PE Maputo2017 5.1

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Processos Estocásticos
Mestrado em Ciências Actuariais
Alexandra Bugalho de Moura
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Agosto 2017
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 1 / 16
Outline
Outline
1 Processos de Poisson
Distribuições Associadas
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 2 / 16
Processos de Poisson
Processos de contagem
Processos de contagem
Um processo estocástico é um processo de contagem {N(t); t ≥ 0} se N(t) é o número de
acontecimentos em (0, t].
Ou seja, um processo de contagem é um processo estocástico {Nt}t>0 tal que:
pode ser em tempo discreto ou contínuo
tem espaço de estados S = {0, 1, 2, 3, . . .}
Nt é função não decrescente de t
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 3 / 16
Processos de Poisson
Processos de contagem de Markov
Processos de contagem de Markov
Processo de contagem Nt satisfazendo a propriedade de Markov:
P(Nt = k|Nt1 = x1, . . . ,Ntn = xn) = P(Nt = k|Ntn = xn), t1 < t2 < · · · < tn < t
A maior prate dos processos de contagem de interesse são de Markov.
Probabilidade de transição
Num processo de contagem de Markov:
pk,k+n(s, t) = P(Nt − Ns = n|Ns = k)
Probabilidade do número de eventos entre s e t ser n, sabendo que o número de eventos até
s é k, com s < t.
Trata-se de uma probabilidade de transição (probabilidade condicional)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 4 / 16
Processos de Poisson
Processos de contagem
Distribuição marginal de Nt
Assumindo N0 = 0
pn(t) = P(Nt = n) = p0,n(0, t)
Distribuição marginal do incremento Nt − Ns
Pelo teorema das probabilidades totais (N0 = 0)
P(Nt − Ns = n) =
+∞∑
k=0
P(Nt − Ns = n|Ns = k)P(Ns = k)
=
+∞∑
k=0
pk,k+n(s, t)pk (s)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 5 / 16
Processos de Poisson
Processos de contagem homogéneos e estacionários
Processos de contagem homogéneos
Se a probabilidade condicional
pk,k+n(s, t) = P(Nt − Ns = n|Ns = k)
depender apenas do tamanho do intervalo (t − s), s < t, então o processo diz-se homogéneo
Processo de contagem estacionário
Se a probabilidade incondicional
P(Nt − Ns = n)
depende apenas do tamanho do intervalo (t − s), s < t, então o processo diz-se estacionário.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 6 / 16
Processos de Poisson
Processos de contagem
Processo de nascimento não homogéneo
Um processo de nascimento não homogéneo é um processo de contagem de Markov tal que, para
todo h −→ 0+
pk,k+1(t, t + h) = λk (t)h + o(h), k = 0, 1, . . .
pk,k+n(t, t + h) = o(h), k = 0, 1, . . . , n = 2, 3, . . .
Processo de nascimento homogéneo
Caso particular do anterior quando λk é independente de t.
Um caso muito especial de um processo de nascimento homogéneo é o processo de Poisson
(homogéneo), que se obtém quando λk (t) é constante, λ
Casos particulares
λk (t) = λk : processo de nascimento homogéneo
λk (t) = λ: processo de Poisson homogéneo
λk (t) = λ(t): processo de Poisson não homogéneo
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 7 / 16
Processos de Poisson
Processos de Poisson
Processo de Poisson homogéneo, ou Processo de Poisson, de intensidade λ
Processo de contagem {Nt}t>0, com N(0) = 0, tal que
(i) {Nt}t>0 tem incrementos independentes
(ii) {Nt}t>0 tem incrementos estacionários
(iii) ∀h −→ 0+, P(N(h) > 1) = λh + o(h)
(iv) ∀h −→ 0+, P(N(h) > 2) = o(h)
Postulados
Os postulados anteriores podem ser escritos da seguinte forma:
(i) Seja t0 = 0 < t1 < · · · < tm. As v.a.’s N ((0, t1]) ,N ((t1, t2]) , . . . ,N ((tm−1, tm]), são
independentes
(ii) ∀t ≥ 0, h > 0, N ((t, t + h]) d=N ((0, h]) ≡ N(h)
(iii) ∃ const. λ > 0:
Pr [N ((t, t + h]) ≥ 1] = λh + o(h), qdo h→ 0+
(
limh→0+
o(h)
h
= 0
)
(iv) Pr [N ((t, t + h]) ≥ 2] = o(h), qdo h→ 0+
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 8 / 16
Processos de Poisson
Processos de Poisson
Processo de Poisson: alguns comentários
(i): Eventos independentes;
(ii): Estacionaridade: N ((s, t]) d=N(t − s) (número de eventos no intervalo (s, t]). Processo
homogéneo.
