Física I - Mecânica

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4 – Trabalho e Energia
4.1 – Introdução
De todos os conceitos da ciência, talvez o mais central seja o de energia. A combinação de energia com matéria forma o universo: matéria é substância, energia é o que move a substância. A idéia de matéria é fácil de compreender. A matéria é o conteúdo do que podemos ver, cheirar e tocar. Ela possui massa e ocupa espaço. A energia, por outro lado, é abstrata. Não podemos ver, cheirar ou tocar a maioria das formas de energia. É surpreendente, mas a idéia de energia foi ignorada por Isaac Newton e sua existência ainda era objeto de debates pelos idos de 1850. 
O termo energia é tão amplo que é difícil uma definição clara. Tecnicamente, energia é uma grandeza escalar associada ao estado (ou condição) de um ou mais objetos. Se uma força muda um dos objetos, por exemplo, movimentando-o, então o número associado à energia varia. Após um número imenso de experimentos, cientistas e engenheiros perceberam que, se o esquema através do qual se atribui números à energia for planejado cuidadosamente, esses números podem ser usados para prever resultados dos experimentos e, mais importante, para a construção de máquinas. 
Embora energia nos seja familiar, é difícil defini-la, pois ela não é apenas uma “representação”, mas uma representação e um processo juntos – como se fosse um substantivo e um verbo. Pessoas, lugares e coisas possuem energia, mas geralmente observamos a energia apenas quando ela está sendo transferida ou transformada. Ela chega a nós na forma de ondas eletromagnéticas vindas do Sol e a sentimos como energia térmica; ela é capturada pelas plantas e mantém juntas as moléculas da matéria; ela está nos alimentos que comemos e nós a recebemos através da digestão. A matéria em si mesma é uma cápsula de energia condensada, como estabelecido pela famosa fórmula de Einstein, 
 Será considerado primeiramente um conceito relacionado à energia: trabalho.
Um problema fundamental de dinâmica da partícula é determinar como se moverá uma partícula, conhecidas as forças que atuam nela. Pela expressão “como se moverá uma partícula” entendemos como sua posição varia com o tempo. Se o movimento for unidimensional, o problema consiste em determinar 
 Até aqui este problema foi resolvido para o caso especial de uma força constante. O método usado foi o seguinte: determina-se a força resultante 
 que atua na partícula, a partir da lei de força adequada; o valor da força e da massa 
 da partícula é levado à equação da 2a lei de Newton, o que permite encontrar a aceleração 
 da mesma:
	
	(1)
	Se a força 
 e a massa 
 forem constantes, a aceleração 
 deve ser constante também. Supondo que o sentido positivo do semi-eixo 
 coincida com o da aceleração, pode-se determinar a velocidade da partícula pela equação:
	
	(2)
e sua posição pela equação (com 
):
	
	(3)
	O problema é mais difícil quando a força que age na partícula não é constante. Em tal caso ainda é possível obter a aceleração da partícula a partir da 2a lei de Newton. No entanto, a fim de conseguir a velocidade ou a posição da partícula, não mais é possível utilizar as Eqs.2 e 3, que são válidas unicamente para o caso de aceleração constante.
	Todos os dias é possível ouvir frases do tipo “Fulano trabalha 12 horas por dia, enquanto Sicrano não trabalha”. Nessas frases há o termo trabalho, que também comparece em Física, mas com significado muito preciso e diferente dos anteriores.
	Em Física, trabalho está associado a forças e não a corpos: diz-se “trabalho de uma força” e nunca “trabalho de um corpo”. O trabalho 
 é a energia transferida para ou de um objeto por intermédio de uma força que atua sobre o mesmo. Uma energia transferida para o objeto corresponde a um trabalho positivo, e uma energia transferida de um objeto corresponde a um trabalho negativo. “Trabalho”, então, é energia transferida; “realizar” trabalho é o ato de transferir a energia. O trabalho tem a mesma unidade de energia e é uma grandeza escalar. 
	A noção de trabalho será apresentada por etapas, pelas dificuldades matemáticas que envolve. De início será apresentado o trabalho de uma força constante, e a seguir será analisado o caso geral.
4.2 – Trabalho realizado por uma força constante
	Seja o caso mais simples de uma força 
 constante atuando sobre uma partícula de massa 
 na mesma direção e no mesmo sentido do movimento desta. Em tal situação, define-se o trabalho realizado pela força sobre a partícula como o produto do módulo da força pela distância que a partícula percorreu:
	
	(4)
	No entanto, a força constante que atua na partícula pode não agir no sentido em que a partícula se move. Neste caso, define-se o trabalho realizado pela força sobre a partícula como o produto do componente da força na direção do movimento pela distância que a partícula percorreu naquela direção:
	
	(5)
onde 
 é o ângulo entre a força 
 e a linha que define a direção do movimento. Sendo a força e o deslocamento grandezas vetoriais, e sendo o trabalho realizado por uma força uma grandeza escalar, a Eq.5 é, na realidade, igual ao produto escalar (ou produto interno) entre os vetores 
 e 
 ou seja,
	
	(6)
	Normalmente, outras forças devem agir na partícula que se move sobre uma dada superfície (duas delas são seu peso e a força de atrito exercida pelo plano). Uma partícula sobre a qual atua uma única força pode ter deslocamento em direção diferente da direção da força, como acontece no movimento de um projétil. Entretanto, ela não pode se mover em linha reta, a menos que a linha tenha a direção da força aplicada à partícula. A Eq.5 refere-se apenas ao trabalho realizado sobre a partícula pela força particular 
 O trabalho realizado sobre a partícula pelas outras forças deve ser calculado separadamente. O trabalho total realizado é a soma dos trabalhos feitos por cada uma das forças.
	Quando 
 o trabalho realizado por 
 é simplesmente 
 em concordância com a Eq.4. Quando 
 a força não tem componente na direção do deslocamento. Essa força, portanto, não realiza trabalho sobre o corpo. Por exemplo, a força vertical que suporta um corpo a certa altura do solo não trabalha sobre o corpo, mesmo se este se mover horizontalmente no chão.
4.3 – Trabalho realizado por uma força variável
	Seja o caso em que apenas o módulo da força seja variável, e suponhamos que a força seja uma função apenas da posição, 
 e que seu sentido seja o do semi-eixo positivo 
 Se um corpo se move ao longo de 
 sob a ação dessa força, qual o trabalho que ela realiza ao deslocá-lo de 
 a 
Figura 1 – Calcular 
 equivale a obter a área compreendida sob a curva 
 entre os limites 
 e 
	
	Na Fig.1 está representada uma situação na qual o módulo da força é função da posição. Se o deslocamento total for subdivido em um grande número de pequenos intervalos iguais, 
 (Fig.1a), durante o pequeno deslocamento 
 de 
 a 
 
 tem módulo aproximadamente constante e o trabalho por ela realizado, 
 será:
	
	(7)
sendo 
 o valor da força em 
 De modo análogo, o trabalho realizado em cada pequeno deslocamento 
 será dado pela Eq.7, e o trabalho total realizado pela força 
 entre 
 e 
 é dado por:
	
	(8)
a letra grega 
 (sigma) indicando soma em todos os intervalos de 
 a 
	Para melhorar a aproximação, pode-se dividir o deslocamento total de 
 a 
 em maior número de intervalos iguais, como indicado na Fig.1b. Está claro que se pode obter aproximações cada vez melhores, tomando 
 cada vez menor. O valor exato do trabalho realizado pela força 
 é encontrado quando o número de intervalos 
 tende ao infinito, ou seja, quando os intervalos 
 aproximam-se de zero. Neste caso,
	
	(9)
	Para a situação em que a força 
 que atua sobre a partícula varia tanto em módulo como em direção, e a partícula mover-se ao longo de uma trajetória curvilínea, o trabalho é dado por:
	
	(10)
Sóé possível avaliar esta integral se soubermos como 
 e 
 variam de um ponto a outro na trajetória, pois ambas são funções das coordenadas da partícula.
4.4 – Energia cinética e o teorema trabalho-energia
	O trabalho realizado por uma força qualquer é:
	
	(11)
	Se a massa é constante, então 
Assim:
	
	(12)
O semiproduto da massa do corpo pelo quadrado de sua velocidade é denominado de energia cinética do corpo:
	
	(13)
	Pode-se enunciar o resultado em (12) do seguinte modo: o trabalho realizado pela força resultante que atua sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula.
	Isto permite enunciar o teorema do trabalho-energia para uma partícula:
	O trabalho realizado sobre uma partícula pela força resultante é sempre igual à variação da energia cinética da partícula, ou seja
	
	(14)
4.5 – Potência
	O trabalho realizado para suspender dado corpo até determinada altura é o mesmo, quer necessite 1 segundo ou 1 ano para ser feito. No entanto, a taxa em que o trabalho é realizado é freqüentemente de maior interesse do que o trabalho total feito.
 	Define-se potência como a taxa em que o trabalho é realizado. A potência média liberada por um agente é o quociente do trabalho total que ele realizou pelo correspondente intervalo de tempo, ou seja:
	
	(15)
	A potência instantânea liberada pelo agente é:
	
	(16)
	Quando a potência for constante no tempo, 
 e 
 A unidade no Sistema Internacional de potência é o 
 (abreviatura, 
) nome escolhido em homenagem a James Watt, cuja máquina a vapor é a predecessora dos poderosos motores de hoje.
	Sendo 
 então da Equação 16 tem-se que:
	
