Matemática Básica: Conjuntos e Operações

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Unidade I
MATEMÁTICA
Prof. Me. Antônio Palmeira
Conteúdo da Disciplina
 Números reais
 Expressões algébricas
 Equações
 Inequações
 Funções
 Sistema de equações
 Regra de três simples e composta
 Porcentagem
Por que estudar matemática?
 Retomar conceitos básicos já aprendidos.
 Criar uma base de conhecimento para outras disciplinas.
 Adquirir “familiaridade” com números.
 Na vida muita coisa inclui matemática.
Noções básicas primitivas em matemática
Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, 
são aceitas sem a necessidade de definição. São elas:
 conjunto;
 elemento;
 pertinência entre elemento e conjunto.
 Mesmo assim, indicaremos algumas ideias destes conceitos.
Conjunto
Sua noção matemática se assemelha ao significado comum da 
palavra, que indica coleção ou agrupamento. Alguns exemplos:
 conjunto das letras do alfabeto;
 conjunto dos planetas do Sistema Solar;
 conjunto dos meses do ano;
 conjunto dos algarismos romanos;
 conjunto dos números pares;
 conjunto dos números primos;
 conjunto das soluções da equação x² = 4.
Elemento
Cada item que compõe um conjunto é chamado de elemento. 
Nos conjuntos citados anteriormente, temos os seguintes 
elementos para alguns deles:
 conjunto das letras do alfabeto: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, 
n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z;
 conjunto dos algarismos romanos: I, V, X, L, C, D, M;
 conjunto dos números pares: 0, 2, 4, 6, 8 etc.;
 conjunto das soluções da equação x² = 4: -2, 2.
Pertinência
 Quando um elemento faz parte de um conjunto, afirmamos 
que ele pertence a esse conjunto. 
 Por exemplo, o número 2 pertence ao conjunto dos números 
pares, mas o número 3 não pertence a esse conjunto.
Representação dos Conjuntos
 Geralmente, um conjunto é indicado por letras maiúsculas 
(A, B, C etc.) e seus elementos são indicados por letras 
minúsculas (x, y, a, b, c etc.).
 Um conjunto ainda pode ser indicado com seus elementos 
representados entre chaves ou por uma descrição. 
Exemplo:
 A = conjunto dos números de um dado
 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Representação dos Conjuntos (Diagrama de Venn)
Fonte: Livro-texto. 
Conjunto Finito e Infinito
Em um conjunto infinito, representamos alguns de seus 
elementos e depois colocamos reticências. Exemplo:
 B = conjunto dos números pares
 B = {0, 2, 4, 6,...}
Em um conjunto finito também podemos usar reticências, basta 
que indiquemos o último elemento do conjunto para representar 
sua finitude. Exemplo:
 C = conjunto dos múltiplos de 3 menores que 100
 C = {0, 3, 6, 9,..., 99}
Relação de Pertinência
Usa-se o símbolo ∈ para indicar que um elemento pertence a um 
conjunto e ∉ para indicar que um elemento não pertence a um 
conjunto. Por exemplo, 
 A = {0, 2, 4, 6, 8, 10,...}
 B = {1, 3, 5, 7, 9, 11,...}
 Para indicar que o 2 pertence ao conjunto dos números pares, 
escrevemos: 2 ∈ A. 
 Para indicar que o 2 não pertence ao conjunto dos números 
ímpares, escrevemos: 2 ∉ B.
Conjunto Vazio
 É aquele que não possui elemento algum e é indicado 
por ∅ ou { }. 
Exemplo: 
 Seja M o conjunto de meses do ano que começam 
com a letra P: M = ∅ ou M = { }
 Já que nenhum mês do ano começa pela letra P, 
o conjunto M é vazio.
Vejamos outro exemplo:
 C = {x | x > 4 e x < 3} = ∅
 Essa notação indica que o conjunto C é composto pelos 
elementos maiores que 4 e, simultaneamente, menores que 3. 
Conjunto Unitário
 É aquele que possui um único elemento. Exemplo:
 seja M o conjunto dos meses do ano que possuem 
exatamente quatro letras, assim:
 M = {maio}
 Como apenas o mês de maio satisfaz a condição apresentada, 
esse conjunto possui apenas um elemento e recebe a 
denominação de conjunto unitário.
