PE Maputo2017 4

Prévia do material em texto

Processos Estocásticos
Mestrado em Ciências Actuariais
Alexandra Bugalho de Moura
�ĚŝĕĆŽ�ŶǑ͗�ϵϱ
YƵĂĚƌŽƐ�ĚĞ�ĚŝǀĞƌƐĂƐ�ŽƌŐĂŶŝnjĂĕƁĞƐ�ŶĆŽͲŐŽǀĞƌŶĂŵĞŶƚĂŝƐ͕�ŵŝŶŝƐƚĠƌŝŽƐ�Ğ�ŝŶƐƟƚƵŝĕƁĞƐ�ĚĞ�ĞŶƐŝŶŽ�ƐƵƉĞƌŝŽƌ�ĞƐƟǀĞƌĂŵ�ƌĞƵŶŝĚŽƐ�Ă�ϭϬ�ĚĞ��ďƌŝů͕�Ğŵ�
DĂƉƵƚŽ͕�Ğŵ�^ ĞŵŝŶĄƌŝŽ�ƐŽďƌĞ�Ă�&ŽƌŵĂĕĆŽ�Ğ��ĚƵĐĂĕĆŽ�/ŶĐůƵƐŝǀĂ͘�KƌŐĂŶŝnjĂĚŽ�ƉĞůĂ�&ĂĐƵůĚĂĚĞ�ĚĞ��ĚƵĐĂĕĆŽ�ĚĂ�h�D�;&����Ϳ͕�Ž�ĞǀĞŶƚŽ�ƟŶŚĂ�ĐŽŵŽ�
ŽďũĞĐƟǀŽ�ƌĞŇĞĐƟƌ�ƐŽďƌĞ�Ă�ƋƵĞƐƚĆŽ�ĚĂ�ŝŶĐůƵƐĆŽ�ŶŽ�ƉƌŽĐĞƐƐŽ�ĚĞ�ĞŶƐŝŶŽ�Ğ�ĂƉƌĞŶĚŝnjĂŐĞŵ�ƋƵĞ�ĐŽŶƟŶƵĂ�ŵƵŝƚŽ�ĂƋƵĠŵ�ĚĂƐ�ĞdžƉĞĐƚĂƟǀĂƐ͕�ŶŽ�ƉĂşƐ͘
��WĄŐ͘�ϴ
�ďƌŝů��ͻ��ϮϬϭϱ
WĄŐ͘�ϰ
WĄŐ͘�ϲ
WĄŐ͘�Ϯ
&$,&&�GLVWLQJXLGR�QD�FDWHJRULD�GH�2XUR�
SHOD�*OREDO�,QQRYDWLRQ�:HHN�
�ĞĐŽƌƌĞƵ�ŶŽƐ�ĚŝĂƐ�ϴ�Ğ�ϵ�ĚĞ��ďƌŝů͕�Ğŵ�DĂƉƵƚŽ͕�Ž�^ ĞŵŝŶĄƌŝŽ�ZĞŐŝŽŶĂů�ƐŽďƌĞ�Ž��ĂƌďŽŶŽ�ĚŽƐ�
DĂŶŐĂŝƐ�ĚŽ��ĞůƚĂ�ĚŽ�ĂŵďĞnjĞ͘�K�ĞǀĞŶƚŽ͕�ƋƵĞ�ƌĞƷŶĞ�ă�ŵĞƐŵĂ�ƐĂůĂ�ĐŝĞŶƟƐƚĂƐ�ƌĞŐŝŽŶĂŝƐ�Ğ�
ŝŶƚĞƌŶĂĐŝŽŶĂŝƐ͕� ĐŽŶƐƟƚƵŝ� Ƶŵ� ĞƐƉĂĕŽ� ĚĞ� ĂƉƌĞƐĞŶƚĂĕĆŽ� ĚŽƐ� ƌĞƐƵůƚĂĚŽƐ� ĚŽ� WƌŽũĞĐƚŽ� ĚŽ�
�ĂƌďŽŶŽ�ĚŽƐ�DĂŶŐĂŝƐ�Ğ�ƉƌĞƚĞŶĚĞ�ƚƌĞŝŶĂƌ�ŽƐ�ƉĂƌƟĐŝƉĂŶƚĞƐ�ĚĞ�ŵĞƚŽĚŽůŽŐŝĂƐ�ĚĞ�ĂǀĂůŝĂĕĆŽ�
ĚŽ�ĐĂƌďŽŶŽ�Ğ�ĚĞ�ŵŽŶŝƚŽƌŝĂ͕�ŝŶǀĞŶƚĂƌŝĂĕĆŽ�ĚĂ�ǀĞŐĞƚĂĕĆŽ�Ğ�ŵĂƉĞĂŵĞŶƚŽ͘
��hŶŝǀĞƌƐŝĚĂĚĞ��ĚƵĂƌĚŽ�DŽŶĚůĂŶĞ�;h�DͿ�Ğ�Ž��ĂŶĐŽ��ŽŵĞƌĐŝĂů�Ğ�ĚĞ�/ŶǀĞƐƟŵĞŶƚŽƐ�;��/Ϳ�
ĂƐƐŝŶĂƌĂŵ�ŶĂ�ŵĂŶŚĆ�ĚĞ�ŚŽũĞ͕�ϬϮ�ĚĞ��ďƌŝů͕�ƵŵĂ��ĚĞŶĚĂ�ĚĞ��ŽŶƚƌĂƚŽ�ĚĞ�WĂƌĐĞƌŝĂ�ĞŶƚƌĞ�ĂƐ�
ĚƵĂƐ�ŝŶƐƟƚƵŝĕƁĞƐ�ǀŝƐĂŶĚŽ�Ž�ĂƉŽŝŽ�ĚĂƐ�ĂƌƚĞƐ�Ğ�ĐƵůƚƵƌĂ�ŶĂ�h�D͘���ƌĞŶŽǀĂĕĆŽ�ĚŽ�ĐŽŶƚƌĂƚŽ͕�
ĐŽŵ�ĚƵƌĂĕĆŽ�ĚĞ�ϯ�;ƚƌġƐͿ�ĂŶŽƐ͕�ƉĞƌŵŝƚĞ�Ă�h�D�Ƶŵ�ĞŶĐĂŝdžĞ�ĮŶĂŶĐĞŝƌŽ�ĚĞ�hŵ�DŝůŚĆŽ�ĚĞ�
