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1 Guia para a Expressão da Incerteza na Medição Tradução livre de Marco Antônio Ribeiro Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (Corrigida e Reimpressa, 1995) ISO Technical Advisory Group on Metrology (ISO/TAG4/WG3) Salvador, Inverno 1996, Outono 2001 Expressão da Incerteza: 1993 (E) 0 Introdução 2 0. Introdução 0.1. Quando reportando o resultado de uma medição de uma quantidade física, é obrigatório que alguma indicação quantitativa da qualidade do resultado seja dado de modo que quem vai usá-la possa avaliar sua confiabilidade. Sem tal indicação, os resultados da medição não podem ser comparados, nem entre si e nem com valores de referência dados em uma especificação ou norma. É por isso necessário que haja um procedimento prontamente implementado, facilmente entendido e universalmente aceito para caracterizar a qualidade de um resultado de uma medição, isto é, para avaliar e expressar a sua incerteza. 0.2. O conceito de incerteza como um atributo quantificável é relativamente novo na história da medição, embora erro e análise do erro tenham uma longa participação da prática da ciência da medição ou metrologia. É atualmente largamente reconhecido que, quando todos os componentes conhecidos ou suspeitos do erro tenham sido avaliados e as correções apropriadas tenham sido aplicadas, há ainda uma incerteza remanescente acerca da correção do resultado apresentado, isto é, uma dúvida acerca de quão bem o resultado da medição representa o valor da quantidade sendo medida. 0.3. Justo como o uso quase universal do Sistema Internacional de Unidades (SI) trouxe coerência a todas as medições científicas e tecnológicas, um consenso universal na avaliação e expressão da incerteza na medição permitiria a significância de um vasto espectro de resultados de medição na ciência, engenharia, comercio, indústria e legislação a serem facilmente entendidas a apropriadamente interpretadas. Nesta era da globalização da economia, é imperativo que o método para avaliar e expressar a incerteza seja uniforme através de todo o mundo de modo que as medições feitas em diferentes países sejam facilmente comparadas. 0.4. O método ideal para avaliar e expressar a incerteza do resultado de uma medição deve ser - universal: o método deve ser aplicável a todos os tipos de medições a todos os tipos de dados de entrada usados nas medições. A quantidade real usada para expressar a incerteza deve ser: - internamente consistente: deve ser diretamente derivável dos componentes que contribuem com a incerteza, bem como independente de como estes componentes são agrupados e da decomposição dos componentes em subcomponentes; - transferível: deve ser possível usar diretamente a incerteza calculada para um resultado como um componente em avaliando a incerteza de outra medição em que o primeiro resultado é usado. Além disso, em muitas aplicações industriais e comerciais, bem como em áreas de saúde e segurança, é geralmente necessário fornecer um intervalo em torno do resultado da medição que possa ser esperado incluir uma grande fração da distribuição dos valores que podem razoavelmente ser atribuídos à quantidade sujeita à medição. Assim, o método ideal para avaliar e expressar a incerteza na medição deve ser capaz de facilmente fornecer tal intervalo, em particular, um com uma probabilidade de cobertura ou nível de confiança que corresponda de modo realístico com o requerido. 0.5. O enfoque sobre o qual esta recomendação se baseia é o apresentado na Recomendação INC-1 (1980) [2] do grupo de trabalho conveniado com o BIPM em resposta a uma requisição do CIPM. Este enfoque, a justificativa do que é discutido no Anexo E, satisfaz todas as exigências apresentadas acima. Este não é ocaso para a maioria dos outros métodos em uso corrente. A recomendação INC-1 (1980) foi aprovada e reafirmada pelo CIPM em sua própria Recomendação 1 (CI - 1981) [3] e 1 (Ci (1986) [4]; 0.6. Um sumário sucinto do procedimento especificado neste documento guia para avaliar e expressar a incerteza na medição é dado na cláusula 8 e vários exemplos são apresentados em detalhes no Anexo H. Outros anexos tratam dos termos gerais de metrologia (Anexo B), termos e conceitos básicos de estatística (Anexo C); valor verdadeiro, erro e incerteza (Anexo D); sugestões práticas para avaliar os componentes da incerteza (Anexo F); graus de liberdade e níveis de confiança (Anexo G); os principais símbolos matemáticos usados através de todo o documento (Anexo J) e referências bibliográficas (Anexo K). Expressão da Incerteza: 1993 (E) 0 Introdução 3 0.7. Recomendação INC-1 (1980) Expressão das incertezas experimentais 1. A incerteza no resultado de uma medição geralmente consiste de vários componentes que podem agrupados em duas categorias de acordo com o modo que seu valor numérico é estimado: A. aquelas que são avaliadas por métodos estatísticos, B. aquelas que são avaliadas por outros meios. Nem sempre há uma correspondência simples entre a classificação em categorias A ou B e a classificada usada anteriormente em incertezas aleatórias e sistemáticas. O termo incerteza sistemática pode ser mal entendido e deve ser evitado. Qualquer relatório detalhado da incerteza deve consistir de uma lista completa dos componentes, especificando cada método usado para obter seu valor numérico. 2. Os componentes na categoria A são caracterizados pelas variâncias estimadas si2 (ou os desvios padrão estimados si) e o numero de graus de liberdade νi. Quando apropriado, as covariâncias devem ser dadas. 3. Os componentes na categoria B devem ser caracterizados pelas quantidades uj2, que podem ser consideradas como aproximações das variâncias correspondentes, cujas existências devem ser assumidas. As quantidades podem ser tratadas como variâncias e as quantidades uj como desvios padrão. Onde apropriado, as covariâncias devem ser tratadas do mesmo modo. 4. A incerteza combinada deve ser caracterizada pelo valor numérico obtido pela aplicação do método usual para a combinação de variâncias. A incerteza combinada e seus componentes devem ser expressos na forma de desvios padrão. Se, para determinada aplicação, for necessário multiplicar a incerteza combinada por um fator para obter a incerteza total, o fator de multiplicação usado sempre deve ser estabelecido. Expressão da Incerteza: 1993 (E) 1 Escopo 4 GUIA PARA A EXPRESSÃO DA INCERTEZA NA MEDIÇÃO 1. Escopo 1.1. Este Guide estabelece as regras gerais para avaliar e expressar a incerteza em medição que pode ser seguida em vários níveis de exatidão e em muitos campos - do chão de fábrica para a pesquisa fundamental. Assim, os princípios deste Guide podem ser aplicáveis a um largo espectro de medições, incluindo aquelas requeridas para: - manter o controle de qualidade e garantia da qualidade na produção - estar de conformidade e atender leis e regulações - conduzir pesquisa básica e aplicada e desenvolvimento em ciência e engenharia - calibrar padrões e instrumentos e fazer testes através de um sistema completo nacional de medição de modo a conseguir rastreabilidade a padrões nacionais - desenvolver, manter e comparar padrões de referência físicos internacionais e nacionais, incluindo materiais de referência. 1.2. Este Guide está principalmente relacionado com a expressão de incerteza na medição de uma quantidade física bem definida - o mensurando - que pode ser caracterizada por um valor essencialmente único. Se o fenômeno de interesse pode ser representado somente como uma distribuição de valores ou é dependente de um ou mais parâmetros, como o tempo, então os mensurandos requeridos para sua descrição sãoo conjunto de quantidades descrevendo esta distribuição ou esta dependência. 1.3. Este Guide é também aplicável para avaliar e expressar a incerteza associada com o projeto conceitual e a análise teórica de experimentos, métodos de medição e componentes complexos e sistemas. Como um resultado da medição e sua incerteza podem ser conceituais e baseados inteiramente em dados hipotéticos, o termo resultado de uma medição quando usado neste Guide deve ser interpretado neste contexto mais amplo. 1.4. Este Guide fornece as regras gerais para avaliar e expressar a incerteza na medição e não instruções detalhadas e tecnologicamente específicas. Além disso, ele não discute como a incerteza de um resultado particular de uma medição , uma vez avaliada, pode ser usado para diferentes objetivos, por exemplo, para tirar conclusões acerca da compatibilidade deste resultado com outros resultados semelhantes, para estabelecer os limites de tolerância em um processo de fabricação ou para decidir se um certo modo de ação pode ser seguramente tomado. Pode ser necessário desenvolver padrões particulares baseados neste Guide que trata de problemas peculiares a campos específicos de medição ou com os vários usos de expressões quantitativas de incerteza. Estas normas podem ser versões simplificadas deste Guide mas devem incluir o detalhe que é apropriado ao nível de exatidão e complexidade das medições e usos desejados Nota - Pode haver situações em que o conceito de incerteza da medição é acreditado não ser totalmente aplicável, tal como quando a precisão de um método de teste é determinada. Expressão da Incerteza: 1993 (E) 2 Definições 5 2. Definições 2.1. Termos metrológicos gerais A definição de vários termos metrológicos gerais relevantes para este Guide, tal como quantidade mensurável, mesurando, e erro de medição são dados no Anexo B. Estas definições são tiradas do International vocabularly of basic and general terms in metrology (abreviado VIM) [6]. Além disso, o Anexo C dá as definições de vários termos estatísticos básicos tirados principalmente da norma ISO 3534-1 [7]. Quando um destes termos metrológicos ou estatísticos (ou um termo intimamente relacionado) é primeiro usado no texto, começando com a cláusula 3, é impresso em negrito e o número da subcláusula em que ele é definido é dado em parêntesis. Por causa de sua importância para o Guide, a definição do termo geral metrológico incerteza da medição é dado tanto no Anexo B e em 2.2.3. As definições dos termos específicos mais importantes para este Guide são dadas em 2.3.1 a 2.36. Em todas estas subcláusulas e nos anexos B e C, o uso de parêntesis em torno de certas palavras de alguns termos significa que estas palavras podem ser omitidas se isto é improvável de causar confusão. 