Lista de Exercícios A2 Deflexão de Vigas e Flambagem

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FAACZ - FACULDADES INTEGRADAS DE ARACRUZ 
 
Curso: Engenharias Mecânica e Civil 
Disciplina: Resistência dos Materiais II 
Professor: Artur Guimarães Maioli 
Data: 30/10/2017 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS A2 - DEFLEXÃO DE VIGAS E FLAMBAGEM 
 
Exercício 1 – Determine a equação da linha elástica para a viga utilizando a coordenada 
𝑥 válida para 0 ≤ 𝑥 < 𝐿 2⁄ . Especifique a inclinação em A e a deflexão máxima da viga. 
EI é constante. 
 
 
RESPOSTA: 𝑣 =
𝑃𝑥
48𝐸𝐼
(4𝑥2 − 3𝐿2) ; 𝜃𝐴 = −
𝑃𝐿2
16𝐸𝐼
 ; 𝑣𝑚á𝑥 = −
𝑃𝐿3
48𝐸𝐼
 
 
 
Exercício 2 – Determine as equações da linha elástica para a viga utilizando as 
coordenadas 𝑥1 e 𝑥2. Especifique a deflexão máxima da viga. EI é constante. 
 
 
RESPOSTA: 𝑣1 =
𝑃𝑥1
12𝐸𝐼
(−𝑥1
2 + 𝐿2) ; 𝑣2 =
𝑃
24𝐸𝐼
(−4𝑥2
3 + 7𝐿2𝑥2 − 3𝐿
3) ; 𝑣𝑚á𝑥 = −
𝑃𝐿3
8𝐸𝐼
 
Exercício 3 – Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas 𝑥1 e 𝑥2. 
 
 
RESPOSTA: 𝑣1 =
𝑃
6𝐸𝐼
[3(𝐿 − 𝑎)2𝑥1 − 3𝑎(𝐿 − 𝑎)
2 − 2(𝐿 − 𝑎)3] ; 
 𝑣2 =
𝑃
6𝐸𝐼
[𝑥2
3 − 3(𝐿 − 𝑎)𝑥2
2] 
 
 
Exercício 4 – Determine a equação da linha elástica para a viga utilizando a coordenada 
𝑥. Especifique a inclinação em A e a deflexão máxima. EI é constante. 
 
 
RESPOSTA: 𝑣 =
𝑀0
6𝐸𝐼𝐿
(3𝐿𝑥2 − 𝑥3 − 2𝐿2𝑥) ; 𝜃𝐴 = −
𝑀0𝐿
3𝐸𝐼
 ; 𝑣𝑚á𝑥 = −
0,0642𝑀0𝐿
2
𝐸𝐼
 
 
 
Exercício 5 – O eixo é suportado em A por mancal de apoio que exerce somente reações 
verticais sobre o eixo e em B por um mancal de encosto que exerce reações horizontais 
e verticais sobre o eixo. Determine as equações da linha elástica usando as coordenadas 
𝑥1 e 𝑥2. EI é constante. 
 
RESPOSTA: 𝑣1 =
1
𝐸𝐼
(150𝑥1
2 − 85𝑥1 + 9,375) ; 𝑣2 =
1
𝐸𝐼
(125𝑥2
3 − 20𝑥2) 
 
 
Exercício 6 – Determine as equações da linha elástica utilizando as coordenadas 𝑥1 e 𝑥2 
e especifique a inclinação e a deflexão em B. EI é constante. 
 
 
RESPOSTA: 𝑣1 =
𝑤
24𝐸𝐼
(−𝑥1
4 + 4𝑎𝑥1
3 − 6𝑎2𝑥1
2) ; 𝑣2 =
𝑤𝑎3
24𝐸𝐼
(−4𝑥2 + 𝑎) 
 𝜃𝐵 = −
𝑤𝑎3
6𝐸𝐼
 ; 𝑣𝐵 =
𝑤𝑎3
24𝐸𝐼
(−4𝐿 + 𝑎) 
 
 
Exercício 7 – A viga em balanço com perfil W200 x 71 feita de aço A-36 (𝐸 = 200 GPa) 
é submetida à carga mostrada na figura. Determine o deslocamento em C e a inclinação 
em A. W200 x 71 (𝐼𝑥 = 76,6 × 10
6 mm4). 
 
