TRT RJ Rac. Logico Mat. Ze e Edgar(1)

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TRT - RJ 2013 
RAC. LÓGICO MATEMÁTICO 
 
http://www.acasadoconcurseiro.com.br/ 
 
PROFESSORES: 
EDGAR ABREU e ZÉ MOREIRA 
 
 
 
 
 
 
 
RAC. LÓGICO MATEMÁTICO – TRT-RJ 
 
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Prezado Aluno: 
 
Algumas informações sobre este material de estudos: 
 
 Este apostila é sem dúvida a mais completa e atualizada do mercado, 
certamente você não irá encontrar um material de tamanha qualidade. 
 Este material foi elaborado com base no ultimo edital Do TRT-RJ, 
elaborado pela FCC em Outubro de 2012. 
 O responsável pela elaboração desta apostila é o professores Edgar 
Abreu e o Prof. Zé Moreira. 
 Esta apostila é disponibilizada gratuitamente para download. 
 Caso este material seja útil para você, mande um e-mail para o 
professor ou para o curso da Casa do Concurseiro, compartilhando a 
sua felicidade. 
 Esta apostila pode ser utilizada para os concursos da Defensoria-RS, 
tanto o cargo de técnico judiciário quanto para o cargo de Analista 
Judiciário, haja visto que o conteúdo é o mesmo. Também pode ser 
utilizada para o concurso de Técnico e Analista do TRT-RJ 2012, pois 
o edital também é o mesmo. 
 
 
 
 
 
Apostila de acordo com os editais publicados 
no dia 15 de Outubro de 2012 (Def. Pública-
RS) e 24 de Outubro (TRT-RJ) 
 
 
 
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A CASA DO CONCURSEIRO 
Estude com o curso que mais aprovou primeiros colocados nos últimos 
concursos. 
 TRE – RJ (2012): Primeiro colocado 
 TRE – PR (2012): Primeiro Colocado 
 INSS (2012): Primeiro Colocado (Gravataí) 
 
 CEF 2012: Primeiro colocado nas Microrregiões abaixo 
1. São Paulo – SP; 
2. Porto Alegre – RS; 
3. Cruzeiro do Sul – AC; 
4. Aracaju – SE; 
5. Cascavel – PR; 
6. Patos – PB; 
7. Osasco - SP; 
8. Uruaçu – GO; 
9. Jundiaí; Bacabal – MA; 
10. Ji-Paraná – RO; 
11. Vitória - ES ; 
12. Santarém – PA; 
13. Teresina – PI; 
14. Uruguaiana – RS; 
15. Itumbiara – GO; 
16. Maringá – PR; 
17. Santo Antonio de Jesus – BA; 
18. Caxias do Sul –RS; 
19. Santo Ângelo – RS; 
20. Picos – PI; 
21. Castanhal PA 
 
 Banco do Brasil 2011/2012: Primeiro colocado nas Microrregiões 
abaixo 
1. Santo Amaro – SP; 
2. Varginha – BA; 
3. Bonito – MS; 
4. Juiz de Fora – MG (PNE); 
5. Irecê – Vitória da Conquista; 
6. Jundiaí – 
7. São Paulo - SP; 
8. Jequié – BA; 
9. Anápolis – GO ; 
10. Sete Lagoas – MS; 
11. Pouso Alegre – MG; 
12. Lins – SP; 
13. Paraíso do Tocantins – TO 
14. Rio de Janeiro – RJ; 
15. Cabo Frio – RJ; 
16. Pelotas – RS; 
17. Novo Hamburgo – RS; 
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CONTEÚDOS DE RAC. LÓGICO MATEMÁTICO SEGUNDO O EDITAL 
FCC 2012 – TÉCNICO E ANALISTA (DEF. PÚBLICA – RS E TRT-RJ) 
 
 
 
Raciocínio Lógico-Matemático Matemático: Matemática: Conjuntos numéricos: 
racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro 
operações nas formas fracionária e decimal. Conjuntos numéricos complexos. 
Números e grandezas proporcionais. Razão e proporção. Divisão proporcional. 
Regra de três (simples e composta). Porcentagem. Juros simples e compostos. 
Raciocínio Lógico-Matemático: estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, 
lugares, objetos ou eventos fictícios; dedução de novas informações das relações 
fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas 
relações. Compreensão e análise da lógica de uma situação, utilizando as funções 
intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, 
orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos 
 
 
QUANTIDADE DE QUESTÕES PREVISTAS: 05 (Defensoria Pública – RS Técnico, 
Analista e TRE-RJ) 
MÍNIMO DE ACERTO: 2 questões (Apenas na prova para o Concurso da 
Defensoria) 
 
 
 
 
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Sumário 
 
 MÓDULO 1 – INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA BÁSICA ................................ 06 
 MÓDULO 2 – MATEMÁTICA BÁSICA ............................................................ 14 
 MÓDULO 3 – REGRA DE TRÊS ..................................................................... 32 
 MÓDULO 4 – PROPORÇÕES .......................................................................... 39 
 MÓDULO 5 – PORCENTAGEM ...................................................................... 49 
 MÓDULO 6 – JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS ............................... 59 
 MÓDULO 7 – LÓGICA SENTENCIAL ............................................................. 74 
 MÓDULO 8 – OPERAÇÕES BÁSICAS EM LÓGICA ........................................ 82 
 MÓDULO 9 – DIAGRAMAS LÓGICOS ........................................................... 86 
 
CADERNO DE EXERCÍCIOS ................................................................ 98 
QUESTÕES DE PORCENTAGEM .............................................................................................. 99 
QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO ................................................................................... 112 
QUESTÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA .................................................................................. 118 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Possibilidade boa 
de cair na prova. 
MÓDULO 1 – INTRODUÇÃO A MATEMÁTICA BÁSICA 
 
Iniciamos esse modulo tirando a primeira (de muitas) duvida do aluno: 
 
Nossa primeira aula fará um breve resumo do que estudaremos nos próximos encontros, dando-
lhes dicas e orientações de banca de matemática do concurso da Defensoria RS. Nas aulas de 
matemática veremos do mais simples ao mais complexo, iniciaremos na estaca zero e o céu é o 
limite (não precisamos exagerar, a aprovação basta né?). Boa aula e aproveitem o curso. 
 
O que pode cair em raciocínio lógico? 
 
Raciocínio lógico 
Teoria
Técnicas
Treino





 
 
Exemplo de questões de raciocínio lógico para treino. 
 
Algumas seqüências lógicas conhecidas: 
 
 
a) 1 2 4 7 11 16 _?___ 
 
 
 
 
b) 2 10 12 16 17 18 19 __?___ 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
120 
0 
12 
24 60 
? 
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Pequena possibilidade 
de ser cobrado na 
prova! 
 
Exemplo de raciocínio lógico na sua parte teórica. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: “Se estudo na casa do concurseiro então passo no concurso do TJ”. Da afirmativa 
acima podemos concluir que: 
a) Se passei então estudei na casa do concurseiro. 
b) Se não passo então não estudei na casa do concurseiro. 
c) Se não estudei na casa do concurseiro não passo no concurso. 
d) Se passei então não estudei na casa do concurseiro. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dado um circulo de raio 1m com um retângulo ABCD nele inserido. Qual o valor da 
diagonal BD desse retângulo? 
 
R=2,25 mNão lembra nada de matemática ? Não tem problema... 
Começamos do básico. 
Se você não lembra muito do básico da matemática essa é a aula que não pode perder, 
relembraremos muita coisa teoricamente fácil da matemática. 
A B 
C D 
Fique atento 
Além de problemas envolvendo seqüência lógica numérica poderá cair problemas 
matemáticos com alguma observação lógica. 
 
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DIVISÃO (MAS SEM CALCULADORA!) 
 
 
 1458 72
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Até agora tudo bem? Mas e esse a divisão for com números decimais, para dividir numero decimal 
por numero decimal, igualemos as casas decimais com zero, neste caso colocamos um zero ao 
lado do 2 para igualar as casas depois da virgula, igualadas corta-se as virgulas e começa a 
divisão. 
Exemplo: 
 
 2,24 0,2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Agora faça você: 
3)10,8 1,5 
 
 
MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS. 
 
Multiplicação com número “com vírgula” é mais usado no nosso dia-a-dia, logo de melhor 
compreensão. 
 
Na multiplicação de números decimais esquecesse as vírgulas no primeiro instante, multiplicando 
normalmente, após ter chego no resultado conta-se as casas depois da virgula dos fatores (no 
exemplo abaixo 2,81 – duas casas depois da virgula- e 4,3 – uma casa depois da virgula – no total 
3 casa depois da virgula) e conte de trás pra frente 3 casas e ponha a virgula. 
Exemplo: 
 7,81 4,3
 
 
 
 
 
 
 
 
Agora faça você: 
 4)9,8 4,06
 
 
Para terminar adição e subtração com decimais: 
 
 
 
4,13 + 223,06 + 0,0123 + 12366,123 + 564,1 = 
 
Importante: vírgula embaixo de vírgula!!!! 
 
