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cálculo I
exercícios
ExErcício 1
Um sitiante deseja cercar uma área em forma retangu-
lar utilizando 100m de um alambrado, encontre as di-
mensões dos lados de maneira que a área cercada seja 
a maior possível. 
ExErcício 2
Um fabricante de embalagens produz latas de metal 
com formato de um tronco de cilindro de altura h e raio 
da base r. Além da superfície lateral as latas tem um fun-
do circular, mas não tem tampa superior. O volume das 
latas deve ser 2l (ou 2.000cm3).
Determine as medidas de h e r para que a quantidade 
de material utilizado seja mínima. 
ExErcício 3
Considere a função f: ℝ → ℝ, dada por f(x) = x3 - 9x. 
a. Determine as raízes de f.
b. Determine os intervalos de crescimento e aqueles 
de decrescimento de f.
c. Determine os pontos de máximo/mínimo locais de 
f e os valores de f nestes pontos. 
d. Analise a concavidade do gráfico de f.
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 2
e. Esboce o gráfico de f.
ExErcício 4
Determine os intervalos de crescimento e os de decrescimento de 
f(x)  =  x
2
4 - x
ExErcício 5
Calcule os pontos críticos da função f(x) = x4 - 8x2 + 16. Determine os que 
são de mínimo local.
ExErcício 6
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento da função 
f(x) = x4 - 2x2. Determine seus pontos críticos e classifique-os.
ExErcício 7
Faça um esboço do gráfico da função
f(x)  =  x
2
x - 2
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 3
GABARITO
ExErcício 1
A figura representa o cercado retangular com lados x e y.
x
x
y y
Assim sabemos que a área S = x.y e que 2x + 2y = 100, ou seja x + y = 50, 
logo temos que y = 50 - x e com isso podemos escrever a área com uma 
função só da variável x, ou seja, S(x) = x(50 - x) = 50x - x² cujo gráfico é 
uma parábola com concavidade para baixo e cortando o eixo dos Ox nos 
pontos x = 0 e x = 50, como na figura abaixo:
0 50
O valor da maior área será, portanto, quando x assumir o valor da primei-
ra coordenada do vértice, ou quando a reta tangente ao gráfico de S(x) for 
paralela ao eixo Ox, neste caso teremos S'(x) = 0, mas S'(x) = 50 - 2x, logo 
S'(x) = 0 se 50 - 2x = 0, ou seja 2x = 50 e portanto x = 25m, assim y = 25m.
Usando a aula 15:
S'(x) = 50 - 2x. Vamos determinar o(s) ponto(s) crítico(s), que são os 
candidatos a pontos de máximo/mínimo.
S'(x) = 0 ⇔ 50 - 2x = 0 ⇔ x = 25
Como S''(x) = -2 < 0 segue x = 25 é, efetivamente, ponto de máximo.
x = 25 ⇒ y = 25
Assim as dimensões do cercado que fornecem área máxima são
x = 25  e  y = 25
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 4
ExErcício 2
De Volume = 2000 vem 
πr2h = 2000 ⇒ h = 2000
πr2
Área = área de uma tampa + área lateral.
A = πr2 + 2πrh = πr2 + 2πr 2000
πr2
 = πr2 + 4000
r
Vamos determinar o(s) ponto(s) críticos da função A = A(r)
A'(r) = 2πr - 4000
r2
A'(r) = 0 ⇔ 2πr - 4000
r2
 = 0 ⇔ 2πr = 4000
r2
 ⇔
⇔ r3 = 2000
r
 ⇔ r = 3  2000
π
Para decidir se é um ponto de máximo ou de mínimo vamos analisar a 
derivada segunda.
A''(r) = 2π + 8000
r3
Como a derivada segunda é sempre positiva segue que o ponto crítico é 
um ponto de mínimo.
As dimensões procuradas são:
r = 3  2000
π
 ≈ 8,60  e
h = 2000
πr2
 =  2000
π8,602
 = 8,60
Obs: Você pode verificar algebricamente que, neste exemplo, h = r.
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 5
ExErcício 3
a. Para achar as raízes igualamos a função a 0. 
f(x) = 0 ⇔ x3 - 9x = 0 ⇔ x(x2 - 9) = 0 ⇔ x = 0, x = -3 ou x = 3
b. Para analisar os intervalos de crescimento devemos fazer o estudo 
do sinal de f '. f'(x) = 3x2 - 9. f' é uma função do segundo grau com 
concavidade para cima. Vamos determinar suas raízes.
f'(x) = 0 ⇔ 3x2 - 9 = 0 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x2 = 3 ⇔ x = ±  3
E fazer o estudo do sinal 
  f'(x)  +  0  -  0  + 
      •    •   
      -  3     3  
Lembrando que f '(x) > 0 ⇒ f estritamente crescente e que f '(x) < 0 ⇒ f 
estritamente decrescente segue que:
 → f(x) é estritamente crescente ⇔ x < - 3  ou x > 3  .
 → f(x) é estritamente decrescente ⇔ - 3  < x <  3 .
c. Vamos calcular a segunda derivada: f ''(x) = 6x.
Assim f ''(- 3 ) = - 6 3  < 0 ⇒ x = - 3 é ponto de máximo local.
E f ''( 3 ) = 6 3  > 0 ⇒ x =  3 é ponto de mínimo local.
