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Tipos de Flexão Concreto I

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FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES – CAPÍTULO 7 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos. 
12 maio 2003 
 
 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
7.1 HIPÓTESES 
No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem 
ser considerados separadamente. Portanto, será considerado somente o momento 
fletor, ou seja, flexão pura. 
Admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as 
envolve, ou seja, a deformação específica de cada barra da armadura é igual à do 
concreto adjacente. 
A resistência do concreto à tração é desprezada, ou seja, na região do 
concreto sujeita à deformação de alongamento, a tensão no concreto é considerada 
nula. 
Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais, admite-se a 
validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o 
estado limite último, desde que a relação abaixo seja mantida: 
2
d
0 >l 
l0 → distância entre as seções de momento fletor nulo 
d → altura útil da seção 
Com a manutenção da forma plana da seção, as deformações específicas 
longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até a 
linha neutra. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.2 
7.2 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO 
Permite-se substituir o diagrama parábola-retângulo pelo retangular, com 
altura y = 0,8x e tensão σc = 0,85fcd = 0,85fck/γc, exceto nos casos em que a seção 
diminuir a partir da linha neutra no sentido da borda mais comprimida. Nestes casos, 
σc = 0,95 . 0,85fcd ≈ 0,80fcd. Os diagramas de tensões e alguns tipos de seção 
encontram-se nas Figuras 7.1 e 7.2, respectivamente. 
2,0‰
0,85 f
0,85 f
0,80 f
ou
h
x
y = 0,8x
 = 3,5‰εc
cd
cdcd
 
Figura 7.1 – Diagrama de tensões 
= 0,85fσ = 0,85fσ = 0,80fσ = 0,80fσcd cd cd cd cd cd cd cd
 
Figura 7.2 – Alguns tipos de seção e respectivas tensões, para diagrama retangular 
7.3 DOMÍNIOS POSSÍVEIS 
Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição da linha 
neutra deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a 
seção está toda tracionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda 
comprimida. Os domínios citados estão indicados na Figura 7.3. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.3 
 
Figura 7.3 – Domínios de deformação 
7.3.1 Domínio 2 
No domínio 2, a ruína se dá por deformação plástica excessiva do aço, com 
a deformação máxima de 10‰; portanto, σsd = fyd. A deformação no concreto varia 
de 0 até 3,5‰ (Figura 7.4). Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade 
máxima e, portanto, é mal aproveitado. A profundidade da linha neutra varia de 0 até 
0,259d (0< βx < 0,259), pois: 
( ) 259,0)105,3(
5,3
sc
c
23x =+=ε+ε
ε=β
 
Figura 7.4 – Deformações no Domínio 2 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.4 
7.3.2 Domínio 3 
No domínio 3, a ruína se dá por ruptura do concreto com deformação 
máxima εc = 3,5‰ e, na armadura tracionada, a deformação varia de εyd até 10‰, ou 
seja, o aço está em escoamento, com tensão σs = fyd (Figura 7.5). 
É a situação ideal de projeto, pois há o aproveitamento pleno dos dois 
materiais. A ruína é dúctil, pois ela ocorre com aviso, havendo fissuração aparente e 
flechas significativas. Diz-se que as seção é subarmada. A posição da linha neutra 
varia de 0,259d até x34 (0,259 < βx < βx34). 
( ) )5,3(
5,3
ydsc
c
34x ε+=ε+ε
ε=β ; 
s
yd
yd E
f=ε 
cuε
sε
cuε
sεε <
d
x
yd < 10‰
= 3,5‰
 
Figura 7.5 – Deformações no Domínio 3 
7.3.3 Domínio 4 
Assim como no domínio 3, o concreto encontra-se na ruptura, com 
εc = 3,5‰. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de εyd e, portanto, ele está 
mal aproveitado. As deformações podem ser verificadas na Figura 7.6. 
O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica, além de 
perigosa, pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. É 
uma ruptura brusca, ou seja, ocorre sem aviso. Quando as peças de concreto são 
dimensionadas nesse domínio, diz-se que elas são superarmadas, devendo ser 
evitadas; para isso pode-se usar uma das alternativas: 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.5 
• Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da 
espessura da parede em que a viga é embutida; 
• Fixar x como xlim34, ou seja, βx = βx34, e adotar armadura dupla; 
• Outra solução é aumentar a resistência do concreto (fck). 
 
sε sε ε yd0 <
d
x
cuε
cuε = 3,5‰
<
 
Figura 7.6 – Deformações no Domínio 4 
 
7.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para o dimensionamento de peças na flexão simples com armadura dupla 
(Figura 7.7), considera-se que as barras que constituem a armadura estão 
agrupadas, concentradas no centro de gravidade dessas barras. 
 