	(17)
4.6 - Bibliografia
Nussenzveig, H.M. Curso de Física Básica. 1 – Mecânica. 4a Edição. Editora Edgard Blücher Ltda. São Paulo, Brasil, 2002. 
Halliday, D.; Resnick, R.; Krane, K.S. Física 1, 4a Edição. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Rio de Janeiro, Brasil, 1996. 
Hewitt, P.G. Física Conceitual. 9a Edição. Bookman, 2006. 
5 – Conservação da Energia
5.1 - Introdução
	O teorema do trabalho e energia foi deduzido a partir da 2a lei de Newton para o movimento. Esse teorema diz que o trabalho realizado pela resultante 
 das forças que agem na partícula, quando esta se desloca de um ponto a outro, é igual à variação 
 da energia cinética da partícula, ou seja,
	
	(1)
Muitas vezes várias forças agem na partícula; a resultante 
 dessas forças é a sua soma vetorial, isto é, 
 supondo que sejam 
 as forças atuantes. O trabalho realizado pela força 
 é a soma algébrica do trabalho realizado pelas forças individuais, ou seja, 
 Pode-se, portanto, escrever o teorema do trabalho e energia sob a forma:
	
	(2)
	Neste capítulo serão considerados sistemas em que uma única partícula está sob a ação de vários tipos de forças e calcularemos os trabalhos de cada uma destas forças. Isto nos levará a definir diferentes tipos de energia, tais como energia potencial e energia cinética. O processo culminará com a formulação de um dos grandes princípios da ciência, o princípio de conservação da energia.
5.2 – Forças conservativas
	Inicialmente, devem distinguir-se dois tipos de forças, as conservativas e as não conservativas.
Figura 1 – (a) Um bloco de massa 
 é lançado com velocidade 
 contra uma mola. (b) O bloco pára, pela ação da força da mola. (c) O bloco recupera sua velocidade inicial 
 quando retorna ao seu ponto de partida.
	Seja uma mola presa por uma extremidade a uma parede (Fig.1). Supondo que seja lançado um bloco de massa 
 com velocidade 
 diretamente contra a mola; supõe-se que o plano horizontal seja liso e que a mola seja ideal, isto é, que ela obedeça à lei de Hooke:
	
	(3)
sendo 
 a força exercida pela mola quando seu extremo livre for deslocado de uma distância 
 admite-se, também, que a massa da mola seja tão pequena, comparada à do bloco, que se pode ignorar a energia cinética da mola. Portanto, no sistema (massa + mola) toda a energia cinética está concentrada na massa presa à mola.
	Depois que o bloco alcança a mola, a velocidade e, portanto, a energia cinética do bloco decresce até que finalmente o bloco pára, pela ação da força elástica da mola, como indica a Fig.1b. O bloco inverte, então, seu movimento, à proporção que a mola comprimida se alonga. Ele adquire velocidade e energia cinética e, quando alcançar de novo a posição de contato inicial com a mola, verifica-se que sua velocidade e sua energia cinética inicial são as mesmas que possuía originalmente; variou apenas, o sentido de seu movimento, mas ela é recuperada completamente durante a outra parte, quando o bloco retorna ao ponto de partida (Fig.1c).
	Interpreta-se a energia cinética de um corpo como a capacidade que ele possui de realizar trabalho em virtude de seu movimento. Está claro que, ao fim do percurso de ida e volta, a capacidade do bloco da Fig.1 de realizar trabalho permanece a mesma; ela foi conservada. A força elástica exercida pela mola é uma força conservativa, assim como a força de gravidade, pois se lançarmos um corpo verticalmente para cima, desprezando a resistência do ar, ele retornará à nossa mão com a mesma energia cinética que possuía ao ser lançado.
	Se a partícula, sob a ação de uma ou mais forças, retorna à sua posição inicial com energia cinética maior ou menor que a original, isso significa que, em um percurso fechado, sua capacidade de realizar trabalho foi modificada. Neste caso, a capacidade de realizar trabalho não foi conservada e pelo menos uma das forças atuantes é não conservativa. Diz-se que essa força, e quaisquer outras que atuam do mesmo modo, são dissipativas. Um exemplo de força dissipativa é a força de atrito que atua sempre no sentido de diminuir a energia cinética da partícula.
	Uma outra forma de definir força conservativa e força dissipativa é através do trabalho por elas realizado num percurso fechado. Uma força é conservativa se for nulo o trabalho realizado por ela sobre uma partícula que descreve qualquer percurso fechado. Uma força será não conservativa se o trabalho realizado por ela sobre a partícula, ao longo de um percurso fechado, for diferente de zero.
	Há ainda, uma definição equivalente para forças conservativas e não conservativas. Uma força é conservativa se o trabalho realizado por ela sobre uma partícula que se move entre dois pontos depende destes pontos e não da trajetória percorrida. Uma força é não conservativa se o trabalho realizado por ela atua sobre uma partícula que se desloca entre dois pontos depende da trajetória seguida entre os pontos.
5.3 – Energia potencial
	Focalizando a atenção não sobre o bloco móvel da Fig.1, mas no sistema (isolado) constituído do bloco e da mola. Em lugar de dizer que o bloco se move, é preferível dizer, sob esse ponto de vista, que a configuração do sistema está variando.
	A energia cinética do sistema da Fig.1 decresce durante a primeira parte do movimento, anula-se e depois aumenta durante a segunda parte. Se não houver atrito, a energia cinética do sistema, quando retornar sua configuração inicial retorna seu valor inicial.
	Nessas circunstâncias (atuando apenas forças conservativas), é razoável introduzir o conceito de energia de configuração ou energia potencial 
 e dizer que, se a energia cinética 
 do sistema variar de 
 quando variar a sua configuração (isto é, quando o bloco se move no sistema da Fig.1), então a energia potencial 
 do sistema deve variar de um valor igual e oposto, de forma que a soma das duas variações seja nula:
	
	(4a)
	Alternativamente, pode-se dizer que qualquer variação na energia cinética 
 do sistema é compensada por uma variação igual e oposta na sua energia potencial 
 de maneira que a soma de ambas permanece constante durante todo o movimento:
	
	(4b)
	A energia potencial de um sistema representa uma forma de energiaarmazenada que pode ser completamente recuperada e convertida em energia cinética. Não é possível associar energia potencial com uma força não conservativa tal como a força de atrito, porque a energia cinética de um sistema em que tais forças atuam não retorna o seu valor original, quando recupera sua configuração inicial.
	As Eqs.4a e 4b exprimem a conservação da energia mecânica total:
	
	(5)
5.4 – Discussão qualitativa do movimento unidimensional sob a ação de forças conservativas
	Seja uma partícula de massa 
 que se move em uma dimensão, sob a ação de uma força conservativa 
 associada à energia potencial 
 A partir do gráfico de 
 é possível dar uma discussão qualitativa bastante detalhada dos aspectos mais importantes do movimento qualquer que seja a forma de 
 (mesmo nos casos onde seria difícil obter soluções explícitas). No caso unidimensional, 
	
	(6)
de modo que o gráfico da força se obtém do gráfico de 
 por derivação, o que leva a relações semelhantes às obtidas no caso dos gráficos de posição, velocidade e aceleração como funções do tempo. 
	A Figura 1 ilustra as correlações existentes entre os gráficos de energia potencial e da força. Pela Eq.(6) a força é positiva (dirigida para a direita) nas regiões em que 
 tem declividade (coeficiente angular da tangente à curva) negativa entre 
 e 
 e entre 
 e 
 e é negativa onde 
 é crescente (entre 
 e 
), ou seja, a força aponta para a direção em que a energia potencial decresce. A magnitude da força é maior em 
 do que em 
 ou seja, a magnitude da força é maior nos pontos em que á mais abrupta a variação da energia potencial (
 é maior para o mesmo 
). 
Figura 1 – Energia potencial e força. 
	Pontos onde 
 chamam-se pontos de equilíbrio, e podem ser de vários tipos. Nesses pontos, o gráfico de 
 tem tangente horizontal. Em 
 
 passa por um mínimo. Como varia 
 na vizinhança de 
 Deslocando a partícula um pouco para a esquerda desde 
 a força resultante (por exemplo, no ponto A do gráfico da Figura 1) é positiva, ou seja, tende a fazer a partícula voltar para 
O mesmo se aplica a um deslocamento um pouco para a direita de 
 quando a força é negativa (ponto B do gráfico). Diz-se, então, que 
 é uma posição de equilíbrio estável. 
	No ponto 
 
 passa por um máximo. Afastando a partícula um pouco para a direita ou esquerda de 
 as forças resultantes (pontos C e D) tendem a afastar a partícula ainda mais de 
 Diz-se que 
 é uma posição de equilíbrio instável: qualquer desvio dessa posição, por menor que seja, faz com que a partícula a abandone. 
	No ponto 
 
 é constante e 
 na vizinhança de 
 Deslocando a partícula em torno de 
 nessa vizinhança ela permanece na nova posição: não aparecem forças restauradoras, nem forças que tendem a afastá-la ainda mais. Diz-se que 
 é uma posição de equilíbrio indiferente. 
	Nota-se do gráfico de 
 na vizinhança de uma posição de equilíbrio estável, como 
 é aproximadamente linear no deslocamento da posição de equilíbrio, ou seja, a força restauaradora que entra em jogo obedece aproximadamente à lei de Hooke. Logo, a lei de Hooke representa aproximadamente a lei de forças na vizinhança de qualquer posição de equilíbrio estável, o que é uma das principais razões de sua importância. 
	A magnitude da força é máxima nos pontos de inflexão, como 
 ou 
 do gráfico de 
 
5.5 – Forças não- conservativas
	Até agora se considerou apenas a ação de forças conservativas sobre uma partícula. Partindo do teorema do trabalho e energia, tem-se que: 
	Se apenas uma força, digamos 
 estiver atuando e se ela for conservativa, então o trabalho por ela realizado sobre uma partícula é igual ao decréscimo da energia potencial do sistema, ou seja,
	