DĞƟĐĂŝƐ� ĚĞƐƟŶĂĚŽƐ� ă� ĂĐƟǀŝĚĂĚĞƐ� ĚĞ� ĚĞƐĞŶǀŽůǀŝŵĞŶƚŽ� ĚŽƐ� ŵƵƐĞƵƐ� Ğ� ĞƐƉĂĕŽƐ�
ŵƵƐĞŽůſŐŝĐŽƐ͘�
8(0�H�%&,�UHQRYDP�SDUFHULD
0DSXWR�DFROKH�6HPLQiULR�5HJLRQDO�
VREUH�R�&DUERQR�GRV�0DQJDLV
81,9(56,'$'(
( ' 8$ 5 ' 2
021'/$1(
�ŽůĞƟŵ�/ŶĨŽƌŵĂƟǀŽ�ĚĂ�hŶŝǀĞƌƐŝĚĂĚĞ��ĚƵĂƌĚŽ�DŽŶĚůĂŶĞ
)$&('�UHDOL]D�SULPHLUR�
6HPLQiULR�VREUH�(GXFDomR�
,QFOXVLYD�QR�SDtV
Agosto 2017
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 1 / 23
Outline
Outline
1 Cadeias de Markov a tempo discreto
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Modelação. Estimação e simulação
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 2 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto
Teoremas limite: distribuição estacionária
Observações
piP2 = (piP)P = pi; · · · ; piPn = pi;
Distribuição-limite:
pij = lim
n→∞P
(k)
ij ∀j ∈ S
Distribuição estacionária (independente do estado inicial):
lim
n→∞Pr{Xn = i} ∀i ∈ S
Pode não existir o lim. ⇒ @ distr. estacionária;
Pode existir o lim. mas não é d.prob. ⇒ @ distr. estacionária;
Se existe distr.-limite, existe distr. estacionária e coincidem ;
Pode existir distr. estacionária e não existir distr.-limite.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 3 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto
Teoremas limite: distribuição estacionária
Exemplo
P =
[
0 1
1 0
]
→ P2 =
[
1 0
0 1
]
→ P3 =
[
0 1
1 0
]
· · ·
P não tem distribuição limite:
P
(n)
ii =
{
1 i = 1, 2 n par
0 i = 1, 2 n impar ⇒ @ dist.lim.