 
RESPOSTA: ∆𝐶= 5,08 mm para baixo ; 𝜃𝐴 = 0,00498 rad 
 
 
Exercício 8 – A viga simplesmente apoiada com perfil W360 x 64 feita de aço A-36 é 
submetida à carga mostrada na figura. Determine a deflexão em seu centro C. (𝐸 = 200 
GPa e 𝐼𝑥 = 179 × 10
6 mm4). 
 
 
RESPOSTA: ∆𝐶= 10,84 mm para baixo 
 
 
Exercício 9 – A haste é feita de aço A-36. Determine, com aproximação de 1 mm, o 
menor diâmetro da haste que suportará a carga 𝑃 = 25 kN sem flambagem. As 
extremidades estão apoiadas em roletes. (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa e 𝜎𝑒 = 350 MPa) 
 
 
RESPOSTA: 𝑑 = 15,94 mm 
 
 
Exercício 10 – Uma coluna de aço A-36 tem comprimento de 5 m e está engastada em 
ambas as extremidades. Se a área da seção transversal tiver as dimensões mostradas na 
figura, determine a carga crítica. (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa e 𝜎𝑒 = 350 MPa) 
 
 
RESPOSTA: 𝜎𝐴 = 107 MPa ; 𝜏𝐴 = 15,3 MPa e 𝜎𝐵 = 0 MPa ; 𝜏𝐵 = 14,8 MPa 
 
 
Exercício 11 – O elemento estrutural W250 x 67 é feito de aço A-36 e usado como coluna 
de 4,5 m de comprimento. Se as extremidades da coluna estiverem engastadas, a coluna 
pode suportar a carga crítica sem escoamento? (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa; 𝐼𝑥 = 104 × 10
6 mm4; 
𝐼𝑦 = 22,2 × 10
6 mm4 e 𝐴 = 8560 mm2). 
 
 
RESPOSTA: Não suportará a carga 
 
 
Exercício 12 – Determine a força máxima P que pode ser aplicada ao cabo, de modo que 
a haste de controle de aço A-36 AB não sofra flambagem. A haste tem diâmetro de 30 
mm e está presa por pinos nas extremidades. (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa) 
 
 
 
RESPOSTA: 𝑃 = 64,6 kN 
 
 
 
 
 
Exercício 13 – As extremidades do elo de aço ferramenta L-2 de uma máquina de forjar 
estão acopladas aos garfos por pinos, como mostra a figura. Determine a carga máxima 
P que ele pode suportar sem sofrer flambagem. Use um fator de segurança FS = 1,75 
para flambagem. Observe que, no lado esquerdo da figura, as extremidades estão presas 
por pino, ao passo que no lado direito, elas estão engastadas. (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa) 
 
 
RESPOSTA: 𝑃 = 64,97 kN 
 
 
Exercício 14 – O tubo de aço A-36 tem diâmetro externo de 55 mm. Se for mantido no 
lugar por um cabo de ancoragem, determine o diâmetro interno exigido para que ele 
possa suportar uma carga vertical máxima 𝑃 = 20 kN sem provocar flambagem no tubo. 
Considere que as extremidades do tubo estão acopladas por pinos. (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa) 
 
 
RESPOSTA: 𝑑𝑖 = 41,07 mm 
 
 
Exercício 15 – Determine se a estrutura pode suportar uma carga 𝑃 = 20 kN, se o fator 
de segurança para flambagem do elemento estrutural AB for 𝐹𝑆 = 3. Considere que AB 
é feito de aço e que suas extremidades estão presas por pinos para flambagem no eixo 
x-x e engastadas para flambagem no eixo y-y. (𝐸𝑎ç𝑜 = 200 GPa e 𝜎𝑒 = 360 MPa) 
 
 
RESPOSTA: A estrutura não suportará a carga com o FS exigido