	(7)
Combinando com a Eq.2, obtém-se:
	Se várias forças conservativas estiverem agindo, tais como a da gravidade, a força elástica de uma mola, uma força eletrostática, pode-se facilmente generalizar estas duas equações:
	
	(8a)
e
	
	(8b)
em que 
 é a soma dos trabalhos realizados pelas várias forças (conservativas) e os 
 são as variações de energia potencial do sistema associadas com tais forças. A quantidade do primeiro membro da Eq.8b é simplesmente 
 a variação de energia mecânica total, para o caso de várias forças conservativas estarem atuando sobre a partícula. Portanto:
	
 (forças conservativas),
	(9)
indicando que, ao mudar a configuração do sistema, sua energia mecânica total permanece constante.
	Se, além das forças conservativas, está agindo sobre a partícula uma única forças não conservativa, como por exemplo, a força de atrito, a Eq.2 pode, então, ser escrita como:
	
	(10)
sendo 
 o trabalho realizado pela força de atrito. Pode-se reescrever esta equação como:
	
	(11)
que mostra não ser constante a energia mecânica total, quando atua uma força de atrito, variando de um valor igual ao trabalho feito pela força de atrito.
	A Eq.11 pode tomar a forma:
	
	(12)
Como 
 o trabalho da força de atrito sobre a partícula, é sempre negativo, segue-se desta equação que a energia mecânica final 
 é menor que a inicial 
	O atrito é um exemplo de força dissipativa, que realiza trabalho negativo sobre um corpo e tende a diminuir a energia mecânica total do sistema. Se tivesse atuado uma outra força não conservativa, então 
 nas equações anteriores seria substituído por um termo 
 que evidenciaria de novo não ser constante a energia mecânica total do sistema, variando de um valor igual ao trabalho realizado pelas forças não conservativas. Portanto, só pode haver conservação da energia mecânica quando não houver forças não conservativas, ou quando é possível desprezar o trabalho realizado por elas.
	Que aconteceu à energia mecânica “perdida” no caso do atrito? Ela se transforma em energia interna, 
 resultando num aumento de temperatura. A energia interna gerada é exatamente igual à energia mecânica dissipada.
	Assim como o trabalho realizado por uma força conservativa sobre um objeto tem sinal oposto ao da energia potencial, também o trabalho realizado pela força de atrito sobre o objeto tem sinal oposto ao da energia interna adquirida. Em outros termos, a energia interna produzida é igual ao trabalho realizado pelo objeto. Pode-se, portanto, substituir 
 na Eq.11 por 
 sendo 
 a energia interna produzida, ou seja,
	
	(13)
	A Eq.13 assegura que não há variação na soma das energias mecânica e interna do sistema, quando nele atuam, apenas, forças conservativas e de atrito. Escrevendo tal equação como 
 vê-se que a perda de energia mecânica é igual à energia interna ganha.
6 – Conservação do Momento Linear
6.1 – Centro de massa
	Até agora os objetos têm sido tratados como se fossem partículas, isto é, os objetos possuem massa, mas não têm dimensões. No movimento de translação de um corpo, um de seus pontos, à medida que o tempo passa, sofre o mesmo deslocamento de qualquer outro, de tal maneira que o movimento de uma partícula representa o movimento de todo o corpo. Mas, mesmo quando o corpo roda ou vibra, enquanto se desloca, há um ponto no corpo, denominado de centro de massa, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partícula, sujeita ao mesmo sistema de forças externas.
	Sejam duas partículas que interagem entre si através de forças de contato (por exemplo, colisão entre dois discos). As equações de movimento correspondentes são dadas por:
	
	
(1)
onde 
 e 
 são os momentos lineares (quantidades de movimento) das partículas 1 e 2, e 
 é a força sobre a partícula 1 devida à partícula 2 (analogamente para 
).
	Somando membro a membro as equações (1), obtém-se
	
	
(2)
onde
	
	(3)
é, por definição, o momento linear total do sistema de duas partículas.
	Como as forças 
 e 
 constituem um par ação-reação, elas são iguais e opostas (o que equivale nestecaso à 3a lei de Newton), então da equação (2) tem-se que
	
	(4)
ou seja, o momento linear total se conserva.
	Forças internas ao sistema que obedecem ao princípio da ação e reação, como 
 e 
 no exemplo acima (forças de contato numa colisão), são chamadas de forças internas newtonianas.
	Seja, agora, o caso mais geral, em que, além das forças internas ao sistema, também atuam sobre as partículas forças externas (que poderiam ser forças gravitacionais, atrito, campos elétricos e magnéticos externos, etc.). Se 
 é a força total que atua sobre a partícula 1 e 
 é a força externa total sobre a partícula 2, as equações (1) são substituídas por
	
	
(5)
	Somando membro a membro, obtém-se:
	Como só estão sendo consideradas forças internas newtonianas, 
 de modo que fica
	
	(6)
onde 
 é a resultante das forças externas que atuam sobre o sistema.
	A equação (6) mostra que, para que valha a conservação do momento linear do sistema de duas partículas, não é necessário que ele seja um sistema isolado, ou seja, que não atuem forças externas. A condição necessária e suficiente para que o momento linear total de um sistema de duas partículas se conserve é que a resultante das forças externas aplicadas ao sistema se anule, ou seja, que
	
	(7)
	Isto equivale a 
 de modo que as forças externas, se não nulas, devem formar um binário (ou conjugado), ou seja, um par de forças de mesma magnitude, porém antiparalelas.
	A equação (6) é também a equação de movimento de uma partícula única de momento linear 
 sujeita a uma força 
 Neste sentido, portanto, pode-se tratar o sistema de duas partículas, como um todo, como se fosse uma só partícula, de momento linear igual ao momento linear total do sistema, sobre o qual atua a resultante das forças externas. É natural então perguntar também se é possível associar uma posição bem definida a essa “partícula representativa do sistema como um todo”. Isto realmente ocorre, e esta posição é o que se chama o centro de massa do sistema.
	Seja um sistema de duas partículas de mesma massa 
 nas posições 
 e 
 em relação a um referencial inercial. Tem-se então
	
	
(8)
	Como se quer representar o movimento do sistema como um todo por uma única partícula, essa partícula deve ter massa igual à massa total do sistema:
	
	(9)
	Das equações (6), (8) e (9) tem-se
	
	(10)
com
	
	(11)
indicando que 
 é o vetor de posição do ponto médio do segmento que liga a partícula 1 com a partícula 2. Logo, para um sistema de duas partículas de mesma massa, de posições instantâneas 
 e 
 sob a ação de forças internas (newtonianas) e de forças externas quaisquer, o ponto médio do segmento que une as posições das duas partículas se move de acordo com a equação (10), como uma partícula única de massa igual à massa total do sistema, sobre a qual agiria uma força igual à resultante das forças externas.
	É importante notar que as partículas podem ter um movimento arbitrário em relação ao centro de massa (
), que é denominado movimento interno do sistema: podem estar girando em torno dele, aproximando-se ou afastando-se (mantendo-se, naturalmente, sempre eqüidistantes do 
 neste caso de massas iguais), sem alterar em nada o fato de que o 
 se move sob a ação unicamente da força externa total.
	Seja agora um sistema de duas partículas de massas quaisquer, 
 e 
 Em lugar das equações (8) e (9), tem-se
	
	(12)
com
	
	(13)
e
	
	(14)
sendo o vetor de posição do 
 do sistema. Se 
 as coordenadas do 
 são dadas por:
	
 
 
	
(15)
	No caso mais simples do sistema de duas partículas 
 e 
 a distâncias 
 e 
 respectivamente, de uma origem 
 O centro de massa (
) do sistema é definido como um ponto à distância 
 da origem, dada por:
	
	
(16)
Este ponto tem a seguinte propriedade: o produto de sua distância à origem pela massa total do sistema 
 é igual à soma dos produtos de cada uma das massas pela sua respectiva distância à origem; isto é,
	
	(17)
	Se tivermos 
 partículas, 
 ao longo de uma linha reta, por definição, o centro de massa destas partículas, em relação a uma origem, é:
	
	
(18)
onde 
 são as distâncias das massas à origem em relação à qual 
 foi medido.
	Para um grande número de partículas coplanares, o centro de massa estará em 
 e 
 dados por:
	
	
(19)
em que 
 é a massa total do sistema.
	Para um grande número de pontos materiais, não necessariamente situados num plano, mas distribuídas no espaço, as coordenadas 
 
 
 do centro de massas do mesmo são definidas pelas relações:
	
	
(20)
	A posição do centro de massa é independente do sistema de coordenadas usado para localizá-lo. O centro de massa de um sistema de pontos materiais depende somente das massas dos referidos pontos e das posições relativas destas.
	Um corpo rígido pode ser imaginado como um sistema de pontos materiais agrupados muito juntos. Portanto, ele possui, também, centro de massa. As coordenadas do centro de massa são dadas por:
	
	
(21)
6.2 – Movimento do Centro de Massa
	Seja um conjunto de pontos materiais, cujas massas sejam 
 e cuja massa total seja 
 Então, diferenciando a equação (18) em relação ao tempo, obtém-se:
	
	
(22)
na qual 
 é o componente 
 da velocidade do primeiro ponto material, etc., e 
 é o componente 
 da velocidade do centro de massa. Equações semelhantes podem ser obtidas para os componentes 
 e 
 do movimento.
	Diferenciando a equação (22) em relação ao tempo, obtém-se:
	
	
(23)
na qual 
 é o componente 
 da aceleração da primeira partícula, etc., e 
 é o componente 
 da aceleração do centro de massa. Sendo 
 o componente segundo o eixo dos 
 da força resultante atuante sobre a primeira partícula, então, pela 2a lei de Newton, 
 
 etc.
	A Equação (23) pode ser escrita da seguinte maneira:
	