Mas P tem distribuição estacionária:
Pr{Xn = 1} = Pr{Xn = 1|X0 = 1}Pr{X0 = 1}+ Pr{Xn = 1|X0 = 2}Pr{X0 = 2}
= P
(n)
11 ×
1
2
+ P
(n)
21 ×
1
2
= 1/2
⇒ Pr{Xn = 2} = 1/2
[
1/2 1/2
]︸ ︷︷ ︸
pi
[
0 1
1 0
]
︸ ︷︷ ︸
P
=
[
1/2
1/2
]
︸ ︷︷ ︸
pi
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 4 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto
Teoremas limite: distribuição estacionária
Teorema: distribuição limite
Se P é regular, então a distribuição limite é independente do estado inicial e é dada por{
pi = piP∑
k pik = 1
Neste caso
lim
n→∞P
n
ij = pij
Ou seja
Pn −→n→+∞
 pi1 pi2 · · · piNpi1 pi2 · · · piN... ... ...

︸ ︷︷ ︸
todas as linhas são iguais a pi
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 5 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto
“Teorema-limite fundamental” das cadeias de Markov
Relembrar
Considerem-se, para um estado recorrente i :
a probabilidade do 1o retorno a i em n passos
f
(n)
ii = Pr{Ri = n|X0 = i}
o tempo (n) da 1a chegada a i
Ri = min{n ≥ 1;Xn = i}
Relembre-se o tempo médio para retornar ao estado i :
mi = E [Ri |X0 = i ] =
∞∑
n=1
nf
(n)
ii
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 6 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto
“Teorema-limite fundamental” das cadeias de Markov
Teorema
Sejam, uma cadeia de Markov recorrente, irredutível e aperiódica, P(n)ii , f
(n)
ii (P
(0)
ii = 1, e f
(0)
ii = 0).
Então,
pii = lim
n→∞P
(n)
ii = limn→∞P
(n)
ji =
1
mi
,∀i , j ∈ S .
Observações
pik representa a probabilidade do processo estar no estado j , depois de estar a operar há
muito tempo
pik representa a fracção de tempo, no longo prazo, que o processo passa no estado j
Se mi <∞, pi > 0 e o estado i é recorrente positivo.
Se mi =∞, pi = 0 e o estado i é recorrente nulo.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 7 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto
Teoremas limite: distribuição estacionária
Observações
A velocidade de convergência depende da matriz P
Teoricamente os resultados são valido para um número infinito de passos, mas a distribuição
limite pode ser atingida num número finito de passos
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 8 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto
Teoremas limite: distribuição estacionária
Notas
Se C for uma classe recorrente, P(n)ij = 0, i ∈ C , j /∈ C , a submatriz associada ||Pij || ∀i , j ∈ C
é matriz de prob.s de transição e a cadeia associada é irredutível e recorrente.
O teorema-limite aplica-se a toda a classe recorrente aperiódica.
