço vetorial V de dimensão n. Sejam (p1j, p2j, . . . pnj) as coordenadas do vetor
uj de B
′
na base B, ou seja,
uj =
n∑
i=1
pijvi, 1 ≤ j ≤ n.
Dado um vetor v ∈ V , sejam y1, y2, . . . , yn as coordenadas de v na base B′. Então
v = y1u1 + · · · ynun
=
n∑
j=1
yjuj
=
n∑
j=1
yj
n∑
i=1
pijvi
=
n∑
j=1
n∑
i=1
(pijyj)vi
=
n∑
i=1
(
n∑
j=1
pijyj
)
vi.
Logo xi =
∑n
j=1 pijyj pela unicidade das coordenadas de v em relação à base
ordenada B.
Seja Pn×n a matriz com elementos pij. Então a discussão até aqui nos diz que
[v]B = P [v]B′ . Ainda, podemos verificar que P é inversível, uma vez que as coorde-
nadas do vetor nulo são nulas em qualquer base e este é o único vetor que tem todas
as coordenadas nulas, ou seja,
P [v]B′ = [0]B ⇔ [v]B′ = [0]B′ ⇔ v = 0.
Resumindo:
Teorema 1.80. Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K e
sejam B e B′ duas bases ordenadas de V . Então existe uma única matriz Pn×n,
pij ∈ K, necessariamente inversível, tal que
[v]B = P [v]B′ e [v]B′ = P
−1[v]B
para todo v ∈ V .
O Teorema 1.80 nos ensina como descobrir as coordenadas de um vetor numa
determinada base conhecendo-as em outra.
A matriz P citada no Teorema 1.80 é dita a matriz de mudança de base da
base B′ para a base B. Também denotamos tal matriz por MBB′ . Observe que que
P−1 = MB
′
B .
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 18
Exemplo 1.81. Sejam B = {(−1, 1), (3,−2)} e B′ = {(2, 0), (2,−3)} bases de R2.
Vamos determinar MBB′ . Conforme discussão anterior, devemos escrever
(2, 0) = p11(−1, 1) + p21(3,−2) = ((−1)p11 + 3p21, 1p11 + (−2)p21)
(2,−3) = p12(−1, 1) + p22(3,−2) = ((−1)p12 + 3p22, 1p12 + (−2)p22)
e pij, 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ 2, serão os elementos de MBB′ . Assim, para determinar pij
precisamos resolver[ −1 3
1 −2
] [
p11
p21
]
=
[
2
0
]
e
[ −1 3
1 −2
] [
p12
p22
]
=
[
2
−3
]
.
Neste caso, MBB′ =
[
4 2
2 −1
]
.
Exemplo 1.82. Sejam B = {−1 + i, 3− 2i} e C = {2, 2− 3i} bases de (C,+, ·,R).
Com cálculos análogos ao Exemplo 1.81, verificamos que MBC =
[
2 −5
1
2
−1
]
.
Teorema 1.83. Suponhamos que Pn×n seja uma matriz inversível, com pij ∈ K,
K corpo. Seja V um espaço vetorial sobre K de dimensão n e seja B uma base
ordenada de V . Então, existe uma única base ordenada de V , B′, tal que
[v]B′ = P [v]B e [v]B = P
−1[v]B′
para todo v ∈ V .
Demonstração: Seja B = {v1, v2, . . . , vn}. Seja ainda B′ = {u1, u2, . . . un} tal que
uj =
∑n
i=1 pijvi, 1 ≤ j ≤ n.
Vamos mostrar que B′ gera V . De fato, basta mostrar que B′ gera B (Por quê?).
Mas se Qn×n =−1n×n, então
n∑
j=1
qjkuj =
n∑
j=1
qjk
n∑
i=1
pijvi
=
n∑
j=1
(
n∑
i=1
qjkpij
)
vi
=
n∑
i=1
(
n∑
j=1
pijqjk
)
vi
= vk.
Logo B′ gera os elementos de B e portanto gera V . Como B′ possui n elementos e
gera V , B′ é LI. Veja: se B′ não fosse LI, conteria um conjunto LI com menos que
n elementos que gera V , contrariando o Corolário 1.61. Portanto B′ é base. Assim,
o teorema segue a partir do Teorema 1.80. �
Exemplo 1.84. Seja V = R2. Se θ é um real fixo, a matriz
P =
[
cos θ −senθ
senθ cos θ
]
CAPÍTULO 1. ESPAÇO VETORIAL 19
é inversível. Usando a base canônica, B = {(1, 0), (0, 1)}, produzimos uma nova
base
B′ = {(cos θ, senθ), (−senθ, cos θ)}
e se [v]B =
[
x
y
]
, então [v]B′ =
[
x cos θ + ysenθ
−xsenθ + y cos θ
]
Exemplo 1.85. Veja [6], secção 2.4, para exemplos sobre esta parte do conteúdo.
Veja também [9] para exercícios resolvidos sobre este assunto.
Capítulo 2
Transformações Lineares
Definição 2.1. Sejam U e V espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K. Uma
função T : U → V é dita uma transformação linear se para todo u, v ∈ U e λ ∈ K,
T (λu+ v) = λT (u) + T (v).
Exercício 2.2. Por que
é necessário que U e V sejam espaços vetoriais sobre o
mesmo corpo na Definição 2.1 ?
Exemplo 2.3. Sejam a ∈ R fixado e T : R → R, T (x) = ax. A função T é uma
transformação linear pois para todo x, y ∈ R e todo λ ∈ R,
T (λx+ y) = a(λx+ y) = λax+ ay = λT (x) + T (y).
Exemplo 2.4. Sejam a, b ∈ R, b 6= 0 e T : R→ R, T (x) = ax+ b. A função T não
é uma transformação linear pois para x = 1, y = 1 e λ = 1,
T (λx+ y) = a(λx+ y) + b = a.1.1 + a.1 + b 6= λ(ax+ b) + ay + b = λT (x) + T (y).
Exemplo 2.5. Seja T : R2 → R3, T (x, y) = (2x+ y, 3x− 2y). Dados (a, b), (c, d) ∈
R2 e λ ∈ R, temos
T (λ(a, b) + (c, d)) = T (λa+ c, λb+ d) = (2(λa+ c) +λb+ d, 3(λa+ c)− 2(λb+ d)) =
λ(2a+ b, 3a− 2b) + (2c+ d, 3c− 2d) = λT (a, b) + T (c, d).
Logo T é uma transformação linear.
Exemplo 2.6. Dada uma matriz An×m com aij ∈ K, K corpo, sejam B uma base
ordenada de Km e B′ uma base ordenada de Kn, a função T : Km → Kn, T (v) = w
onde
[w]B′ = A[v]B
é uma transformação linear. De fato, decorre da Proposição 1.77 que se u, v ∈ Kn
e λ ∈ K,
[λu+ v]B = λ[u]B + [v]B.
