Geometria Analítica e Álgebra Linear UNIVESP Semana 01

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Geometria analítica 
e álGebra linear
atividade para avaliação
exercício 1 (1,0 ponto)
Determine, pelo método da substituição, as soluções dos 
sistemas lineares abaixo: 
a. S: x1 + 2x2 - x3 = 1
3x1 - x2 + x3 = 2
b. S: 
2x - y + z = 0
x + y - 2z = 1
x - y - z = 2
exercício 2 (1,0 ponto)
Classifique os sistemas abaixo conforme o número de 
soluções:
a. S: 
x - 2y = 4
2x + y = 13
x - y = 2
b. S: 
x + 2y - z = 2
x - y = 3
2x + y - z = 5
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 2
exercício 3 (1,0 ponto)
Escreva na forma matricial e resolva os sistemas abaixo por escalonamen-
to da matriz aumentada:
a. S: 
x + 3y - 2z = -4
2x + 3y + 3z = 1
-x + 2z = 6
b. S: x + 4y - z = 0
2x - y - z = 1
exercício 4 (1,0 ponto)
Considere um triangulo ABC e seja X o ponto médio do lado BC escreva o 
vetor AX
→
 em função dos vetores de AB
→
 e AC
→
.
Nos exercícios abaixo, todas as coordenadas são em relação a um sistema 
de coordenadas fixado de E3 (ou E2).
exercício 5
Verifique se os seguintes vetores são LI ou LD.
a. u
→
 = (2,1,-1), v
→
 = (1,3,0) e w
→
 = (5,5,-2) (1,5 pontos)
b. u
→
 = (-1,4) e v
→
 = (2,-1) (1,5 pontos)
c. u
→
 = (2,1,4) e v
→
 = (4,2,7) (1,5 pontos)
exercício 6 (1,5 pontos)
Determine, caso existam, os valores de x para que os vetores 
u
→
 = (2,1,x), v
→
 = (x,3,0) e w
→
 = (5,5,-x) sejam LD.
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 3
Gabarito
exercício 1
a. Da 1ª equação temos que x3 = x1 + 2x2 – 1, substituindo na 2ª equação 
obtemos: 
3x1 - x2 + x1 + 2x2 - 1 = 2 ⇔ 4x1 + x2 = 3 ⇔ x2 = 3 - 4x1
Assim 
x3 = x1 + 2x2 - 1 = x1 + 6 - 8x1 - 1= 5 - 7x1
Logo as soluções do sistema são da forma: 
(x1,3 - 4x1,5 - 7x1), para x1 ∈ �
Outras respostas são possíveis:
Em função de x2: 
3 - x2
4
 , x2, 
7x2 - 1
4
 
Em função de x2: 
5 - x3
7
 , 1 + 4x3
7
 , x3 
b. Da 1ª equação temos que y = 2x + z, substituindo na 2ª equação ob-
temos: 
x + 2x + z - 2z = 1 ⇔ 3x - z = 1 ⇔ z = 3x - 1
Assim
y = 2x + z = 2x + 3x - 1 = 5x - 1
Substituindo na 3ª equação temos:
x - y - z = 2 ⇔ x - (5x - 1) - (3x - 1) = 2 ⇔ -7x = 0 ⇔ x = 0
Logo y = -1 e z = -1, assim temos a solução (0,-1,-1).
exercício 2
a. Da 1ª equação temos
x = 2y + 4
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 4
substituindo na 2ª equação
2(2y + 4) + y = 13 ⇔ 5y = 5 ⇔ y = 1
logo x = 6. Vamos verificar se o par (6,1) verifica a 3ª equação,
6 - 1 = 5 ≠ 2
logo o sistema S é impossível (SI).
b. Da 2ª equação temos
x = y + 3
substituindo na 1ª equação,
y + 3 + 2y - z = 2 ⇔ 3y - z = -1 ⇔ z = 3y + 1
substituindo na 3ª equação,
2(y + 3) + y - (3y + 1) = 5 ⇔ 3y - 3y + 5 = 5 ⇔ 0 = 0
logo o sistema possui infinitas soluções da forma (y + 3,y,3y + 1), 
y ∈ �. (SPI)
Outras respostas são possíveis:
Em função de x: (x, x- 3, 3x - 8)
Em função de z: 8 + z
3
 , z - 1
3
 , z 
exercício 3
a. S: 
x + 3y - 2z = -4
2x + 3y + 3z = 1
-x + 2z = 6
A = 
 1 3 -2
 2 3 3
 -1 0 2
 , X = 
 x
 y
 z
 e B = 
 -4
 1
 6
 , temos S: AX = B
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 5
Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada 
do sistema:
 