Os valores de f nestes pontos são:
f(- 3 ) = (- 3 )3 -9(- 3 ) = -3 3  + 9 3  = 6 3
Analogamente:
f( 3 ) = ( 3 )3 -9( 3 ) = 3 3  - 9 3  = - 6 3
d. A concavidade do gráfico de f depende do sinal da segunda derivada.
 → x > 0 ⇒ f ''(x) = 6x > 0 ⇒ gráfico de f tem concavidade para cima.
 → x < 0 ⇒ f ''(x) = 6x < 0 ⇒ gráfico de f tem concavidade para baixo.
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 6
e. 
x
y
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-11
-12
-9 1-8 2-7 3-6 4-5 5-4 6-3 7 8 9-2 -1
f (x) = x3 - 9x
ExErcício 4
f(x) =  x
2
4 - x
 ⇒ f '(x) = 2x ⋅ (4 - x) - x
2 ⋅ (-1)
(4 - x)2
 = - 2x
2 + 8x + x2
(4 - x)2
 = -x
2 + 8x
(4 - x)2
Como o denominador é de grau 2 ele sempre será positivo. O sinal da 
derivada dependerá do sinal do numerador
Fazendo o estudo do sinal da função do segundo grau y = -x2 + 8x ob-
temos:
    -  0  +  0  - 
      •    •   
      0    8 
Logo 
f '(x) < 0 ⇔ x < 0  ou  x > 8
f '(x) > 0 ⇔ 0 < x < 8  e portanto
 → f(x) é decrescente ⇔ x < 0 ou x > 8
 → f(x) é crescente ⇔0 < x < 8 
ExErcício 5
f(x) = x4 - 8x2 + 16 ⇒ f'(x) = 4x3 - 16x
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 7
f '(x) = 0 ⇔ 4x3 - 16x = 0 ⇔ 4x(x2 - 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x2 = 4
f '(x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = -2 ou x = 2
Pontos críticos: -2, 0 , 2.
Como f ''(x) = 12x2 segue que 
f ''(-2) = 48 = f ''(2) > 0
Assim -2 e 2 são pontos de mínimo locais.
Obs: como f ''(0) = 0 o teorema que estudamos não decide pela nature-
za deste ponto. É possível provar que 0 é ponto de máximo local.
ExErcício 6
f(x) = x4 - 2x2 ⇒ f '(x) = 4x3 - 4x
Para analisar o sinal de f '(x) vamos inicialmente determinar suas raízes.
f '(x) = 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔ 4x(x2 - 1) = 0 ⇔ 4x(x - 1)(x + 1) = 0
Logo as raízes são -1, 0 e 1.
O estudo do sinal de f ' está abaixo:
  -  0  +  0  -  0  +
    •    •    •
    -1    0    1
Logo 
f '(x) > 0 ⇔ -1 < x < 0 ou 1< x
f '(x) < 0 ⇔ x < -1 ou 0 < x < 1  e portanto
 → f é estritamente crescente ⇔ -1 < x < 0 ou 1 < x
 → f é estritamente decrescente ⇔ x < -1 ou 0 < x < 1
Os pontos críticos são: -1, 0 e 1.
Como f ''(x) = 12x2 - 4 segue:
 → f ''(-1) = 12(-1)2 - 4 = 8 > 0 segue que -1 é ponto de mínimo local.
 → f ''(0) = 12(0)2 - 4 = -4 < 0 segue que 0 é ponto de máximo local.
 → f ''(1) = 12(1)2 - 4 = 8 > 0 segue que 1 é ponto de mínimo local.
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 8
ExErcício 7
Domínio = {x ∈ ℝ | x ≠ 2}
Limites:
x → ∞
lim   x
2
x - 2
  =  + ∞ 
x → - ∞
lim   x
2
x - 2
  =  - ∞
x → 2+
lim   x
2
x - 2
  =  + ∞ 
x → 2-
lim   x
2
x - 2
  =  - ∞
f '(x) = 2x (x - 2) - x
2 ⋅ 1
(x - 2)2
 = x
2 - 4x
(x - 2)2
Pontos críticos:
f '(x) = 0 ⇒ x2 - 4x = 0 ⇒ x = 0 ou x = 4
Sinal da derivada
Como o denominador é sempre positivo, o sinal da derivada depende 
apenas do numerador, que é uma função do 2º grau, com raízes em 0 e 4 
e concavidade para cima.
  +  0  -  ∄  -  0  +
    •    •°    •
    0    2    4
f '(x) > 0 ⇔ x < 0 ou x > 4
f '(x) < 0 ⇔ 0 < x < 2 ou 2 < x < 4
Crescimento
 → f é crescente (estritamente) em ]-∞, 0[ e em ]4, +∞[
 → f é decrescente (estritamente) em ]0, 2[ e em ]2, 4[
Daí segue que 0 é ponto de máximo e que 4 é ponto de mínimo.
(Também seguiria do Critério da Segunda Derivada).
Concavidade
f ''(x) =  (2x - 4)(x - 2)
2 - (x2 - 4x) ⋅ 2 ⋅ (x - 2) ⋅ 1
(x - 2)4
 =  (2x - 4)(x - 2) - (x
2 - 4x) ⋅ 2
(x - 2)3
 =  8
(x - 2)3
Cálculo I / Aulas 13–16 Exercícios 9
f''(x) > 0 ⇔ x > 2  e  f''(x) < 0 ⇔ x < 2
Logo f tem concavidade para cima se x >2 e concavidade para baixo se 
x < 2.
O gráfico é: 
x
y
-2
2
4
6
8
10
2 4 6-4 -2