Res Mat 2 - Apostila 07 - Torção

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
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Torção 
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RRREEESSSIIISSSTTTÊÊÊNNNCCCIIIAAA DDDOOOSSS MMMAAATTTEEERRRIIIAAAIIISSS IIIIII 
AAppoossttiillaa -- TToorrççããoo 
Índice 
 
TORÇÃO .................................................................................................................. 2 
1. CONCEITO ............................................................................................................ 2 
2. DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR ............................................................................... 3 
3. CÁLCULO DAS TENSÕES ............................................................................................ 3 
4. DEFORMAÇÕES ...................................................................................................... 6 
 
 
 
 
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TORÇÃO 
 
1. CONCEITO 
Pode acontecer em qualquer seção transversal. Limitaremos-nos ao estudo em 
barras de seção circular. 
 
 
Exemplos da ocorrência de torção: 
 
 
 
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2. DIAGRAMA DE MOMENTO TORSOR 
É análogo ao diagrama de esforço normal. 
Convenção da seta dupla → Usar a regra da mão direita. 
Exemplo: 
 
 
3. CÁLCULO DAS TENSÕES 
 
 
− γ → ângulo de giro da seção transversal; 
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− A peça não muda de comprimento; 
− O diâmetro não se altera; 
− Logo, o volume da peça também não varia, ou seja, não há deformações 
volumétricas. 
 
Nas seções transversais atuam somente tensões cisalhantes que surgem para 
equilibrar o momento torsor. Essas tensões cisalhantes provocam o “deslizamento” 
de uma seção transversal em relação a outra. 
 
Lei da Distribuição das Tensões: 
 
Onde: r = raio da seção transversal; 
ρ = distância do centro da peça a qualquer ponto considerado: 0 ≤ ρ ≤ r; 
dϕ = ângulo de giro (ou ângulo central) da seção transversal. 
 
ϕdAABBA ×== 0
))
 
Analogamente: ϕdAoAoBooBoA ×== 0
))
 
mas: 0A = ρ 
0Ao = r = ρ 
Logo: ϕρ dAB ×= 
( )1ϕρ dAoBo ×= 
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γ → distorção relativa entre as seções S e S’. Podemos calcular γ através da 
equação: γtgdzAoBo ×= 
Como γ é muito pequeno, podemos considerar: tg γ = γ 
Assim: ( )2γϕ ×= dAoBo 
Igualando (1) e (2), tem-se: ρ x dϕ = dz x γ 
γ x dz = dϕ x ρ → γ = ρ x dϕ / dz 
− Aplicando a Lei de Hooke: τ = γ x G (analogia) 
Onde: G = módulo de elasticidade transversal 
γ = deformação unitária angular 
− Então: ( )3
dz
dG ϕρτ ××= 
− Então o diagrama de tensões cisalhantes é: 
 
ou qualquer outra posição 
− Sendo Mt o momento torsor que atua em uma seção transversal, vamos fazer 
o equilíbrio deste com as tensões cisalhantes: 
∫∫ ××=⇒×××=⇒××= dAdz
dGMdA
dz
dGMdAM ttt
22 ρϕϕρρτ 
 
mas: ∫ →=× polarinérciademomentoIpdA
2ρ 
 
no caso de seção circular: Ip = Ix + Iy 
 
então: ( )4
IpG
M
dz
dIp
dz
dGM tt
×
=⇒××=
ϕϕ
 
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Substituindo (4) em (3), teremos: 
⇒
×/
××/=
IpG
MG tρτ ρτ ×=
Ip
M t 
 
Onde: ρ = distância do centro da peça a qualquer ponto onde se deseja 
calcular a tensão cisalhante. 
 
A tensão máxima ocorre nos bordos da peça onde ρ = r e a tensão mínima ocorre no 
centro da peças. 
 
4. DEFORMAÇÕES 
 
De (4) vem: 
IpG
dzMd t
×
×
=ϕ ; onde: G x Ip → rigidez a torção 
∫ ⇒×
×
=
L
t
IpG
dzM
0
ϕ 
 
 
IpG
LM t
×
×
=ϕ → Fórmula geral para calcular o ângulo de deformação da peça. 
Análogo ao de força normal. 
 
onde: L → comprimento da peça; 
γ → em radianos. Obs.: 1 rad = 57,3º 
 
 
− Momento Polar de Inércia: 
 
 
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Exercícios: 
 
1) Calcular as tensões de cisalhamento que surgem na barra mostrada. 
Determinar também o ângulo de rotação da extremidade. 
Dado: material: aço → G = 800.000 kgf/cm2 
 
 
2) Traçar o diagrama de momento torsor. 
Dados: G e Ip 
 
 
3) Determinar o diâmetro da viga em balança, submetida a um conjugado nas 
seções “B” e “C”. Determinar também o ângulo de rotação no engaste. 
Dados: τ = 750 kgf/cm2 
G = 800.000 kgf/cm2