	(24)
em que 
 é o componente 
 da aceleração do centro de massa. Equações semelhantes podem ser consideradas para os componentes 
 e 
 As três equações escalares podem ser resumidas numa única equação vetorial:
	
	(25)
Portanto, a massa total do conjunto de pontos materiais, multiplicada pela aceleração do seu centro de massa é igual à soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o conjunto.
	Entre todas estas forças existirão forças internas exercidas pelos próprios pontos materiais entre si. Entretanto, pela 3a lei de Newton, estas forças não contribuem para a soma na Equação (25). Por isso, as forças internas podem ser retiradas do problema. A soma no segundo membro da Equação (25) representa apenas a soma das forças externas que atuam sobre os pontos materiais. Logo, a Equação (25) pode ser escrita como:
	
	(26)
	Isto assegura que o centro de massa do sistema de pontos materiais desloca-se como se toda a massa do sistema estivesse aí concentrada e que todas as forças externas estivessem aplicadas no mesmo.
	Portanto, ao invés de considerar os corpos como pontos materiais como foi feito até aqui, pode-se considerá-los como conjuntos de pontos materiais. O movimento de translação do corpo pode ser obtido considerando toda a sua massa concentrada no seu centro de massa e todas as forças externas aplicadas naquele ponto. O movimento do centro de massa representa o movimento de translação de todo o corpo. Este, na verdade, é o procedimento implícito em todos os diagramas de forças e resolução de problemas.
6.3 – Momento Linear
	A quantidade de movimento (ou momento linear) de um ponto material é o vetor 
 definido como o produto de sua massa 
 pela sua velocidade 
	
	(27)
	Newton, em seu famoso Principia, expressou a 2a lei do movimento em termos do momento linear: A taxa de variação do momento linear é proporcional à força resultante e na mesma direção desta:
	
	
(28)
	Quandoa massa de um corpo é constante, a 2a lei pode ser colocada sob a forma 
 usada até agora. Entretanto, para o caso de um corpo cuja massa varia com o tempo, a forma 
 não será mais a equação do movimento. Considerando uma mudança na massa com o tempo, a 2a lei afirma que:
	
	
(29)
Se, ao invés de um ponto material único, tem-se um sistema de 
 pontos materiais de massas 
 de tal modo que a massa total seja dada por 
Então, o sistema todo terá um momento linear total dado por:
	
	(30)
	Diferenciando esta equação em relação ao tempo, obtém-se:
	
	
(31)
	O segundo membro da equação (31) pode ser substituído pela soma das forças externas, de modo que:
	
	
(32)
	Seja o movimento de um sistema de pontos materiais. Qualquer que seja o movimento interno de um corpo ou sistema de pontos materiais, o movimento do centro de massa pode ser obtido supondo-se toda a massa concentrada naquele ponto e todas as forças externas atuando no mesmo. Da equação (26) tem-se que:
	
	
(33)
de modo que:
	
	
(34)
Daí
	
	(35)
O momento linear total de um sistema de pontos materiais é igual ao produto da massa total do sistema pela velocidade do seu centro de massa.
6.4 – Conservação do Momento Linear
	No capítulo anterior, foi mostrado que a energia mecânica total de um sistema é ou não conservada, dependendo do caráter conservativo ou não das forças que atuam. Conquanto seja verdade que, se a definição de energia for ampliada para abranger formas não mecânicas, então a energia total será sempre conservada, é também pertinente perguntar se há qualquer quantidade puramente mecânica que seja conservada independentemente da natureza conservativa ou não do sistema.
	Acontece que, como será visto uma propriedade chamada momento linear (ou quantidade de movimento) pode ser definida para qualquer sistema, a qual é conservada em todas as instâncias, sendo o sistema conservativo ou não, contanto que tal sistema seja isolado ou que a resultante das forças externas seja nula. 
	Se a resultante das forças externas que atuam em um sistema for nula, então da 2a Lei de Newton:
	
	
(36)
A equação (36) mostra que se a resultante das forças externas que atuam em um sistema é nula, o vetor momento linear do sistema permanece constante. Este resultado simples, mas realmente geral, é chamado princípio de conservação do momento linear. Os momentos lineares individuais das partículas que compõem o sistema podem sofrer variações, mas a sua soma permanece constante, se não há resultante para as forças externas. 
	As partículas podem interagir entre si, mas estas interações não irão modificar o momento linear do sistema, pois as forças de interação mútua entre duas partículas constituem um par ação-reação, não contribuindo para mudar o momento linear total do sistema de partículas. Do princípio de conservação do momento linear tem-se que um sistema não pode deslocar o seu CM sob a ação puramente de força internas. Além disso, o resultado obtido na Equação (36) leva a uma generalização da lei da inércia: se a resultante das forças externas que atuam sobre um sistema se anula, o CM do sistema permanece em repouso ou em movimento retilíneo uniforme.
6.5 – Sistemas de Massa Variável
	Os resultados obtidos até aqui parecem implicar que o deslocamento de um corpo só é possível se existirem forças externas capazes de impulsioná-lo. Assim, somos capazes de caminhar porque empurramos o solo para trás e o atrito com o solo nos impele para frente. Entretanto, existe outro método de propulsão de grande importância prática, exemplificado pelo recuo de um canhão: mesmo na ausência de atrito com o solo, o canhão se deslocaria para trás ao disparar a bala. Isto é possível porque a massa inicial (canhão + bala) diminui após o disparo, se for considerado só o deslocamento do canhão (o 
 do sistema canhão + bala permanece em repouso). Assim, se a massa de um corpo é variável, ele pode ser impulsionado sob a ação puramente de forças internas.
	Supondo que num instante 
 (figura acima) um astronauta estivesse flutuando no espaço, longe de qualquer campo gravitacional (
). Ele estaria se deslocando com movimento retilíneo uniforme com velocidade 
 em relação a um referencial inercial. O astronauta segura um revólver, e no instante 
 dispara uma bala de massa 
 Se a massa do astronauta + revólver (vazio) é 
 a massa inicial do sistema é
	
	(37)
Seja 
 a velocidade com que a bala escapa em relação ao revólver. A velocidade 
 da bala em relação ao referencial inercial é dada por 
	
	(38)
Num instante 
 após o disparo, a massa do astronauta + revólver é
	
	(39)
e sua velocidade é
	
	(40)
	Como 
 por hipótese, o momento linear total do sistema, 
 se conserva. Assim:
	
	(41)
	
	(42)
de forma que a conservação do momento linear implica:
	
	(43)
o que dá
	
	
(44)
	A variação de massa do sistema cuja velocidade variou de 
 é
	
	(45)
ou seja, é negativa (o sistema do astronauta perdeu a massa da bala). A equação (44) pode então ser rescrita como:
	
	
(46)
	Se agora o astronauta substituir o revólver por uma pistola de jato, que ejete material (água ou gás) continuamente, a massa do astronauta (nela compreendida a da pistola) varia continuamente com o tempo, e pode-se chamar de 
 a massa no instante 
 Supondo que a velocidade de ejeção 
 em relação à pistola é uma característica da mesma, permanecendo constante, a equação (46), que se aplica à variação de velocidade 
 do astronauta durante um intervalo de tempo 
 permite chegar à equação de movimento do astronauta:
	
	
(47)
Passando ao limite em que 
 obtém-se
	
	
(48)
onde 
 é a velocidade relativa do jato de material em relação à pistola.
	Se 
 (
) é constante durante certo período e 
 também é constante, de modo que o segundo membro da equação (48) equivale (no sentido de 
) a uma força constante exercida sobre o astronauta. Esta “força” chama-se o empuxo devido à ejeção de massa.
	Entretanto, como 
 é variável na equação (48), o segundo membro não corresponde à taxa de variação temporal do momento do astronauta. Com efeito, como 
 é a expressão do momento, tem-se que:
	
	
(49)
onde foi utilizada o resultado da Equação (48). Logo,
	
	
(50)
onde a expressão entre parênteses, pela equação (38), representa a velocidade da massa ejetada em relação ao referencial inercial adotado. Neste referencial, o segundo membro da Equação (49) também equivale a uma força, no sentido de 
	Se, além das forças internas já consideradas, existem também forças externas, basta acrescentá-las às equações (48) e (49):
	
	
(51)
	Embora deduzida no caso particular do astronauta, a equação de movimento de um sistema de massa variável, em qualquer das duas formas na equação (51), se aplica a situações bem mais gerais. Nestas expressões, 
 sempre representa a velocidade relativa ao sistema de massa variável dos elementos de massa 
 dele removidos (ou a ele acrescentados, num caso em que a massa esteja crescendo).
7 – Colisões
7.1 – Impulso e momento linear
	Se uma força externa 
 atua sobre um ponto material durante um intervalo de tempo muito pequeno 
 segue da 2a lei de Newton que:
	
	
(1)
A variação no momento linear (ou quantidade de movimento) 
 durante um dado intervalo de tempo 
em que a força externa 
 atua sobre o ponto material é dada por:
	
	
(2)
onde os índices 
 (= inicial) e 
 (= final) se referem aos instantes “antes” e “depois” da força externa 
 ter agido sobre o ponto material.
	A integral definida na Equação (2) é denominada de impulso, 
 da força externa 
 Em conseqüência, a variação do momento linear de um corpo sobre o qual atua uma força impulsiva é igual ao impulso 
 Uma força impulsiva tem como característica o fato de ser extremamenteintensa, porém atuando durante um intervalo de tempo extremamente curto, o “tempo de colisão”.
	