2.2. O termo incerteza O conceito de incerteza é discutido com mais detalhe na cláusula 3 e Anexo D. 2.2.1. A palavra incerteza significa dúvida e assim em seu sentido mais amplo incerteza da medição significa dúvida acerca da validade do resultado de uma medição. Por causa da falta de palavras diferentes para este conceito geral de incerteza e as quantidades específicas que fornecem medidas quantitativas do conceito, por exemplo, o desvio padrão, é necessário usar a palavra incerteza nestes dois diferentes sentidos. 2.2.2. Neste Guide, a palavra incerteza sem adjetivos se refere ao conceito geral de incerteza e a qualquer ou todas medidas quantitativas deste conceito. Quando uma medida específica for pretendida, usa-se o adjetivo apropriado. 2.2.3. A definição formal do termo incerteza da medição desenvolvida para uso neste Guide e no VIM [6} é a seguinte: incerteza (da medição) parâmetro, associado com o resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos valores que poderiam razoavelmente ser atribuídos ao mensurando. Notas 1. O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio padrão (ou um dado múltiplo dele) ou a meia largura de um intervalo tendo determinado nível de confiança 2. A incerteza de uma medição compreende, em geral, muitos componentes. Alguns destes componentes podem ser avaliados da distribuição estatística dos resultados de séries de medições e podem ser caracterizados por desvios padrão experimentais. Os outros componentes, que também podem ser caracterizados por desvios padrão, são avaliados de distribuições de probabilidade assumidas baseadas na experiência ou em outras informações. 3. É entendido que o resultado da medição é a melhor estimativa do valor do mensurando e que todos os componentes da incerteza, incluindo os que aparecem de efeitos sistemáticos, tais como os componentes associados com correções e padrões de referência, contribuem para a dispersão. 2.2.4. A definição de incerteza de medição dada em 2.2.3 é um operacional que focaliza no resultado da medição e sua incerteza avaliada. Porém, não é inconsistente com outros conceitos de incerteza da medição, tais como - uma medida do erro possível no valor estimado do mensurando como fornecido pelo resultado de uma medição; - uma estimativa caracterizando a faixa de valores dentro da qual o valor verdadeiro de um mensurando cai (VIM, entrada 3.09). Embora estes dois conceitos tradicionais sejam válidos como ideais, eles focalizam em quantidades desconhecidas: o erro do resultado de uma medição e o valor verdadeiro do mensurando (em contraste ao seu valor Expressão da Incerteza: 1993 (E) 2 Definições 6 estimado), respectivamente. Mesmo assim, qualquer que seja o conceito de incerteza adotado, um componente de incerteza é sempre avaliado usando os mesmos dados e informação relativa (ver também E.5). 2.3. Termos específicos a este Guide Em geral, termos que são específicos a este Guide são definidos no teste quando são introduzidos inicialmente. Porém, as definições dos mais importantes destes termos são dados aqui para facilitar a referência. Nota - Discussão adicional relativa a estes termos pode ser encontrada como segue: para 2.3.2, ver 3.3.3 e 4.2; para 2.3.3., ver 3.3.3 e 4.3; para 2.34, ver cláusula 5 e eq. (10) e (13) e para 2.3.5 e 2.3.6, ver cláusula 6. 2.3.1. incerteza padrão incerteza do resultado de uma medição expressa como um desvio padrão. 2.3.2. Avaliação Tipo A (de incerteza) método de avaliação da incerteza por análise estatística de séries de observações. 2.3.3. Avaliação Tipo B (de incerteza) método de avaliação da incerteza por meios diferentes de análise estatística de séries de observações. 2.3.4. incerteza padrão combinada incerteza padrão do resultado de uma medição quando este resultado é obtido dos valores de várias outras quantidades, iguais à raiz quadrada positiva de uma soma de termos, os termos sendo as variâncias ou covariâncias destas outras quantidades com pesos de acordo com o modo que o resultado da medição varia com alterações destas quantidades. 2.3.5. incerteza expandida quantidade definindo um intervalo em do qual o resultado de uma medição que pode ser esperado incluir uma grande fração da distribuição de valores que poderiam razoavelmente ser atribuídos ao mensurando. Notas 1. A fração pode ser vista como a probabilidade de cobertura ou nível de confiança do intervalo. 2. Para associar um nível específico de confiança com o intervalo definido pela incerteza expandida requer hipóteses explícita ou implícita com relação a distribuição de probabilidade caracterizada pelo resultado da medição e sua incerteza padrão combinada. O nível de confiança que pode ser atribuído a este intervalo pode ser conhecido somente na extensão em que tais hipóteses possam ser justificadas. 3. A incerteza expandida é também chamada de incerteza total, no parágrafo 5 da RecomendaçãoINC-1 (1980). 2.3.6. fator de cobertura fator numérico usado como um multiplicador da incerteza padrão combinada de modo a obter uma incerteza expandida. Nota - Um fator de cobertura, k, é tipicamente na faixa de 2 a 3. Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 7 3. Conceitos Básicos A discussão adicional de conceitos básicos pode ser encontrada no Anexo D, que focaliza as idéias de valor verdadeiro, erro e incerteza e inclui ilustrações gráficas destes conceitos e no Anexo E que explora a motivação e a base estatística para a Recomendação INC-1 (1980), sobre a qual este Guide se baseia. Anexo J é um glossário dos principais símbolos matemáticos usados neste Guide. 3.1. Medição 3.1.1. O objetivo de uma medição (B.2.5) é determinar o valor (B.2.2.) de um mensurando (B.2.9), isto é, o valor de uma quantidade particular (B.2.1, nota 1) a ser medida. Uma medição então começa com uma especificação aproximada do mensurando, o método de medição (B.2.7), e o procedimento de medição (B.2.8). Nota - O termo valor verdadeiro (Anexo D) não é usado neste Guide por razões dadas em D.3.5; os termos valor de um mensurando (ou de uma quantidade) e o valor verdadeiro de um mensurando (ou de uma quantidade) são vistos como equivalentes. 3.1.2. Em geral, o resultado de uma medição (B.2.11) é somente uma aproximação ou estimativa (C.2.26) do valor do mensurando e assim é completo somente quando acompanhado por uma expressão da incerteza (B.2.18) desta estimativa). 3.1.3. Na prática, a especificação requerida ou a definição de um mensurando é ditado pela requerida precisão da medição (B.2.14). O mensurando deve ser definido com suficiente completude com relação à precisão requerida de modo que para todos os objetivos práticos associados com a medição seu valor é único. É neste sentido que a expressão valor do mensurando é usado neste Guide. Exemplo - Se o comprimento de uma barra de aço nominalmente com um metro é para ser determinado com a precisão de um micrômetro (10-6 m), sua especificação deve incluir a temperatura e a pressão em que o comprimento é definido. Assim, o mensurando deve ser especificado como, por exemplo, o comprimento da barra em 25,00 oC e 101 325 Pa mais qualquer outro parâmetro definido associado necessário, tal como o modo como a barra é suportada. Porém, se o comprimento é para ser determinado com precisão de milímetro (10-3 m), sua especificação não requer uma temperatura ou pressão definida ou um valor para qualquer outro parâmetro definido Nota - A definição incompleta do mensurando pode fazer aparecer um componente da incerteza suficientemente grande que deve ser incluído na avaliação da incerteza do resultado da medição (ver D.1.1, D.3.4 e D.6.2). 3.1.4. Em muitos casos, o resultado de uma medição é determinado em base de séries de observações obtidas sob condições de repetibilidade (B.2.15, nota 1). 3.1.5. Variações em observações repetidas são assumidas a aparecer por causa das quantidades de influência (B.2.10) que podem afetar o resultado da medição não são mantidas completamente constantes. 3.1.6. O modelo matemático da medição que transforma o conjunto de observações repetidas no resultado da medição é de importância crítica porque, além das observações, ele geralmente inclui várias quantidades de influência que são conhecidas não exatamente. Esta falta de conhecimento contribui para a incerteza do resultado de medição, tal como as variações de observações repetidas e qualquer incerteza associada com o modelo matemático em si. 3.1.7. Este Guide trata do mensurando como um escalar (uma quantidade simples). A extensão para um conjunto de mensurandos relativos determinados simultaneamente na mesma medição requer a substituição do mensurando escalar e sua variância (C.2.11, C.2.20, C.3.2) por um mensurando vetor e matriz de covariância (C.3.5). Tal substituição é considerada neste Guide somente nos exemplos (H.2, H.3 e H.4). 