Pelas propriedades de operações com matrizes temos que
A(λ[u]B + [v]B) = λA[u]B + A[v]B
e portanto T (λu+ v) = λT (u) + T (v) para todo u, v ∈ Kn e λ ∈ K.
Observe que as transformações dos Exemplos 2.3 e 2.4 são casos particulares
deste exemplo, usando a base canônica.
20
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 21
Exemplo 2.7. Dados U e V espaços vetoriais sobre um mesmo corpoK, T : U → V ,
T (u) = 0 é uma transformação linear, dita transformação nula. De fato, se u, v ∈ U
e λ ∈ K,
T (λu+ v) = 0 = λ0 + 0 = λT (u) + T (v).
Exemplo 2.8. Seja I ⊂ R um intervalo aberto. Sejam D(I,R) o espaço vetorial
sobre R das funções f : I → R deriváveis e F(I,R) o espaço vetorial sobre R
das funções f : I → R. Seja T : D(I,R) → F(I,R), T (f) = f ′. Como você
possivelmente lembra de seu curso de Cálculo,
T (λf + g) = (λf + g)′ = λf ′ + g′ = λT (f) + T (g)
para quaisquer f, g ∈ D(I,R) e λ ∈ R. Portanto T é uma transformação linear.
Exercício 2.9. Fixado a ∈ I,seja T : F(I,R) → R, T (f) = f(a). Mostre que T é
uma transformação linear.
Exemplo 2.10. (Projeção nas i-ésimas primeiras coordenadas) Seja V um espaço
vetorial de dimensão n sobre um corpo K e seja B uma base ordenada de V . Dado
v ∈ V , temos [v]B =

x1
x2
.
.
.
xn
. Definimos T : V → V , T (v) = u tal que
[u]B =

x1
.
.
.
xi
0
.
.
.
0

para algum 1 ≤ i ≤ n fixado. Nestas condições, T é uma transformação linear
(verifique!) dita projeção nas i-ésimas primeiras coordenadas.
Proposição 2.11. Sejam U e V espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K. Se
T : U → V é uma transformação linear, então T (0) = 0, ou seja, o vetor nulo de V
é imagem do vetor nulo de U .
Demonstração: Da definição de transformação linear e de vetor nulo, temos que
T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0).
Logo, 0 = T (0) + (−T (0)) = (T (0) + T (0)) + (−T (0)) = T (0) + (T (0) + (−T (0)) =
T (0), como queríamos demonstrar. �
Proposição 2.12. Sejam U e V espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K. Sejam
α1, . . . , αn ∈ K e u1, . . . un ∈ U . Se T : U → V é uma transformação linear, então
T (α1u1 + · · ·αnun) = α1T (u1) + · · ·+ αnT (un).
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 22
Teorema 2.13. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K.
Seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V . Seja U um espaço vetorial sobre
o mesmo corpo K e sejam u1, . . . , un vetores arbitrários de U . Nestas condições,
existe uma única transformação linear T : V → U tal que T (vi) = ui, para todos
0 ≤ i ≤ n.
Demonstração: Dado v vetor de V , tal que
v = α1v1 + α2v2 + · · ·αnvn,
definimos T (v) = α1u1+· · ·αnun. Segue então que T (vi) = ui, para todos 0 ≤ i ≤ n.
Falta mostrarmos que T é linear. Mas, dados λ ∈ K e
v = α1v1 + α2v2 + · · ·αnvn e w = β1v1 + · · · βnvn,
temos
λv + w = (λα1 + β1)v1 + (λα2 + β2)v2 + · · ·+ (λαn + βn)vn.
Portanto, da maneira como definimos T , temos
T (λv + w) = (λα1 + β1)u1 + (λα2 + β2)u2 + · · ·+ (λαn + βn)un
= λα1u1 + β1u1 + · · ·+ λαnun + βnun
= λT (v) + T (w),
ou seja, T é linear.
Suponha agora que exista L : V → U tal que L(vi) = ui, para todos 0 ≤ i ≤ n.
Então, dado v ∈ V , v = α1v1 + α2v2 + · · ·αnvn,,
L(v) = α1u1 + · · ·αnun = T (v).
Logo L = T . �
Observação 2.14. O Teorema 2.13 nos diz que conhecemos a transformação linear
se sabemos como ela atua na base do seu domínio. Assim, ele nos fornece uma
maneira de construirmos transformações lineares tendo como domínio um espaço de
dimensão finita. Usaremos esta ferramenta muitas vezes nas demonstrações e nos
exercícios deste texto.
Exercício 2.15. Construa exemplos de transformações lineares usando o Teorema 2.13.
2.1 Núcleo e imagem de uma transformação linear
Definição 2.16. Seja T : U → V uma transformação linear. Chamamos de núcleo
de T o conjunto
N(T ) := {u ∈ U | T (u) = 0}
e de imagem de T o conjunto
Im(T ) := {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 23
Observação 2.17. É uma consequência da Proposição 2.12 que o vetor nulo de U
pertence ao núcleo de qualquer transformação linear T : U → V .
Exemplo 2.18. Considere T : D(I,R) → F(I,R), T (f) = f ′, como no exemplo
2.8. Neste caso, T (f) = 0 se e somente se f é a função constante. Logo
N(T ) = {f ∈ D(I,R) | f ≡ c, c ∈ R}.
Já Im(T ) = {g ∈ F(I,R) | g possui primitiva}. Como nos garante o Teorema
Fundamental do Cálculo, todas as funções reais contínuas com domínio em I são
elementos de Im(T ), mas não só elas.
Exemplo 2.19. Se T é a transformação linear do exemplo 2.6, com n = m, então
T (v) = 0 se e somente se as coordenadas de v na base B formarem uma solução
do sistema linear A[v]B = 0. Em particular, se A for uma matriz m×m invertível,
N(T ) = {0}. Neste caso, o sistema
A[v]B = b
tem solução qualquer que seja bm×1, ou seja, qualquer que seja o vetor w de Km
escrito na base B. Logo, neste caso, Im(T ) = Km.
Exercício 2.20. Use seus conhecimentos sobre sistemas lineares para analisar o
Exemplo 2.6, deduzindo informações sobre seu núcleo e imagem.
Teorema 2.21. Sejam U e V espaços vetoriais sobre um corpo K e seja T : U → V
transformação linear. Nestas condições
1. O núcleo de T , N(T ) é subespaço de U ;
2. A imagem de T , Im(T ) é subespaço de V .
Demonstração: Dados u,w ∈ U e λ ∈ K, se u,w ∈ N(T ), então
0 = λT (u) + T (w) = T (λu+ v).