Conjunto Universo
 Conjunto universo: essa designação é usada geralmente 
quando se desenvolve um assunto em matemática e se quer 
indicar todos os elementos utilizados no referido assunto. 
 Esse conjunto é representado por U.
 Exemplo: em um estudo sobre os meses do ano, o conjunto 
universo terá como elementos os 12 meses do ano.
Operações com Conjuntos
 Igualdade
 Subconjunto
 União
 Intersecção
 Diferença
 Complementar
Operações com Conjuntos (Igualdade)
Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos 
os elementos de A são também elementos de B e vice-versa. 
Exemplos: 
Considere agora os seguintes conjuntos:
 C = {x | x + 5 = 12}
 D = {7}
 Logo, C = D
 Como consequência da definição de igualdade, temos A ≠ B 
(A diferente de B), ou seja, ao menos um elemento de A não 
pertence a B ou ao menos um elemento de B não pertence a A.
Interatividade
A relação de pertinência acontece sempre:
a) entre conjuntos.
b) entre conjuntos unitários.
c) entre elementos e elementos.
d) entre elementos e conjuntos.
e) do mesmo modo que a relação estar contido e contém.
Operações com Conjuntos (Subconjunto)
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente 
se, todo elemento de A também for elemento de B. Para indicar 
a situação de subconjunto, escrevemos A ⊂ B. Exemplo:
 {a} ⊂ {a, b, c, d, e}
Fonte: Livro-texto. 
Operações com Conjuntos (Subconjunto)
 Outra notação que deriva da ideia de inclusão é B ⊃ A, 
que indica que o conjunto B contém o conjunto A.
 Além disso, se o conjunto A não for subconjunto de B, 
podemos escrever A ⊄ B. 
 Exemplo: {a, b, c} ⊄ {a, e, i, o, u}
 Assim, usando a premissa de inclusão, podemos escrever 
a igualdade da seguinte forma: A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A.
Operações com Conjuntos (União)
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama-se união de 
A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem 
a A ou a B. Em símbolos, a união é indicada assim:
 A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo:
 A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}
Operações com Conjuntos (Intersecção)
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama-se intersecção de 
A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a 
A e a B. Em símbolos, a intersecção é indicada assim:
 A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo:
 A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → A ∩ B = {2, 4}
Operações com Conjuntos (Diferença)
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, chama-se diferença 
entre o conjunto A e o conjunto B o conjunto de todos os 
elementos de A que não pertencem ao conjunto B. Em símbolos, 
a diferença entre conjuntos é indicada assim:
 A − B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8, 10} → 
A − B = {1, 3}.
Operações com Conjuntos (Complementar)
Dados dois conjuntos A e B quaisquer, se B é subconjunto 
de A, a diferença entre os conjuntos A e B é denominada 
complementar do subconjunto B. Em símbolos, a complementar 
de B em relação a A é indicada assim:
 B ⊂ A → Bc = A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}
Exemplo:
 A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {2, 4} → A − B = {6, 8, 10}
Conjunto dos Números Naturais
O conjunto dos números naturais é composto por todos 
os números inteiros não negativos. Ele é representado 
pela seguinte notação:
 N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
 Usa-se o asterisco (*) para indicar que o zero não pertence 
ao conjunto.
 Veja o exemplo: N*={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}
Conjunto dos Números Inteiros
O conjunto dos números inteiros é composto por todos os 
números inteiros positivos e negativos e também pelo zero. 
Esse conjunto é representado pela seguinte notação:
 Z={..., –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
 Z*={..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4,...}
 O conjunto dos números naturais é um subconjuntodo conjunto dos números inteiros.
 N ⊂ Z
Módulo de um número inteiro
 O módulo de um número inteiro é a distância entre 
o 0 (zero) e o número x em unidades. 
 Por exemplo, a distância do número 5 até o 0 (zero), 
em unidades, é 5, e a distância do número -5 até 
o 0 (zero) também é 5.
 Como o módulo mede a “distância” de um número até o zero, 
ele nunca assumirá valores negativos.
 Por essa razão, ao se extrair um número de um módulo, 
ele sempre será positivo.