3.2. Erros, Efeitos e correções 3.2.1. Em geral, uma medição tem imperfeições que provocam um erro (B.2.19) Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos 8 no resultado da medição. Tradicionalmente, um erro é visto como tendo dois componentes, chamados de componente aleatório (B.2.21) e componente sistemático (B.2.22). Nota - O erro é um conceito idealizado e os erros não podem ser conhecidos exatamente. 3.2.2. O erro aleatório presumidamente aparece de variações imprevisíveis ou estocásticas de tempo e espaço de quantidades de influência. Os efeitos de tais variações, a partir de agora chamados de efeitos aleatórios, provocam variações em observações repetidas do mensurando. Embora não seja possível compensar o erro aleatório de um resultado da medição, ele pode usualmente ser reduzido pelo aumento do número de observações, sua expectativa ou o valor esperado (C.2.9, C.3.1) é zero. Notas 1. O desvio padrão experimental da média aritmética ou média de uma série de observações (ver 4.2.3) não é o erro aleatório da média, embora isso possa aparecer em algumas publicações. Em vez disso, ele é uma medida da incerteza da média devida aos efeitos aleatórios. O valor exato do erro na média resultante destes efeitos não pode ser conhecido. 2. Neste Guide, toma-se muito cuidado para distinguir entre os termos erro e incerteza. Eles não são sinônimos, mas representam conceitos completamente diferentes e eles não devem ser confundidos entre si ou mal usados. 3.2.3. O erro sistemático, como o erro aleatório, não pode ser eliminado mas ele também pode ser geralmente reduzido. Se um erro sistemático aparece de um efeito reconhecido de uma quantidade de influência sobre o resultado da medição, a partir de agora chamado de efeito sistemático, o efeito pode ser quantificado e, se ele tiver um tamanho significativo em relação à precisão requerida da medição, uma correção (B.2.23) ou fator de correção (B.2.24) pode ser aplicado para compensar este efeito. É assumido que, depois da correção, a expectativa ou valor esperado do erro resultante de um efeito sistemático seja zero. Nota - A incerteza de uma correção aplicada a um resultado da medição para compensar um efeito sistemático não é o erro sistemático, muitas vezes chamado de polarização (bias), no resultado da medição devido ao efeito como ele é geralmente chamado. Em vez disso, ele é uma medida da incerteza do resultado devido ao conhecimento incompleto do valor requerido da correção. O erro que aparece da compensação imperfeita de um efeito sistemático não pode ser conhecido exatamente. Os termos erro e incerteza devem ser usados corretamente e deve-se cuidar para distinguir um do outro. 3.2.4. É assumido que o resultado de uma medição tenha sido corrigido para todos os efeitos sistemáticos reconhecidamente significativos e que cada esforço tenha sido feito para identificar estes efeitos. Exemplo - Uma correção devida à impedância de um voltímetro usado para determinar a diferença de potencial (o mensurando) através de um resistor de alta impedância é aplicada para reduzir o efeito sistemático sobre o resultado da medição resultante do efeito de carga do voltímetro. Porém, os valores das impedâncias do voltímetro e do resistor, que são usadas para estimar o valor da correção e que são obtidas de outras medições, são também incertezas em si. Estas incertezas são usadas para avaliar o componente da incerteza da determinação da diferença de potencial que aparece da correção e assim do efeito sistemático devido à impedância finita do voltímetro. Notas 1. Muitas vezes, os instrumentos e sistemas de medição são ajustados ou calibrados usando padrões de medição e materiais de referência para eliminar os efeitos sistemáticos, porém, as incertezas associadascom estes padrões e materiais devem também ser consideradas. 2. O caso onde uma correção para um efeito sistemático significativo conhecido não é aplicada é discutido na nota para 6.3.1 e em F.2.4.5. 3.3. Incerteza 3.3.1. A incerteza do resultado de uma medição reflete a falta do conhecimento exato do valor do mensurando (ver 2.2). O resultado de uma medição depois da correção de efeitos sistemáticos conhecidos é ainda somente uma estimativa do valor do mensurando por causa da incerteza resultante dos efeitos aleatórios e da correção imperfeita do resultado dos efeitos sistemáticos. Nota - O resultado de uma medição (após a correção) pode ser não reconhecidamente muito próximo do valor do mensurando (e assim ter um erro desprezível) mesmo assumido que ele tenha uma grande incerteza. Assim, a incerteza do resultado de uma medição não deve confundida com o erro remanescente desconhecido. 3.3.2. Na prática, há várias fontes possíveis de incerteza em uma medição, incluindo: Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos 9 a) definição incompleta do mensurando b) realização imperfeita da definição de um mensurando c) amostra não representativa - a amostra medida pode não representar o mensurando definido d) conhecimento inadequado dos efeitos das condições ambientais na medição ou a medição imperfeita das condições ambientais e) polarização pessoal na leitura de instrumentos analógicos f) resolução ou limite de discriminação finito do instrumento g) valores inexatos dos padrões e materiais de referência de medição h) valores inexatos de constantes e outros parâmetros obtidos de fontes externas e usados no algoritmo de redução de dados i) aproximações e hipóteses incorporadas no método e procedimento de medição j) variações em observações repetidas do mensurando sob condições aparentemente idênticas. Estas fontes não são necessariamente independentes e algumas fontes (a) até (i) podem contribuir com a fonte (j). Um efeito sistemático não reconhecido não pode ser considerado na avaliação da incerteza do resultado de uma medição mas contribui com seu erro. 3.3.3. A Recomendação INC-1 (1980) agrupa os componentes da incerteza em duas categorias baseadas em seu método de avaliação, A e B. Estas categorias se aplicam a incerteza e não são substitutas para as palavras aleatória e sistemática. A incerteza de uma correção para um efeito sistemático conhecido pode, em alguns casos, ser obtido por uma avaliação do Tipo A, enquanto em outros casos por uma avaliação do Tipo B, como pode a incerteza caracterizando um efeito aleatório. Nota - Em algumas publicações, os componentes da incerteza são categorizados como aleatórios e sistemáticos e são associados com erros que aparecem de efeitos aleatórios e efeitos sistemáticos conhecidos, respectivamente. Tal classificação dos componentes da incerteza pode ser ambígua quando aplicada genericamente. Por exemplo, um componente aleatório da incerteza em uma medição pode se tornar um componente sistemático da incerteza em outra medição em que o resultado da primeira medição é usado como um dado de entrada. Classificando os métodos de avaliação dos componentes da incerteza em vez dos componentes em si evita tal ambigüidade. Ao mesmo tempo, a classificação exclui de coletar componentes individuais que possam ter sido avaliados pelos dois métodos diferentes em designando grupos a serem usados para um objetivo particular (ver 3.4.3). 3.3.4. O objetivo da classificação do Tipo A e Tipo B é indicar os diferentes modos de avaliar os componentes da incerteza e é por conveniência de discussão apenas; a classificação não significa indicar que há qualquer diferença na natureza dos componentes resultantes dos dois tipos de avaliação. Os dois tipos de avaliação são baseados em distribuições de probabilidade (C.2.2) e os componentes de incerteza resultantes de qualquer tipo são quantificados por variâncias ou desvios padrão. 3.3.5. A variância estimada u2 caracterizando um componente da incerteza obtido de uma avaliação do Tipo A é calculada de séries de observações repetidas e é a familiar estatisticamente estimada variância s2 (ver 4.2). O desvio padrão estimado (C.2.12, C.2.21, C.3.) u, a raiz quadrada positiva de u2, é então u = s e por conveniência, é geralmente chamado de incerteza padrão do Tipo A. Para um componente de incerteza obtido de uma avaliação do Tipo B, a variância estimada u2 é calculada usando conhecimento disponível (ver 4.3) e o desvio padrão estimado u é geralmente chamado de incerteza padrão do Tipo B. Assim, uma incerteza padrão do Tipo A é obtida de uma função densidade de probabilidade (C.2.5) derivada de uma distribuição de freqüência observada (C.2.18), enquanto uma incerteza padrão do Tipo B é obtida de uma função de densidade de probabilidade assumida baseada no grau de confiança que um evento irá ocorrer [muitas vezes chamada de probabilidade subjetiva (C.2.1)]. Ambos os enfoques empregam interpretações reconhecidas de probabilidade. Nota - Uma avaliação do Tipo B de um componente de incerteza é usualmente baseada em um conjunto de informação comparativamente confiável (ver 4.3.1). 3.3.6. A incerteza padrão do resultado de uma medição, quando este resultado é obtido de valores de um número de outras quantidades é chamada de incerteza padrão combinada e representada por uc. É o desvio padrão Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos 10 estimado associado com o resultado e é igual à raiz quadrada positiva da variância combinada obtida de todos os componentes de variância e covariância (C.3.4), porém calculados usando o que é chamado neste Guide, a lei de propagação de incerteza (ver cláusula 5). 