Teorema
Se uma classe for recorrente positiva aperiódica, então o seguinte sistema de equações determina
univocamente a distribuição pi (pi0, pi1, . . . ):
pij = lim
n→∞P
(n)
jj =
∞∑
k=0
pikPkj ∀j = 0, 1, · · · ⇔ pi = piP
∞∑
k=0
pik = 1
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 9 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo Bonus-malus
Regras: 4 níveis de desconto, transições semelhantes ao anterior, mas com 2 ou 1 níveis se no ano
anterior teve ou não sinistros.
0: 0% desconto;
1: 25% desconto;
2: 40% desconto;
3: 60% desconto.
O processo é semi-Markov. O ‘Estado 2’ precisa de ser dividido:
2+: 25% desconto;
2−: 40% desconto.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 10 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo Bonus-malus
P =

1/4 3/4 0 0 0
1/4 0 3/4 0 0
0 1/4 0 0 3/4
1/4 0 0 0 3/4
0 0 0 1/4 3/4
 .
A probabilidade de obter desconto de 60% no ano n + 3, dado que detém 25% em n é:
P
(3)
1,3 =
(
P3
)
2,5 = 27/64
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 11 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo: Modelo 3, Bonus-malus, Centeno [2003]
Seguro automóvel obrigatório, contra terceiros:
30% desconto, sem sinistros em 2 anos seguidos.
15% agravamento, 1 indemnização
30% agravamento, 2 indemnizações
45% agravamento, 3 indemnizações
100% agravamento, 4 indemnizações
> 4 sinistros, caso a caso...
Diretamente, o sistema não é Markoviano, há que dividir classes...
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 12 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo: Modelo 3, Bonus-malus, Centeno [2003]C1 Apólices com 30% bonus
C2 Apólices sem bonus nem malus no 2o ano consecutivo
C3 Apólices sem bonus nem malus no 1o ano
C4 Apólices com 15% mais e sem sinistros no ano
C5 Apólices com 15% mais e sinistro no ano
C6 Apólices com 30% mais e sem sinistro no ano
C7 Apólices com 30% mais e sinistros no ano
C8 Apólices com 45% mais e sem sinistros no ano
C9 Apólices com 45% mais e sinistros no ano
C10 Apólices com 100% mais e sem sinistros no ano
C11 Apólices com 100% mais e sinistros no ano.
Agora é de Markov.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 13 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo: Modelo 3, Bonus-malus, Centeno [2003]
Vector de prémios (índices, %)
b = (70, 100, 100, 115, 115, 130, 130, 145, 145, 200, 200)
Matriz das regras de transição T :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 {0} {1} {2} {3} {4, ...}
2 {0} {1} {2} {3} {4, ...}
3 {0} {1} {2} {3} {4, ...}
4 {0} {1} {2} {3, ...}
5 {0} {1} {2} {3, ...}
6 {0} {1} {2, ...}
7 {0} {1} {2, ...}
8 {0} {1, ...}
9 {0} {1, ...}
10 {0} {1, ...}
11 {0} {1, ...}
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 14 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo: Modelo 3, Bonus-malus, Centeno [2003]
Se o número de indemnizações for de Poisson(λ), P∆,λ
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 15 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Cadeias não irredutíveis
A cadeia não é irredutível. Classe de Estados {C2,C3} transitórios. Classe
{C1,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11} é classe de estados recorrente positivos e aperiódicos. Re-
ordernar estados
P∆,λ =
[
P1,(∆,λ) P3,(∆,λ)
0 P2,∆,λ
]
P1,∆,λ: Matriz de transição dentro de {C2,C3}
P3,∆,λ: Matriz de transição entre {C2,C3} e {C1,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11}
P2,∆,λ: Matriz de transição entre {C1,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10,C11}.