7.2 – Colisões elásticas e inelásticas
	Uma colisão entre duas partículas é um processo em que uma é lançada contra a outra, podendo trocar energia e momentum em conseqüência de sua interação. As “partículas” podem ser corpos macroscópicos ou pertencer à escala atômica ou subatômica. O resultado da colisão pode ser extremamente variado. Podem emergir as mesmas duas partículas, caso em que o processo é denominado de espalhamento. Por outro lado, pode emergir um sistema muito diferente: uma só partícula, duas partículas diferentes das iniciais (reações químicas, reações nucleares) ou mais de duas partículas (fragmentação, colisões de alta energia entre “partículas elementares”).
	A energia total do sistema de partículas sempre se conserva numa colisão, como em qualquer processo físico, embora parte da energia mecânica possa converter-se em outras formas de energia, como o calor. Entretanto, mesmo nas colisões em que a energia mecânica se conserva (forças de interação conservativas), parte da energia cinética pode converter-se em energia potencial, ou vice-versa.
	Quando numa colisão a energia cinética final é igual à energia cinética inicial, esta é dita ser uma colisão elástica. Qualquer outra colisão é uma colisão inelástica. Numa colisão inelástica a energia cinética final poder ser maior ou menor que a inicial. Um exemplo em que é maior é a explosão de uma granada ao colidir com o solo. Neste caso, energia química armazenada no explosivo se converte em energia cinética dos fragmentos.
	Em geral, as colisões nem são perfeitamente elásticas nem completamente inelásticas, mas podem enquadrar-se entre estes extremos. A colisão entre duas bolas de bilhar não é perfeitamente elástica. Quando elas se chocam, ouvimos um som: logo, parte da energia é convertida em vibrações, que dão origem a ondas sonoras. Há também um (ligeiro) aquecimento da superfície de contato, ou seja, conversão parcial de energia mecânica em calor. Entretanto, a perda total de energia cinética é pequena – tipicamente, da ordem de 3% ou 4%, e pode-se desprezá-la com boa aproximação, tratando a colisão como se fosse elástica.
	É sempre possível caracterizar a dissipação de energia de uma colisão especificando um único número 
 chamado de coeficiente de restituição, que representa a razão das velocidades relativas antes e depois da colisão. Colocada em termos matemáticos, a definição do coeficiente de restituição é
	
	
(3)
	Da Equação (3) é evidente que para uma colisão perfeitamente elástica, 
 Para uma colisão perfeitamente inelástica, 
7.3 – Colisões elásticas unidimensionais
	Sejam duas partículas que se movem ao longo de uma reta e colidem elasticamente. Sejam 
 e 
 as massas, e 
 e 
 as velocidades iniciais antes da colisão. A velocidade relativa deve satisfazer à condição
	
	(4)
para que haja colisão. Supondo que esta condição seja satisfeita e que as partículas estão sujeitas apenas às forças internas de interação que atuam durante a colisão, de modo que o momento linear total do sistema se conserva:
	
	(5)
	Como por hipótese a colisão é elástica, a energia cinética total também se conserva. Convém exprimi-la em termos dos momentos das partículas:
	
	
(6)
	Dada a configuração inicial 
 as Equações (5) e (6) são duas equações nas duas incógnitas 
 que determinam a configuração final. Para resolvê-las, a Equação (5) pode ser rescrita na forma
	
	(7)
e a Equação (6) como
	
	(8)
onde foi introduzido o parâmetro adimensional
	
	
(9)
Dividindo membro a membro a Equação (8) pela Equação (7) obtém-se
	
	(10)
	As Equações (7) e (10) constituem um sistema de duas equações lineares nas duas incógnitas 
 A Equação (10), expressa em termos das velocidades das partículas, dá
ou seja,
	
	(11)
Isto significa que a velocidade relativa entre as duas partículas se inverte em conseqüência da colisão, o que é característico de uma colisão elástica em uma dimensão.
	Resolvendo o sistema formado pelas Equações (7) e (10) obtém-se:
	
	
(12)
	As Equações (12) podem ser escritas em termos das velocidades (bastando usar 
):
	
	
(13)
Casos particulares:
i) massas iguais
	Neste caso, pela Equação 8, 
 e as Equações (12) e (13) dão:
	
 
	
(14)
ou seja, as partículas trocam entre si os momentos e as velocidades. 
ii) Alvo em repouso
	Neste caso,
	
	(15)
o que elimina os últimos termos do 2o membro nas Equações (12) e (13). Nesta situação, têm-se dois casos extremos:
a) 
	As Equações (13) dão, neste caso,
	
	
(16)
Logo, quando uma partícula muito leve colide com outra muito pesada em repouso, a partícula leve é praticamente refletida para trás com velocidade igual e contrária à incidente, ao passo que a partícula pesada sofre um recuo com velocidade muito pequena (tanto menor quanto menor a razão das massas). Um exemplo é a colisão elástica de uma bola com a superfície da Terra: o recuo sofrido pela Terra é desprezível.
b) 
	Neste caso, as Equações (13) dão:
	
	
(17)
Logo, na colisão elástica de uma partícula muito pesada com outra muito leve em repouso, a partícula pesada quase não é freada (“ignora” a presença da outra partícula), mas a leve é lançada para frente com o dobro da velocidade da partícula incidente. Um exemplo é o que ocorre quando uma bola bate num dos pinos no jogo de boliche.
7.4 – Colisões unidimensionais totalmente inelásticas
	Numa colisão totalmente inelástica entre duas partículas a energia cinética final não se anula, mas assume o menor valor possível, que é o valor da energia cinética associada ao movimento do centro de massa (CM). Com efeito, as forças que atuam na colisão sendo forças internas, o CM tem de permanecer em movimento retilíneo e uniforme, e o valor mínimo da energia cinética é aquele correspondente a esse movimento.
	A conservação do momento linear dá agora:
	
	(18)
o que determina 
	
	
(19)
Logo, a conservação do momento linear basta para determinar a configuração final de uma colisão totalmente inelástica.
7.5 – Colisões elásticas bidimensionais
	O tratamento de colisões em mais de uma dimensão será restringido ao caso em que o alvo está em repouso, já que este é o caso mais freqüente na prática. Além disso, se 
 é a velocidade do alvo antes da colisão, basta passar para um referencial em movimento com essa velocidade (que é também inercial) para reduzir a situação à anterior, de forma que ela não envolve restrição de generalidade.
	Para fixar as idéias, seja o caso, ilustrado na figura acima, da colisão entre duas bolas de bilhar, com o alvo (massa 
) inicialmente em repouso e a partícula incidente (massa 
) tendo uma velocidade inicial 
 O momento linear do sistema na configuração inicial é então
	
	(20)
	Entretanto, para caracterizar a configuração inicial, os dados acima não são mais suficientes. É preciso ainda a que distância a partícula incidente passaria da outra se não houvesse colisão. Essa distância 
 chama-se o parâmetro de impacto. Na figura acima, é a distância entre a linha de movimento inicial do centro da partícula incidente e o centro 
 do alvo. O resultado da colisão é muito diferente conforme o valor de 
 Por exemplo, para 
 tem-se uma colisão frontal, que é essencialmente unidimensional; no exemplo acima se 
 é maior que a soma dos raios das duas bolas, não há colisão.
	Se 
 e 
 são os momentos lineares finais das duas partículas, o momento do sistema na configuração final é
	
	(21)
Esta relação mostra que os 3 vetores pertencem ao mesmo plano, que se chama plano de colisão.
	A Equação (21) equivale a 2 equações escalares para as componentes 
 e 
 dos vetores:
	
	
(22)
	As energias cinéticasinicial e final são dadas por:
	
	
(23)
	
	
(24)
	Como a colisão é elástica, 
 ou seja,
	
	
(25)
	As Equações (22) e (25) são 3 equações escalares nas 4 incógnitas 
 
 
 e 
 Isto significa que não é possível, em geral, determinar a configuração final sem fornecer mais um dado (isto foi possível no caso unidimensional porque 
 ou 
 e 
 neste caso). O dado extra pode ser o parâmetro de impacto 
 se as forças de interação são conhecidas, pois isto permite, em princípio, calcular as trajetórias.
	Considerando primeiro o caso particular de uma colisão elástica entre partículas de mesma massa.
Massas iguais
	Seja 
 A Equação (25) dá então
	
	(26)
Por outro lado, elevando ao quadrado ambos os membros da Equação (21) (ou seja, tomando o produto escalar dos vetores por eles mesmos), vem
	
	(27)
o que representa a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores 
 
 e 
 Comparando as Equações (26) e (27), conclui-se que:
	
	
(28)
Logo, as direções de movimento de duas partículas de massas iguais, após uma colisão elástica com uma inicialmente em repouso, são perpendiculares.
Caso geral
	No caso geral em que 
 e 
 são diferentes, a Equação (25) se escreve
	
	(29)
onde
	
	
(30)
	Por outro lado, a Equação (21) dá
	
	(31)
que também representa a lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado pelos vetores 
 
 e 
 Igualando as Equações (29) e (31), obtém-se
	
	(32)
que é uma equação do 2o grau na incógnita 
 cujas raízes são
	
	
(33)
	Para que as raízes da Equação (33) sejam reais deve-se ter
	
	(34)
ou seja,
	
	(35)
	Neste caso, 
 de maneira que a Equação (35) é sempre satisfeita, qualquer que seja 
 
 Por outro lado, o radical da Equação (33) é sempre 
 para 
 de modo que só é aceitável a solução com sinal positivo.
Sendo 
 a Equação (35) leva a
	