3.3.7. Para satisfazer as necessidades de algumas aplicações industriais e comerciais, bem como exigências nas áreas de saúde e segurança, uma incerteza expandida U é obtida, multiplicando-se a incerteza padrão combinada uc por um fator de cobertura k. O objetivo pretendido de U é fornecer um intervalo em torno do resultado de uma medição que pode ser esperada incluir uma grande fração da distribuição de valores que poderiam razoavelmente ser atribuídos ao mensurando. A escolha do fator k, que é usualmente na faixa de 2 para 3, é baseada na probabilidade de cobertura ou nível de confiança requerido do intervalo (ver cláusula 6). Nota - O fator de cobertura k deve ser sempre estabelecido, de modo que a incerteza padrão da quantidade medida pode ser recuperada para uso em cálculo da incerteza padrão combinada ou outros resultados da medição que podem depender desta quantidade. 3.4. Considerações práticas 3.4.1. Se todas as quantidades em que o resultado de uma medição depende são variadas, sua incerteza pode ser avaliada por meios estatísticos. Porém, como isto é raramente possível, na prática, devido à limitação de tempo e fontes, a incerteza do resultado de uma medição é usualmente calculada usando um modelo matemático da medição e a lei da propagação da incerteza. Assim, é implícito neste Guide que uma medição pode ser modelada matematicamente em um grau imposto pela precisão requerida da medição. 3.4.2. Como o modelo matemático pode ser incompleto, todas as quantidades relevantes devem ser variadas no máximo de sua extensão possível de modo que a avaliação da incerteza possa ser baseada em dados observados, o máximo possível. Sempre que possível, o uso de modelos empíricos da medição encontrados em dados quantitativos de longa data e o uso de padrões rastreados e cartas de controle que podem indicar se uma medição está sob controle estatístico, deve ser parte do esforço para obter avaliações confiáveis da incerteza. O modelo matemático deve ser sempre revisado quandoos dados observados, incluindo o resultado de determinações independentes do mesmo mensurando, demostrar que o modelo é incompleto. Um experimento bem projetado pode facilitar grandemente avaliações confiáveis da incerteza e é uma parte importante da arte de medição. 3.4.3. De modo a decidir se um sistema de medição está funcionando corretamente, a variabilidade observada experimentalmente de seus valores de saída, quando medido por seus desvios padrão observados, é geralmente comparada com o desvio padrão previsto obtido pela combinação dos vários componentes da incerteza que caracterizam a medição. Em tais casos, somente estes componentes (quer sejam obtidos de avaliações do Tipo A ou do Tipo B) que poderiam contribuir para a variabilidade observada experimentalmente destes valores de saída devem ser considerados. Nota - Tal análise pode ser facilitada tomando-se estes componentes que contribuem para a variabilidade e os que não contribuem em dois grupos separados e identificados corretamente. 3.4.4. Em alguns casos, a incerteza de uma correção para um efeito sistemático não necessita ser incluída na avaliação da incerteza do resultado de uma medição. Embora a incerteza tenha sido calculada, ela pode ser ignorada se sua contribuição para a incerteza padrão combinada do resultado da medição seja insignificante. Se o valor da correção em si é insignificante comparado com a incerteza padrão combinada, ele também pode ser ignorado. 3.4.5. Ocorre geralmente, na prática, especialmente no domínio da metrologia legal, que um equipamento é testado através da comparação com um padrão de medição e as incertezas associadas com o padrão e o procedimento de comparação são desprezíveis em relação à precisão requerida do teste. Um exemplo é o uso de um conjunto de padrões de massa bem calibrados para testar a precisão de uma balança comercial. Em tais casos, como os componentes da incerteza são tão pequenos que podem ser ignorados, a medição pode ser vista como determinando o erro do equipamento sob teste (ver também F.2.4.2) 3.4.6. A estimativa do valor de um mensurando fornecido pelo resultado de uma medição é geralmente expressa em termos do valor adotado de um padrão de medição em vez de ser em termos da unidade relevante do Sistema Internacional de Unidades (SI). Em tais casos, o tamanho da incerteza atribuída ao Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos 11 resultado da medição pode ser significativamente menor do que o resultado que é expresso em unidade SI. (Com efeito, o mensurando tem sido redefinido como a relação do valor da quantidade a ser medida para o valor adotado do padrão.) Exemplo - Um padrão de voltagem Zener de alta qualidade é calibrado por comparação com uma base de referência de voltagem a efeito Josephson. A incerteza padrão combinada uc(Vs)/Vs (ver 5.1.6) da diferença de potencial calibrada V do padrão Zener é 2 x 10-8 quando Vs é reportada em termos do valor convencional, mas uc(Vs)/Vs é 4 x 10-7 quando Vs é reportada em termos da unidade SI de diferença de potencial, V, por causa da incerteza adicional associada com os valores SI da constante de Josephson. 3.4.7. Enganos em registrar ou analisar dados podem introduzir um erro desconhecido significativo no resultado de uma medição. Grandes enganos podem usualmente ser identificados pela revisão adequada dos dados; enganos pequenos podem ser mascarados por ou mesmo aparecer como variações aleatórias. Medidas de incerteza não pretendem considerar tais enganos. 3.4.8. Embora este Guide forneça uma referência para estabelecer a incerteza, ele não pode ser substituto de pensamento crítico, honestidade intelectual e habilidade profissional. A avaliação da incerteza não é nem uma tarefa de rotina nem é puramente matemática; ela depende do conhecimento detalhado da natureza do mensurando e da medição. A qualidade e utilidade da incerteza cotada para o resultado de uma medição portanto depende principalmente do entendimento, análise crítica e integridade de quem contribui para o estabelecimento de seu valor. Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 12 4. Avaliando a incerteza padrão Recomendações adicionais para avaliar os componentes da incerteza, principalmente de natureza prática, podem ser encontrados no Anexo F. 4.1. Modelando a medição 4.1.1. Na maioria dos casos, um mensurando Y não é medido diretamente, mas é determinado de N outras quantidades X1, X2, ..., XN, através de uma relação funcional f: Y = f(X1, X2, ..., XN) (1) Notas 1. Por economia de notação, neste Guide, o mesmo símbolo é usado para a quantidade física (mensurando) e para a variável aleatória (ver 4.2.1) que representa a saída possível de uma observação desta quantidade. Quando se diz que Xi tem uma particular distribuição de probabilidade, o símbolo é usado no último sentido; é assumido que a quantidade física em si pode ser caracterizada por um valor essencialmente único (ver 1.1 e 3.1.3). 2. Em uma série de observações, o ko valor observado de Xi é denotado por Xi,k; assim se R denota a resistência de um resistor, o ko valor observado da resistência é denotado por Rk. 3. A estimativa de Xi (estritamente falando, de sua expectativa) é denotada por xi. Exemplo - Se uma diferença de potencial V é aplicada aos terminais de um resistor dependente da temperatura que tem uma resistência definida Ro em uma temperatura to e um coeficiente termal linear da resistência α, a potência P (o mensurando) dissipado pelo resistor à temperatura t depende de V, Ro, α e t de acordo com P f V R t V R t to o o= = + −( , , , ) [ ( )]α α 2 1 Nota - Outros métodos de medição de P podem ser modelados por diferentes expressões matemáticas. 4.1.2. As quantidades de entrada X1, X2, ..., XN das quais a quantidade de saída Y depende, podem ser vistas como mensurandos e podem depender de outras quantidades, incluindo correções e fatores de correção para efeitos sistemáticos, gerando assim uma relação funcional complicada f que pode nunca ser escrita explicitamente. Além disso, f pode ser determinada experimentalmente (ver 5.1.4) ou existir somente como um algoritmo que deve ser calculado numericamente. A função f como ela aparece neste Guide é para ser interpretada neste contexto mais amplo, em particular como a função que contem cada quantidade, incluindo todas as correções e fatores de correção, que pode contribuir um componente significativo de incerteza para o resultado da medição. Assim, se os dados indicam que f não modela a medição ao grau imposto pela precisão requerida do resultado da medição, quantidades de entrada adicionais devem ser incluídas em f para eliminar a inadequação (ver 3.4.2). Isto pode requerer a introdução de uma quantidade de entrada para refletir o conhecimento incompleto de um fenômeno que afeta o mensurando. No exemplo de 4.1.1, quantidades de entrada adicionais poderiam ser necessárias para considerar a distribuição não uniforme da temperatura através do resistor, um possível coeficiente termal da resistência não linear ou uma possível dependência da resistência com a pressão barométrica. Nota - Apesar disso, a eq. (1) pode ser tão elementar como Y = X1 - X2. Esta expressão modela, por exemplo, a comparação de duas determinações da mesma quantidade X. 4.1.3. O conjunto de entradas X1, X2, ..., X3 pode ser classificado como - quantidades cujos valores e incertezas são diretamente determinados na medição em curso. Estes valores e incertezas podem ser obtidos de, por exemplo, uma única observação, observações repetidas ou julgamento baseado na experiência e pode envolver a determinação de correções para leituras do instrumento e correções para Expressão da Incerteza: 1993 (E)4 Avaliando a incerteza padrão 13 as quantidades de influência, tais como temperatura ambiente, pressão barométrica e umidade. - quantidades cujos valores e incertezas são trazidos para a medição de fontes externas, tais como quantidades associadas com os padrões calibrados da medição, materiais de referência certificada e dados de referência obtidos da literatura técnica. 