P2∆,λ =
[
0 P1,(∆,λ)P3,(∆,λ) + P3,(∆,λ)P2,(∆,λ)
0 P22,(∆,λ)
]
;
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 16 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Cadeias não irredutíveis
P21,∆,λ =
[
0 0
0 0
]
=
[
0 0
a 0
]2
Pn∆,λ =
[
0
(
P1,(∆,λ)P3,(∆,λ) + P3,(∆,λ)P2,(∆,λ)
)
Pn−22,(∆,λ)
0 Pn2,(∆,λ)
]
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 17 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo: Modelo 3, Bonus-malus, Centeno [2003]
No nosso exemplo
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 18 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Cadeias não irredutíveis
Retomar
Pn∆,λ =
[
0
(
P1,(∆,λ)P3,(∆,λ) + P3,(∆,λ)P2,(∆,λ)
)
Pn−22,(∆,λ)
0 Pn2,(∆,λ)
]
Calculando o limite
lim
n→∞P
n
∆,λ =
[
0
(
P1,(∆,λ)P3,(∆,λ) + P3,(∆,λ)P2,(∆,λ)
)
limPn−22,(∆,λ)
0 limn→∞ Pn2,(∆,λ)
]
P∞2,(∆,λ) = limn→∞P
n−2
2,(∆,λ) and P
∞
2,(∆,λ) = P
∞
2,(∆,λ)P2,(∆,λ)
or 0 = P∞2 (I− P2)
Pn∆,λ tende para uma matriz com todas as linhas iguais, da forma
Pn∆,λ →
[
0 | P∞2,(∆,λ)
]
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 19 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exemplo: Modelo 3, Bonus-malus, Centeno [2003]
Com λ = 0.1, temos P∞2,(∆,λ) =(
0.81873 0.067032 0.074082 0.014905 0.016473 0.0032584
0.0036011 91126× 10−4 10071× 10−3 )
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 20 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exercício
Considere um sistema de Bonus-Malus com os níveis de desconto de 0%, 25%, 40% e 50% do
prémio inicial total e as seguintes regras:
Todos os segurados começam no nível 0%
Se não houver indemnizações durante o ano corrente, então o segurado sobe um nível, ou
permanece no nível de desconto máximo
Se houver uma indemnização o segurado desce um nível ou permanece no nível de desconto
mínimo
Se houverem duas ou mais indemenizações no ano, o segurado desce dois níveis ou
permanece no nível de desconto mínimo
Assuma que a probabilidade de não ter indemnizações é 0.9 e a probabilidade de ter uma indem-
nização é 0.05.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 21 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
Exercício
1 Descreva o modelo como uma cadeia de Markov
2 Determine a probabilidade de um segurado ter o desconto máximo no ano n + 3, sabendo
que tem o desconto máximo no ano 3
3 Determine o prémio esperado no terceiro ano de um segurado cujo o prémio a priori é 500
4 Determine, no longo prazo, a percentagem de apólices em cada nível de desconto.
5 Qual é a duração média entre visitas ao nível de desconto 0?
6 Determine, para um segurado escolhido ao acaso, o prémio médio no longo prazo, com
percentagem do prémio a priori
7 Usando a análise baseada no primeiro passo, escreva o sistema de equações que permite
calcular o número médio de anos que um segurado que entrou agora na companhia leva a
chegar, pela primeira vez, ao nível de desconto máximo.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 22 / 23
Cadeias de Markov a tempo discreto Modelação. Estimação e simulação
Modelação. Estimação e simulação
Estimação
Depois de determinado o espaço de estados, o modelo de Markov precisa de estimar as probabilidade
de transição. Sejam (x1, x2, ..., xn) as observações, definir
ni : No de vezes tal que xt = i , 1 ≤ t ≤ n − 1;
nij : No de vezes tal que xt = i e xt+1 = j , 1 ≤ t ≤ n − 1.
Então, Pˆij =
nij
ni
. Nij |Ni _ Binomial(Ni ;Pij ).
Simulação
A Simulação de cadeias de Markov homogéneas é bastante simples, já que do histórico apenas
precisamos da última realização. Ou seja, conhecemos a distribuição condicionada de Xt+1 dado
Xt (f.p. condicionada), apenas geramos números aleatórios com essa distribuição.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 23 / 23
	Cadeias de Markov a tempo discreto
	Aplicação a sistemas de bonus-malus no seguro automóvel
	Modelação. Estimação e simulação