Física I UNIVESP Semana 02

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FÍSICA I
EXERCÍCIOS DE PORTFÓLIO
EXERCÍCIO 1
Considere um sistema de duas partículas, A e B, que se movem no plano
xy. A partícula A se move ao longo de uma linha y = 30 m com uma
velocidade constante −→v = (3,0 m/s)bi. A partícula B parte do repouso
na origem no mesmo instante em que a partícula A passa pelo eixo y. A
partícula B move-se com uma aceleração constante −→a = axbi + aybj com
ax > 0 e ay > 0. O módulo desta aceleração é a = ��−→a �� = 0,4 m/s2. Qual
ângulo θ entre −→a e o eixo positivo y resultaria em uma colisão entre as
duas partículas?
EXERCÍCIO 2
O vetor posição de uma partícula que se movimenta no plano xy é
−→r = ��2 m/s3� t3 − (5 m/s) t�bi+ �(6 m)− �7 m/s4� t4�bj.
Qual é o vetor aceleração em t = 2 s?
Física I / Aulas 05-08 Exercícios de Portfólio 2
GABARITO
EXERCÍCIO 1
Para encontrar esse ângulo θ basta determinarmos os vetores posição
−→r A e −→r B das partículas A e B respectivamente e impormos a condição
−→r A (t) = −→r B (t) .
O vetor posição −→r A da partícula A pode ser escrito como
−→r A = (C t + D)bi+ (30 m)bj.
Assim,
−→v A = d
−→r A
d t
= Cbi =⇒ C = 3,0 m/s
pois
−→v A = (3,0 m/s)bi.
Agora, impondo a condição inicial −→r A (t = 0) = (30 m)bj, temos que
−→r A (t)
��
t=0 = D
bi+ (30 m)bj= (30 m)bj =⇒ D = 0
e, portanto,
−→r A (t) = (C t + D)bi+ (30 m)bj= (3,0 m/s) tbi+ (30 m)bj. (1)
Queremos agora determinar o vetor posição −→r B (t) da partícula B.
O vetor aceleração da partícula B é
−→a = axbi+ aybj= asenθbi+ a cosθbj.
Da condição inicial −→v B (t = 0) = 0, segue
ax =
dvx ,B
d t
=⇒
∫ vx ,B(t)
vx ,B(0)=0
dvx ,B = ax
∫ t
0
d t ′ =⇒ vx ,B (t) = ax t
e, de maneira análoga,
vy,B (t) = ay t.
Impondo agora a condição de contorno para a posição da partícula B no
tempo inicial, →r B (t = 0) = 0, temos que
vx ,B (t) =
drx ,B
d t
=⇒
∫ rx ,B(t)
rx ,B(0)=0
drx ,B =
∫ t
0
vx ,B
�
t ′
�
d t ′ =
∫ t
0
ax t
′d t ′ = ax t
2
2
,
Física I / Aulas 05-08 Exercícios de Portfólio 3
i.e.,
rx ,B (t) =
ax t
2
2
.
O cálculo para a componente ry,B é análogo e, assim,
ry,B (t) =
ay t
2
2
.
Logo, o vetor posição →r B (t) é
−→r B (t) =
�
ax t
2
2
�bi+�ay t2
2
�bj= at2
2
senθ
‹bi+at2
2
cosθ
‹bj (2)
Para que haja colisão, devemos impor
−→r A (t) = −→r B (t) ,
onde, pelas expressões (1) e (2), tem-se
−→r A = (3,0 m/s) tbi+ (30 m)bj,
−→r B =

at2
2
senθ
‹bi+at2
2
cosθ
‹bj.
Consequentemente,
(3,0 m/s) t =
at2
2
senθ ,
que implica
(3,0 m/s) =
�
0,2 m/s2
�
tsenθ ,
pois
a =
��−→a ��= 0,4 m/s2.
Então (lembrando que neste problema senθ > 0),
t =
3,0 m/s
(senθ ) (0,2 m/s2)
=
15 s
senθ
.
Agora devemos usar este instante de tempo, t = 15 s/senθ , na igualdade
para as componentes ry(A,B) dos vetores posição das partículas, ou seja,
(30 m) =

at2
2
cosθ
‹����
t=15s/senθ
,
que acarreta
cosθ =
(60 m) sen2θ
(0,4 m/s2) (15 s)2
=
10
15
sen2θ =
10
15
�
1− cos2 θ� ,
ou seja, obtém-se a equação quadrática (em x = cosθ )
cos2 θ + 1,5 cosθ − 1= 0.
Física I / Aulas 05-08 Exercícios de Portfólio 4
As soluções dessa equação são
x =
−1,5±Æ(1,5)2 + 4
2
,
mas, como neste problema cosθ > 0, escolhemos a raiz positiva
cosθ =
−1,5+Æ(1,5)2 + 4
2
=
−1,5+ 2,5
2
=
1
2
.
Portanto
θ = arccos

1
2
‹
= 60◦.
EXERCÍCIO 2
O vetor velocidade em um instante de tempo t é
−→v (t) = d
−→r (t)
d t
=
��
6 m/s3
�
t2 − (5 m/s)�bi− �28 m/s4� t3bj.
e, assim, o vetor aceleração em um instante de tempo t arbitrário é
−→a (t) = d
−→v (t)
d t
=
d2−→r (t)
d t2
=
�
12 m/s3
�
tbi− �84 m/s4� t2bj.
Portanto, em t = 2 s, temos que:
−→a (t)��t=2s = �24 m/s2�bi− �336 m/s2�bj.