 = 3,5‰ε cdσ
sε
sε
R'
R
M
d'
A
A'
b
d
h
x
y = 0,8xs
d
s
s
c
s
'
c
 
Figura 7.7 - Resistências e deformações na seção 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.6 
As equações de equilíbrio de forças e de momentos são respectivamente: 
Rc + R’s – Rs = 0 
Md = γf x Mk = Rc (d - y/2) + R’s (d - d’) 
As resultantes no concreto (Rc) e nas armaduras (Rs e R’s) são dadas por: 
Rc = b y σcd = b . 0,8x . 0,85fcd = 0,68 bd βx fcd 
Rs = As σs 
R’s = A’s σ’s 
Para diagrama retangular de tensões no concreto, tem-se que: 
y = 0,8x → d – y/2 = d (1 - 0,8x/2d) = d (1 - 0,4βx) 
Com esses valores, resultam as seguintes equações para armadura dupla: 
0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σ s = 0 (1) 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) (2) 
Para armadura simples, A’s = 0. As equações (1) e (2) resultam: 
0,68 bd βx fcd - As σ s = 0 (1’) 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4 β x) (2’) 
7.5 EXEMPLOS 
A seguir apresentam-se alguns exemplos de cálculo de flexão simples. 
7.5.1 Exemplo 1 
Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As) para seção retangular. 
a) Dados 
Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, Mk = 210 kN.m, βx= βx23 
( ) 259,0)105,3(
5,3
sc
c
23x =+=ε+ε
ε=β 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.7 
b) Equações de equilíbrio 
0,68 bd βx fcd - As σ s = 0 (1’) 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) (2’) 
c) Cálculo de d (equação 2’) 
)259,04,01(
4,1
5,2 d21,4 2 ×−××0,259××30×0,68 = 1000× 
 d = 58,93 cm (h = 59+3 = 62 cm) 
d) Cálculo de As (equação 1’) 
0
15,1
50A
4,1
5,2259,093,583068,0 s =×−×××× 
 As = 12,80 cm² 
7.5.2 Exemplo 2 
Idem exemplo anterior com βx = βx34. 
a) Cálculo de βx34 
( ) )5,3(
5,3
ydsc
c
34x ε+=ε+ε
ε=β 
‰07,2
210000
15,1/50
E
f
s
yd
yd ===ε 
628,0
)07,25,3(
5,3
34x =+=β 
 
b) Cálculo de d (equação 2’) 
)628,04,01(
4,1
5,2628 d21,4 2 ×−××0,××30×0,68 = 1000× 
 d = 41,42 cm (h = 42+3 = 45 cm) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.8 
c) Cálculo de As (equação 1’) 
0
15,1
50A
4,1
5,2628,042,413068,0 s =×−×××× 
 As = 21,81 cm² 
7.5.3 Exemplo 3 
Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As) para seção retangular. 
a) Dados 
Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, d = 42cm, Mk = 252 kN.m. 
b) Cálculo de βx 
Na equação (2’), supondo armadura simples: 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 – 0,4βx) 
)4,01(4,1
5,2423068,04,125200 xx
2 β×−×β×××=× 
25704βx² - 64260βx + 35280 = 0 
βx² - 2,5βx + 1,3725 = 0 
βx = 0,814 (βx > βx34: Domínio 4) 
βx = 1,686 (x > d, portanto descartado) 
c) Conclusão 
Como βx > βx34 , σ s < fyd (domínio 4): há solução melhor com armadura dupla. 
7.5.4 Exemplo 4 
Idem exemplo anterior, com Mk = 315 kN.m. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.9 
a) Cálculo de βx (equação 2’) 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 – 0,4βx) 
)4,01(
4,1
5,2423068,04,131500 xx
2 β×−×β×××=× 
25704βx² - 64260βx + 44100 = 0 
βx² - 2,5βx + 1,7157 = 0 
∆ = (-2,5)² - 4 x1 x 1,7157 = -0,6128 < 0 
b) Conclusão 
Não há solução para armadura simples. Neste caso só é possível armadura 
dupla (exemplo 5). 
7.5.5 Exemplo 5 
Solução do exemplo anterior com armadura dupla. 
a) Dados 
Mk = 315 kN.m, βx = βx34 = 0,628, d’ = 3 cm 
b) Cálculo de A’s (Equação 2) 
Md = 0,68 bd² βx fcd (1 - 0,4βx) + A’s σ’s (d – d’) 
1,4. 31500 = 0,68. 30. 422. 0,628. 2,5/1,4 (1 - 0,4. 0,628) +A’s 50/1,15. (42–3) 
 A’s = 8,19 cm² 
c) Cálculo de As (equação 1) 
0,68 bd βx fcd + A’s σ’s - As σs = 0 
0,68 . 30 . 42 . 0,628 . 2,5/1,4 + 8,19 . 50/1,15 - As . 50/1,15 = 0 
As = 30,29 cm² 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
7.10 
d) Armaduras possíveis 
As : 6 Ø 25 (Ase = 30 cm²) 2 camadas 
 8 Ø 22,2 (Ase = 31,04 cm²) 2 camadas 
 
A’s : 2 Ø 25 (Ase = 10 cm²) 
 3 Ø 20 (Ase = 9,45 cm²) 
f) Solução adotada (Figura 7.8) 
 
Figura 7.8 – Detalhamento da seção

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