(iii): Lei dos Acontecimentos Raros
(iv): Ausência de eventos simultâneos
É suficiente o conhecimento da distribuição N(t).
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 9 / 16
Processos de Poisson
Processos de Poisson
Processo de Poisson não homogéneo
Se retirarmos o postulado (ii) e substituirmos (iii) de tal forma que a intensidade do processo
depende de t, obtém-se o processo de Poisson não homogéneo
Processo de Poisson generalizado
Se retirarmos o postulado (iv), otém-se o processo de Poisson generalizado
Discussão dos postulados
(i) : Excluem-se reações em cadeia, de contágio (por exemplo incêndios ou epidemias)
(ii)/(iii) : Existem situações em que não são verificadas (p.e. sazonalidade). Nalguns casos o tempo
pode ser divido em subintervalos, considerando-se subprocessos com diferentes intensidades.
(iv) : Esta limitação pode ser superada. Por exemplo, um acidente envolvendo dois automóveis,
segurados na mesma companhia, pode ser considerado como apenas um sinistro.
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 10 / 16
Processos de Poisson
Processos de Poisson
Teorema
Se {Nt}t>0 é um processo de Poisson, então a variável Nt tem distribuição de Poisson com média
λ t, ∀t > 0:
Nt ∼ Poisson(λt) ⇐⇒ P(Nt = n) = e
−λt(λt)n
n!
Observações
Note-se que, então,
pk,k+n(s, t) =
[λ(t − s)]ne−λ(t−s)
n!
, n = 0, 1, . . . ou seja Nt − Ns ∼ Poisson(λ(t − s))
o parametro λ designa-se de taxa média ou intensidade do processo e representa o número
médio de ocorrências por unidade de tempo
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 11 / 16
Processos de Poisson
Processos de Poisson
Características do processo de Poisson
E(Nt) = λt
Var(Nt) = λt
Cov(N(s),N(t)) = λmin(s, t)
Caracterização do processo de Poisson (relembrar)
Tendo em conta o anteriormente exposto, um processo de contagem {Nt ; t ≥ 0} com Nt = 0 é
um Processo de Poisson deintensidade λ se verificar as seguintes condições:
(a) {Nt ; t ≥ 0} tem incrementos estacionários e independentes,
(b) Para qualquer t > 0, Nt tem distribuição de Poisson de média λt.
Várias maneiras de identificar um Processo Poisson:
Processo de Nascimento c/ taxa de nascimento constante
Proc. de Renovamento c/ tempo inter-chegadas Exponencial
Processo com espaço de chegadas nos inteiros não-negativos, incrementos estacionários e
saltos unitários
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 12 / 16
Processos de Poisson Distribuições Associadas
Relação com a distribuição Exponencial
Instante da k-ésima ocorrência
Wk : instante da k-ésima ocorrência
Tempo de espera
Tk = Wk+1 −Wk
Representa
o tempo entre os eventos k e k + 1
o tempo de permanência (tempo de espera) do processo no estado k
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 13 / 16
Processos de Poisson Distribuições Associadas
Relação com a distribuição Exponencial
Teorema
O tempo entre chegadas sucessivas T0,T1, . . . ,Tk , . . . são variáveis i.i.d (independentes e identi-
camente distribuídas), com distribuição exponencial de média 1/λ:
Tk ∼i.i.d. Exp
(
1
λ
)
Ou seja
fTk (x) = λe
−λx
FTk (x) = 1− e−λx
E(Tk ) =
1
λ
Propriedade da falta de memória da distribuição Exponencial (relembrar)
P(T > t + s|T > s) = P(T > t)
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 14 / 16
Processos de Poisson Distribuições Associadas
Relação com a distribuição Exponencial
Teorema
Tem-se
Wk =
k−1∑
i=0
Ti
Logo Wk tem distribuição Gamma (soma de exponenciais i.i.d.): Wk ∼ Gamma
(
k,
1
λ
)
:
P(Wk 6 t) = P(Nt > k) =
+∞∑
i=k
(λt)ie−λt
i!
= 1−
n−1∑
i=0
(λt)ie−λt
i!
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 15 / 16
Processos de Poisson Distribuições Associadas
Processo de Poisson
Exercício
Seja Nt o número de indemnizações de um cliente até ao instante t. Considere o ano como unidade
de medida e λ = 0.1.
Qual a probabilidade do cliente não ter nenhuma indemnização no primeiro semestre?
Qual a probabilidade do cliente ter uma indemnização em dois anos?
Qual a probabilidade do tempo entre a segunda e a terceira indemnização ser superior a um
ano?
Alexandra Bugalho de Moura Processos Estocástico, UEM Agosto 2017 16 / 16
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