Portanto, λu+ w ∈ N(T ). Logo N(T ) é um subespaço de U .
Dados u, v ∈ V e λ ∈ K, se u, v ∈ Im(T ), então existem t, w ∈ U tais que
u = T (t) e v = T (w). Daí,
T (λt+ w) = λT (t) + T (w) = λu+ v.
Portanto, λu+ v ∈ Im(T ). Logo Im(T ) é um subespaço de V . �
Definição 2.22. Seja U um espaço vetorial de dimensão finita. Seja T : U → V
uma transformação linear. O posto de T é a dimensão de Im(T ) e a nulidade de T
é a dimensão de seu núcleo, N(T ).
Teorema 2.23 (Teorema do Núcelo e Imagem). Sejam V e U espaços vetoriais
sobre o corpo K. Seja T : V → U uma transformação linear. Se V é um espaço de
dimensão finita, então
dimIm(T ) + dimN(T ) = dimV.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 24
Demonstração: Seja {v1, . . . , vk} uma base de N(T ). Pelo Teorema 1.68, existem
vetores vk+1, . . . , vn ∈ V tais que {v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn} é uma base de V .
Vamos demonstrar agora que S = {T (vk+1), . . . , T (vn)} é uma base de Im(T ).
É fácil mostrar que S gera Im(T ). De fato, se u ∈ U é tal que u ∈ Im(T ), então
existe v ∈ V tal que
u = T (v) = T (α1v1 + · · ·+ αkvk + αk+1vk+1 + · · ·+ αnvn)
= α1T (v1) + · · ·+ αkT (vk) + αk+1T (vk+1) + · · ·+ αnT (vn)
= 0 + αk+1T (vk+1) + · · ·+ αnT (vn),
com αi ∈ K, 0 ≤ i ≤ n. Logo, todo u ∈ Im(T ) pode ser escrito como combinação
linear dos elementos de S. Nos resta mostrar que S é LI. Ora, se existe escalares
βk+1, . . . , βn tais que
0 = βk+1T (vk+1) + · · ·+ βnT (vn) = T (βk+1vk+1
+ · · ·+ βnvn),
então, como βk+1vk+1 + · · ·+βnvn é um elemento do núcleo de T . Assim βk+1vk+1 +
· · ·+ βnvn = α1v1 + · · ·+ αkvk para uma k-upla de escalares α1, . . . αk. Logo,
βk+1vk+1 + · · ·+ βnvn − α1v1 − · · · − αkvk = 0,
o que garante que todos os escalares envolvidos são nulos, em particular β1, . . . , βk.
Portanto S é LI. �
Os teoremas abaixo foram demonstrados em aula e estão em [6]. Reveja suas
demonstrações e exemplos relacionados nas notas de aula e na bibliografia sugerida.
Teorema 2.24. Sejam V e U espaços vetoriais sobre o corpo K. Uma transforma-
ção linear T : V → U é injetora se e somente se N(T ) = {0}.
Corolário 2.25. Sejam V e U espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo
K. Se dimU < dimV , não existe uma transformação linear T : V → U injetora.
Se dimU > dimV , não existe uma transformação linear T : V → U sobrejetora.
Corolário 2.26. Sejam V e U espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo
K. Se dimU = dimV e T : U → V é uma transformação linear tal que N(T ) = {0}
então T é bijetora.
Teorema 2.27. Sejam V e U espaços vetoriais sobre o corpo K. Seja T : V → U
uma transformação linear. Se T é bijetora, então T−1 é uma transformação linear.
Definição 2.28. Uma transformação linear T é dita não-singular se N(T ) = {0}.
Exemplo 2.29. Seja T : R2 → P1(R), T (a, b) = b+ ax. Vemos que
T (a, b) = (0, 0)⇔ b+ ax = 0∀x ∈ R⇔ a = b = 0.
Logo N(T ) = {0} e T é não-singular.
Teorema 2.30. Sejam V e U espaços vetoriais sobre o corpo K. Uma transforma-
ção linear T : V → U é não-singular se e somente se a imagem de qualquer conjunto
linearmente independente de V por T é um conjunto linearmente independente de
U .
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 25
Teorema 2.31. Sejam V e U espaços vetoriais de dimesão finita sobre o corpo K,
tais que dimU = dimV . Seja T : V → U uma transformação linear. As seguintes
afirmações são equivalentes:
1. T é invertível.
2. T é não-singular.
3. A imagem de T é U .
4. Se {v1, . . . , vn} é base de V , então {T (v1), . . . , T (vn)} é base de U .
5. Existe pelo menos uma base {v1, . . . , vn} de V tal que {T (v1), . . . , T (vn)} é
base de U .
Demonstração: A demonstração segue mostrando-se que 1. ⇒ 2. ⇒ 3. ⇒ 4. ⇒
5.⇒ 1.. Vamos apresentar 5.⇒ 1., os demais são deixados para o leitor.
Seja então {v1, . . . , vn} base de V tal que {T (v1), . . . , T (vn)} é base de U . Vamos
mostrar que T é invertível, apresentando T−1. Definimos uma transformação linear
L : U → V , fazendo L(T (v1) = v1, . . . , L(T (vn) = vn. Assim dado v ∈ V , v =
α1v1 + · · ·+ αnvn, com αi, 0 ≤ i ≤ n escalares,
L(T (v)) = L(T (α1v1 + · · ·+ αnvn)
= L(α1T (v1) + · · ·+ αnT (vn))
= α1L(T (v1)) + · · ·+ αnL(T (vn))
= α1v1 + · · ·+ αnvn = v.
Ainda, se u ∈ U , existem β1, . . . , βn escalares tais que u = β1T (v1) + · · ·+ βnT (vn).
Então
T (L(u)) = T (L(β1T (v1) + · · ·+ βnT (vn))
= T (β1L(T (v1)) + · · ·+ βnL(T (vn)))
= T (β1v1 + · · ·+ βnvn)
= β1T (v1) + · · ·+ βnT (vn) = u.
Logo L = T−1 e portanto T é invertível. �
Exemplo 2.32. Seja T : P(R)→ P(R),
T (a0 + a1x+ · · · amxm) = a0x+ a1x2 + · · ·+ amxm+1,
é uma transformação linear não singular. De fato,
T (a0 + a1x+ · · · amxm) = 0⇔ a0 = a1 = · · · = am = 0,
ou seja, N(T ) = {0}. No entanto, T não é bijetora, pois p(x) = 1 não pertence a
Im(T ). Isto não contradiz o Teorema 2.31 pois P(R) não tem dimensão finita.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 26
2.2 Isomorfismos
Definição 2.33. Sejam V e U espaços vetoriais sobre o corpo K. Uma transforma-
ção linear T : V → U bijetora é dita isomorfismo. Se existe tal T , U e V são ditos
isomorfos.