4.1.4. Uma estimativa do mensurando Y, denotado por y, é obtida da eq. (1) usando estimativas de entrada x1, x2, ..., xN. Assim, a estimativa da saída y, que é o resultado da medição é dado por: y = f(x1, x2, ..., xN) (2) Nota - Em alguns casos a estimativa pode ser obtida de y Y n Y n f X X Xk k n k k N,k= = = = ∑ ∑1 1 1 1 2( , ,..., ), , Isto é, y é tomado como a média aritmética (ver 4.2.1) de n determinações independentes Yk de Y, cada determinação tendo a mesma incerteza e cada uma sendo baseada em um conjunto completo de valores observados de N quantidades de entrada Xi, obtidas ao mesmo tempo. Este modo de fazer média, em vez de y f X X XN= ( , ,..., )1 2 , onde X n Xi i k k n = = ∑1 1 , é a média aritmética das observações individuais Xi,k, pode ser preferível quando f é uma função não linear das quantidades de entrada X1, X2, ,..., XN, mas os dois enfoques são idênticos se f for uma função linear de Xi (ver H.2 e H.4). 4.1.5. O desvio padrão estimado associado com a estimativa de saída ou resultado da medição y, chamado de incerteza padrão combinada e denotada por uc(y), é determinado do desvio padrão estimado associado com cada estimativa de entrada xi, chamada incerteza padrão e denotada por u(xi) (ver 3.3.5 e 3.3.6). 4.1.6. Cada estimativa de entrada xi e sua incerteza padrão associada u(xi) é obtida de uma distribuição de valores possíveis da quantidade de entrada Xi. Esta distribuição de probabilidade pode ser baseada na freqüência, isto é, baseada em uma série de observações Xi,k de Xi, ou pode ser uma distribuição a priori. Avaliações do Tipo A de componentes de incerteza padrão são baseadas em distribuições de freqüência enquanto as avaliações do Tipo B são baseadas em distribuições a priori. Deve ser reconhecido que em ambos os casos, as distribuições são modelos que devem ser usados para representar o estado de nosso conhecimento. 4.2. Avaliação da incerteza padrão do Tipo A 4.2.1. Em muitos casos, a melhor estimativa disponível da expectativa ou valor esperado µq de uma quantidade q que varia aleatoriamente [uma variável aleatória (C.2.2)] e para que n observações independentes qk tem sido obtidas sob as mesmas condições de medição (ver B.2.15), é a média aritmética q (C.2.19) de n observações: q n qk k n = = ∑1 1 (3) Assim, para uma quantidade de entrada Xi estimada de n observações independentes repetidas Xi,k, a média aritmética Xi obtida da eq. (3) é usada como a estimativa de entrada xi na eq. (2) para determinar o resultado da medição y, isto é, xi = Xi . Estas estimativas de entrada não calculadas de observações repetidas devem ser obtidas por outros métodos, tais como os indicados na segunda categoria de 4.1.3. 4.2.2. As observações individuais qk diferem em valor por causa das variações aleatórias nas quantidades de influência ou efeitos aleatórios (ver 3.2.2). A variância experimental das observações, que estima a variância σ2 da distribuição da probabilidade de q, é dada por: s q n q qk k k n 2 2 1 1 1 ( ) ( )= − −=∑ (4) Esta estimativa da variância e sua raiz quadrada positiva s(qk), chamada de desvio padrão experimental (B.2.17), caracteriza a variabilidade dos valores observados qk ou mais especificamente, sua dispersão em torno da média q . 4.2.3. A melhor estimativa de σ2( q )=σ2/n, a variância da média é dada por: s q s q n k2 2 ( ) ( )= (5) Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 14 A variância experimental da média s2( q ) e o desvio padrão experimental da média s( q ) (B.2.17, nota 2), igual à raiz quadrada positiva de s2( q ), quantifica como q estima a expectativa µq de q e pode ser usada como uma medida da incerteza de q . Assim, para uma quantidade de entrada Xi determinada de n observações independentes repetidas Xi,k, a incerteza padrão u(xi) de seu xi = X estimado é u(xi) = s( iX ), com )X(s i2 calculado de acordo com a eq. (5). Por conveniência, )X(s)x(u i 2 i 2 = e )X(s)x(u ii = são geralmente chamados de variância tipo A e incerteza padrão tipo A, respectivamente. Notas 1. O número de observações n deve ser suficientemente grande para garantir que q seja uma estimativa confiável da expectativa µq da variável aleatória q e que )q(s2 forneça uma estimativa confiável da variância n)q( 22 σ=σ (ver 4.3.2, Nota). A diferença entre )q(s2 e )q(2σ deve ser considerada quando se constrói os intervalos de confiança (ver 6.2.2). Neste caso, se a distribuição de probabilidade de q for uma distribuição normal (ver 4.3.4), a diferença é levada em conta através da distribuição t (ver G.3.2). 2. Embora a variância )q(s2 seja a quantidade mais fundamental, o desvio padrão )q(s é mais conveniente, na prática, porque ele tem a mesma dimensão que q e é um valor mais facilmente compreendido do que a variância. 4.2.4. Para procedimentos de medição bem caracterizados sob controle estatístico, uma variância combinada (pool) da amostra sp 2 ou desvio padrão da amostra combinada sp para o procedimento pode ser disponível. Em tais casos, a variância da média de n observações independentes repetidas é sp 2 /n e a incerteza padrão é u s n p= (ver H.3.6). 4.2.5. Muitas vezes, o valor estimado xi de uma quantidade de entrada Xi é obtida de uma curva que foi construída de dados experimentais pelo método dos mínimos quadrados. A variância e a incerteza padrão resultante dos parâmetros que caracterizam a curva e de qualquer ponto previsível pode facilmente ser calculada por procedimentos estatísticos bem conhecidos (ver H.3 e [17]). 4.2.6. Os graus de liberdade (C.2.27) νi de xi e u(xi) (ver G.3), igual a n - 1 no campo simples onde xi = Xi e u(xi) = s( Xi ) são calculados de n observações independentes como em 4.2.1 e 4.2.3, sempre devem ser dados quando documentando avaliações do Tipo A de componentes de incerteza. 4.2.7. Se as variações aleatórias nas observações de uma quantidade de entrada são correlacionadas, por exemplo, no tempo, a média e o desvio padrão da média como dados em 4.2.1 e 4.2.3 podem ser estimadores (C.2.25) inadequados da estatística desejada (C.2.23). Em tais casos, as observações devem ser analisadas usando métodos estatísticos especialmente projetados para tratar uma série aleatória correlata de medições variando aleatoriamente. Nota - Tais métodos especializados são usados para tratar medições de padrões de freqüência. Porém, é possível que, quando se vai de medições de curto prazo para medições de longo prazo de outras quantidades metrológicas, a hipótese de variações aleatórias correlatas pode não mais ser válida e os métodos especializados podem ser também usados [16], por exemplo, para uma discussão detalhada da variância chamada de Allan. 4.2.8. A discussão acima da avaliação do Tipo A da incerteza padrão não significa que seja exaustiva; há muitas situações, algumas mais complexas, que podem ser tratadas por métodos estatísticos. Um exemplo importante é o uso de projetos de calibração, geralmente baseados no método dos mínimos quadrados, para avaliar as incertezas que aparecem de variações aleatórias de curto prazo e de longo prazo nos resultados de comparações de artefatos materiais de valor desconhecido, tais como blocos padrão de comprimento e padrões de massa, com padrões de referência de valor conhecido. Em tais situações de mediçãocomparativamente simples, os componentes da incerteza são freqüentemente tratados por avaliação estatística, usando projetos consistindo de seqüências aninhadas de medições do mensurando para um número de valores diferentes das quantidades das quais eles dependem - a assim chamada análise de variância (ver H.5 e [19]). Nota - Em níveis mais baixos da cadeia de calibração onde os padrões de referência são geralmente assumidos como exatamente conhecidos por que eles tem sido calibrados ou padrões primários ou nacionais, a incerteza de um resultado de calibração pode incluir somente uma única incerteza padrão Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 15 do Tipo A baseada em um desvio padrão combinado do procedimento da medição. 