 2,81
 4,3
 843
1124*
12,083
x

 
Na multiplicação 
contam-se as 
vírgulas de trás 
para frente. 
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 4,13
 223,06
 0,0123
12366,123
 564,1 
13157,4253 

 
 
 
2 – 1,00004= 
 
 
 
 
 
 
 
 
2,00000
1,00004
1,99996

 
 
Agora faça você: 
5) 12,07 + 2,6 + 166,088 + 30,1 + 1,0003 = 
 
6) 1 – 0,2134= 
 
7) 3,07003 – 0,2321 = 
 
 
 
 
 
 
Mas o dois não 
tem vírgula? 
DICA: Todos os números têm vírgula, alguns não são necessários que apareça, mas eles têm 
vírgula. No caso acima o 2 tem uma virgula logo depois dele. 2 e 2,00000 é o mesmo 
numero, assim podemos igualar com zero depois da unidade 2, e resolvendo o calculo logo 
depois. 
 
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TRANSFORMAÇÕES DE TEMPO 
 
Manuela ficou doente e faltou 
1
6
do mês no trabalho. Quantos dias Manuela trabalhou neste mês? 
O que seria 
1
6
 do mês? Para calcularmos isso multiplicaremos 
1
6
 por 30, pois, um mês tem 30 
dias. 
 
1
6
x30=
30
5
6

 
 
1
6
 do mês significa 5 dias, mas cuidado com que se pergunta, pois a pergunta não é quantos dias 
Manuela faltou e sim quantos trabalhou, neste caso 25 dias. 
 
 
 
 
Seguindo o mesmo raciocínio quantos dias têm: 
3,2 meses = 3 meses + 0,2 meses= 
 3 meses + 2 x 0,1 meses = 
 3 meses + 2 x 3 dias = 3 meses e 6 dias 
 
2,7 meses = 2 meses + 0,7 meses = 
 2 meses + 7 x 0,1 meses = 
 2 meses + 7 x 3 dias = 2 meses e 21 dias 
 
Faça você: 
10) Para acompanhar as aulas do concurso Mariana pediu para sair mais cedo do serviço 2/3 do 
mês. Quantos dias no mês Mariana ficou trabalhando até o final do expediente? 
 
 
 
0,1 mês = 3 dias 
Importante: Fica-se acertado que um mês (comercial) tem 30 dias. 
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Seguindo o mesmo assunto... 
 
0,4 semanas tem quantos dias? 
0,4 semanas = 4 x 0,1 semanas = 
4 x 16,8h = 67,2h 
67,2h = 2 dias + 19,2h = 
67,2h = 2 dias 19h e 12 minutos. 
 
Para completar... 
2,6 anos são quantos anos? 
2,6 anos = 2 anos + 0,6 anos = 
2,6 anos = 2 anos + 6 x 0,1 anos = 
2,6 anos = 2 anos + 6 x 1,2 meses = 
2,6 anos = 2 anos + 7,2 meses = 
2,6 anos = 2 anos + 7 meses + 6 dias. 
 
 
Faça você. 
11) Marcos é muito metódico e ao sair de um relacionamento fez as contas e chegou à conclusão 
que ele e sua ex-namorada ficaram juntos exatamente 1,7 anos. Quanto tempo exatamente 
Marcos e sua ex ficaram juntos? 
 
AS QUATRO OPERAÇÕES DE ACORDO COM SUA IMPORTÂNCIA. 
 
Aqui está uma pergunta aparentemente fácil: Como se resolve a expressão 2 + 3 x 5? 
 
Lembre-se que esse curso tem objetivo de trabalhar com vocês desde o básico do ensino 
fundamental até os detalhes mais complicados da matemática, por isso nada será esquecido. 
Voltando então a pergunta. 
Para ficar bem claro operações matemáticas têm uma ordem de importância, ou seja, algumas 
operações são mais “fortes” que outras assim tendo que ser resolvidas primeiro. Confira o quadro 
abaixo. 
 
1 semana = 168h logo 
0,1 semana = 16,8h 
0,1 ano = 36 dias 
ou 1,2 meses 
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1º Potenciação e radiciação 
2º Multiplicação e divisão 
3º Adição e subtração. 
 
 Analisando esse quadro fica mais fácil resolver a expressão acima. 
  
 
2 3 5
2 15 17
 
 
Mas se tivermos a seguinte expressão: 
 12 2 3
. 
 
O que resolver primeiro já que a divisão e a multiplicação têm o mesmo “peso”? 
Se resolver primeiro a divisão o resultado da expressão é 18, mas se resolvo primeiro a 
multiplicação o resultado é outro (no caso 2)... Qual é o certo? 
 
Quando tivermos um caso como esse, segue-se a ordem da expressão, ou seja, o que vier 
primeiro, no caso a divisão. 
  
 
12 2 3
6 3 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO 2 – MATEMÁTICA BÁSICA 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES 
 
Para que precisamos aprender simplificação de frações neste curso? Essa é a pergunta que muito 
de vocês devem estar fazendo agora, pois bem, saibam que essas simplificações apareceram no 
arremate das questões, pois as alternativas virão sempre na forma simplificada, muitas vezes 
vocês podem acertar toda a questão e a resposta não estará entre as alternativas, pois estará 
simplificada, logo este é um tópico importantíssimo para nós. 
 
A simplificação de frações é feita dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número, 
isto seria o mesmo que eliminar todos os fatores comuns, obtendo uma fração mais simples e 
equivalente. 
 
Exemplo: 
 
2 5
2 5
30 15 3
440 20
 
 
 
 
 
Poderíamos também ter simplificado toda a fração diretamente por 10, o que nos pouparia um 
tempo importante. 
 
Com base nesse mesmo procedimento, simplificamos frações algébricas que apresentam fatores 
em comum. 
 
Exemplo: 
 
2 3
3
8
12
xy
x y

Podemos escrever está fração “abrindo” seus termos. 
 
2 3 2 2
3 2
8 2 2 2
12 3 2 2
x y x y y
x y x x y
    
 
    
Simplificando os termos semelhantes, teremos: 
 
2 3 2 2 2
3 2
8 2 2 2 2
312 3 2 2
x y x y y y
xx y x x y
    
 
    
 
 
 
Através desse pequeno resumo de simplificação de frações será que conseguiremos simplificar 
essas frações abaixo: 
 
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2 4 6
2
x y z 

 Como estamos lidando com uma multiplicação e uma divisão, podemos cortar um 
por um. 
 
 
 
2 4 6
4 6 24
2
x y z x y z xyz     
 
 
 
Se você inverteu a ordem das letras, não tem problema, pois se lembre que a multiplicação é 
comutativa, ou seja, não importa sua ordem. 
 
E quando temos uma adição e uma divisão? Neste caso, só podemos corta se todos os elementos 
do numerador podem cortar com o denominador. 
 
Neste caso podemos simplificar o 2, 4 e 6 por 2. 
 
 
2 4 6
2 3
2
x y z x y z    
 
 
 
 
Seguindo a mesma lógica... 
 
2 3 2 3 3
2 2 2
x y x y xy 
 
 
 
 
Então fica fácil essa próxima simplificação. 
 
 
2 3 2 3
3
2 2
x y x y x y   
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: Não podemos cair essa armadilha, pois acabamos de ver que na adição não se corta 
numerados por denominador, um por um, como faz na multiplicação. 
 
Errei, pois 
inverti a ordem 
das letras. 
Acertei!!! 
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Faça você: 
 
1. Simplificando a fração 
10 10
10
x y
x

 obtemos a fração: 
a) 
10x y
x

 
b) 
10y
 
c) 
y
 
 
d) 
x y
x

 
e) NRA 
 
 
2. Dada a fração x y
k w
 
   
 , qual das alternativas abaixo tem uma fração equivalente a 
dada? 
 
a) 
x y
k w
 

 
b) 
y x
w k


 
c) 
x y
k w


 
d) 
x y
k w


 
e) NRA 
 
3. Simplificando a fração 
x y
x y

 
obtemos 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
 
 
COMO ISOLAR UMA INCÓGNITA - MAIS CONHECIDO COMO EQUAÇÃO DO 1º GRAU. 
 
Começamos pelo obvio. 
 
Podemos dizer que 8 = 8, sem traumas? 
 
Multiplicamos essa igualdade por 2 
2.8 = 2. 8, a igualdade continua valendo, certo? 
 
Agora vou adicionar 5 unidades em cada lado da igualdade 
5 + 2.8 = 5 + 2.8, a igualdade continua valendo, ok? 
 
O que podemos concluir? 
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Que uma igualdade não se altera quando operamos dos dois lados o valor, neste caso acima 
multiplicamos cada lado por 2 e adicionamos cinco unidades, e vemos que a igualdade continua 
valendo. 
 
Seguindo o mesmo raciocínio, resolvemos a equação da seguinte maneira 
 
2x = 12 
 
Bom, nesta equação a grande pergunta é: 
 
“Que número multiplicado por 2 é igual a 12?” Para chegar a resposta certa, importante saber, 
que somente um número será resposta para essa equação, temos que isolar o valor 
desconhecido, temos então que anular o 2 que está multiplicando o x. Como faremos isso? 
 
Sabemos que o 2 está multiplicando o x, logo pensemos na operação inversa da multiplicação 
(sempre que queremos anular um valor vamos pensar na sua operação inversa), a divisão. 
Dividiremos cada lado da igualdade por 2. 
 
 
2 12
2 12 6
2 2
xx x    
 
 
12 4x   , adicionamos 12 unidades um cada lado da igualdade. 
 