Exemplo 2.34. Seja T : P2(R)→ R3, T (a+ bx+ cx2) = (a, b, c) é um isomorfismo.
De fato, T é uma transformação linear (verifique), N(T ) = {0} e dimP2(R) =
dimR3. Então segue do Corolário 2.26, que T é uma bijeção. Podemos verificar
também checando diretamente que T é uma bijeção, sem usar resultados antereiores.
Observe ainda que T leva a base canônica de P2(R) na base canônica de R3.
Exercício 2.35. Apresente uma coleção de exemplos de isomorfismos e espaços
isomorfos, obtidos na literatura ou a partir daqueles dados em aula.
Exercício 2.36. Mostre que, dados U , V e W espaços vetoriais quaisquer sobre um
corpo K,
1. Existe T : U → U isomorfismo.
2. Se existe T : U → V isomomorfismo então existe L : V → U isomorfismo.
(Dica: mostre que se T é isomorfismo, T−1 também o é.)
3. Se exitem T : U → V e L : V → W isomorfismos então L ◦ T : U → W é
um isomorfismo. (Dica: basta mostrar que L ◦ T é uma transformação linear
bijetora). Conclua que a relação de isomorfismo entre espaços é uma relação
de equivalência.
Teorema 2.37. Dois espaços vetoriais n-dimensionais sobre um mesmo corpo K
são isomorfos.
Demonstração: Sejam V e U espaços vetoriais n-dimensionais sobre um corpo
K. Sejam B = {v1, v2, . . . , vn} base de V e B′ = {u1, . . . , un} base de Kn. Seja
T : V → Kn a transformação linear, que existe pelo Teorema 2.13, tal que T (vi) = ui
para todo 1 ≤ i ≤ n. Pelo Teorema 2.31, T é uma bijeção e portanto um isomorfismo.
Logo V e U são espaços isomorfos. �
Corolário 2.38. Todo espaço vetorial n-dimensional sobre um corpo K é isomorfo
ao espaço Kn.
Exemplo 2.39. Uma vez que têm a mesma dimensão, segue do Teorema 2.37 que
são isomorfos:
• C, como espaço vetorial sobre R e R2.
• Cn, como espaço vetorial sobre R e R2n.
• Pn(R) e Rn+1.
• Mn×m(K) e Knm, onde K é um corpo qualquer.
• O espaço vetorial das matrizes n× n simétricas sobre o corpo K e K n(n+1)2 .
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 27
Exercício 2.40. Apresente isomorfismos entre os espaços isomorfos do Exemplo 2.39.
Exemplo 2.41. Dada uma transformação linear injetora T : U → V temos que
T : U → Im(T ) é bijetora e portanto U é isomorfo ao subespaço vetorial de V ,
Im(T ). Veja, por exemplo, as aplicações injetoras abaixo (confira que seu núcleo é
o subespaçco nulo):
1. T : R2 → R3, T (x, y) = (x, y, 2x+y) nos diz que R2 é isomorfo a um "plano"(de
fato, às ternas correspondendo aos pontos de um plano - lembre-se que um
plano não contém vetores!) contendo a origem de R3.
2. T : Rn → Rm, onde m ≥ n, T (x1, . . . , xn) = ((x1, . . . , xn, 0, . . . , 0) nos diz que
há um subespaço de Rm isomorfo a Rn.
2.3 O espaço vetorial L(V, U)
Sejam V e U espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Denotamos por L(V, U) o
conjunto das transformações lineares T : V → U .
Proposição 2.42. Sejam V e U espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. O
conjunto L(V, U) é espaço vetorial sobre K, com as operações usuais.
Demonstração: (exercício) �
Observação 2.43. Observamos que L(V, U) é subespaço de F(V, U)
Definição 2.44. Uma transformação linear T : V → V é dita operador linear.
Denotamos por L(V ) o espaço vetorial dos operadores lineares de V .
Teorema 2.45. Se V e U são espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K, com dimV=
n e dimU=m, então dimL(V, U) =nm.
Demonstração: Sejam {v1, . . . , vn} base de V e {u1, . . . , um} base de U . Basta
mostrar que as transformações lineares Tij : V → U , 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m,
definidas por
Tij(vk) =
{
uj se k = i
0 se k 6= i
formam uma base de L(V, U). (Verifique!)
�
2.4 A matriz de uma transformação linear
Definição 2.46. Sejam V e U espaços vetoriais de dimensão m e n respectivamente
sobre um mesmo corpo K. Seja T : V → U transformação linear. Sejam B =
{v1, . . . , vm} base ordenada de V e B′ = {u1, . . . , un} base ordenada de U . A matriz
n×m cuja i-ésima coluna é composta pelas coordenadas do vetor T (vi) na base B′
é denotada por [T ]B
′
B e é chamada de matriz de T nas bases B e B
′
. Se V = U e
B = B′, escrevemos apenas [T ]B.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 28
Exemplo 2.47. Seja T : R2 → P1(R), T (a, b) = b+ax. Sejam B = {(1, 1), (−1, 1)},
base ordenada de R2 e B′ = {1 + x, x} base ordenada de P1(R). Temos
T (1, 1) = 1 + x = 1(1 + x) + 0(x)
e
T (−1, 1) = 1− x = 1(1 + x) + (−2)(x).
Logo
[T ]B
′
B =
[
1 1
0 −2
]
.
O próximo teorema nos indica a utilidade de associarmos uma matriz a uma
transformação linear. Veja a demontração em [2] ou em outro livro da bibliografia.
Teorema 2.48. Sejam V e U espaços vetoriais de dimensão n sobre um mesmo
corpo K. Seja T : V → U transformação linear. Sejam B = {v1, . . . , vn} base
ordenada de V e B′ base ordenada de U . Nestas condições, para todo v ∈ V ,
[T (v)]B′ = [T ]
B′
B [v]B.
Proposição 2.49. Toda matriz é matriz de uma transformação linear.
Demonstração: Basta observar que no Exemplo 2.6, a matriz A é a matriz da
transformação linear.
�
Exercício 2.50. Mostre que dadas T : V → U e S : V → U transformações lineares,
B base ordenada de V e B′ base ordenada de U ,
[T + S]B
′
B = [T ]
B′
B + [S]
B′
B .
Mostre também que dado um escalar λ,
[λT ]B
′
B = λ[T ]
B′
B .
Exemplo 2.51. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K. Denotamos
por IV a transformação linear identidade IV : V → V , IV (v) = v. Sejam B e B′
duas bases ordenadas de V . Com esta notação, segue da definição que
[IV ]
B′
B = M
B′
B ,
onde MB
′
B é a matriz mudanaça de base da base B para a base B
′
. Observe que se
B = B′ então [IV ]B
′
B = I, onde I é a matriz identidade.