	
(36)
ou seja, existe um valor máximo do ângulo 
 Em particular, se 
 também é 
 de modo que uma partícula pesada que colide elasticamente com uma partícula leve em repouso quase não sofre deflexão.
	Para 
 as duas raízes na Equação (33) são aceitáveis (dão 
); pode-se verificar que elas correspondem a valores diferentes de 
 (colisões com parâmetros de impacto diferentes).
8 – Cinemática da Rotação
8.1 – Cinemática do corpo rígido
	Um corpo rígido corresponde a um conceito limite ideal, de um corpo indeformável quaisquer que sejam as forças a ele aplicadas: um corpo é rígido quando a distância entre duas partículas quaisquer do corpo é invariável. Nenhum corpo real é perfeitamente rígido: uma barra de aço se deforma sob a ação de forças suficientemente intensas e duas bolas de bilhar que colidem deformam-se ao entrar em contato. Entretanto, as deformações são em geral suficientemente pequenas para que possam ser desprezadas em primeira aproximação.
	Diz-se que um corpo rígido tem um movimento de translação quando a direção de qualquer segmento que une dois de seus pontos não se altera durante o movimento. Isto implica que todos os pontos do corpo descrevem curvas paralelas, ou seja, superponíveis umas às outras por translação. Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento durante o mesmo intervalo de tempo, de modo que todos têm, em qualquer instante, a mesma velocidade e aceleração, que se chamam, respectivamente, velocidade e aceleração de translação do corpo rígido. Para estudar o movimento de translação do corpo rígido, basta estudá-lo para qualquer um de seus pontos (por exemplo, o centro de massa). Este tipo de movimento reduz-se então ao de um único ponto material.
	Fixando dois pontos 
 e 
 de um corpo rígido, isto equivale a fixar todos os pontos da reta definida por
pois todos eles têm de manter inalteradas suas distâncias de 
 e 
 Qualquer partícula do corpo situada fora desta reta tem de manter invariável sua distância ao eixo 
 de modo que só pode descrever um círculo com centro neste eixo. Logo, 
 é um eixo de rotação: todas as partículas descrevem círculos com centro no eixo, e giram de um mesmo ângulo no mesmo intervalo de tempo. O estudo do movimento reduz-se neste caso ao estudo do movimento circular de qualquer partícula situada fora do eixo: tem-se uma rotação em torno de um eixo fixo, que pode ser descrita em termos de uma única coordenada, o ângulo de rotação.
	Fixando um único ponto 
 do corpo, qualquer outro ponto 
 situado a uma distância 
 de 
 tem de mover-se sobre uma esfera de raio 
 com centro em 
 Tem-se uma rotação em torno de um ponto fixo, e o deslocamento de um ponto como 
 sobre a esfera pode ser descrito por duas coordenadas: por exemplo, os ângulos de latitude e longitude. Essas coordenadas descrevem a posição de 
	Fixando a posição de 3 pontos 
 e 
 não colineares, fica fixada a posição do corpo rígido. Com efeito, fixando 
 e 
 fica fixado o eixo
 O ponto 
 não colinear só poderia descrever um círculo em torno de 
 logo, fixando 
 fixa-se o corpo rígido.
	Surge agora a questão: Quantos parâmetros é preciso dar para especificar completamente a posição de um corpo rígido em relação a um dado referencial? Inicialmente, para especificar a posição de um ponto 
 do corpo, precisa-se de 3 coordenadas. Uma vez fixado 
 outro ponto 
 do corpo à distância 
 de 
 permanece sobre uma esfera de raio 
 e sua posição sobre essa esfera é especificada por mais 2 coordenadas (latitude e longitude, por exemplo). Finalmente, uma vez especificadas as posições dos 2 pontos 
 e 
 qualquer outro ponto 
 do corpo tem de estar sobre um círculo com centro no eixo 
 e sua posição sobre esse círculo pode ser especificada por mais 1 coordenada (ângulo de rotação em torno do eixo). Logo, precisa-se de 
 coordenadas para especificar completamente a posição de um corpo rígido. Diz-se que um corpo rígido tem 6 graus de liberdade.
	De forma geral, chamam-se graus de liberdade de um sistema os parâmetros que são necessários para especificar a posição do sistema. Uma partícula livre tem 3 graus de liberdade e um sistema de 
 partículas têm 
 gruas de liberdade (3 coordenadas para cada partícula). Uma partícula que se desloca sobre uma superfície tem 2 graus de liberdade; uma conta que desliza sobre um fio tem 1 grau de liberdade.
	O deslocamento mais geral de um corpo rígido tem 6 graus de liberdade, 3 deles associados à translação e os outros 3 à rotação. Um corpo rígido com um ponto fixo tem 3 graus de liberdade, associados à rotação em torno desse ponto; se girar em torno de um eixo fixo, tem 1 só grau de liberdade.
8.2 – Representação vetorial das rotações
	O movimento mais simples de rotação de um corpo rígido é a rotação em torno de um eixo fixo. O estudo desse movimento reduz-se ao do movimento circular de um ponto 
 qualquer numa seção transversal ao eixo. O sistema tem 1 grau de liberdade: a rotação pode ser descrita pelo ângulo de rotação 
 do ponto 
 nesse movimento circular.
	Por conseguinte, se o eixo de rotação permanece fixo, a rotação pode ser descrita por uma grandeza escalar, que é o ângulo de rotação 
 Entretanto, isto deixa de valer para um movimento de rotação mais geral. Por exemplo, no movimento de um pião, a direção do eixo de rotação varia a cada instante. Logo, para caracterizar uma rotação no caso geral, não basta dar um ângulo de rotação: é preciso dar também uma direção, a direção do eixo de rotação.
Figura 1 – Ilustração do fato que as rotações finitas não são vetores.
Pode-se pensar em associar um vetor 
 a uma rotação pelo ângulo 
 a direção desse vetor sendo dada pela direção do eixo. O sentido de 
 pode ser associado ao sentido da rotação, convencionando-se que a rotação, vista a partir da “flecha” de 
 é no sentido anti-horário. Entretanto, embora 
 tenha magnitude, direção e sentido, não é um vetor.
	Para provar isto, seja a operação de composição de duas rotações finitas, representadaspor 
 e 
 (em torno de eixos quaisquer), deveria corresponder à soma dos “vetores” correspondentes, 
 da mesma forma que o deslocamento resultante de dois deslocamentos é a soma dos vetores correspondentes. A Fig.1 mostra que esta operação de “soma” deixa de satisfazer à propriedade comutativa:
	
	(1)
	Entretanto, se em lugar de rotações finitas forem consideradas apenas aquelas por ângulos 
 infinitesimais, pode-se mostrar que rotações infinitesimais são comutativas e têm caráter vetorial. A magnitude de 
 é o ângulo de rotação infinitesimal 
 e sua direção é a do eixo de rotação. Entretanto, fisicamente não há nada que permita associar um sentido ao vetor. Isto só pode se feito por convenção. A convenção usualmente adotada é a que está ilustrada na Fig.2: um observador com a cabeça na extremidade do vetor 
 e os pés na origem, olhando para “baixo”, vê a rotação ocorrer no sentido anti-horário.
Figura 2 – Características do vetor 
	Seja agora um corpo rígido em rotação em torno de um eixo e uma seção transversal (perpendicular ao eixo de rotação) do corpo, tomado como o plano 
 de um sistema de coordenadas com origem 
 no eixo de rotação 
 (Fig.3).
Figura 3 – Rotação infinitesimal de um corpo rígido.
	Um ponto 
 da seção transversal à distância 
 da origem sofre um deslocamento 
 em conseqüência da rotação infinitesimal. Relacionando-se o deslocamento vetorial 
 com 
 e o vetor posição 
 obtém-se:
	
	(2)
Ou seja, o produto vetorial dos vetores 
 e 
 é um vetor, o deslocamento 
 cuja magnitude é dada por:
	
	(3)
8.3 – Rotações e velocidade angular
Quando um corpo sólido gira em torno de um eixo próprio, as coordenadas 
�� EMBED Equation.3 e 
 de cada ponto no corpo aumentam e diminuem continuamente à medida que o objeto percorre uma trajetória circular. O uso de coordenadas 
�� EMBED Equation.3 e 
 é em geral uma forma complicada de descrever as rotações. Em particular, as rotações confinadas em um plano podem ser facilmente descritas por um ângulo. Para a maioria de nós é familiar a utilização de medidas envolvendo ângulos (graus e radianos). A escolha de 360 graus para denotar uma revolução completa foi feita pelos babilônios e que provavelmente teve origem nos seus estudos e interesses em astronomia, principalmente na previsão das estações do ano, já que a rotação da Terra em torno do Sol tem aproximadamente 360 dias. Com isto, a rotação de um grau feita pela Terra, em sua órbita, equivaleria a um dia. 
Seja o comprimento 
 do segmento de um círculo contido no ângulo 
 como indicado na Fig.4a. Se o círculo tem um raio 
 o comprimento de sua circunferência é dado por
	
	(4)
Figura 4 – (a) Realções entre 
 
 e 
 (b) Deslocamento angular entre 
 e 
A fração de 
 contida em 
 é igual à fração de uma de uma revolução completa (360o) contida em 
 Então, 
	
	
(5)
para 
 em graus.
Para um dado ângulo 
 
 e 
 são proporcionais. Devido ao freqüente uso da relação de proporcionalidade entre 
 e 
 na dinâmica das rotações, é bastante conveniente definir uma unidade nova para ângulos 
	
	(6)
para 
 em radianos.
Um ângulo em radianos, sendo definido como a razão entre dois comprimentos é um número puro. Na Fig.4b, a linha de referência 
de um corpo rígido em rotação faz um ângulo 
 com a linha de referência fixa 
 em um instante 
 Num instante posterior 
 o ângulo cresceu para 
 A velocidade angular média () do corpo, no intervalo entre 
 e 
 é definida como a razão entre o deslocamento angular 
 e o intervalo de tempo 
	
	
(7)
A velocidade angular instantânea (
) é definida como o limite para o qual tende esta razão quando 
se aproxima de zero:
	