4.3. Avaliação da incerteza padrão do Tipo B 4.3.1. Para uma estimativa xi de uma quantidade de entrada Xi que foi obtida de observações repetidas, a variância estimada u2(xi) ou incerteza padrão u(xi) é avaliada por julgamento usando todas as informações relevantes sobre a possível variabilidade de Xi. O pool de informação pode incluir - dados de medições anteriores, - experiência com ou o conhecimento geral do comportamento e propriedades de materiais e instrumentos relevantes, - especificações do fabricante, - dados fornecidos em calibração e outros certificados e - incertezas atribuídas a dados de referência tomados da literatura técnica. Por conveniência, u2(xi) e u(xi) estimados deste modo são geralmente referidas como, respectivamente, variância do Tipo B e incerteza padrão do Tipo B. 4.3.2. O uso apropriado do pool de informações disponíveis para uma avaliação da incerteza padrão do Tipo B exige uma visão baseada na experiência e no conhecimento geral, mas é uma habilidade que pode ser aprendida com a prática. Deve ser reconhecido que uma avaliação da incerteza padrão do tipo B pode ser tão confiável quanto uma avaliação do Tipo A, especialmente em uma situação de medição onde uma avaliação do Tipo A é baseada em um número comparativamente menor de observações estatisticamente independentes. Nota - Referindo a 4.2.3, nota 1, se a distribuição de probabilidade de q é normal, então s[s( q )/s( q )], o desvio padrão de s( q ) relativo a s( q ), é aproximadamente [ ( )] /2 1 1 2n− − . Assim, tomando s[s( q )] como a incerteza de s( q ) para n = 10 observações, a incerteza relativa em s( q ) é 24%, enquanto para n = 50 observações é de 10% (Valores adicionais são dados na Tab. E.1, no Anexo E). 4.3.3. Se a estimativa xi é tomada de uma especificação do fabricante, certificado de calibração, handbook e sua incerteza cotada é estabelecida como um múltiplo particular de um desvio padrão, a incerteza padrão u(xi) é simplesmente o valor cotado dividido pelo multiplicado e a variância estimada u2(xi) é a raiz deste quociente. Exemplo - Um certificado de calibração estabelece que a massa de padrão de aço inoxidável mS de valor nominal de um kilograma é de 1 000,000 325 g e que a incerteza deste valor é 240 µg ao nível de três desvios padrão. A incerteza padrão do padrão de massa é então simplesmente u(mS) = (240 µg)/3 = 80 µg. Isto corresponde a uma incerteza padrão relativa u(mS)/mS de 80 x 10-9 (ver 5.1.6). A variância estimada é u2(mS) = (80 µg)2 = 6,4 x 10-9 g2. Nota - Em muitos casos pouca ou nenhuma informação é fornecida acerca dos componentes individuais dos quais é obtida a incerteza cotada. Isto é geralmente pouco importante para expressar a incerteza de acordo com as práticas deste Guide desde que todas as incertezas padrão são tratadas do mesmo modo quando se calcula a incerteza padrão combinada de um resultado de medição (ver cláusula 5). 4.3.4. A incerteza cotada de xi não é necessariamente dada como um múltiplo de um desvio padrão como em 4.3.3. Em vez disso, pode-se encontrá-la estabelecendo que a incerteza cotada define um intervalo tendo um nível de confiança de 90, 95 ou 99% (ver 6.2.2). A não ser que seja dito diferente, pode- se assumir que uma distribuição normal (C.2.14) foi usada para calcular a incerteza cotada e recuperar a incerteza padrão de xi dividindo a incerteza cotada pelo fator apropriado para a distribuição normal. Os fatores correspondentes aos três níveis de confiança são 1,64; 1,96 e 2,58 (ver também tabela G.1 no Anexo G). Nota - Pode não haver necessidade para tal hipótese se a incerteza tem sido dada de acordo dom as recomendações deste Guide com relação ao relatório da incerteza, que enfatiza que o fator de cobertura usado deve sempre ser dado (ver 8.2.3) Exemplo - Um certificado de calibração estabelece que a resistência de um resistor padrão Rs de valor nominal de 10 ohms é 10,000 742 Ω ± 129 µΩ @ 23 oC e que a incerteza cotada de 129 µΩ define um intervalo tendo um nível de confiança de 99%. A incerteza padrão do resistor pode ser tomada como u(Rs) = (129 µΩ)/2,58 = 50 µΩ, que corresponde a incerteza padrão relativa u(Rs)/Rs de 5,0 x 10-6 (ver 5.1..6). A variância estimada é u2(Rs) = (50 µΩ)2 = 2,5 x 10-9 Ω2. Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 16 4.3.5. Considere-se o caso onde, baseada na informação disponível, pode-se estabelecer que há uma chance de 50% que o valor da quantidade de entrada Xi caia no intervalo a- a a+ (em outras palavras, a probabilidade que Xi caia dentro deste intervalo é 0,5 ou 50%). Pode-se assumir que a distribuição de valores possíveis de Xi seja aproximadamente normal, então a melhor estimativa xi de Xi pode ser tomada como o ponto médio do intervalo. Mais ainda, se o ponto médio do intervalo é expresso como a = (a+ - a-)/2, pode se tomar u(xi) = 1,48a, por que para uma distribuição normal com expectativa µ e desvio padrão σ, o intervalo µ ± σ/1,48 inclui aproximadamente 50% da distribuição. Exemplo - Um mecânico determina as dimensões de uma peça estima que seu comprimento caia, com probabilidade de 50%, no intervalo 10,07 mm a 10,15 mm e reporta que L = (10,11 ±0,04) mm, significando que ±0,04 mm define um intervalo tendo um nível de confiança de 50%. Assim, a = 0,04 mm e se é assumida uma distribuição normal para os valores possíveis de L, a incerteza padrão do comprimento é u(L) = 1,48 x 0,04 mm = 0,06 mm e a variância estimada é u2(L) = (1,48 x 0,04 mm)2 = 3,5 x 10-3 mm2. 4.3.6. Considere-se um caso similar ao de 4.3.5. mas onde, baseada na informação disponível, pode-se estabelecer que há uma chance de dois para três que o valor da quantidade de entrada Xi caia no intervalo a- a a+ (em outras palavras, a probabilidade que Xi caia dentro deste intervalo é 0,67 ou 67%). Pode-se então razoavelmente tomar u(xi) = a, porque para uma distribuição normal com expectativa µ e desvio padrão σ, o intervalo µ ± σ inclui cerca de 68,3% da distribuição. Nota - Deve-se dar o valor de u(xi) consideravelmente mais significativo que é obviamente garantido se fosse usar o desvio normal real 0,967 42 correspondendo à probabilidade 2/3, isto, se fosse escrever u(xi) = a/0,967 42 = 1,033a. 4.3.7. Em outros casos, pode ser possível estimar somente limites (superior e inferior) para Xi, em particular, para estabelecer que a probabilidade que o valor de Xi caia dentro d intervalo a- a a+, para todos os objetivos práticos, é igual a um e a probabilidade que Xi caia fora deste intervalo é praticamente zero. Se não há conhecimento específico acerca dos valores possíveis de Xi, dentro do intervalo, pode-se somente assumir que é igualmente provável para Xi cair em qualquer lugar dentro dele (uma distribuição uniforme ou retangular de valores possíveis p ver 4.4.5 e fig. 2a). Assim xi, a expectativa ou valor esperado de Xi, é o ponto médio do intervalo, xi = (a- + a+)/2, com variância associada u x a ai 2 2 12 ( ) ( )= −+ − (6) Se a diferença entreos limites a+ e a- é denotada por 2a, então a eq. (6) se torna u x ai 2 2 3 ( ) = (7) Nota - Quando um componente da incerteza determinado deste modo contribuir muito para a incerteza do resultado da medição, é prudente obter mais dados adicionais para sua avaliação posterior. Exemplos 1. Um handbook dá o valor do coeficiente da expansão termal linear do cobre puro @ 20 oC, α20(Cu), como 16,52 x 10-6 oC-1 e simplesmente estabelece que o erro neste valor não deve exceder 0,40 x 10-6 oC-1. Baseado nesta informação limitada, é razoável assumir que o valor de α20(Cu) caia com igual probabilidade no intervalo 16,12 x 10-6 oC-1 a 16,92 x 10-6 oC-1 e que seja muito improvável que α20(Cu) caia fora deste intervalo. A variância desta distribuição retangular simétrica de valores possíveis de α20(Cu) da metade do intervalo a = 0,40 x 10-6 oC-1 é então, da eq. (7), u2(α20) = (0,40 x 10-6 oC-1)2/3 = 53,3 x 10-15 oC- 2 e a incerteza padrão é u(α20) = (0,40 x 10-6 oC-1)/ 3 = 0,23 x 10-6 oC-1. 2. As especificações do fabricante para um voltímetro digital estabelecem que entre um e dois anos após a calibração do instrumento, sua precisão na faixa de 1 V é de 14 x 10-6 vezes a leitura mais 2 x 10-6 vezes a faixa. Considera-se que o instrumento é usado 20 meses após a calibração para medir em sua faixa de 1 V uma diferença de potencial V e a média aritmética de um número de observações independentes repetidas de V dá um valor de V = 0,928 571 V com uma incerteza padrão do Tipo A u( V ) = 12 µV. Pode-se obter a incerteza padrão associada com as especificações do fabricante de uma avaliação do Tipo B assumindo que a precisão estabelecida fornece limites simétricos para uma correção aditiva para V , ∆ V , da expectativa igual a zero e com igual probabilidade de cair em qualquer lugar dentro dos limites. A metade a da distribuição retangular simétrica dos valores possíveis de ∆ V é então a = (14x10-6) x (0,928 571 V) + (2x10-6) x (1 V) = 15 mV Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 17 e da eq. (7), u2(∆ V ) = 75 mV2 e u(∆ V ) = 8,7 mV. A estimativa do valor do mensurando V, por simplicidade, denotado pelo mesmo símbolo V, é dado por V = ∆ V + ∆ V = 0,928 571 V. Pode-se obter a incerteza padrão combinada desta estimativa combinando a incerteza padrão do Tipo A, 12 mV com a incerteza padrão do Tipo B, 8,7 mV. O método geral para combinar os componentes da incerteza é dado na cláusula 5, com este exemplo tratado em 5.1.5. 