Módulo de um número inteiro
 A notação de módulo é dada por duas barras verticais, 
como demonstrado a seguir:
 | 5 | = 5
 | -5 | = 5
 Observe que, para extrair um número do módulo, é só tirar as 
barras verticais e o sinal do número quando este for negativo.
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é composto por todos os 
números que podem ser escritos na forma de fração com 
denominador não nulo. Esse conjunto pode ser representado 
pela seguinte notação:
Fonte: Livro-texto. 
Decimal finito
 Todo número decimal finito, ou seja, que possui um número 
exato de algarismos após a vírgula, pertence ao conjunto dos 
números racionais, já que é possível que ele seja escrito em 
forma de fração.
Exemplos: 
Fonte: Livro-texto. 
Decimal infinito
 Todo número decimal infinito periódico possui um número 
sequencial repetitivo e infinito de algarismos após a vírgula e 
pertence ao conjunto dos números racionais, já que é possível 
que ele seja escrito em forma de fração. 
Exemplos:
Fonte: Livro-texto. 
Obter frações a partir de decimais infinitos
Fonte: Livro-texto. 
Conjunto dos números irracionais
 O conjunto dos números irracionais é composto por todos os 
números que não possuem representação na forma de fração, 
ou seja, são números que, na forma decimal, não são 
periódicos e não têm um número finito de casas. 
 É comum representar o conjunto dos números irracionais pelo 
símbolo I.
Exemplos:
 0,123456
 14,01020304
 π
Conjunto dos números reais
 O conjunto dos números reais é formado pela união dos 
números racionais e irracionais, ou seja, Q ∪ I=R. 
 O mais comum é representar os números reais pela reta 
geométrica dos reais, formada por todos os números reais 
nela inseridos uma única vez e em ordem crescente:
Fonte: Livro-texto. 
Interatividade
Sobre a operação complementar, é correto afirmar que:
a) Se A está contido em B, então o complementar 
de A é igual a B necessariamente.
b) A sempre é igual a B
c) Se A está contido em B, então o complementar 
de A é igual à diferença B e A.
d) Se A está contido em B, então não haverá complementar.
e) Se A está contido em B, então o complementar de A é zero.
Representação dos Conjuntos Numéricos 
pelo Diagrama de Venn
Fonte: Livro-texto. 
Arredondamento
 A aplicação da regra de arredondamento nos números se 
mostra particularmente útil quando estes possuem infinitos 
algarismos. 
 Para isso, basta aplicar a seguinte regra: verifique se 
o algarismo que se encontra imediatamente à direita do 
algarismo da ordem que se deseja arredondar é maior ou igual 
a 5, se for, incremente-o em 1, caso contrário, mantenha-o.
Exemplos
 12,6378 = 12,64
 1,561 = 1,56
Intervalos
 Intervalos são subconjuntos do conjunto dos números reais. 
Eles podem ser expressos diretamente na reta dos reais ou 
pelos delimitadores.
Eles podem ser:
 Intervalo aberto
 Intervalo fechado
 Intervalo aberto à direita
 Intervalo aberto à esquerda
 Intervalos infinitos
Intervalo aberto
Fonte: Livro-texto. 
Intervalo fechado
Fonte: Livro-texto. 
Intervalo aberto à direita
Fonte: Livro-texto. 
Intervalo aberto à esquerda
Fonte: Livro-texto. 
Intervalos infinitos
Fonte: Livro-texto. 
Operações com intervalos – União
Fonte: Livro-texto. 
Operações com intervalos – Intersecção
Fonte: Livro-texto. 
Operações com intervalos – Diferença
Fonte: Livro-texto. 
Expressões algébricas 
(Operações com frações)
Fonte: Livro-texto. 
Operações com expressões numéricas
Ordem:
 1º: Potenciação ou radiciação
 2º: Multiplicação ou divisão
 3º: Adição ou subtração
Prioridade:
 1º: Parênteses – ( )
 2º: Colchetes – [ ]
 3º: Chaves – { }
Operações com expressões numéricas
[30 ÷ 5 – (12 ÷ 3)] × (3 × 2 – 15 ÷ 3 ) + (14 + 6) ÷ 2 =
[30 ÷ 5 – 4 ] × ( 6 – 5 ) + ( 20 ) ÷ 2 =
[ 6 – 4 ] × ( 1 ) + 20 ÷ 2 =
[ 2 ] × ( 1 ) + 10 = 2 + 10 = 12
Potenciação
Fonte: Livro-texto. 
