Apostila - Flambagem

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
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Índice 
 
FLAMBAGEM ............................................................................................................. 2 
 
 
 
 
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FLAMBAGEM 
Definição: É a ocorrência de flexão lateral em uma peça esbelta quando submetida 
à compressão axial. Essa flexão lateral acontece sempre na direção do 
eixo de menor momento de inércia da seção transversal, se a carga for 
aplicada no CG da seção transversal. 
 
No fenômeno da flambagem a peça pode perder a sua estabilidade antes mesmo do 
material atingir a tensão de escoamento, o que então denominamos de 
instabilidade elástica. 
 
Esbeltez: área da seção transversal muito pequena em relação a seu comprimento. 
 
Leonhard Euler: primeiro a se dedicar ao estudo da flambagem o qual encontrou, 
através desse efeito, a explicação para muitos colapsos 
estruturais. 
 
Causas: a) Instabilidade de forma; 
 b) Falta de retilinidade; 
 c) Excentricidade de carregamento; 
 d) Falta de homogeneidade. 
 
Tipos de Equilíbrio: admitindo que a carga crítica de uma estrutura seja Nfl, tem-se 
três condições de equilíbrio, em função da posição da carga N 
aplicada: 
• Estável: N < Nfl 
• Indiferente: N = Nfl 
• Instável: N > Nfl 
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Consideremos a peça abaixo: 
 
 
 
 
 
Aumentando a carga N, chegará a um valor para o qual a forma reta da barra deixa 
de ser estável. Então a carga N atingirá um valor tal que a peça se encurva 
adquirindo outra forma de equilíbrio estável. 
O valor que a carga N atinge passando entre as duas formas de equilíbrio estável 
chama-se carga de flambagem. 
 
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Índice de Esbeltez: É a relação existente entre o comprimento axial da peça e o 
raio de giração mínimo da seção transversal. 
 
minr
l fl
=λ 
onde: λ – índice de esbeltez (adimensional) 
 lfl – comprimento de flambagem 
 rmin – raio de giração mínimo: A
Ir =min 
 onde: I – menor momento de inércia da seção transversal 
 A – área da seção transversal
 
 
 
- O índice de esbeltez mede o quão esbelto é uma peça; 
- Ele mede a facilidade ou dificuldade que a peça tem em flambar; 
- Se o índice de esbeltez limite do material for: 
 - pequeno: a probabilidade do pilar flambar é menor; 
 - grande: a probabilidade do pilar flambar é maior. 
 
Carga Crítica de Euler: 
Equação de Euler genérica: 2
2
fl
fl l
IEN ××= pi 
 onde: I – menor momento de inércia da seção transversal; 
 E – módulo de elasticidade do material; 
 lfl – comprimento de flambagem (função das condições de apoio). 
- Comprimento de flambagem (lfl) em função do tipo de apoio da barra em suas 
extremidades. São denominados “fator K” podendo ser igual ou diferente de 1. Este 
fator K, multiplicador do comprimento da peça comprimida, representa a coluna 
que está sendo analisada por uma bi-rotulada com comprimento reduzido e 
comportamento equivalente: 
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Tensão Crítica de Flambagem: 2
2
λ
pi
σ
E
fl
×
= 
Para que se possa empregar a fórmula de Euler é necessário que se cumpra as 
condições: 
pfl
E
σ
λ
pi
σ 〈=
×
= 2
2
 p
E
σ
piλ ×>
2
 
onde: σp: tensão de proporcionalidade do material 
Isto quer dizer que a fórmula de Euler só é aplicável em peças que flambam no 
regime elástico, ou seja, peças longas ou de grande esbeltez. 
Para o caso do aço: 
 
 
Conforme aumentarmos a esbeltez da peça, diminuímos a tensão de flambagem e 
λlim é a esbeltez limite da validade da expressão de Euler. 
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O gráfico mostra que para peças com pequena esbeltez, será necessário grande 
tensão para que a flambagem aconteça. 
Para λ > λlim → a peça é considerada muito esbelta e irá flambar com uma tensão de 
flambagem σfl abaixo da tensão de proporcionalidade σp. 
Para λ < λlim → a peça é considerada pouco esbelta e irá flambar com uma tensão 
de flambagem σfl acima de σp. Nesta situação é possível a 
ocorrência da ruptura por compressão antes da peça flambar. 
 