4.3.8. Em 4.3.7, os limites superior e inferior a+ e a- para a quantidade de entrada Xi podem não ser simétricos com relação a sua melhor expectativa xi, mas especificamente, se o limite inferior é escrito como a- = xi - b- e o limite superior como a+ = xi + b+, então b- ≠ b+. Como neste caso xi (assumido ser a expetativa de Xi) não é o centro do intervalo a- a a+, a distribuição da probabilidade de Xi não pode ser uniforme através do intervalo. Porém, pode não haver informação disponível suficiente para escolher uma distribuição apropriada, diferentes modelos produzem expressões diferentes para a variância. Na ausência de tal informação, a aproximação mais simples é: u x b b a ai 2 2 2 12 12 ( ) ( ) ( )= + = −− + + − (8) que é a variância de uma distribuição retangular com comprimento total de b+ + b-. (Distribuições assimétricas são também discutidas em F.2.4.4 e G.5.3). Exemplo - Se no exemplo 1 de 4.3.7 o valor do coeficiente é dado no handbook como α20(Cu) = 16,52 x 10-6 oC-1 e é estabelecido que o menor valor possível é 16,40 x 10-6 oC-1 e o maior valor possível =e 16,92 x 10 -6 oC-1 então b- = 0,12 x 10 -6 oC-1 e b+ = 0,40 x 10 -6 oC-1 e da eq. (8), u(α20) = 0,15 x 10 -6 oC-1. Notas 1. Em muitos situações práticas de medição onde os limites são assimétricos, pode ser apropriado aplicar uma correção para estimar xi de magnitude (b+ - b-)/2 de modo que a nova estimativa xi' de Xi está no ponto médio dos limites: xi' = (a- + a+)/2. Isto reduz a situação ao caso de 4.3.7, com novos valores b'+ = b'- = (b+ + b-)/2 = (a+ - a-)/2 = a. 2. Baseado no princípio de máxima entropia, a função densidade de probabilidade no caso assimétrico pode ser mostrado como sendo p Xi Ae X xi i( ) ( )= − −λ com A b e b eb b = +− +− + 1 ( )λ λ e λ λ λ= − + − + − + + − + + e b e b b b b b ( ) ( ) 1 Isto leva à variância u x b b b bi 2 ( ) ( )= − −+ − + −λ Para b+ > b-, λ > 0 e para b+ < b-, λ < 0. 4.3.9. Em 4.3.7, como não havia conhecimento específico acerca dos valores possíveis de Xi dentro de seus limites estimados a- a a+, podia- se somente assumir que era igualmente provável para Xi tomar qualquer valor dentro destes limites, com zero probabilidade de ser fora deles. Tais descontinuidades da função degrau em uma distribuição de probabilidade são geralmente não físicas. Em muitos casos, é mais realístico esperar que valores próximos dos limites são menos prováveis que aqueles próximos do ponto médio. É então, razoável substituir a distribuição retangular simétrica por uma trapezoidal simétrica tendo iguais inclinações dos lados (um trapézio isósceles), uma base de comprimento a+ - a- = 2a e uma altura de 2ab, onde 0 ≤ b ≤ 1. Quando b →1, esta distribuição trapezoidal se aproxima da distribuição retangular de 4.3.7, enquanto para b = 0, é uma distribuição triangular (ver 4.4.6 e Fig. 2b). Assumindo tal distribuição trapezoidal para Xi, acha-se que a expectativa de Xi é xi = (a- + a+)/2 e sua variância associada é u x ai 2 2 21 6 ( ) ( )= +β (9a) que se torna uma distribuição triangular, β = 0, u x ai 2 2 6 ( ) = (9b) Notas 1. Para uma distribuição normal com expectativa µ e desvio padrão σ, o intervalo µ ± 3σ engloba aproximadamente 99,73% da distribuição. Assim, se os limites superior e inferior a+ e a- definem 99,73% em vez de 100% e Xi pode ser assumido ser aproximadamente normalmente distribuído em vez de não tendo conhecimento específico acerca de Xi, entre os limites como Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 18 em 4.2.7, então u x ai 2 2 9( ) /= . Por comparação, a variância de uma distribuição simétrica retangular de meia largura a é a2/3. [eq. (7)] e que uma distribuição triangular simétrica de média largura a é a2/6 [eq. (9b)]. Os tamanhos das variâncias das três distribuições são surpreendentemente similares em vista das grandes diferenças na quantidade de informação requerida para justificá-las. 2. A distribuição trapezoidal é equivalente à convolução de duas distribuições retangulares [10], uma com a meia largura a1 igual à média da meia largura do trapezoide, a1 = a(1 + β)/2; a outra com a meia largura a2 igual à largura média de uma das porções triangulares do trapezoide, a2= a(1 - β)/2. A variância da distribuição é u a a2 1 2 2 2 3 3 = + . A distribuição convolvida pode ser interpretada como uma distribuição cuja largura 2a1 tem uma incerteza representada por uma distribuição retangular de largura 2a2 e modela o fato que os limites em uma quantidade de entrada não são exatamente conhecidos. Mas, mesmo se a2 é maior 30% que a1, u excede a1/ 3 por menos que 5%. 4.3.10. É importante não contar duplamente os componentes da incerteza. Se um componente de incerteza aparece de um efeito particular obtido de uma avaliação do Tipo B, ele deve ser incluído como um componente independente de incerteza no cálculo da incerteza padrão combinada do resultado da medição somente no sentido que o efeito não contribui para a variabilidade observada das observações. Isto é por que a incerteza devido a esta porção do efeito que contribui para a variabilidade já está incluída no componente da incerteza obtido da análise estatística das observações.4.3.11. A discussão da avaliação da incerteza padrão do Tipo B em 4.3.3 a 4.3.9 é significativa somente por ser indicativa. Além disso, as avaliações da incerteza devem ser baseadas em dados quantitativos, como enfatizado em 3.4.1 e 3.4.2. 4.4. Ilustração gráfica da avaliação da incerteza padrão 4.4.1. A Fig. 1 representa a estimativa do valor de uma quantidade de entrada Xi e a avaliação da incerteza que esta estimativa da distribuição desconhecida de valores medidos possíveis de Xi ou a distribuição de probabilidade de Xi, que é amostrada por meios de observações repetidas. 4.4.2. Na Fig. 1a é assumido que a quantidade de entrada Xi é uma temperatura t e que dus distribuição desconhecida é uma distribuição normal com expectativa µ1 = 100 oC e desvio padrão σ = 1,5 oC. Sua função densidade de probabilidade é então (ver C.2.14): p t e i ( ) ( ) = − −1 2 1 2 22 σ π µ σ Nota - A definição de uma função de densidade de probabilidade p(t) requer que a relação p z dz( ) =∫ 1 seja satisfeita 4.4.3. A Fig. 1b mostra um histograma de n = 20 observações repetidas tk da temperatura t que são assumidas serem tomadas aleatoriamente da distribuição da Fig. 1a. Para obter o histograma, as 20 observações ou amostras, cujos valores são dados na Tab. 1, são agrupados em intervalos de largura de 1 oC. (A preparação de um histograma não é necessária para a análise estatística dos dados). Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 19 Fig. 1. Ilustração gráfica da avaliação da incerteza padrão de uma quantidade de entrada de observações repetidas Tab.1. 20 observações repetidas da temperatura t agrupadas em intervalos de 1 oC Intervalo t1 ≤ t ≤ t2 Temperatura t t1/oC t2/oC t/oC 94,5 95,5 - 95,5 96,5 - 96,5 97,5 96,90 97,5 98,5 98,18; 98,25 98,5 99,5 98,61; 99,03; 99,49 99,5 100,5 99,56; 99,74; 99,89; 100,07; 100,33; 100,42 100,5 101,5 100,68; 100,95; 101,11; 101,20 101,5 102,5 101,57; 101,84; 102,36 102,4 103,5 102,72 103,5 104,5 - 104,5 105,5 - A média aritmética t das n = 20 observações, calculada de acordo com eq. (3) é t = 100,145 oC ≅ 100,14 oC e assumido ser igual à melhor expectativa µ1 de t baseando-se nos dados disponíveis. O desvio padrão experimental s(tk) calculada pela eq. (4) é s(tk) = 1,489 oC ≅ 1,49 oC e o desvio padrão experimental da média s( t ), calculado da eq. (5), que é a incerteza padrão u( t ) da média t , é u( t ) = s( t ) = s(tk)/ 20 = 0,333 oC ≅ 0,33 oC. Nota - Embora os dados na Tab. 1 não sejam implausíveis considerando o uso corrente de termômetros eletrônicos digitais de alta resolução, eles são para fins ilustrativos e não devem ser necessariamente interpretados como descrevendo uma medição real. 4.4.4. A Fig. 2 representa a estimativa do valor de uma quantidade de entrada Xi e a avaliação da incerteza desta estimativa de uma distribuição a priori de valores possíveis de Xi ou distribuição de probabilidade de Xi, baseada em toda informação disponível. Para ambos os casos mostrados, a quantidade de entrada é ainda assumida como a temperatura t. 4.4.5. Para o casos ilustrado na Fig. 2a, é assumido que pouca informação é disponível acerca da quantidade de entrada t e que tudo que pode ser assumido é que t é descrita por uma distribuição de probabilidade a priori, retangular e assimétrica com limite inferior a- = 96 oC, limite superior a+ = 104 oC e com meia largura a = (a+ - a-)/2 = 4 oC (ver 4.3.7). A função densidade de distribuição de t é dada por: p(t) = 1/2a a- < t < a+ p(t) = 0, para os outros valores Como indicado em 4.3.7, a melhor estimativa de t é sua expectativa µ1 = (a+ + a-)/2 = 100 oC, que segue de C.3.1. A incerteza padrão desta estimativa é u a( )µ1 3= ≅ 2,3 oC, que segue de C.3.2 [ver eq. (7)] 4.4.6. Para o caso ilustrado na Fig. 2b, é assumido que a informação disponível acerca de t é menos limitada e que t pode ser descrita por um distribuição de probabilidade a priori simétrica e triangular, com o mesmo limite inferior a- = 96 oC e mesmo limite superior a+ = 104 oC e portando com mesma meia largura a = (a+ - a-)/2 = 4 oC como em 4.4.5 (ver 4.39). A função de densidade de probabilidade de t é então: p(t) = (t - a-)/a2 a- ≤ t ≤ (a- + a+)/2 Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão 20 p(t) = (a- - t)/a2 (a- + a+)/2 ≤ t ≤ a+ p(t) = 0, para os outros valores Fig. 1. Ilustração gráfica da avaliação da incerteza padrão de uma quantidade de entrada de uma distribuição a priori Como indicado em 4.3.9, a expectativa de t é µ1 = (a+ + a-)/2 = 100 oC, que segue C.3.1. A incerteza padrão desta estimativa é u a( )µ1 6= ≅ 1,6 oC, que segue C.3.2. [ver eq. (9b)]. O valor acima, u( )µ1 ≅ 1,6 oC pode ser comparada com u( )µ1 ≅ 2,3 oC obtido em 4.4.5 de uma distribuição retangular de mesma largura 8 oC. Com σ = 1,5 oC da distribuição normal da Fig. 1a cujo intervalo de -2,58s a +2,58s que inclui 99% da distribuição, é aproximadamente 8 oC e com u( t ) = 0,33 oC obtido em 4.4.3 de 20 observações assumidas tendo sido tomadas aleatoriamente da mesma distribuição normal. Expressão da Incerteza: 1993 (E) 5. Determinando a incerteza padrão combinada 21 5. Determinando a incerteza padrão combinada 5.1. Quantidades de entrada não correlacionadas Esta subcláusula trata do caso onde todas as quantidades de entrada são independentes (C.3.7). O caso onde duas ou mais quantidades de entrada são relacionadas, isto é, são interdependentes ou correlatas (C.2.8), é discutido em 5.2. 