O próximo teorema nos dá uma dica importante do porquê do produto usual de
matrizes ser como é. Você mesmo jápode fazer a demonstração: tente para n e m
específicos. Ela também se encontra na bibilografia sugerida para o curso.
Teorema 2.52. (Composição de Transformações) Considere V , U e W espaços
vetoriais sobre um mesmo corpo K com dimV = n, dimU = k e dimW = m. Sejam
A, B e D bases ordenadas respectivamente de V , U e W . Sejam T : V → U e
S : U → W transformaçoes lineares. Nestas condições ,
[S ◦ T ]DB = [S]DB [T ]BA.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 29
Demonstração: Pelo Teorema 2.48, temos que, dado v ∈ V ,
[S(T (v))]D = [S ◦ T ]DB [v]B
Corolário 2.53. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K. Se T :
V → V é uma transformação linear invertível e B e B′ são bases ordenadas de V ,
então
[T−1]B
′
B = [T ]
B′
B
−1
.
Definição 2.54. Uma transformação linear T : V → V é chamado de operador
linear em V .
Definição 2.55. Dadas duas matrizes n × n, A e B, dizemos que são semelhantes
ou conjugadas se existe uma matriz invertível P tal que A = PBP−1.
Exercício 2.56. Mostre que
• Toda matriz n× n A é semelhante a si mesma.
• Se uma matriz A é semelhante a uma matriz B, então B é semelhante a A.
• Se A é semelhante a B e B é semelhante a C então A é semelhante a C.
Conclua que a relação de semelhança entre as matrizes é uma relação de equivalência.
Definição 2.57. Dada uma matriz A ∈ Mn×m(K), o número de linhas da matriz
que, quando vistas como vetores de Kn são LI é dito posto de A. Este número
coincide com o número de colunas de A que quando vistas como vetores de Km são
LI.
Teorema 2.58. Seja K um corpo. Se A,B ∈ Mn×n(K) são matrizes semelhantes
então
1. O posto de A é igual ao posto de B.
2. O traço de A é igual ao traço de B.
3. O determinante de A é igual ao determinante de B.
Teorema 2.59. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K e
T : V → V um operador linear. Sejam B e B′ bases de V . Nestas condições
[T ]B′ = M
B′
B [T ]BM
B
B′ .
Corolário 2.60. Sejam V um espaço vetorial de dimenão finita sobre o corpo K e
T : V → V um operador linear. O posto de qualquer matriz de T é igual ao posto
de T .
Teorema 2.61. As matrizes A,B ∈ Mn×n(K) são semelhantes se e somente se
são matrizes do mesmo operador linear.
Demonstração: Se A e B são matrizes do mesmo operador linear, decorre do
Teorema 2.59 que são semelhantes, uma vez que MB
′
B = (M
B
B′)
−1
. Se A e B são
semelhantes, existe P invertível tal que A = PBP−1. Como já vimos no final do
capítulo anterior, toda a matriz invertível é uma matriz mudança de base. Também
vimos na Proposição 2.49 que toda a matriz é uma matriz de uma transformação
linear. No caso das matrizes n× n, elas sempre são matrizes de um operador linear
em Kn. Logo A e B são matrizes do mesmo operador, possivelmente em bases
diferentes, se forem semelhantes.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 30
2.5 Autovalores e Autovetores
Definição 2.62. Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e T : V → V um
operador linear. Chamamos de autovalor de T ou valor próprio de T um escalar
λ ∈ K tal que T (v) = λv para algum v ∈ V , v 6= 0. O vetor v ∈ V não nulo que
cumpre tal igualdade, é chamado autovetor de T ou vetor próprio de T associado
ao autovalor λ.
Exemplo 2.63. Seja T : D(R,R)→ F(R,R), T (f) = f ′. Observe que se
f(x) = keλx,
com k constante e λ um real fixado, então f ′ = λf . É um lindo exercício de Cálculo
Diferencial mostrar que T (f) = λf somente se f for uma destas funções descritas
acima. Assim temos que todos os números reais são autovalores de T e para cada
λ ∈ R temos um autovetor associado, f(x) = eλx, assim como todos os seus múltiplos
não nulos.
Exemplo 2.64. Seja T : R2 → R2, T (x, y) = (−y, x) Neste caso, dado λ um número
real, temos
T (x, y) = λ(x, y)⇔ (x, y) = λ(−y, x)⇔ x = y = 0.
Logo T não tem autovetores, nem autovalores.
Proposição 2.65. Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e T : V → V
um operador linear. Se S e um conjunto de autovetores de T associados ao mesmo
autovalor λ então qualquer combinação linear de elementos de S é autovetor de T
associado a λ. Além disso, se λ é autovalor de T , o conjunto
V (λ) := {v ∈ V | T (v) = λv}
é um subespaço vetorial de V .
Definição 2.66. O subespaço V (λ) descrito na Proposição 2.65 é dito subespaço
próprio ou autoespaço associado ao outovalor λ de T .
Exemplo 2.67. No Exemplo 2.63, dado λ ∈ R,
V (λ) = {f ∈ D(R,R) : f(x) = keλx para algum k ∈ R}.
Definição 2.68. Dados V um espaço vetorial, W um subespaço de V e T : V → V
um operador linear, dizemos que W é invariante por T se T (W ) ⊂ W .
Exemplo 2.69. Se V (λ) é um subesbaço próprio de um operador linear T , então é
invariante por T . De fato, se u ∈ V (λ), T (u) = λu. Mas T (λu) = λT (u) = λ(λu).
Ou seja, λu = T (u) ∈ V (λ). Logo, V (λ) é invariante por T .
A demonstração da próxima proposição é deixada como exercício. A proposição
decorre das definições de autoespaço e núcleo de uma transformação.
Proposição 2.70. Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K, T : V → V um
operador linear e λ um autovalor de T . Nestas condições, V (λ) = N(T − λIV ).
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 31
2.5.1 Polinômio Característico
A partir deste ponto do texto, trabalharemos com subcorpos de C, a menos que se
expresse o contrário. Ou seja, trabalharemos com corpos K ⊂ C com a soma e o
produto usuais de C.
Definição 2.71. Seja K um corpo. Dada uma matriz A ∈Mn×n(K), e I a matriz
identidade n× n, o polinômio de grau n
PA(λ) = det(A− λI)
é dito polinômio característico de A.
Exemplo 2.72. Seja A =
 1 1 00 −2 0
1 0 1
 . O polinômio
PA(λ) = det(A− λI) = det
 1− λ 1 00 −2− λ 0
1 0 1− λ
 = (1− λ)2(2− λ)
é o polinômio característico de A.
A próxima proposição decorre do Teorema 2.58.