12 12 4 12
16
x
x
    

 
 
Sabendo agora a lógica do valor desconhecido podemos trabalhar com a regra do “passa pro 
outro lado trocando de sinal”, extremamente prática. 
 
Seguiremos as seguintes regras: 
 
1º Se está dividindo, passa pro outro lado da igualdade dividindo. Mas cuidado... isso nem sempre 
será feito, por exemplo: 
 
 
2
7 11
3
x
 
 . 
 
 
 
 
DICA: Neste caso o 3 está dividindo num lado, mas não podemos passar 
multiplicando pro outro lado, pois se perceber o 3 divide apenas o 2x e não todo o 
lado da igualdade, por isso não usaremos essa regrinha prática. Passamos então 
primeiramente, o sete pro outro lado subtraindo. 
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2 2
7 11 11 7
3 3
2
4 2 4 3
3
12
6
2
x x
x
x
x x
    
   
  
 
 
 
 
 
2 7
11
3
x 

 
 
 
 
2 7
11 3 2 7 11 3
3
2 7 33 2 33 7
26
2 26
2
13
x
x
x x
x x
x

     
    
  

 
 
 
Como resolvemos a equação abaixo: 
 
 
2 10x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso o 3 está dividindo todo um lado da igualdade, 
assim podemos passar o 3 multiplicando o outro lado, 
usando regrinha prática. 
Agora sim, passamos o 3 multiplicando 
Essa eu entendi, o 2 está negativo 
passa pro outro lado positivo!!!!! 
Cuidado, o 2 é negativo sim, mas 
a operação que o 2 está 
relacionado é a multiplicação, ou 
seja, o menos 2 está 
multiplicando o x, logo passa pro 
outro lado dividindo. 
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2 10
2 10
2 2
5
x
x
x
 


 
 
 
 
Faça você: 
 
4. Resolva as equações: 
 
)3 12 21
5
) 4 14
2
5 4
) 14
2
)6 3 4 19
1 3
) 1
3 4
a x
x
b
x
c
d x x
e x
 
 


  
 
 
 
 
UMA RÁPIDA PASSAGEM NAS FRAÇÕES 
 
Aqui veremos uma pequena síntese de frações, não se preocupem pois voltaremos neste assunto 
com toda força mais tarde, nos preocuparemos agora no “matematiques”, ou seja, na linguagem 
matemática usada em alguns cálculos. 
 
Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim, podemos 
considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação 
numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, 
divisão, potenciação, radiciação. 
 
Por ser uma forma diferente de representação numérica, a fração irá possui uma nomenclatura 
específica e poderá ser escrita em forma de porcentagem, números decimais (números com 
vírgula) e números mistos. 
 
Quanto é 
2 5 7
3 2 10
de de
? Antes de tudo precisamos conhecer uma parte do vocabulário 
“matematiques”, onde “de” entenda-se vezes (x), assim 
2 5 7
3 2 10
de de
 é exatamente a mesma 
coisa que 
2 5 7
3 2 10
 
, resolvendo, 
 
NÃO!!! 
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2 5 7
3 2 10
  
 Multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador 
 
2 5 7 70 7
(simplificamos por 10)
3 2 10 60 6
   
 
 
 
 
 
 
Faça você 
 
5. Quanto é 
4 5 14
?
3 7 5
 
 
 
6. Uma pessoa devia R$ 12,00 e pagou 
3
5
 da divida. Quanto ainda deve? 
 
7. Os 
2 5
dos
3 3
 do preço de uma moto equivalem 
3 2
dos
2 5
 do preço de um carro, sabendo que o 
preço total do carro é de R$ 9 600,00 qual o preço da moto? 
a) R$ 16 000,00 
b) R$5 184,00 
c) R$ 5 760,00 
d) R$ 8 640,00 
e) R$ 6 400,00 
 
8. Uma questão de raciocínio lógico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Até agora foi feito um resumo de tópicos importantes da matemática para o concurso da 
Defensoria, a partir de agora começaremos o curso de verdade, fazendo ordenadamente uma 
varredura de tudo que esta no edital, iniciando por: 
 
 
DICA: Leia o problema em português e transforme tudo numa expressão em matematiques. 
 
 
 
O produto dos 99 fatores abaixo é: 
 
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 ... 1 1 1
2 3 4 5 98 99 100
             
                         
             
 
 
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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Definição de Conjuntos Numéricos. 
Ao agrupamento de elementos com características semelhantes damos o nome de conjunto. 
Quando estes elementos são números, tais conjuntos são denominados conjuntos numéricos. 
Neste tópico estudaremos os cinco conjuntos numéricos fundamentais, que são os conjuntos 
numéricos mais amplamente utilizados. 
 
 
Conjunto dos Números Naturais 
Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por contagens e quantidades. Talvez 
a primeira ocorrência desta necessidade, tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de 
idade algum coleguinha foi lhe visitar e começou a mexer em seus brinquedos. Provavelmente, 
neste momento mesmo sem saber, você começou a se utilizar dos números naturais, afinal de 
contas era necessário garantir que nenhum dos seus brinquedos mudasse de proprietário e 
mesmo desconhecendo a existência dos números, você já sentia a necessidade de um sistema de 
numeração. 
Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos numéricos, que é o 
conjunto dos números naturais. Com a utilização deste conjunto você pode enumerar brinquedos 
ou simplesmente registrar a sua quantidade, por exemplo. 
Este conjunto é representado pela letra N. Abaixo temos uma representação do conjunto dos 
números naturais: 
 
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...} 
 
 
Conjunto dos Números Inteiros 
Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou conhecimento da existência de 
números negativos, ao lhe falarem que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de 
zero. Curioso você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu interesse, 
resolveu lhe explicar: 
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou oposto. O oposto do 
1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal "-" indica que se trata de um número negativo, 
portanto menor que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos e o zero é 
nulo. 
O zero e os demais números naturais, juntamente com os seus opostos formam um outro 
conjunto, o conjunto dos números inteiros e é representando pela letra Z. 
 
Z = {...-4,-2,-1,0,1,2,3,4,...} 
 
Conjunto dos Números Racionais 
São aqueles que podem ser representados na forma de fração 
a
b
 com 
 
 
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 3 5 3..., 2,..., ,..., 1,...,0,..., ,...,1,...,2 9 7   
 
 
Números Irracionais 
São todos aqueles números que não podem ser representado por frações, ou seja, todo número 
irracional não é racional. 
 
São exemplos de números irracionais: 
3,1415926...
2,7182818...(numero de Euler)
2 1,4142135...
3 1,73205080...
e
 



 
 
 
Números Reais 
O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos 
números irracionais. 
R = Q U I. 
 
 
 
Nomenclaturas mais usadas. 
*
*
*
*
Todos os reais positivos mais o zero.
Todos os negativos positivos mais o zero.
Todos os reais exceto o zero.
Todos os reais negativos.
Todos os reais positivos.
Todos os naturais excet









 o o zero.
 
 
 
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Número complexo: é todo número que pode ser escrito na forma 
z = a + b i 
 
onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do 
número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas 
por: 
 
a = Re(z) e b = Im(z) 
 
Exemplos de tais números são apresentados na tabela. 
 
Número complexo Parte real Parte imaginária 
2 + 3 i 2 3 
2 - 3 i 2 -3 
2 2 0 
3 i 0 3 
-3 i 0 -3 
0 0 0 
 
Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto 
dos números reais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número 
complexo da forma z=x+yi, onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está 
contido no conjunto dos números complexos 
 
 
Operações básicas com números complexos: 
 
Exemplos: 
1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i. 
2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i. 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: 1 e ele 
mesmo. 
 
 Exemplos: 
 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 
 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 
 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. 
DICA: o 2 é o único par primo. 
 
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MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO INTEIRO. 
 
Um número a 

 Z é múltiplo de um número b 

 Z, quando a divisão de a por b der um número 
inteiro. 
 
, sendo c .
a c
b
 
 
 
Exemplos: 
 
12 é múltiplo de 3, pois 12 : 3 = 4 
14 não é múltiplo de 4, pois 14 : 4 = 3,5 

 Z. 
 
 
 
 
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI. 
 
São números que não tem nenhum divisor comum entre eles, ou seja, não existe nenhum número 
comum (exceto o um) que divida esses números. 
 
Exemplo: 
 
4 e 9, são números primos entre si, pois não existe um número que divida o 4 e o 9. 
8 e 12 não são primos entre si, pois existe o 2 que divide o 8 e o 12. 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM. 
 
O nome já diz tudo, quando calculamos o dito MMC entre dois números, estamos procurando um 
número que seja MULTIPLO desses dois números, logo COMUM entre eles, mas para facilitar 
precisa ser MINIMO, já que entre 2 número existe infinitos múltiplos. 
 
Exemplo. 
 
MMC (4,6). 
Múltiplos de 4 = {4,8,12,16,20,24,28,32,36...} 
Múltiplos de 6 = {6,12,18,24,30,36,40,...} 
 
Múltiplos comum entre 4 e 6 = {12,24,36...} 
O Mínimo Múltiplo Comum entre 4 e 6 = {12} 
 
20 : 5 = 4, logo, 20 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 20. 
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É claro que não fazerem MMC desta maneira, pois não temos tempo a perder logo fazer um 
esquema que aprendemos lá na quinta série chamado chiqueirinho. 
 