5.1.1. A incerteza padrão de y, onde y é a estimativa do mensurando Y e assim o resultado da medição, é obtido combinando de modo apropriado as incertezas padrão das estimativas de entrada x1, x2, ..., xN (ver 4.1). Esta incerteza padrão combinada da estimativa y é chamada de uc(y). Nota - Por razões similares às dadas na nota de 4.3.1, os símbolos uc(y) e u yc 2 ( ) são usados em todos os casos. 5.1.2. A incerteza padrão combinada uc(y) é a raiz quadrada positiva da variância combinada u yc 2 ( ) , que é dada por u y f x u xc i i i N 2 2 2 1 ( ) ( )= =∑ ∂ ∂ (10) onde f é a função dada na eq. (1). Cada u(xi) é uma incerteza padrão calculada como descrito em 4.1 (avaliação do Tipo A) ou como em 4.3 (avaliação do Tipo B). A incerteza padrão combinada uc(y) é um desvio padrão estimado e caracteriza a dispersão dos valores que poderiam ser razoavelmente atribuídos ao mensurando Y (ver 2.2.3). A eq. (10) e sua contrapartida para quantidades de entrada correlatas, eq. (13), ambas das quais são baseadas em uma aproximação de primeira ordem de Taylor de Y = f(X1, X2, ..., XN), expressa o que é chamado neste Guide, a lei de propagação da incerteza (ver E.3.1 e E.3.2). Nota - Quando a não linearidade de f é significativa, termos de maior ordem na série de expansão de Taylor devem ser incluídos na expressão para u yc 2 ( ) , eq. (10). Quando a distribuição de cada Xi é simétrica em relação à sua média, os termos mais importantes da próxima ordem mais alta a serem adicionados aos termos da eq. (10) são: 1 2 2 2 3 2 11 2 2∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ f x x f x f x x u x u x i j i i jj N i N i j + == ∑∑ ( ) ( ) 5.1.3. As derivadas parciais ∂ ∂f x i/ são iguais a ∂ ∂f X i/ calculadas em Xi = xi (ver nota 1 abaixo). Estas derivadas, muitas vezes chamadas de coeficientes de sensitividade, descrevem como as estimativas de saída y variam com alterações nos valores das estimativas de entrada x1, x2,..., xN. Em particular, a variação em y produzida por uma pequena variação ∆xi na estimativa de entrada xi é dada por ( )∆ ∆y fx xi i i = ∂∂ . Se estavariação é gerada pela incerteza padrão da estimativa xi, a variação correspondente em y é ( / ) ( )∂ ∂f x u xi i . A variância combinada u yc2 ( ) pode, portanto, ser vista como uma soma de termos, cada um representando a variância estimada associada com a estimativa de saída y gerada pela variância estimada associada com cada estimativa de entrada xi. Isto sugere escrever a eq. (10) como u y c u x u yc i i i i N i N 2 2 2 11 ( ) [ ( )] ( )= ≡ == ∑∑ (11a) onde c f xi i ≡ ∂∂ e u y c u xi i i( ) ( )≡ (11b) Notas 1. Estritamente falando, as derivadas parciais são ∂ ∂ ∂ ∂f x f Xi i/ /= calculadas nas expectativas de Xi. Porém, na prática, as derivadas parciais são estimadas por: ∂ ∂ ∂ ∂ f x f Xi i X X XN = 1 2, ,..., 2. A incerteza padrão combinada uc(y) pode ser calculada numericamente substituindo c, u(xi) na eq. (11a) com Expressão da Incerteza: 1993 (E) 5. Determinando a incerteza padrão combinada 22 Z f x x u x x f x x u x x i i i N i i N = + − − 1 2 1 1 [ ( ,..., ( ),..., ) ( ,..., ( ,..., )] Isto é, ui(y) é avaliada numericamente calculando a variação em y devida à variação em xi de +u(xi) e de -u(xi). O valor de ui(y) pode então ser tomado como Zi e o valor do coeficiente de sensitividade correspondente ci como Zi/u(xi). Exemplo - Para o exemplo de 4.2.2, usando o mesmo símbolo para ambas as quantidades e sua estimativa por simplicidade de notação, c P V V R t t P Vo o1 2 1 2= = + − =∂ ∂ α/ / [ ( )] / c P R V R t t P Ro o o o2 2 2 1= = − + − = −∂ ∂ α/ / [ ( )] / c P V t t R t t P t t t t o o o o o 3 2 21 1 = = − − + − = − − + − ∂ ∂α α α / ( ) / [ ( )] ( ) / [ ( )] c P t V R t t P t t o o o 4 2 21 1 = = − + − = − + − ∂ ∂ α α α α / / [ ( )] / [ ( )] e u P P V u V P R u R P u P t u t o o 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂α α ∂ ∂ ou u P c u V c u R c u c u to 2 1 2 2 2 3 2 4 2( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]= + + +α ou ainda u P u P u P u P u P2 1 2 2 2 3 2 4 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + 5.1.4. Em vez de serem calculados da função f, os coeficientes ∂ ∂f x i/ são geralmente determinados experimentalmente: mede-se a variação em Y produzida por uma variação em um particular Xi, enquanto mantendo as outras quantidades de entrada constantes. Neste caso, o conhecimento da função f (ou uma porção dela quando somente alguns coeficientes de sensitividade são assim determinados) é reduzido a uma expansão de primeira ordem da série de Taylor empírica baseada nos coeficientes de sensitividade medidos. 5.1.5. Se a eq. (1) para o mensurando Y é expandida em torno de valores nominais Xi,0 das quantidades de entrada Xi, então para a primeira ordem (que é usualmente uma aproximação adequada), Y Y c c co N N= + + + +1 1 2 2δ δ δ... onde Y f X X Xo N,= ( , ,..., ), ,1 0 2 0 0 c f Xi i X Xi i = = ∂ ∂ ,0 e δ i i iX X= − ,0 Assim, para os objetivos de uma análise de incerteza, um mensurando é usualmente aproximado por uma função linear de suas variáveis, transformando suas quantidades de entrada de Xi para δi (ver E.3.1). Exemplo - Do exemplo 2 de 4.3.7, a estimativa do valor do mensurando V é V V V= + ∆ onde V =0,928 571 V, u( V ) = 12 µV, a correção aditiva ∆ V = 0 e u(∆ V ) = 8,7 µV. Desde que ∂ ∂V V/ = 1 e ∂V d V/ ( )∆ = 1, a variância combinada associada com V é dada por u V u V u V V Vc 2 2 2 2 212 8 7( ) ( ) ( ) ( ) ( , )= + = +∆ µ µ u V Vc 2 12 2219 10( ) = × − e a incerteza padrão combinada é uc(V) = 15 mV, que corresponde a incerteza padrão combinada relativa uc(V)/V de 16 x 10-6 (ver 5.1.6). Este é um exemplo do caso onde o mensurando já é uma função linear das quantidades de que ele depende, com coeficientes ci = +1. Segue-se da eq. (10) que se Y c X c X c XN N= + + +1 1 2 2 ... e se as constantes ci = +1 ou -1, então u y u xc i i N 2 2 1 ( ) ( )= = ∑ Expressão da Incerteza: 1993 (E) 5. Determinando a incerteza padrão combinada 23 5.1.6. Se Y é da forma Y cX X Xp p N pN= 1 21 2 ... e os expoentes pi são números conhecidos positivos ou negativos tendo incertezas desprezíveis, a variância combinada, eq. (10), pode ser expressa como: u y y p u x x c i i ii N( ) ( ) = =∑ 2 2 1 (12) Esta é da mesma forma que a eq. (11a) mas com a variância combinada u yc 2 ( ) expressa com a variância combinada relativa [uc(y)/y)]2 e a variância estimada u2(xi) associada com cada expectativa de entrada expressa como uma variância relativa estimada [u(xi)/xi]2. A incerteza padrão combinada relativa é uc(y)/ y e a incerteza padrão relativa de cada estimativa de entrada u(xi)/ xi com y ≠ 0 e xi ≠ 0. Notas: Quando Y tem esta forma, sua transformação para uma função linear de variáveis (ver 5.1.5) é facilmente conseguida fazendo Xi = Xi,0 (1 + δi), para assim resultar a seguinte relação aproximada: ( )Y Y Y pi i i N− = = ∑0 0 1 δ Por outro lado a transformação logarítmica Z = ln Y e Wi = ln Xi leva a uma linearização exata em termos das novas variáveis: Z c p Wi i i N = + = ∑ln 1 2. Se cada pi é +1 ou -1, a eq. (12) se torna u y y u x x c i ii N( ) ( = =∑ 2 2 1 que mostra que para este caso especial a variância combinada relativa associada com a estimativa y é simplesmente igual à soma das variâncias relativas estimadas associadas com as estimativas de entrada xi. 5.2. Quantidades de entrada correlatas As eq. (10) e as suas derivadas eq. (11) e (12) são válidas somente se as quantidades de entrada Xi são independentes e não correlatas (as variáveis aleatórias, não as quantidades físicas que são assumidas serem invariantes - ver 4.1.1). Se algumas das Xi são significativamente correlatas, as correlações devem ser consideradas. 5.2.2. Quando as quantidades de entrada são correlatas, a expressão apropriada para a variância combinada associada com o resultado de uma medição é: u y f x f x u x xc i j i j j N i N 2 11 ( ) ( , )= == ∑∑ ∂∂ ∂∂ = + = += − = ∑∑∑ ∂∂ ∂∂ ∂∂fx u x fx fx u x xi i ij i N i N j i j i N 2 2 11 1 1 2( ) ( , ) (13) onde xi e xj são as estimativas de Xi e Xj e u(xi, xj) = u(xj,xi) é a covariância estimada associada com xi e xj. O grau de correlação entre xi e xj é caracterizado pelo coeficiente de correlação estimado (C.3.6) r x x u x x u x u xi j i j i j ( , ) ( , ) ( ) ( ) = (14) onde r(xi,xj) = r(xj,xi) e -1 ≤ r(xi,xj) ≤ +1. Se as estimativas xi e xj são independentes, r(xi,xj) = 0 e a variação de uma não implica em variação esperada na outra. (ver C.2.8, C.3.6 e C.3.7 para discussão adicional). Em termos de coeficientes de correlação, que são mais facilmente interpretadas do que covariâncias, a covariância da eq. (13) pode ser escrito como 2 11 ∂ ∂ ∂ ∂ f x f x u x x r x x i j i j i j j i N i N ( , ) ( , ) = += ∑∑ (15) A eq. 13 se torna, com a ajuda da eq. (11b): u y c u x c c u x u x r x xc i i i N i j i j i j j i N i N 2 2 2 1 11 2( ) ( ) ( ) ( ) ( , )= + = = += ∑ ∑∑ (16) Notas 1. Para o caso muito especial onde todas as estimativas de entrada são correlacionadas com coeficientes r(xi,xj) = +1, a eq. (16) se reduz a u y c u x f x u xc i i i N i i i N 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )= = = =∑ ∑ ∂ ∂ A incerteza padrão combinada uc(y) é então simplesmente a raiz quadrada positiva de uma soma linear de termos
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