Proposição 2.73. Polinômios característicos de matrizes semelhantes são iguais.
Corolário 2.74. Dado um operador linear T : V ∈ V , onde V é um espaço de
dimensão finita, o polinômio característico da matriz de T , [T ]B não depende da
base B.
Definição 2.75. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K
e T : V → V um operador linear. Chamamos de polinômio característico de T , e
denotamos por PT , o polinômio característico de [T ]B, onde B é uma base qualquer
de V .
Teorema 2.76. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K e
T : V → V um operador linear. Um escalar λ ∈ K é autovalor de T se e somente
se for raiz de PT .
Exemplo 2.77. Seja V um espaço vetorial real de dimensão 3. Seja B = v1, v2,
v3
base ordenada de V . Suponha que T : V → V é tal que
[T ]B =
 2 −1 03 2 0
0 0 4
 .
O polinômio característico de T sera
PT (λ) = det([T ]B − λI) = (1− λ)(λ2 − 4λ+ 7)
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 32
e suas raízes são λ1 = 4, λ2 = 2 + i
√
3 e λ3 = 2 − i
√
3. No entanto, como V é um
espaço vetorial real, somente λ1 é autovalor de T . Vamos calcular os autorvetores
de T associado a λ1. Precisamos resolver o sistema
[T ]B =
 2 −1 03 2 0
0 0 4
− λ1
 1 0 00 1 0
0 0 1
 ·
 xy
z
 =
 00
0
 ,
ou seja, o sistema
(2− λ1)x− y + 0z = 0
3x+ (2− λ1)y + 0z = 0
0x+ 0y + (4− λ1)z = 0
⇐⇒

−2x− y + 0z = 0
3x− 2y + 0z = 0
0z = 0
⇐⇒

x = 0
y = 0
z ∈ R
Temos então que os autovetores de T escritos na base B têm coordenadas 00
z
 ,
com z real qualquer não nulo (uma vez que autovetores não são nulos). Observe
que o sistema acima é compatível indeterminado e assim deve ser, pois ecolhemos
λ1 que anulava o determinante da matriz associada ao sistema.
Agora temos
V (4) = N(T − 4IV ) = {v ∈ V : v = zv3}.
Verifique que T (V (4)) ⊂ V (4). Observe que uma vez que um vetor é autovetor
de T , (no caso v3), todos os seus múltiplos não nulos também serão.
Ainda neste exemplo, verifique que
PT ([T ]B) = (1I − [T ]B)([T ]2B − 4[T ]B + 7I) = 0,
ou seja, PT ([T ]B) é a matriz nula, que é a matriz da transformação nula. Este é um
resultado que vale em geral, como nos dirá o próximo teorema. Lembre-se que ao
lidarmos com transformações, a composição corresponde ao produto de matrizes.
Assim, suponha no exemplo acima que V = R3 ou P2(R) e que B é a base
canônica. Escreva a expressão de T para um vetor genérico neste caso e verifique
que
PT (T )(v) = (IV − T ) ◦ (T ◦ T − 4T + 7IV )(v) = 0
para todo v ∈ V ou seja PT (T ) = 0.
Teorema 2.78 (Teorema de Cayley-Hamilton). Sejam V um espaço vetorial de
dimensão finita sobre o corpo K e T : V → V um operador linear e seja PT o
polinômio característico de T . Então PT (T ) = 0.
Exemplo 2.79. Operadores Diagonalizáveis
Definição 2.80. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K e
T : V → V um operador linear. Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base
B de V tal que [T ]B é uma matriz diagonal.
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 33
Exemplo 2.81. Seja T : R2 → R2, T (x, y) = (3x, 2y). Verifique que a matriz de T
na base canônica é diagonal, ou seja T é diagonalizável.
Observação 2.82. Dada A ∈ Mn×n(K), sabemos que A = [T ]C , onde T : Kn →
Kn é dada por [T (v)]C = A[v]C e C é a base canônica de K
n
. Dizemos então que
A é matriz diagonalizável se T é diagonalizável, ou seja, se existe B base de Kn na
qual [T ]B = M
B
CAM
C
B é diagonal. Mas isto é equivalente a dizer que A é conjugada
a uma matriz diagonal.
Definição 2.83. Uma matriz n× n é diagonalizável se é semelhante a uma matriz
diagonal.
Exemplo 2.84.
Teorema 2.85. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K. Um
operador linear T : V → V é diagonalizável se e somente se possui uma base de V
de autovetores.
Demonstração: Suponhamos que exista
B = {v1, . . . , vn}
base ordenada de V e λ1, . . . , λn �
Teorema 2.86. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K
e T : V → V um operador linear. Sejam λ1, . . . , λn autovalores distintos de T e
sejam v1, . . . vn autovetores de T tais que T (vi) = λivi, 1 ≤ i ≤ n. Nestas condições,
{v1, . . . vn} é LI.
Corolário 2.87. Se dimV = n e T : V → V possui n autovalores distintos então T
é diagonalizável.
Definição 2.88. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita sobre o corpo K
e T : V → V um operador linear. Seja λ um autovalor de T . A dimensão do
autoespaço V (λ) é dita multiplicidade geométrica de λ. A multiplicidade de λ como
raiz de PT é dita multiplicidade algébrica de λ.
Exemplo 2.89.
Teorema 2.90. Sejam V um espaço vetorial de dimensão n sobre K e T : V →
V um operador linear. Suponha que PT possua n raízes em K, contadas em sua
multiplicidade. Nestas condições, T será diagonalizável se e somente se a dimensão
geométrica de cada um de seus autovalores for igual a sua dimensão algébrica.
Teorema 2.91. Sejam V um espaço vetorial de dimensão n sobre K e T : V → V
um operador linear. Sejam λ1, . . . , λk autovalores de T . Nestas condições, T será
diagonalizável se e somente se
V = V (λ1)⊕ · · · ⊕ V (λk).
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 34
2.6 Forma canônica de Jordan
Definição 2.92. Chamamos de blocos de Jordan reais as matrizes n×n (n ≥ 1) da
forma
J(λ) =

λ 0 · · · · · · 0
1 λ · · · · · · 0
0 1
.
.
. 0
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 1 λ

para algum λ ∈ R ou, para n = 2k, k ≥ 1, uma matriz da forma n× n
R(a, b) =

a −b 0 0 0 · · · · · · · · · 0 0
b a 0 0 0 · · · · · · · · · 0 0
1 0 a −b 0 · · · · · · · · · 0 0
0 1 b a 0 · · · · · · · · · 0 0
0 0 1 0
.
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. 0 0
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. 0 0
0 0 · · · · · · . . . . . . 1 0 a −b
0 0 · · · · · · 0 0 1 b a

com a, b ∈ R e b ≥ 0.