4,6 2 
2,3 2 
1,3 3 logo MMC (4,6) = 12 
 
1,1 2 x 2 x 3 = 12 
 
 
Podemos também fazer MMC entre mais números. 
MMC (4,6,8) 
 
4,6,8 2 
2,3,4 2 
1,3,2 2 
1,3,1 3 MMC (2,4,6) = 16 
 
1,1,1 16 
 
Quando precisaremos do MMC? 
 
Quando somarmos ou subtrairmos frações é indispensável ocálculo do MMC, entre outros 
problemas que veremos agora. 
 
Marcio, Cristina e Pedro são netos de Dona Carmem, os 3 estão juntos visitando sua avó, que está 
de aniversário hoje dia 12/10/212. Após uma conversa com dona Carmem Marcio diz que só pode 
vê-la de 10 em 10 dias, Cristina de 12 em 12 dias e Pedro só voltará a ver sua avó 20 em 20 dias. 
Em que dia os três voltarão a se encontrar junto com dona Carmem? 
 
Sabemos que algumas vezes os três irão se encontrar, algumas visitas serão COMUNS entre os 
três mas qual será a próxima vez que isso acontecerá? Qual é o MINIMO de dias pra isso 
acontecer, faremos então um MMC para saber: 
 
10,12,20 2 
 5,6,10 2 
 5,3,5 3 
 5,1,5 5 
 
 1,1,1 2 x 2 x 3 x 5 = 60 dias 
 
 
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Se a ultima visita foi no dia 12/10/2012 a próxima será 60 dias depois, CUIDADO, pois 60 dias não 
é exatamente 2 meses, pois o mês 10 tem 31 dias. 
 
Então do dia 12/10 à 12/11 são 31 dias, faltam 29. 
Do dia 12/11 à 12/12 são mais 30 dias (nov. tem 30 dias), como eu quero 29, a próxima visita 
será dia 11/12. 
 
Faça você 
9. Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida 
de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. 
Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. 
 
a) 1320 
b) 132 
c)120 
d) 60 
e) 22 
 
10. Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e Cíntia a 
cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável 
encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em 
a) 9 de dezembro de 2004. 
b) 10 de dezembro de 2004. 
c) 8 de Janeiro de 2005 
d) 9 de Janeiro de 2005 
e) 10 de Janeiro de 2005 
 
11. Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre determinada 
editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao 
completar um percurso de ida e volta, elas retomem imediatamente esse percurso. Se, em certo 
dia, as 3 carretas partirem simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas 
novamente dessa editora após 
a) 45 dias 
b) 60 dias 
c) 10 dias 
d) 15 dias 
e) 30 dias 
 
12. Em uma rodoviária, o ônibus da empresa Viaje Bem parte a cada 20 minutos e o ônibus da 
empresa Boa Viagem parte a cada 30 minutos. Supondo que os dois ônibus partem juntos às 6 
horas da manhã, depois de quanto tempo os ônibus das duas empresas devem partir juntos 
novamente? 
 
 
 
 
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MAXIMO DIVISOR COMUM 
 
O máximo divisor comum de dois ou mais números naturais é o maior natural que divide todos 
estes números. 
 
Exemplo: 
 
MDC (60,80) 
 
Divisores de 60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60} 
Divisores de 80 = {1,2,4,5,8,10,16,20,40,80} 
 
Divisores comuns = {1,2,4,5,10,20} 
Máximo Divisor Comum = {20} 
 
Entre tantos métodos de encontrar o MDC aqui será visto o mais simples e mais usado. 
Decompomos separadamente cada em fatores primos. 
 
60 2 80 2 
30 2 40 2 
15 3 20 2 
 5 5 10 2 
 5 5 
 1 2²x3x5 
 1 24x5 
 
MDC de 60 e 80 são os divisores comuns, ou seja, que se repete nas fatorações 
2² x 5 = 4 x 5 = 20. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo. 
Um auxiliar de enfermagem pretende usar a menor quantidade possível de gavetas para 
acomodar 120 frascos de um tipo de medicamento, 150 frascos de outro tipo e 225 frascos de um 
terceiro tipo. Se ele colocar a mesma quantidade de frascos em todas as gavetas, e 
medicamentos de um único tipo em cada uma delas, quantas gavetas deverá usar? 
a) 33 
b) 48 
c) 75 
d) 99 
IMPORTANTE: Como isso cai no concurso? 
- Maior tamanho possível 
- Menor número de pedaços 
- Não há sobras 
 
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e) 165 
Toda vez que aparecer a palavra “menor quantidade” estamos lidando com MDC, faremos então o 
MDC entre 120, 150 e 225. 
 
120 2 150 2 225 3 
 60 2 75 3 75 3 
 30 2 25 5 25 5 
 15 3 5 5 5 5 
 5 5 1 1 
 1 
 
 
Pegamos os divisores comuns entre 120, 150 e 225, mas atenção tem que ser comum nos 3 
números e multiplicamos. 
 
5 x 3 = 15. 
 
Já sabemos que são 15 gavetas, agora precisamos saber quantos remédios vai ter em cada 
gaveta, dividiremos o total de cada tipo de medicamente por 15 e somamos no final. 
 
120 : 15 = 8 
150 : 15 = 10 
225 : 15 = 15 8 + 10 + 15 = 33 
 
Alternativa A. 
 
Faça você 
 
11. Dois pedaços de madeira, um com 80 centímetros e outro com 120 centímetros, devem ser 
cortados em pedaços de tamanhos iguais, para que seja montada a estrutura de um pequeno 
armário. Para que os pedaços de madeira possuam o tamanho máximo possível, para que não 
haja desperdício, qual deve ser o comprimento de cada pedaço? 
 
 
12. Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 195 lápis e 216 
borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse 
contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o 
mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de 
cadernos que cada família ganhou foi: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 23 
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e) 24 
CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE 
 
Critérios de divisibilidade são regras simples que permitem verificar se determinado número 
inteiro A é múltiplo de um inteiro B, baseando-se em propriedades da sua representação decimal. 
 
A seguir estão apresentados critérios de divisibilidade (regras práticas) para alguns números 
inteiros de maior importância. 
 
Divisibilidade por 2. 
Um número natural é divisível por 2 se o seu último dígito é divisível por dois, isto é, se o número 
termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6 ou 8. Neste caso, diz-se que o número é par. 
 
Exemplos: 
5040 é divisível por 2, pois termina em 0, que é divisível por dois. 
237 não é divisível por 2, pois 7 não é um número par. 
 
 
Divisibilidade por 3. 
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores dos dígitos do numero natural tem como 
resultado um outro número divisível por 3. 
 
Exemplos: 
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como o nove é 
divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 
111 é divisível por três, pois a soma dos valores absolutos dos algarismos desse número é 3. 
156 é divisível por 3, pois a soma desses algarismos é igual a 12 (1+5+6=12) e 12 é divisível por 
3. 
 
Divisibilidade por 4. 
O número é divisível por 4 quando o número formado por seus dois últimos algarismos for 
divisível por 4 (isto inclui os números que terminamcom 00). 
 
Exemplo: 
36248900, é divisível por 4, pois termina em 00. 
35374928, é divisível por 4, pois os últimos dois dígitos (28) é divisível por 4. 
 
Divisibilidade por 5. 
Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for 0 ou 5. 
Exemplo: 
125, termina por 5. 
150, termina por 0. 
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81475, termina por 5. 
Divisibilidade por 6. 
Qualquer número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo: 
 
Exemplo: 
4962 é um número par, portanto é divisível por 2; Para saber se esse número é divisível também 
por 3, basta somar seus algarismos. Se o resultado dessa soma for divisível por 3, então 4962 
também será divisível por 3. (Confira: 4+9+6+2 = 21 ==> 21 é divisível por 3) 
Como 4962 é divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3, conclui-se que ele é divisível por 6. 
 
Divisibilidade por 8. 
Um número é divisível por 8 quando o antepenúltimo algarismo for par e os dois últimos formem 
um múltiplo de 8 (isto é: 00, 08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88 ou 96). Também são 
divisíveis por 8 os números com antepenúltimo algarismo ímpar e os dois últimos formando um 
múltiplo de 4 que não seja também múltiplo de 8 (isto é: 04, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60, 68, 76, 
84 ou 92). 
 
Exemplo: 
10840 → 8 é par e 40 é múltiplo de 8. 
15000 → 000. 
49736 → 7 é ímpar e 36 é múltiplo de 4, mas não de 8,logo 49736 é divisível por 8. 
 
Divisibilidade por 9. 
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível 
por 9. 
 
Exemplo: 
72 → 7 + 2 = 9 
1494 → 1 + 4 + 9 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9 
581472 → 5 + 8 + 1 + 4 + 7 + 2 = 27 → 2 + 7 = 9 
 
Divisibilidade por 10. 
Um número é divisível por 10 quando termina em zero. 
 
Exemplo: 
5000, 15340, 505000, 1000. 
 
Através desses critérios de divisibilidade faremos agora alguns problemas de raciocínio lógico com 
ênfase no assunto acima, que podem cair na prova. 
 
O produto dos primeiros 20 números primos é um número cujo último algarismo é o..... 
Alinharemos os 20 primeiros primos. 
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2 x 3 x 5 x 7 x 11 x... 
Ao invés de multiplicar todos os números, percebam que se multiplicarmos 2 x 5 o resultado é 10, 
e todas as outras multiplicações por 10 o resultados sempre termina em zero, logo se 
multiplicarmos todos os 18 primos restantes por 2x5 terá com a casa das unidades zero. 
 