	
(8)
Como o corpo é rígido, a velocidade angular é uma característica do corpo como um todo e não somente de uma linha nele situada. Se o ângulo 
 for medido em radianos, a unidade de velocidade angular é um radiano por segundo (
). Outras unidades como, por exemplo, rotações por minuto (
), são de uso comum. Note que 
 
8.4 – Aceleração angular
Se a velocidade angular de um corpo variar, diz-se que ele tem uma aceleração. Se 
 e 
 forem as velocidades angulares instantâneas, nos instantes 
 e 
 respectivamente, a aceleração angular média 
	
	
(9)
e a aceleração angular instantânea  é definida como limite desta razão quando 
 se aproxima de zero:
	
	
(10)
A unidade de aceleração angular é 
 A velocidade angular e a aceleração angular são exatamente análogas à velocidade e à aceleração lineares. Como 
 a aceleração pode ser escrita como
	
	
(11)
ou, usando a regra da cadeia para a derivação, 
	
	
(12)
8.5 – Rotação com aceleração angular constante
O caso mais simples de movimento de rotação acelerado é aquele no qual a aceleração é constante. Neste caso, as expressões da velocidade angular e do deslocamento angular são facilmente encontradas por integração. Tem-se 
Se 
 é a velocidade angular quando 
segue-se que 
 e 
	
	(13)
Então, como 
 
cuja solução é
	
	
(14)
Escrevendo-se a aceleração angular como
	
	
(15)
então,
Se o ângulo 
 tem o valor 
 quando 
 e se a velocidade angular inicial é 
 então, 
e
	
	(16)
A Tabela 8.1, mostra a analogia entre as equações do movimento com aceleração angular constante e as do movimento com aceleração linear constante. 
Tabela 8.1 – Analogia entre os movimentos de translação e rotação com acelerações constantes.
	PRIVATE�Movimento com aceleração
linear constante
	Movimento com aceleração
angular constante
	
constante
	
constante
	
	
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/BOIWQNRG/Image655.gif" \* MERGEFORMAT \d ��
	
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/BOIWQNRG/Image656.gif" \* MERGEFORMAT \d ��
	
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/BOIWQNRG/Image657.gif" \* MERGEFORMAT \d ��
	
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/BOIWQNRG/Image658.gif" \* MERGEFORMAT \d ��
	
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/BOIWQNRG/Image659.gif" \* MERGEFORMAT \d ��
9 – Dinâmica da Rotação 
9.1 – Torque (ou momento de uma força)
	A relação básica de toda a dinâmica é 
 (ou, 
 no caso em que a massa é constante). Esta forma é particularmente apropriada à dinâmica do ponto material. Para a rotação, contudo, será mais conveniente exprimir a 2a lei em termos de grandezas relativas ao movimento de rotação.
	Do ponto de vista cinemático, a descrição do movimento de rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo se reduz à descrição do movimento circular de um ponto 
 do corpo numa seção transversal. Como só há 1 grau de liberdade, o ângulo de rotação 
 em torno do eixo, pode-se estabelecer uma analogia entre esse movimento e o movimento de translação unidimensional. A Tabela 9.1 mostra a correspondência entre grandezas lineares e angulares.
Tabela 9.1 – Correspondência entre grandezas lineares e angulares.
	PRIVATE�Movimento retilíneo
	Rotação em torno de um eixo fixo
	Deslocamento linear = 
 
	Ângulo de rotação = 
	Velocidade linear: 
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/RK09JAT0/Image654.gif" \* MERGEFORMAT \d ��
	Velocidade angular: 
	Aceleração linear: 
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/RK09JAT0/Image656.gif" \* MERGEFORMAT \d ��
	Aceleração angular: 
�� INCLUDEPICTURE "../../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/RK09JAT0/Image657.gif"\* MERGEFORMAT \d ��
	Para estudar a dinâmica das rotações pode-se utilizar essa analogia a fim de procurar uma grandeza que desempenhe um papel análogo da força.
Seja uma barra que possa girar em torno de um eixo fixo, sem atrito, passando perpendicularmente através da mesma, próximo a uma das extremidades (Fig.1). Para eliminar os efeitos do atrito e da gravidade, considera-se que a barra está apoiada sobre uma superfície lisa horizontal. Aplicando uma força 
 no ponto 
 a barra girará, isto é, será acelerada, partindo do repouso ao girar em torno do ponto 
 do eixo. Aplicando a mesma força 
 no ponto 
 a barra será novamente acelerada em rotação, mas esta aceleração será maior que a anterior. Evidentemente, não é só a força aplicada que determina a aceleração angular. É certo que, aumentando o módulo da força 
 aumentará a aceleração angular, mas também, com a mesma força, pode-se aumentar a aceleração angular simplesmente mudando o seu ponto de aplicação.
Figura 1 – Uma barra articulada em 
 e livre para girar no plano do papel.
	Aplicando, agora, uma segunda força 
 como indicada na Fig.1, de mesmo módulo de 
 e o mesmo ponto de aplicação 
 Tal força, cuja linha de ação passa pelo eixo de rotação, não causará movimento angular. Evidentemente a direção da força tem importância na determinação da aceleração angular que ela dá ao corpo.
	Com o fim de sugerir uma analogia para a massa seja uma barra constituída de partes iguais de madeira e aço, como na Fig.2.
Figura 2 – Uma barra, metade da qual é de madeira, a outra é de aço. A barra de cima está articulada na extremidade de madeira em 
 e na barra de baixo a articulação é feita na extremidade de aço em 
	Seja uma força 
 aplicada no ponto 
 no caso em que a barra está articulada na extremidade de madeira em 
 Tem-se, então, uma aceleração angular bem definida. A seguir a barra é invertida e a articulação é feita na extremidade de aço em 
 Neste caso, a mesma força 
 aplicada agora no ponto 
 irá produzir uma aceleração angular maior que a anterior. A massa total da barra não foi alterada pela escolha do eixo de rotação e a força aplicada tem em ambos os casos, a mesma intensidade direção, sentido e ponto de aplicação com relação ao eixo. Contudo, as acelerações angulares produzidas foram diferentes. E unicamente foi alterada a distribuição da massa em relação ao eixo de rotação.
	Se uma força 
 atuar sobre um ponto material 
 cuja posição em relação à origem 
 é dada pelo vetor posição 
 o torque (ou momento da força) 
 em relação à origem 
 é definido como:
	
	(1)
O torque é uma grandeza vetorial. Seu módulo é dado por
	
	(2)
onde 
 é o ângulo entre 
 e 
 sua direção é perpendicular ao plano formado por 
 e 
 com o sentido dado pela regra do produto vetorial de dois vetores.
	Das Eqs. 1 e 2 nota-se que o torque produzido por uma força depende, não somente da sua intensidade, do seu sentido e da sua direção, mas também do ponto de aplicação da força em relação à origem. Em particular quando 
 atua na origem, 
 é zero, de modo que o torque 
 em relação à origem é nulo.
9.2 – Ampliação de uma força (vantagem mecânica)
Sem a haste da maçaneta de uma porta, sem o botão do rádio ou sem a borboleta da válvula do registro do botijão de gás, ficam difíceis ações tão corriqueiras como abrir uma porta, ligar um rádio ou trocar o botijão.
Se a borboleta da válvula do registro do botijão de gás quebrou, pode-se resolver o problema usando um alicate ou grifo, pois com estas ferramentas a força que se faz com a mão deixa de ser feita diretamente no eixo de rotação, o que se traduz na prática por uma facilidade maior em desparafusar a válvula. Algumas tarefas, como trocar pneus ou tirar um parafuso, estariam impossibilitadas de serem realizadas se não tivéssemos um meio de ampliar nossa força.
Estas situações e muitas outras permitem agrupar as ferramentas, maçanetas, torneiras, saca-rolhas, etc., numa classe de instrumentos, cuja função é ampliar a força que aplicamos e, desta maneira, facilitar a realização de determinadas tarefas.
Ao fazermos força para girar uma maçaneta, tanto ela como seu eixo realizam o mesmo giro. Se entendermos que o valor do torque necessário para girar a maçaneta é sempre o mesmo, independente do local onde a força é aplicada, fica mais fácil interpretar porque estes mecanismos ampliam forças.
	Quando a força é feita próxima ao eixo de rotação, ela deve ser maior do que quando feita na extremidade da haste da maçaneta, pois na primeira situação o braço da força é pequeno, enquanto na segunda o braço é maior. Então quanto menos força quisermos fazer, maior deverá ser o braço desta força e contrariamente, quanto menor o braço da força, maior deverá ser seu valor para produzir o mesmo torque.
A chave de boca ilustrada na Fig.3 tem, como outras ferramentas semelhantes, a vantagem de diminuir a intensidade da força que precisamos fazer para soltar ou apertar uma porca, pois afasta o ponto de aplicação da força do eixo de rotação.
Figura 3 – Chave de boca.
	Supondo que fosse possível soltar a porca usando somente as mãos, e que toda a força fosse aplicada sobre um dos seus lados (ponto A). Sendo assim esta força tem um braço 
 correspondente à distância entre o centro da porca (eixo de rotação) e um de seus lados. Nesse caso, o torque em relação ao eixo que passa pelo centro da porca, é dado por:
Usando a ferramenta, a força será feita no seu cabo, com intensidade menor que a da situação anterior porque o braço 
 desta força corresponde agora à distância entre o centro da porca e a extremidade da chave. O torque desta força em relação ao centro da porca será então, dado por:
Admitindo que das duas maneiras conseguíssemos mover a mesma porca, estes torques teriam a mesma intensidade e pode-se escrever:
A razão entre a força que se consegue na porca e a que fazemos é denominada vantagem-mecânica (
). Neste caso, a razão entre os braços das forças fornece a vantagem da ferramenta, ou seja, o quanto foi ampliada a força que fizemos no cabo.
O alicate, assim como a tesoura, é uma associação de duas alavancas. Quando dobramos ou cortamos um pedaço de fio com um alicate, a força feita no cabo é transferida e ampliada na extremidade contrária.
9.3 – Momento angular de um ponto material
	Além da força 
 o outro conceito fundamental na dinâmica de uma partícula é o do momento linear 
 relacionado com 
 pela 2a lei de Newton
	