Teorema 2.93. Seja V um espaço de dimensão finita sobre R. Seja T : V → V
um operador linear. Seja
PT (λ) = (λ1 − λ)r1 · · · (λq − λ)rq((λ− a1)2 + b21)s1 · · · ((λ− al)2 + b2l )sl
o polinômio característico de T , com λi 6= λj e (ai, bi) 6= (aj, bj) se i 6= j, e bi > 0.
Nestas condições, existe uma base B de V tal que [T ]B é uma matriz com m blocos
J(λt), λt ∈ {λ1, . . . , λq} e p blocos J(at, bt), (at, bt) ∈ {(a1, b1), . . . , (al, bl)}, na
"diagonal"e zeros nas outras posições. Cada raiz real de PT pode corresponder a mais
de um bloco, mas a soma dos tamanhos de todos os blocos de Jordan correspondentes
a uma raiz de PT é a multiplicidade algébrica desta raiz. Além disso, os blocos de
Jordan são unicamente determinados por T .
Observação 2.94. Se no Teorema 2.93 V é um espaço vetorial sobre C, todos as
raizes de PT serão autovalores de T e só aparecerão blocos de Jordan do tipo J(λ).
Definição 2.95. A matriz de T dada pelo Teorema 2.93 é chamada forma canônica
de Jordan.
Exemplo 2.96. Seja V um espaço vetorial de dimensão 4 sobre R. Seja T : V → V
operador linear. Seja
PT (λ) = (2− λ)(3− λ)3
o polinômio característico de T . Quais as formas possíveis da forma de Jordan para
T? Exatamente uma das seguintes situações acontece:
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 35
1. Se existir uma base B de V composta de autovetores de T , [T ]B será diagnonal,
ou seja com blocos de Jordan 1× 1 na diagonal.
2. Pode existir uma base E de V tal que
[T ]E =

2 0 0 0
0 3 0 0
0 1 3 0
0 0 0 3
 .
Ainda E = {v1, v2, v3, v4}, com T (v1) = 2v1, T (v3) = 3v3, T (v4) = 3v4 e
T (v2) = 3v2 + v3.
3. Pode existir uma base F de V tal que
[T ]F =

2 0 0 0
0 3 0 0
0 1 3 0
0 0 1 3
 .
Ainda F = {v1, v2, v3, v4}, com T (v1) = 2v1, T (v4) = 3v4, T (v3) = 3v3 + v4 e
T (v2) = 3v2 + v3.
Exemplo 2.97. Seja V um espaço vetorial de dimensão 3 sobre R. Seja T : V → V
operador linear. Seja
PT (λ) = (5− λ)((λ− 4)2 + 9)
o polinômio característico de T . Há uma única forma canônica de Jordan possível
para T : Existe uma base E de V tal que
[T ]E =
 5 0 00 2 −3
0 3 2
 .
Ainda E = {v1, v2, v3}, com T (v1) = 5v1, T (v3) = 3v2 + 2v3, T (v2) = 2v2 − 3v3.
Observe que [(T −2I)◦(T −2I)+9I]v2 = 0 onde I representa o operador identidade
em V .
Funcionais Lineares
Definição 2.98. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K.
Um funcional linear
sobre V é uma transformação linear T : V → K. O espaço vetroial sobre K L(V,K)
é chamado de espaço dual de V e denotado por V ∗.
Exemplo 2.99. Seja V um espaço de dimensão n sobre o corpo K. Seja B =
{v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V e seja i un natural fixado, 1 ≤ i ≤ n. Seja
B uma base de V e seja T : V → K tal que T (v) é a i-ésima coordenada de v na
base B. Tal T é um funcional linear. De fato, dados λ ∈ K e u, v ∈ V , se
u = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn
CAPÍTULO 2. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 36
e
v = β1v1 + β2v2 + · · ·+ βnvn,
T (λu+ v) = T ((λα1 + β1)v1 + · · ·+ (λαn + βn)vn) = λαi + βi = λT (u) + T (v).
Exercício 2.100. Seja K um corpo. Mostre que T :Mn×n(K)→ K, T (A) = tr(A)
é um funcional linear. Verifique que se trocarmos traço por determinante na definição
de T , então T não seria um funcional linear.
Os próximos dois teoremas estão demonstrados em [6]. Antes de lê-los, observe
que pelo Teorema 2.45, já temos que se V tem dimensão finita, então dimV=dimV ∗.
Teorema 2.101. seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo K
e seja B = {v1, v2, . . . , vn} uma base ordenada de V . Existe uma única base de V ∗
(chamada base dual), B∗ = {f1, f2, . . . , fn}, onde para cada 1 ≤ k ≤ n,
fi(vk) =
{
1 se k = i
0 se k 6= i
Além disso, para cada funcional linear f sobre V temos
f =
n∑
i=1
f(vi)fi
e para cada vetor v ∈ V , temos
v =
n∑
i=1
fi(v)vi.
O próximo teorema nos diz que o dual do dual de V , se V tem dimensão finita,
é isomorfo a V .
Teorema 2.102. Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre K. Para cada
vetor v ∈ V definamos Lv : V ∗ → K por Lv(f) = f(v). A aplicação v 7→ Lv é um
isomorfismo de V em V ∗∗.
Capítulo 3
Norma e Ângulo
Neste capítulo trataremos de alguns aspectos geométricos dos espaços vetoriais.
Trabalharemos apenas com espaços vetoriais sobre R ou C ou seja, no decorrer do
texto, o corpo K citado se referirá sempre a R ou C. Falaremos de norma de vetores
e ângulo entre vetores.
3.1 Produto interno
Definição 3.1. Seja V um espaço vetorial sobre K, com K = R ou K = C. Um
produto interno em V é uma função
〈·, ·〉 : V × V → K (3.1)
(u, v) 7→ 〈u, v〉
(3.2)
tal que para quaisquer u, v, w ∈ V e λ ∈ K,
1. 〈u+ w, v〉 = 〈u, v〉+ 〈w, v〉;
2. 〈λu, v〉 = λ〈u, v〉;
3. 〈v, u〉 = 〈u, v〉, ou seja, 〈v, u〉 é o complexo conjugado de 〈u, v〉;
4. 〈v, v〉 ∈ R e 〈v, v〉 > 0, se v 6= 0.
Proposição 3.2. Seja V um espaço vetorial sobre K, com K = R ou K = C e seja
〈·, ·〉 um produto interno em V . Então
1. Para todo v ∈ V , 〈0, v〉 = 〈v, 0〉 = 0.
2. Se 〈λu, v〉 = 0 então v = 0 ou u = 0.
3. Para quaisquer u, v, w ∈ V , 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉.
4. Para quaisquer u, v ∈ V e λ ∈ K, 〈u, λv〉 = λ〈u, v〉.
Exemplo 3.3. (Produto escalar usual em Rn)
37
CAPÍTULO 3. NORMA E ÂNGULO 38
Exemplo 3.4. Em Cn,
〈·, ·〉 : Cn × Cn → C (3.3)
(u, v) 7→ u1 · v1 + · · ·+ un · vn
(3.4)
onde a soma e o produto são os usuais em C é um produto interno. Verifique!