Um problema onde você precisa usar muito mais o raciocínio. 
 
Faça você: 
13. O produto dos 100 primeiros números impares é um número que termina em... 
 
a) Somente por número impar. 
b) Termina em zero. 
c) Termina em 5. 
d) Termina por um número múltiplo de 3. 
e) Impossível determinar. 
 
 
Gabarito. 
 
1. d 
2. b 
3. b 
4. a) x=11 
 b) x=4 
 c) x=24/5 
 d) x=11 
 e) x=21/4 
 5. 8/3 
 6. R$ 4,20 
 7. b 
 8. 1/100 
9. e 
10. c 
11. b 
12. 1hora 
13. c 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO 3 – REGRA DE TRÊS 
 
RAZÃO E PROPORÇÃO. 
 
Além do básico da matemática aqui aprenderemos também um pouco de latim, isso mesmo latim 
(muito chic!), pois a palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre 
dois números A e B, denotada por 
A
B
. 
Exemplo: A razão entre 12 e 3 é 4, pois 
12
4
3

. 
 
A palavra proporção vem do latim proportione (te mete!!!) e significa uma relação entre as partes 
de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. 
 
Exemplo: 
6 10
3 5

, a proporção 
6
3
 é proporcional a 
10
5
. 
 
Numa proporção 
A C
B D

 
 
Os números A e D são denominados extremos enquanto os números B e C são os meios e vale a 
propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é: 
 
A D C B  
 
Dada a proporção 
12
3 9
x

 qual o valor de x? 
 
12
3 9
x

 
 
9 3 12
9 36
4
x
x
x
  


 
 
 
 
 
 
 
 
DICA: Usando também o conhecimento adquirido na aula anterior de igualar a incógnita essa regra 
acima se torna dispensável. 
 
 
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Faça você: 
1. A razão entre o preço de custo e o preço de venda de um produto é 
2
3
 . Se for vendida a R$ 
42,00 qual o preço de custo? 
 
2. Para a,b e c reais e diferentes de zero temos que a:b::b:c. Assim temos a expressão 22ac+3b
ac
é equivalente a: 
a) 1 
b) 2 + 3b² 
c) 5b² 
d) 2 + 5b² 
e) 5 
 
 
3. A razão entre dois números P e Q é 0,16. Determine P+Q, sabendo que eles são primos entre 
si? 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. 
 
A definição de grandeza está associada a tudo aquilo que pode ser medido ou contado. Como 
exemplo, citamos: comprimento, tempo, temperatura, massa, preço, idade e etc. 
 
As grandezas diretamente proporcionais estão ligadas de modo que à medida que uma grandeza 
aumenta ou diminui, a outra altera de forma proporcional. 
 
Exemplo: 
Um automóvel percorre 300 km com 25 litros de combustível. Caso o proprietário desse 
automóvel queira percorrer 120 km, quantos litros de combustível serão gastos? 
 
300 km 25 litros 
120 km x litros 
 
300 25
120
300.
25
120
300 25.120
3000
10
300
x
x
x
x x



  
 
 
 
 
 
 
DICA: Quando a regra de três é direta multiplicamos em diagonal, regra do DIDI. 
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Faça você: 
 
4. CESGRANRIO - 2012 - CMB - Assistente Técnico - Em um supermercado, a carne é 
acondicionada em embalagens com uma etiqueta contendo o preço unitário (o preço de 1 kg de 
carne), o peso líquido (a quantidade de carne contida na embalagem) e o total a ser pago. Certo 
dia, a balança eletrônica apresentou problemas e algumas etiquetas foram impressas com defeito, 
sendo omitidas algumas informações. As figuras I e II representam as etiquetas de duas 
embalagens do mesmo tipo de carne, com defeitos de impressão. 
 
 
 
O peso líquido, em kg, registrado na etiqueta representada na Figura II é. 
a) 0,305 
b) 0,394 
c) 3,94 
d) 0,35 
e) 0,42 
 
 
 
5. CESGRANRIO - 2012 - CMB - Assistente Técnico - Administrativo - No país X, a 
moeda é o PAFE e, no país Y, a moeda é o LUVE. Se 1,00 PAFE é equivalente a 0,85 LUVES, então 
17,00 LUVES equivalem a quantos PAFES? 
a) 14,45 
b) 17,00 
c) 20,00 
d) 144,50 
e) 200,00 
 
 
6. CESGRANRIO - 2008 - ANP - Técnico Administrativo - Em fevereiro, Mário pagou, na 
conta de seu telefone celular, 264 minutos de ligações. Analisando a conta, ele percebeu que, 
para cada 3 minutos de ligações para telefones fixos, ele havia feito 8 minutos de ligações para 
outros telefones celulares. Quantos minutos foram gastos em ligações para telefones celulares? 
 
a) 72 
b) 88 
c) 144 
d) 154 
e) 192 
 
 
 
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GRANDEZA INVERSAMENTE PROPORCIONAL.Entendemos por grandezas inversamente proporcionais as situações onde ocorrem operações 
inversas, isto é, se dobramos uma grandeza, a outra é reduzida à metade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
12 operários constroem uma casa em 6 semanas. 8 operários, nas mesmas condições, 
construiriam a mesma casa em quanto tempo? 
12 op. 6 semanas 
8 op. x semanas 
 
Antes de começar a fazer, vamos pensar... diminuiu o numero de funcionários, será que a 
velocidade da obra vai aumentar? É claro que não, assim enquanto um lado diminui o outro 
aumenta, inversamente proporcional, multiplicamos lado por lado. 
8 12 6
8 72
72
9
8
x
x
x x
  

  
 
 
 
 
Faça você: 
7. Diga se é diretamente ou inversamente proporcional: 
 
a) Número de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que terá que ser comprada. 
b) A área de um retângulo e o seu comprimento, sendo a largura constante. 
c) Número de erros em uma prova e a nota obtida. 
d) Número de operários e o tempo necessário para eles construírem uma casa. 
e) Quantidade de alimento e o número de dias que poderá sobreviver um náufrago. 
 
 
8. (FCC) Para realizar um determinado trabalho, quatro operários, rotineiramente e trabalhando 
juntos, gastam um total de 12 horas. Planejando terminar o trabalho mais rapidamente cinco 
operários são alocados para realizar esse mesmo trabalho. Devido à diminuição do espaço físico 
DICA: Quando a regra de três é inversa multiplicamos lado por lado, regra da LALA. 
Dias 
H/d Op. 
inv 
Dica !!!! 
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para a realização do trabalho, a produtividade de cada operário, para um mesmo intervalo de 
tempo, cai 10% em relação à produtividade de cada operário na situação com apenas quatro 
operários atuando. Levando-se em conta apenas essas informações, o tempo ganho ao se 
acrescentar mais um operário foi de 
a) 2 horas e 20 minutos. 
b) 1 hora. 
c) 1 hora e 40 minutos. 
d) 2 horas. 
e) 1 hora e 20 minutos. 
 
 
9. Uma expedição foi programada para durar 120 dias. O número de participantes inicialmente era 
N e o consumo de alimentos é considerado constante em cada dia e igual a todos participantes. 
48 dias após o inicio da expedição, chegaram 30 novas pessoas que estavam perdidas no mato. 
Devido aos alimentos, a expedição teve que retornar 27 dias antes do previsto. Quantas pessoas 
compunham inicialmente a expedição? 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA. 
 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou 
inversamente proporcionais. Muita gente “boa” se atrapalha nesse tipo de problema, o que não 
vai ser o caso de vocês. 
Como montamos um problema de regra de três composta? 
Vejamos o exemplo abaixo. 
 
Exemplo: 
Vinte operários constroem 80 m de muro em 1 dia trabalhando 10h/dia. Em quanto tempo, 30 
operários construirão 90 m de muro trabalhando 6h/dia? 
 
 
20 op. 80m 1 dia 10h/dia 
 
30 op. 90m x dia 6 h/dia 
 
Numa regra de três composta tomamos como mais importante a coluna com a variável, esta 
coluna será nosso “apoio” da montagem da questão, vamos comparar parte por parte saber se vai 
ser diretamente ou inversamente proporcional. Antes disso simplificamos o que der pra simplificar. 
2 op. 1 dia 
3 op. x dias 
 
Se 20 operários fazem um certo trabalho em 1 dia 30 operários farão menos dias, logo essa regra 
de três é inversamente proporcional, LALA. 
3 2 1x  
 
 
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 8 m 1 dia 
 9 m x dias 
 
Para fazer 80m de certo trabalho gasta-se 1 dia para fazer o mesmo trabalho mas aumentar para 
90m precisaremos de mais dias, logo essa regra de três é diretamente proporcional, DIDI. 
3 8 2 1 9x     
 
Por fim, 
 10h/dia 1 dia 
 6h/dia x dias 
 
Certo trabalho é feito em um dia trabalhando numa carga horária de 10h/dia, mudando essa 
carga horária para 6h/dia precisaremos de mais tempo para concluir o trabalho, inversamente 
proporcional, LALA. 
3 8 6 2 1 9 10
144 180
180
1,25
144
x
x
x
      

 
 
1 dia + ¼ dia = 1 dia 1 hora e 30 minutos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faça você: 
 
10. (Carlos Chagas) Franco e Jade foram encubidos de digitar os laudos de um texto. Sabe-se que 
ambos digitaram suas partes com velocidades constantes e que a velocidade de Franco era 80% 
de Jade. Nessas condições, se Jade gastou 10 min para digitar 3 laudos, o tempo gasto por 
Franco para digitar 24 laudos foi? 
a) 1h e 15 min 
b) 1h e 20 min. 
c) 1h e 30 min. 
d) 1h e 40 min. 
e) 2h. 
 