Propriedades da Potenciação
Fonte: Livro-texto. 
Interatividade
Podemos afirmar o intervalo a seguir é:
a) aberto.
b) fechado.
c) aberto à direita.
d) aberto à esquerda.
e) infinito.
Radiciação
A operação oposta à potenciação é a radiciação, 
expressa pela seguinte relação:
Fonte: Livro-texto. 
Propriedades da Radiciação
Fonte: Livro-texto. 
Classificações das expressões algébricas
Monômio
 -43ab3
Binômio
 5x − 43ab3
Trinômio
 100 + 5x − 43ab3
Polinômio
 b − a3 + bc + ab2 + 3ac – 5b
Fatoração
 Fatorar uma expressão é apresentá-la na forma 
de uma multiplicação.
 A fatoração é muito utilizada no processo de simplificação 
de expressões algébricas.
Fonte: Livro-texto. 
Produtos Notáveis
Fonte: Livro-texto. 
Equações
 A finalidade de uma equação é encontrar o valor da incógnita 
que torna a igualdade verdadeira.
Resolução de uma equação
 João tem R$ 10,00 e quer gastar seu dinheiro comprando 
trufas de chocolate. Se cada trufa custa R$ 2,50, quantas 
trufas João pode comprar com seu dinheiro?
 Para a resolução, adote x para representar a quantidade de 
trufas que João pode comprar com R$ 10,00, assim, x será 
a incógnita do problema. 
Agora, estruturemos a equação do problema:
2,5x = 10
X = 10 / 2,5 = 4
Equação do 1º grau
 A estrutura geral da equação do 1º grau é dada pela expressão 
ax + b = 0, sendo que a e b são números reais e a ≠ 0.
 Para resolver equações do 1º grau, é preciso isolar a incógnita 
em um dos lados da equação e apresentar o resultado no 
conjunto solução (S). 
 O valor da incógnita que torna a equação verdadeira 
é denominado raiz da equação.
Exemplo de Equação do 1º grau
Fonte: Livro-texto. 
Equação do 2º grau
 A estrutura geral da equação do 2º grau é dada pela expressão 
ax2 + bx + c = 0, sendo que a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
A equação do 2º grau também é denominada equação 
quadrática. As letras a, b e c presentes na equação são 
chamadas de coeficientes da equação. O coeficiente a 
acompanha x2, b acompanha x e c é o termo independente.
Resolução da Equação do 2º grau
 O principal método utilizado para calcular equações do 
2º grau é a fórmula de Bhaskara, expressa a seguir:
Fonte: Livro-texto. 
Exemplo de Equação do 2º grau 
Fonte: Livro-texto. 
Inequações
 As inequações são muito semelhantes às equações. A única 
diferença é que os resultados das inequações são intervalos 
de valores e, nas equações, os resultados são valores 
pontuais.
 A finalidade de uma inequação é encontrar todos os valores 
da incógnita que tornam a desigualdade verdadeira.
Resolução de uma inequação
 João tem R$ 10,00 e, sabendo que cada trufa custa R$ 2,50, 
quer saber até quantas trufas de chocolate pode comprar com 
seu dinheiro.
 Para a resolução, adote x para representar a quantidade 
de trufas que João pode comprar com seu dinheiro, ou seja, 
x será a incógnita do problema.
Agora, estruturemos a equação do problema:
 2,5x ≤ 10
Resolução da inequação
 Nessa igualdade, está implícita a seguintepergunta: quais são 
os valores de x que, ao serem multiplicados por 2,5, resultam 
em um valor menor ou igual a 10?
Para responder essa pergunta, basta resolver a inequação:
Fonte: Livro-texto. 
Resumo da Unidade I
 Números reais
 Expressões algébricas
 Equações
 Inequações
Interatividade
Na resolução de intervalos de valores, sempre utilizamos:
a) equações do 1º grau.
b) equações do 2º grau.
c) inequações.
d) monômios.
e) polinômios.
ATÉ A PRÓXIMA!