Exemplo 3.5. Dado um espaço vetorial V sobre R ou C, de dimensão finita, e seja
B = {w1, . . . , wn} uma base de V . Suponha que haja um produto interno definido
em V . Ele fica completamente determinado por
aij = 〈wi, wj〉, 1 ≤ i, j ≤ n
uma vez que
〈u, v〉 = [v]∗BA[u]B,
onde A é a matriz (aij) e dada uma matriz M = (mij), M
∗ = (µij) com µij = mij.
Observe que aii deve ser real e positivo e ainda aij = aji.
Por outro lado, se tivermos uma matriz An×n como descrita acima, podemos
usá-la justamente para definir um produto interno em um espaço de dimensão n.
Exemplo 3.6. Sejam U e V espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Seja T :
V → U uma transformação linear tal que N(T ) = {0}. Suponha que exista um
produto interno 〈·, ·〉 definido em U . Então podemos definir um produto interno em
V : dados v, w ∈ V , 〈v, w〉T = 〈T (v), T (w)〉.
Definição 3.7. Um espaço com produto interno é um espaço vetorial V munido de
um produto interno.
3.2 Norma
Definição 3.8. Seja V um espaço vetorial sobre R ou C. Uma norma em V é uma
função ‖ · ‖ : V → R+ tal que
1. ‖v‖ = 0 se e somente se v = 0;
2. para todo v ∈ V e λ escalar, ‖λv‖ = |λ|‖v‖;
3. dados u, v ∈ V , ‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖ (Desigualdade Triangular).
Exemplo 3.9. Em Rn ou Cn temos definidas as seguintes normas:
1. ‖(a1, . . . , an)‖p =
(
p∑
i=1
|ai|p
)1/p
, p ∈ N, p > 0.
2. ‖(a1, . . . , an)‖∞ = max{|ai|}.
Analogamente, em C([a, b],R), temos
CAPÍTULO 3. NORMA E ÂNGULO 39
1. ‖f‖p =
(∫ b
a
|f |p
)1/p
, p ∈ N, p > 0.
2. ‖f‖∞ = max{|f(x)| | a ≤ x ≤ b}.
Definição 3.10. Um par (V, ‖ · ‖) onde V é um espaço vetorial e ‖ · ‖ é uma norma
definida em V é dito espaço normado.
Teorema 3.11. Todo espaço vetorial V com produto interno 〈·, ·〉, é um espaço
vetorial normado com a norma
‖ · ‖ : V → R+, v 7→
√
〈v, v〉.
Demonstração: Precisamos verificar que de fato é uma norma... �
Definição 3.12. A norma definida no Teorema 3.11 é dita norma induzida pelo
produto interno 〈·, ·〉.
Todo produto interno induz uma norma, mas não é verdade que toda norma é
induzida por um produto interno.
Assim, temos a seguinte questão: Quais normas são induzidas por um produto
interno? A seguinte proposição nos ajudará com a resposta.
Proposição 3.13. Seja V um espaço vetorial com produto interno e seja ‖ · ‖ a
norma vinda deste produto interno. Nestas condições, para quaisquer u, v ∈ V ,
1.
‖u± v‖2 = ‖u‖2 ± 2Re〈u, v〉+ ‖v‖2.
2. se V for um espaço vetorial sobre C,
〈u, v〉 = Re〈u, v〉+ iRe〈u, iv〉.
Corolário 3.14. [Identidade Polar] Seja V um espaço vetorial com produto interno
e seja ‖ · ‖ a norma vinda deste produto interno. Nestas condições, para quaisquer
u, v ∈ V ,
1. 4〈u, v〉 = ‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2, se V é um espaço vetorial sobre R.
2. 4〈u, v〉 = ‖u + v‖2 − ‖u − v‖2 + i‖u + iv‖2 − i|u − iv‖2+, se V é um espaço
vetorial sobre C.
Corolário 3.15. (Regra do Paralelogramo) Seja V um espaço vetorial com produto
interno e seja ‖ · ‖ a norma vinda deste produto interno. Nestas condições, para
quaisquer u, v ∈ V
‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2.
Observação 3.16. O Corolário 3.15 nos diz que uma norma advém de um produto
interno somente se vale a Regra do Paralelogramo. Usando o Corolário 3.14 é possível
demonstrar o Teorema de Jordan- von Neumann:
�Seja V um espaço vetorial sobre R ou C e seja ‖ · ‖ uma norma em V que
satisfaz a Regra do Paralelogramo. Nestas condições, podemos mostrar que existe
um produto interno em V que induz esta norma�
CAPÍTULO 3. NORMA E ÂNGULO 40
Exemplo 3.17. As normas ‖ · ‖p do Exemplo 3.9 só são induzidas por produto
interno no caso p = 2.
Proposição 3.18 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Seja V um espaço vetorial
com produto interno e seja ‖ · ‖ a norma vinda deste produto interno. Nestas con-
dições, temos
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖
para quaisquer u, v ∈ V .
Observação 3.19. Observamos que decorre da Desigualdade de Cauchy-Schwarz
que se V é um espaço vetorial real e v e u são vetores não nulos de V , então
−1 ≤ 〈u, v〉‖u‖‖v‖ ≤ 1,
o que nos permite definir o ângulo θ entre u e v por
cos θ =
〈u, v〉
‖u‖‖v‖ .
Corolário 3.20 (Desigualdade Triangular). Se V é um espaço com produto interno
e ‖ · ‖ é uma norma em V advinda deste produto, então para quaisquer u, v ∈ V ,
temos
‖v + u‖ ≤ ‖v‖+ ‖u‖.
3.3 Ortogonalidade
Definição 3.21. Seja V um espaço vetorial com produto interno. Dados u, v ∈ V
dizemos que v e u são ortogonais e escrevemos u ⊥ v quando 〈u, v〉 = 0.
Definição 3.22. Seja A ⊂ V e V um espaço vetorial com produto interno. Dizemos
que A é um conjunto ortogonal se dados dois elementos quaisquer de A eles são
ortogonais. Se, além disso, todos os elementos de A tiverem norma igual a 1, ou
seja, forem unitários de acordo com a norma induzida pelo produto interno, diremos
então que A é ortonormal.
Teorema 3.23. Todo conjunto ortogonal que não contém o vetor nulo é LI.
Teorema 3.24 (Teorema de Pitágoras). Seja V um espaço vetorial