 
 
11. FCC - 2012 - MPE-PE - Analista Ministerial - Área Jurídica - O dono de uma obra 
verificou que, com o ritmo de trabalho de 15 trabalhadores, todos trabalhando apenas 4 horas por 
1h30min 
1h30min 
1h30min 
1h30min 
¼ de 6h 
¼ de 6h 
¼ de 6h 
¼ de 6h 
6h/dia 
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dia, o restante de sua obra ainda levaria 12 dias para ser encerrado. Para terminar a obra com 9 
dias de trabalho o dono da obra resolveu alterar o número de horas de trabalho por dia dos 
trabalhadores. Com a proposta feita, cinco trabalhadores se desligaram da obra. Com o pessoal 
reduzido, o 
número de horas de trabalho por dia aumentou ainda mais e, mesmo assim, houve acordo e as 
obras foram retomadas, mantendo-se o prazo final de 9 dias. Após três dias de trabalho nesse 
novo ritmo de mais horas de trabalho por dia, cinco trabalhadores se desligaram da obra. O dono 
desistiu de manter fixa a previsão do prazo, mas manteve o número de horas de trabalho por dia 
conforme o acordo. Sendo assim, os trabalhadores restantes terminaram o que faltava da obra 
em uma quantidade de dias igual a 
 
a) 42 
b) 36 
c) 24 
d) 12 
 
12. FCC - 2011 - TRT - 19ª Região (AL) - Analista Judiciário - Arquivologia - Em uma 
campanha publicitária, foram encomendados, em uma gráfica, quarenta e oito mil folhetos. O 
serviço foi realizado em seis dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por 
dia. Dado o sucesso da campanha, uma nova encomenda foi feita, sendo desta vez de setenta e 
dois mil folhetos. Com uma das máquinas quebradas, a gráfica prontificou-se a trabalhar doze 
horas por dia, entregando a encomenda em 
a) 7 dias. 
b) 8 dias. 
c) 10 dias. 
d) 12 dias. 
e) 15 dias 
 
GABARITO: 
1. R$ 28,00 
2. E 
3. R$ 29,00 
4. E 
5. C 
6. E 
7. a) DP b) DP c) IP d) IP e) DP 
8. E 
9. 45 
10. D 
11. E 
12. D 
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MÓDULO 4 – PROPORÇÕES 
 
PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES. 
 
Imaginem uma receita de bolo. 
 
1 Receita: 
 
 
 
 
 
 
½ receita: 
 
 
 
 
 
2 receitas: 
 
 
 
 
1
1
2
 Receitas: 
 
 
 
 
 
Então se houver, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 xícaras de farinha – 6 ovos - 240 ml de leite – 180 g de açúcar 
A B 
2 xícaras de farinha – 3 ovos - 120 ml de leite – 90 g de açúcar 
C D 
8 xícaras de farinha – 12 ovos - 480 ml de leite – 360 g de açúcar 
E F 
6 xícaras de farinha – 9 ovos - 360 ml de leite– 270 g de açúcar 
G H 
14 xícaras de farinha – x ovos - y ml de leite – z g de açúcar 
G H 
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Teremos que calcular x, y e z por regra de três (Proporções). 
 
1. 
A B A C
 ou 
C D B D
 
 
 
2. 
A B B D A B C D
 ou 
A B A C
   
 
 
 
 
3. 
F P G Q F P G Q
 ou 
P Q F G
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a 
soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). 
 
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE. 
 
Considere as informações na tabela: 
 
A B 
5 10 
6 12 
7 14 
 9 18 
13 26 
15 30 
 
 
 
 
Deixa ver se eu entendo: 
Tudo que vale no “bolo” vale nas 
proporções. Perfeito!!!!! 
As colunas A e B são iguais, mas são PROPORCIONAIS. 
Então, podemos escrever: 
 
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Toda a proporção se transforma em 
uma desigualdade quando multiplicada 
por uma constante 
 
 
Assim podemos afirmar que: 5k 10
6k 12
9 18k





 
 
Onde a constante de proporcionalidade k é igual a dois. 
 
 
Exemplo 1: 
A idade de meu pai está para a idade do filho assim como 9 está para 4. Determine essas idades 
sabendo que a diferença entre eles é de 35 anos. 
 
9
4
35
P
F
P F





  
 
 
Como já vimos as proporções ocorrem tanto “verticalmente” como “horizontalmente”. Então 
podemos dizer que: 
P está para 9 
Assim como 
F está para 4. 
 
Simbolicamente, 
9
4
P
F


 
 
Usando a propriedade de que “toda proporção se transforma em uma igualdade quando 
multiplicada por uma constante”, temos: 
 
P = 9k e F = 4k 
 
Logo a expressão fica: 
P – F = 35 
9k – 4k = 35 
5k = 35 
K = 7 
Assim, P = 9 x 7= 63 e F = 4 x 7 = 28 
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Faça você: 
1. 
x y
Se e x y 154
9 13
  
 determine x e y: 
 
 
2. 
21 x 5
x y e 
10 y 16
  
 Determine x e y. 
 
 
3. A idade do pai está para a idade do filho assim como 7 está para 3. Se a diferença entre essas 
idades é 32 anos, determine a idade de cada um. 
 
DIVISÃO PROPORCIONAL. 
 
Exemplo 1. 
Vamos imaginar que temos 120 bombons para distribuir em partes diretamente proporcionais a 3, 
4 e 5, entre 3 pessoas A, B e C, respectivamente: 
 
Num total de 120 bombons, k representa a quantidade de bombons que cada um receberá. 
Pessoa A - 
k k k
= 3k 
Pessoa B - 
k k k k
 = 4k 
Pessoas C - 
k k k k k
 = 5k 
 
Se A + B + C = 120 então 3k + 4k + 5k = 120 
3k + 4k + 5k = 120 
12k = 120 
K = 10 
 
Assim, 
Pessoa A receberá 
3 10 30 
 
Pessoas B receberá 
4 10 40 
 
Pessoas C receberá 
5 10 50 
 
 
Exemplo 2: 
Dividir o número 810 em partes diretamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 5/6. 
Primeiramente tiramos o mínimo múltiplo comum entre os denominadores 3, 4 e 6. 
 
2 3 5 8 9 10
 
3 4 6 12 12 12

 
 
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Depois de feito o denominador e encontrado frações equivalentes a 2/3, 3/4 e 5/6 com 
denominador 12 trabalhares apenas com os numeradores ignorando o denominador, pois como 
ele é comum nas três frações não precisamos trabalhar com ele mais. 
 
Podemos então dizer que: 
8K + 9K + 10K = 810 
27K = 810 
K = 21. 
 
Por fim multiplicamos, 
8 30 240
9 30 270
10 30 300
 
 
 
 
240, 270 e 300. 
 
Exemplo 3. 
 
Dividir o número 305 em partes inversamente proporcionais a 3/8, 5 e 5/6. 
 
 
O que muda quando diz inversamente proporcional? 
Simplesmente invertemos as frações pelas suas inversas. 
 
 
3 8
8 3
1
5
5
5 6
6 5



 Depois disto usamos o mesmo método de calculo. 
 
8 1 6 40 3 18
 
3 5 5 15 15 15

 
 
Ignoramos o denominador e trabalhamos apenas com os numeradores. 
40K + 3K + 18K = 305 
61K = 305 
K = 5 
 
Por fim, 
40 5 200
3 5 15
18 5 90
 
 
 
 
Inversamente 
proporcional? Ferrou!! 
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200, 15 e 90 
 
Exemplo 4. 
Dividir o número 118 em partes simultaneamente proporcionais a 2, 5, 9 e 6, 4 e 3. 
 
Primeira regra que temos que aprender num problema como esse é deixar todas as seqüências 
diretamente proporcionais, como aqui já estão não precisamos nos preocupar com isso. 
Uma vez direta, multiplicamos suas proporcionalidades. 
2 5 9
x x x
6 4 3
 
 
12 20 27, ficando então, 
 
12K + 20K + 27K = 118 
59K = 118 
K = 2 
 
Tendo então, 
12 2 24
20 2 40
27 2 54
 
 
 
 24, 40 e 54. 
 
CASOS PARTICULARES. 
 
João, sozinho, faz um serviço em 10 dias. Paulo, sozinho, faz o mesmo serviço em 15 dias. Em 
quanto tempo fariam juntos esse serviço? 
Primeiramente temos que padronizar o trabalho de cada um, neste caso já esta padronizado, pois 
ele fala no trabalho completo, o que poderia ser dito a metade do trabalho feito em um certo 
tempo. 
Se Paulo faz o trabalho em 10 dias isso significa que ele faz 1/10 do trabalho por dia. 
Na mesma lógica, João faz 1/15 do trabalho por dia. 
Juntos o rendimento diário é de 
1 1 3 2 5 1
10 15 30 30 30 6
    
 
 
Se em um dia eles fazem 1/6 do trabalho em 6 dias os dois juntos completam o trabalho. 
 