 1 3 -2
 2 3 3
 -1 0 2
 
 -4
 1
 6
 ∼ 
 1 3 -2
 0 -3 7
 0 3 0
 
 -4
 9
 2
 ∼ 
 1 3 -2
 0 -3 7
 0 0 7
 
 -4
 9
 11
 
 
 1 3 -2
 0 -3 7
 0 0 7
 × 
 x
 y
 z
 = 
 -4
 9
 11
 
ou seja, 
 
x + 3y - 2z = -4
- 3y + 7z = 9
7z = 11
logo:
z = 11
7
 ⇒ -3y + 11 = 9 ⇔ -3y = -2 ⇒ y = 2
3
x + 3 × 2
3
 - 2 × 11
7
 = -4 ⇔ x + 2 - 22
7
 = -4 ⇒ x = - 20
7
Temos a solução (- 20
7
, 2
3
,11
7
)
b. S: x + 4y - z = 0
2x - y - z = 1
A = 
 1 4 -1
 2 -1 -1
 , X = 
 x
 y
 z
 e B = 
 0
 1
 , temos S: AX = B
Vamos resolver o sistema acima escalonando a matriz aumentada 
do sistema
 
 1 4 -1
 2 -1 -1
 
 0
 1
 ∼ 
 1 4 -1
 0 -9 1
 
 0
 1
 
 
 1 4 -1
 0 -9 1
 × 
 x
 y
 z
 = 
 0
 1
 
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 6
x + 4y - z = 0
- 9y + z = 1
Da 2ª linha temos
z = 9y + 1
substituindo na 1ª linha:
x + 4y - (9y + 1) = 0 ⇔ x = 5y + 1
Logo as soluções são da forma (5y + 1,y,9y + 1).
Outras respostas são possíveis:
Em função de x: x, x - 1
5
 , 9x - 4
5
 
Em função de z: 5z + 4
9
 , z - 1
9
 , z 
exercício 4
C
A
X
B
AX
→
 = AB
→
 + BX
→
mas BX
→
 = 1
2
 BC
→
 e BC
→
 = BA
→
 + AC
→
, lembrando que BA
→
 = - AB
→
AX
→
 = AB
→
 + 1
2
 (BA
→
 + AC
→
) = AB
→
 - 1
2
 AB
→
 + 1
2
 AC
→
 = 1
2
 AB
→
 + 1
2
 AC
→
 
exercício 5
a. 
det 
 2 1 -1
 1 3 0
 5 5 -2
 = -12 + 2 + 10 = 0,
Logo {u
→
,v
→
,w
→
} é LD.
Geometria Analítica e Álgebra Linear / Aulas 1–4 Atividade para Avaliação 7
b. 
det -1 4
2 -1
 = 1 - 8 = -7,
Logo {u
→
,v
→
} é LI.
c. u
→
 = (2,1,4) e v
→
 = (4,2,7) serão LD se, só se, forem paralelos, ou seja, se 
existir k ∈ �, tal que u
→
 = kv
→
 ⇔ (2,1,4) = k(4,2,7) ⇔ 
⇔ 
4k = 2 ⇒ k = 1
2
2k = 1 ⇒ k = 1
2
7k = 4 ⇒ k = 4
7
Como o valor de k deve ser o mesmo para as 3 equações, os vetores 
u
→
 e v
→
 não são LD, logo são LI.
exercício 6
det 
 2 1 x
 x 3 0
 5 5 -x
 = - 6x + x2 + (5x - 15)x = 6x2 - 21x = 0,
6x2 - 21x = 0 ⇒ 
x = 0 ou
x = 21
6
 = 7
2