	
(3)
Na dinâmica de rotação de uma partícula 
 em torno de um ponto 
 o análogo de 
 é o torque 
 onde 
 Como o momento 
 da partícula está relacionado com 
 pela Eq.3, obtém-se, multiplicando vetorialmente por 
 ambos os membros
	
	
(4)
	Como a fórmula de derivação de um produto se aplica igualmente ao produto vetorial (desde que não se inverta a ordem dos vetores), então,
	
	
(5)
Logo, a Eq.4 fica,
	
	
(6)
onde
	
	(7)
é o que se chama de momento angular de uma partícula em relação ao ponto 
9.4 – Energia cinética de rotação e momento de inércia
	Cada ponto material num corpo em rotação tem certa quantidade de energia cinética. Um ponto material de massa 
 a uma distância 
 do eixo de rotação tem uma velocidade 
 sendo 
 a velocidade angular do ponto em torno do eixo de rotação; logo, sua energia cinética é
A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todos os seus pontos. Se o corpo for rígido, 
 será constante e igual para todos os pontos. O raio 
 pode ser diferente para pontos diferentes. Logo, a energia cinética total 
 do corpo que gira pode ser escrita:
	
	
(8)
O termo 
 é a soma dos produtos das massas dos pontos materiais pelos quadrados de suas respectivas distâncias ao eixo de rotação. Denominando esta quantidade por 
 então
	
	(9)
é chamada de inércia devida à rotação ou momento de inérciado corpo em relação ao eixo de rotação considerado. Deve-se notar que o momento de inércia de um corpo depende (1) da forma do corpo, (2) da distância ortogonal do eixo ao centro de massa do corpo e (3) da orientação do corpo em relação ao eixo.
	Em termos de momento de inércia pode-se escrever agora a energia cinética do corpo em rotação:
	
	
(10)
	Deve-se entender que a energia cinética de rotação, dada pela Eq.10, é simplesmente a soma da energia cinética de translação de todas as partes do corpo e não um novo tipo de energia. A energia cinética de rotação é simplesmente uma maneira conveniente de exprimir a energia cinética de um corpo rígido que está girando.
	Para um corpo que não é composto de massas puntiformes discretas, mas sim de matéria distribuída continuamente, o processo de soma em 
 transforma-se num processo de integração:
	
	(11)
onde a integral é calculada ao longo do corpo.
	A Fig.4a mostra os momentos de inércia de um aro, primeiro em torno de qualquer diâmetro e depois em torno de qualquer tangente, enquanto que a Fig.4b mostra os momentos de inércia de uma esfera sólida (maciça) e de uma esfera oca em torno de qualquer diâmetro.
	Conhecendo-se o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer que passe pelo seu centro de massa, pode-se determinar o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo ao primeiro, pelo teorema dos eixos paralelos (também conhecido como Teorema de Huygens-Steiner):
	
	(12)
Sendo 
 a massa do corpo e 
 a distância perpendicular entre os eixos (paralelos). Esse teorema pode ser enunciado da seguinte forma:
O momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer é igual ao momento de inércia que ele teria em relação a esse eixo (
), se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa mais o seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo seu centro de massa (
).
Figura 4 – Momentos de inércia (a) de um aro e (b) de uma esfera.
9.5 – Momento angular de um sistema de pontos materiais
	Determina-se o momento angular total de um sistema constituído de muitos pontos materiais, em relação a uma origem, somando-se vetorialmente os momentos angulares de todos esses pontos materiais, considerados isoladamente, em relação a essa mesma origem:
	
	
(13)
	O momento angular de um sistema de pontos materiais em relação a um ponto fixo pode variar com o tempo. Para essa variação admitem-se duas causas: (a) torques aplicados aos pontos materiais do sistema por forças internas entre estes; (b) torques aplicados aos pontos materiais do sistema por forças externas.
	Se a 3a lei de Newton é rigorosamente certa, isto é, se as forças entre dois pontos materiais quaisquer não apenas são iguais e opostas, mas também atuam ao longo da reta definida pelos mesmos, o conjugado interno total é nulo, pois o torque produzido por cada par de forças de ação e reação é nulo. Assim, a primeira causa não contribui para a variação do momento angular total. Portanto, para um ponto de referência fixo apenas o segundo motivo permanece, e pode-se escrever
	
	
(14)
em que 
 representa a soma de todos os torques externos que agem no sistema.
	A Eq.14 é uma generalização da Eq.6 para muitos pontos materiais. Quando se tem apenas um ponto material, não há, evidentemente, forças ou conjugados internos.
	Sendo 
 onde 
 é o momento de inércia do corpo e 
 a soma dos torques (externos) aplicados a este, ambos em relação ao mesmo ponto. Comparando-se com a Eq.14, obtém-se
Mas 
 e, se 
 é constante,
e, portanto,
ou
	
	(15)
Assim, o momento angular de um corpo rígido é o produto do momento de inércia do corpo pela sua velocidade angular.
9.6 – Dinâmica da rotação de um corpo rígido
Figura 5 – Um corpo rígido articulado em 
	Seja um corpo rígido que gire ao redor de um eixo fixo, que passe por 
 (Fig.5) perpendicularmente ao plano da figura. É necessário considerar apenas as forças existentes neste plano, porque as que são paralelas ao eixo não podem causar rotação em torno do mesmo. Supondo uma força externa 
 no plano, agindo sobre o corpo no ponto
 Observando o corpo durante um tempo infinitesimal 
 o ponto
 mover-se-á de uma distância infinitesimal 
 segundo uma trajetória circular de raio 
 e o corpo girará de um ângulo infinitesimal 
 sendo
O trabalho 
 realizado pela força, durante esta pequena rotação, é
onde 
 é o componente de 
 na direção de 
	Por seu turno, o termo 
 é o módulo do torque instantâneo, exercido por 
 sobre o corpo rígido, em relação ao eixo que passa por 
 de modo que
	
	(16)
Esta expressão diferencial do trabalho realizado na rotação (em relação a um eixo fixo) é equivalente à expressão 
 para o trabalho realizado na translação.
	Para obter a taxa com que se realiza trabalho no movimento de rotação (ao redor de um eixo fixo), deve-se dividir ambos os membros da Eq.16 pelo intervalo infinitesimal de tempo 
 durante o qual o corpo se move de um ângulo 
 obtendo
	
	
(17)
A Eq.17 é, na rotação, a equivalente de 
 para o movimento de translação.
	Aplicando várias forças 
 
 etc., sobre o corpo, no plano normal a seu eixo de rotação, o trabalho realizado por essas forças sobre o corpo, durante uma pequena rotação 
 será
	
	(18)
expressões nas quais 
 é igual a 
 que é o deslocamento do ponto de aplicação de 
 e 
 é o ângulo entre 
 e 
 etc., e onde 
 é, agora, o torque resultante em relação ao eixo que passa por 
 Ao calcular este somatório, cada torque será considerado positivo ou negativo segundo o sentido em que, por si só, tenderia a fazer o corpo girar em torno de seu eixo. Arbitrariamente, o torque é tomado como positivo se o efeito do mesmo produzir uma rotação no sentido anti-horário e, negativo, se produzir uma rotação no sentido horário.
	Não existe movimento interno dos pontos materiais dentro de um corpo verdadeiramente rígido. Os pontos sempre conservam posições relativas fixas entre si e movem-se somente em conjunto com o corpo. Logo, não há dissipação de energia dentro de um corpo verdadeiramente rígido. Portanto, pode-se igualar a taxa com que se realiza trabalho sobre o corpo àquela com que varia sua energia cinética. A taxa com que se realiza trabalho sobre o corpo é dado pela Eq.17, e a rapidez com que varia a energia cinética de um corpo rígido é dada por
Mas 
 é constante porque o corpo é rígido e o eixo está fixo. Logo
	
	
(19)
Igualando as Eqs.18 e 19, obtém-se
	
	(20)
	A Eq.20 é equivalente à da 2a lei do movimento, 
 para o movimento de rotação de um corpo rígido. Aqui a soma dos torques 
 é análoga à soma das forças 
 o momento de inércia 
 é análogo à massa 
 e a aceleração angular 
 é análoga à aceleração linear 
9.7 – Movimento combinado de translação e de rotação de um corpo rígido
	Até aqui foi considerado apenas a situação de corpos que giram em torno de algum eixo fixo. Contudo, quando uma bicicleta se move em linha reta, o centro de cada uma das rodas se desloca para frente executando um movimento de translação pura. Entretanto, um ponto qualquer localizado no aro da roda segue uma trajetória mais complexa denominada ciclóide. Nesta seção será analisado o rolamento de uma roda considerando-o, primeiramente, como a combinação de uma translação pura com uma rotação pura e, em seguida, apenas como rotação.
No caso da roda de uma bicicleta que passa a uma velocidade constante, rolando suavemente, sem deslizar. O centro de massa da roda move-se para frente a uma velocidade constante 
 O ponto 
 onde a roda e o chão estão em contato, também se move para frente com velocidade 
 de modo que ele está sempre situado diretamente abaixo do centro de massa.
A Fig.6 mostra o movimento de rolamento de uma roda é uma combinação de dois movimentos: um puramente translacional e outro puramente rotacional.