 
 
 
 
 
Sempre que as capacidades forem diferentes, mas o serviço a ser feito for o mesmo, seguimos a 
seguinte regra: 
1 2 T
1 1 1
t t t (tempo total)
 
 
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Faça você: 
 
 
4. Dividir o número 180 em partes diretamente proporcional a 2,3 e 4. 
 
 
 
5. Dividir o número 810 em partes diretamente proporcionais a 2/3, 3/4 e 5/6. 
 
 
 
6. Dividir o número 48 em partes inversamente proporcionais a 1/3, 1/5 e 1/8. 
 
 
 
7. Divida o número 250 em partes diretamente proporcionais a 15, 9 e 6. 
Dica: trabalhar com a fração, nunca com dizima periódica. 
 
 
8. Dividir o número 148 em partes diretamente proporcional a 2, 6 e 8 e inversamente 
proporcionais a 1/4, 2/3 e 0,4. 
 
 
 
9. Dividir o número 670 em partes inversamente proporcionais simultaneamente a 2/5, 4, 0,3 e 6, 
3/2 e 2/3. 
 
 
10. Dividir o número 670 em partes inversamente proporcionais e simultaneamente a 2/5, 4, 0,3 e 
6, 3/2 e 0,4. 
 
 
11. Divida o número 662 em parcelas inversamente proporcionais a 14, 27 e 15. 
 
 
 
12. Divida o número 600 em partes diretamente proporcionais a 12, 4, 2 e 6 e inversamente 
proporcionais a 6, 2, 3 e 18, respectivamente. 
 
 
 
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13. Divida o número 579 em partes diretamente proporcionais a 7, 4 e 8 e inversamente 
proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. 
 
 
 
14.Uma herança foi dividida entre 3 pessoas em partes diretamente proporcionais às suas idades 
que são 32, 38 e 45. 
Se o mais novo recebeu R$ 9 600, quanto recebeu o mais velho? 
 
 
 
15. Uma empresa dividiu os lucros entre seus sócios, proporcionais a 7 
e 11. Se o 2º sócio recebeu R$ 20 000 a mais que o 1º sócio, quanto recebeu cada um? 
 
 
 
16. Os três jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador irão receber um 
prêmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao número de faltas 
cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiação 
referente a cada um deles respectivamente? 
 
 
 
17. Três sócios devem dividir proporcionalmente o lucro de R$ 30.000,00. O sócio A investiu R$ 
60.000,00, o sócio B R$ 40.000,00 e o sócio R$ 50.000,00. Qual a parte correspondente de cada 
um? 
 
 
 
18. Quatro amigos resolveram comprar um bolão da loteria. Cada um dos amigos deu a seguinte 
quantia: 
Carlos: R$ 5,00 
Roberto: R$ 4,00 
Pedro: R$ 8,00 
João: R$ 3,00 
Se ganharem o prêmio de R$ 500.000,00, quanto receberá cada amigo, considerando que a 
divisão será proporcional à quantia que cada um investiu? 
 
 
 
 
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19. (Carlos Chagas) Certo mês o dono de uma empresa concedeu a dois de seus funcionários uma 
gratificação no valor de R$ 500. Essa gratificação foi dividida entre eles em partes que eram 
diretamente proporcionais aos respectivos números de horas de plantões que cumpriram no mês 
e, ao mesmo tempo, inversamente proporcional à suas respectivas idades. Se um dos funcionários 
tem 36 anos e cumpriu 24h de plantões e, outro, de 45 anos cumpriu 18h, coube ao mais jovem 
receber: 
a) R$ 302,50 
b) R$ 310,00 
c) R$ 312,50 
d) R$ 325,00 
e) R$ 342,50 
 
 
20. (Carlos Chagas) Na oficina de determinada empresa há um certo número de aparelhos 
elétricos a serem reparados. Incumbidos de realizar tal tarefa, dois técnicos dividiram o total de 
aparelhos a serem arrumados entre si, na razão inversa de seus respectivos tempo de serviço na 
empresa: 8 anos e 12 anos. Assim, se a um deles coube 9 aparelhos o total a serem reparados é 
de: 
a) 21 
b) 20 
c) 18 
d) 15 
e) 12 
 
 
21. Três sócios formam uma empresa. O sócio A entrou com R$ 2 000 e trabalha 8h/dia. O sócio 
B entrou com R$ 3 000 e trabalha 6h/dia. O sócio C entrou com R$ 5 000 e trabalha 4h/dia. Se, 
na divisão dos lucros o sócio B recebe R$ 90 000, quanto recebem os demais sócios? 
 
 
 
 
22. Certa herança foi dividida de forma proporcional às idades dos herdeiros, que tinham 35, 32 e 
23 anos. Se o mais velho recebeu R$ 525,00 quanto coube o mais novo? 
 
a) R$ 230,00 
b) R$ 245,00 
c) R$ 325,00 
d) R$ 345,00 
e) R$ 350,00
 
 
23. Na sucessão de números inversamente proporcionais 6, 16, 4 e 8, x, 12 o valor de x é: 
 
a) 10 
b) 8 
c) 3 
d) 4 
e) 6 
 
 
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24. Uma torneira enche um tanque em 3 h, sozinho. Outra torneira enche o mesmo tanque em 4 
h, sozinho. Um ralo esvazia todo o tanque sozinho em 2 h. Estando o tanque vazio, as 2 torneiras 
abertas e o ralo aberto, em quanto tempo o tanque encherá? 
 
 
 
GABARITO: 
 
1. x = 63 e y = 91 
2. x = 0,5 e y = 1,6 
3. Idade do pai é 53 e idade do filho é 24. 
7. 125, 75 e 50. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. R$ 135 000. 
15. R$ 35 000 e R$ 55 000. 
16. 
17. A = R$ 12.000 B = R$ 8.000 C = R$ 
10.000 
18. Carlos: R$ 125 000, Roberto: R$ 100 000, 
Pedro: R$ 200 000 e João: R$ 75 000. 
19. C 
20. D 
21. A = R$ 80 000, B = R$ 90 000 e C = R$ 
100 000 
22. D 
23.C 
24. 12 horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MÓDULO 5 – PORCENTAGEM 
 
TAXA UNITÁRIA 
 
DEFINIÇÃO: Quando pegamos uma taxa de juros e dividimos o seu valor por 100, 
encontramos a taxa unitária 
 
A taxa unitária é importante para nos auxiliar a desenvolver todos os cálculos em matemática 
financeira. 
 
Pense na expressão 20% (vinte por cento), ou seja, essa taxa pode ser representada por uma 
fração cujo numerador é igual a 20 e o denominador é igual a 100. 
 
 
COMO FAZER 
 
10
10% 0,10
100
20
20% 0,20
100
5
5% 0,05
100
38
38% 0,38
100
1,5
1,5% 0,015
100
230
230% 2,3
100
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATOR DE CAPITALIZAÇÃO 
 
Vamos imaginar que certo produto sofreu um aumento de 20% sobre o seu valor inicial. Qual 
novo valor deste produto? 
 
Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas 
podemos fazer a afirmação abaixo: 
 
O produto valia 100% e sofreu um aumento de 20%. Logo, está valendo 120% do seu valor 
inicial. 
 
Como vimos no tópico anterior (taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos 
utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. 
 
1.2.1 AGORA É A SUA VEZ: 
 
15% 
20% 
4,5% 
254% 
0% 
63% 
24,5% 
6% 
 
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120
Fator de Capitalização = 1,2
100

 
 
O Fator de capitalização é um número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para 
obter como resultado final o seu novo preço, acrescido do percentual de aumento que desejo 
utilizar. 
 
Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu 
fator de capitalização (por 1,2) para conhecer seu novo preço. Nesse exemplo, será de R$ 60,00. 
 
 
CALCULANDO O FATOR DE CAPITALIZAÇÃO: Basta somar 1 com a taxa unitária. Lembre-se 
que 1 = 100/100 = 100% 
 
COMO CALCULAR: 
o Acréscimo de 45% = 100% + 45% = 145% = 145/ 100 = 1,45 
o Acréscimo de 20% = 100% + 20% = 120% = 120/ 100 = 1,2 
 
 
ENTENDENDO O RESULTADO: 
Para aumentar o preço do meu produto em 20%, deve-se multiplicar o preço por 1,2. 
 
Exemplo: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um acréscimo de 20% passará a 
custar 1.500 x 1,2 (fator de capitalização para 20%) = R$ 1.800,00 
 
 
 
COMO FAZER: 
 
Acréscimo de 30% 1,3
Acréscimo de 15% 1,15
130
 = 100% + 30% = 130% = 
100
115
 = 100% + 15% = 115% = 
100
103
 = 1Acréscimo de 3% 1,03
Acréscimo de 20
00% + 3% = 103% = 
100
300
 = 100% + 200% = 30 00% = 
0
% 3
1 0




 
 
 
 
 
 
 
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AGORA É A SUA VEZ: 
 
Acréscimo Calculo Fator 
15% 
20% 
4,5% 
254% 
0% 
63% 
24,5% 
6% 
 
 
FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO 
 
Vamos imaginar que certo produto sofreu um desconto de 20% sobre o seu valor inicial. Qual 
novo valor deste produto? 
 