Valores de para alguns materiais: 
 
Material σp (kgf/cm2) E (kgf/cm2) λlim 
Aço ABNT 1010 / 
1020 
2050 2.100.000 100 
Aço ABNT 1040 / 
1050 
2400 2.100.000 100 
Ferro fundido 1540 800.000 80 
Madeira 108.000 60 a 100 
Concreto 85 
Duralumínio 2000 750.000 59 
Pinho 99 105.225 100 
 
 
A flambagem que segue a equação de Euler é denominada de flambagem elástica 
(λ ≥ λlim), uma vez que a tensão é menor que a tensão limite de proporcionalidade 
do material. A flambagem que não segue (λ ≤ λlim) é denominada de flambagem 
inelástica, uma vez que o padrão de comportamento é função do material da peça 
e o resultado apresenta grande dispersão. A flambagem inelástica ocorre na fase 
plástica. 
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No caso de λ < λlim a tensão de flambagem σfl é calculada pelas fórmulas de 
Gordon-Rankine, Tetmajer ou Johnson. 
 
Então: 
 
 
 
Para λλλλ ≤ λλλλlim → Regime não elástico → Utilizamos as fórmulas empíricas: 
Algumas fórmulas empíricas: 
a) Fórmula de Gordon-Rankine: 21 λβ
σ
σ
×+
=
o
fl 
onde: σo = tensão limite de resistência a compressão 
 λ = esbeltez 
 β = coeficiente do material, obtido em laboratório 
 
b) Fórmula Tetmayer: 2λλσσ ×+×−= baofl 
onde: “a” e “b” = são coeficientes do material. À exceção do ferro fundido, 
o coeficiente “b” é muito pequeno e pode ser desprezado. 
 Então: λσσ ×+= aofl 
 Obs.: para aços: a = 0,005 
 
c) Fórmula de Johnson: 2λσσ ×−= Cofl 
onde: σo = tensão de escoamento do material na compressão 
Se: λ ≥ λlim � Região elástica 
 Valem as equações de Euler: 
2
2
fl
fl l
IEN ××= pi
 
2
2
λ
pi
σ
E
fl
×
=
 
Se: λ < λlim � Região não elástica 
 Valem as fórmulas empíricas para a obtenção de tensões 
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λ = esbeltez 
C = coeficiente do material e deve concordar com a curva de Euler. 
 C.S.: de 2 a 3 → aço 
 de 3 a 5 → madeira, ferro fundido 
 
 
Exercícios: 
 
1 – Dada uma colunade aço, bi-rotulada, com seção reta de 40 x 60 mm, 
determinar a altura mínima “h” que deverá ter essa coluna, quando axialmente 
comprimida, a fim de ser possível a aplicação da fórmula da carga crítica de 
Euler. 
 Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; σp = 2000 kgf/cm2 
 
 
2 – Utilizando os dados do problema anterior e considerando a coluna bi-engastada, 
calcular a altura mínima “h” para que a fórmula de Euler seja aplicável. 
 
3 – Qual deverá ser o diâmetro da barra de aço, com extremidades bi-rotuladas, 
suportando uma carga de 2,0 tf, para que a peça não venha a flambar. 
 Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
 
 
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4 – Calcular a carga máxima que poderá ser aplicada ao sistema estrutural abaixo, 
de maneira que não haja flambagem na barra, de seção transversal retangular. 
Aplicar o fator de segurança igual a 1,2. 
Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 ; F.S. = 1,2 
 
5 – Calcular o valor máximo que o pilar poderá suportar sem flambar. Considerar o 
coeficiente de segurança a flambagem igual a 2,0. 
Dado: E = 2 x 106 kgf/cm2 
 
 
 
6 – Calcular o valor da carga máxima que poderá ser aplicada na seção abaixo. 
Utilizar um fator de segurança a flambagem igual a 2,0. 
Dados: σesc = 2530 kgf/cm2 ; F.S. = 2,0 
 
 
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7 – Calcular o maior valor possível para a força F que poderá ser aplicado à 
estrutura, utilizando um coeficiente de segurança igual a 2,0 na flambagem do 
perfil horizontal AB. Calcular também o diâmetro mínimo para o tirante BC, 
utilizando um coeficiente de segurança igual a 2,5. 
 
Dados: E = 2,1 x 106 kgf/cm2 
 
Características das Peças 
Tirante (BC) Perfil horizontal (AB) 
Material: aço CA 50 B Tipo: I 6” x 18,5 kg/m – ASTIM A 36 
σesc = 5000 kgf/cm2 Área = 23,6 cm2 
Coeficiente de segurança: ν = 1,5 Ix = 919 cm4 
 Iy = 76 cm4 
 rx = 6,24 cm 
 ry = 1,79 cm