Claro que, se não sabemos o valor inicial deste produto, fica complicado para calcularmos, mas 
podemos fazer a afirmação abaixo: 
 
O produto valia 100% e sofreu um desconto de 20%. Logo, está valendo 80% do seu valor inicial. 
 
Como vimos no tópico anterior (1.1 taxas unitárias), podemos calcular qual o fator que podemos 
utilizar para calcular o novo preço deste produto após o acréscimo. 
 
80
Fator de Descapitalização= 0,8
100

 
 
O Fator de descapitalização é o número pelo qual devo multiplicar o preço do meu produto para 
obter como resultado final o seu novo preço, considerando o percentual de desconto que desejo 
utilizar. 
 
Assim, se o meu produto custava R$ 50,00, por exemplo, basta multiplicar R$ 50,00 pelo meu 
fator de descapitalização por 0,8 para conhecer seu novo preço, neste exemplo será de R$ 40,00. 
 
CALCULANDO O FATOR DE DESCAPITALIZAÇÃO: Basta subtrair o valor do desconto 
expresso em taxa unitária de 1, lembre-se que 1 = 100/100 = 100% 
 
COMO CALCULAR: 
o Desconto de 45% = 100% - 45% = 65% = 65/ 100 = 0,65 
o Desconto de 20% = 100% - 20% = 80% = 80/ 100 = 0,8 
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ENTENDENDO O RESULTADO: 
Para calcularmos um desconto no preço do meu produto de 20%, devemos multiplicar o valor 
desse produto por 0,80. 
 
Exemplo 1.4.1: um produto que custa R$ 1.500,00 ao sofrer um desconto de 20% passará 
a custar 1.500 x 0,80 (fator de descapitalização para 20%) = R$ 1.200,00 
 
 
COMO FAZER: 
 
Desconto de 30% 0,7
Desconto de 15% 0,85
70
 = 100% 30% = 70% = 
100
85
 = 100% 15% = 85% = 
100
97
 = 1Desconto de 3% 0,97
Desconto de 
00% 3% = 97% = 
100
50
 = 100% 50% = 50% = 
100
50% 0,5
 
 
 
 
 
 
 
AGORA É A SUA VEZ: 
 
Desconto Calculo Fator 
15% 
20% 
4,5% 
254% 
0% 
63% 
24,5% 
6% 
 
 
ACRÉSCIMO E DESCONTO SUCESSIVO 
 
 
Um tema muito comum abordado nos concursos é os acréscimos e os descontos sucessivos. Isso 
acontece pela facilidade que os candidatos tem em se confundir ao resolver uma questão desse 
tipo. 
 
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O erro cometido nesse tipo de questão é básico: o de somar ou subtrair os percentuais, sendo 
que na verdade o candidato deveria multiplicar os fatores de capitalização e descapitalização. 
 
Vejamos abaixo um exemplo de como é fácil se confundir se não temos estes conceitos bem 
definidos: 
 
Exemplo: 
Os bancos vêm aumentando significativamente as suas tarifas de manutenção de contas. Estudos 
mostraram um aumento médio de 30% nas tarifas bancárias no 1º semestre de 2009 e de 20% 
no 2° semestre de 2009. Assim, podemos concluir que as tarifas bancárias tiveram em média suas 
tarifas aumentadas em: 
a) 50% 
b) 30% 
c) 150% 
d) 56% 
e) 20% 
 
Ao ler esta questão, muitos candidatos se deslumbram com a facilidade e quase por impulso 
marcam como certa a alternativa “a” (a de “apressadinho”). 
 
Ora, estamos falando de acréscimos sucessivos. Vamos considerar que a tarifa média mensal de 
manutenção de conta no início de 2009 seja de R$ 10,00, logo teremos: 
 
Após receber um acréscimo de 30%: 
10,00 x 1,3 (ver tópico 1.3) = 13,00 
 
Agora, vamos acrescentar mais 20% referente ao aumento dado no 2° semestre de 2009: 
13,00 x 1,2 (ver tópico 1.3) = 15,60 
 
Ou seja, as tarifas estão 5,60 mais caras que o início do ano. 
Como o valor inicial das tarifas era de R$ 10,00, concluímos que elas sofreram uma alta de 56%, 
e não de 50% como parecia inicialmente. 
 
 
COMO RESOLVER A QUESTÃO ACIMA DE UMA FORMA MAIS DIRETA: 
 
Basta multiplicar os fatores de capitalização, como aprendemos no tópico 1.3: 
o Fator de Capitalização para acréscimo de 30% = 1,3 
o Fator de Capitalização para acréscimo de 20% = 1,2 
 
1,3 x 1,2 = 1,56 
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Como o produto custava inicialmente 100% e sabemos que 100% é igual a 1 (ver módulo 1.2), 
logo, as tarifas sofreram uma alta média de: 1,56 – 1 = 0,56 = 56% 
 
 
COMO FAZER 
 
Exemplo 1.5.2: Um produto sofreu em janeiro de 2009 um acréscimo de 20% dobre o seu valor, 
em fevereiro outro acréscimo de 40% e em março um desconto de 50%. Neste caso podemos 
afirmar que o valor do produto após a 3ª alteração em relação ao preço inicial é: 
a) 10% maior 
b) 10 % menor 
c) Acréscimo superior a 5% 
d) Desconto de 84% 
e) Desconto de 16% 
 
Resolução: 
Fator para um aumento de 20% = 100% + 20% = 100/100 + 20/100 = 1+0,2 = 1,2 
Aumento de 40% = 100% + 40% = 100/100 + 40/100 = 1 + 0,4 = 1,4 
Desconto de 50% = 100% - 50% = 100/100 - 50/100 = 1 - 0,5 = 0,5 
 
Assim: 1,2 x 1,4 x 0,5 = 0,84 (valor final do produto) 
Como o valor inicial do produto era de 100% e 100% = 1, temos: 
1 – 0,84 = 0,16 
Conclui-se então que este produto sofreu um desconto de 16% sobre o seu valor inicial. 
(Alternativa E) 
 
 
Exemplo: O professor Ed perdeu 20% do seu peso de tanto “trabalhar” na véspera da prova do 
concurso público da CEF, após este susto, começou a se alimentar melhor e acabou aumentando 
em 25% do seu peso no primeiro mês e mais 25% no segundo mês. Preocupado com o excesso 
de peso, começou a fazer um regime e praticar esporte e conseguiu perder 20% do seu peso. 
Assim o peso do professor Ed em relação ao peso que tinha no início é: 
 
a) 8% maior 
b) 10% maior 
c) 12% maior 
d) 10% menor 
e) Exatamente igual 
 
Resolução: 
Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 
Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 
Aumento de 25% = 100% + 25% = 100/100 + 25/100 = 1 + 0,25 = 1,25 
Perda de 20% = 100% - 20% = 100/100 – 20/100 = 1 – 0,2 = 0,8 
 
Assim: 0,8 x 1,25 x 1,25 x 0,8 = 1 
Conclui-se então que o professor possui o mesmo peso que tinha no início. (Alternativa E) 
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AGORA É SUA VEZ 
 
 
QUESTÃO 1.5.1 (VUNESP) - O mercado total de um determinado produto, em número de 
unidades vendidas, é dividido por apenas duas empresas, D e G, sendo que em 2003 a empresa D 
teve 80% de participação nesse mercado. Em 2004, o número de unidades vendidas pela 
empresa D foi 20% maior que em 2003, enquanto na empresa G esse aumento foi de 40%. 
Assim, pode-se afirmar que em 2004 o mercado total desse produto cresceu, em relação a 2003, 
(A) 24 %. 
(B) 28 %. 
(C) 30 %. 
(D) 32 %. 
(E) 60 %. 
 
 
 
 
QUESTÃO 1.5.2 (VUNESP) Ana e Lúcia são vendedoras em uma grande loja. Em maio elas 
tiveram exatamente o mesmo volume de vendas. Em junho, Ana conseguiu aumentar em 20% 
suas vendas, em relação a maio, e Lúcia, por sua vez, teve um ótimo resultado, conseguindo 
superar em 25% as vendas de Ana, em junho. Portanto, de maio para junho o volume de vendas 
de Lúcia teve um crescimento de: 
(A) 35%. 
(B) 45%. 
(C) 50%. 
(D) 60%. 
(E) 65%. 
 
 
 
Resolução questão 1.5.1 
 
Considerando o tamanho total do mercado em 2003 sendo 100%, e sabendo que ele é totalmente 
dividido entre o produto D (80%) e o produto G (consequentemente, 20%): 
 
 2003 2004 
Produto D 0,8 Aumento de 20% = 0,8 * 1,2 = 0,96 
Produto G 0,2 Aumento de 40% = 0,2 * 1,4 = 0,28 
TOTAL: 1 0,96 + 0,28 = 1,24 
 
Se o tamanho total do mercado era de 1 em 2003 e passou a ser de 1,24 em 2004, houve um 
aumento de 24% de um ano para o outro. Resposta: alternativa A 
 
 
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Resolução questão 1.5.2 
 
Como não sabemos as vendas em maio, vamos considerar as vendas individuais em 100% para 
cada vendedora. A diferença para o problema anterior é que, no anterior, estávamos tratando o 
mercado como um todo. Nesse caso, estamos calculando as vendas individuais de cada 
vendedora. 
 
 Maio