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1
Guia para a Expressão da
Incerteza na Medição
Tradução livre de Marco Antônio Ribeiro
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (Corrigida e Reimpressa, 1995)
ISO Technical Advisory Group on Metrology (ISO/TAG4/WG3)
Salvador, Inverno 1996, Outono 2001
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 0 Introdução
2
0. Introdução
0.1. Quando reportando o resultado de uma
medição de uma quantidade física, é obrigatório
que alguma indicação quantitativa da qualidade
do resultado seja dado de modo que quem vai
usá-la possa avaliar sua confiabilidade. Sem tal
indicação, os resultados da medição não podem
ser comparados, nem entre si e nem com
valores de referência dados em uma
especificação ou norma. É por isso necessário
que haja um procedimento prontamente
implementado, facilmente entendido e
universalmente aceito para caracterizar a
qualidade de um resultado de uma medição, isto
é, para avaliar e expressar a sua incerteza.
0.2. O conceito de incerteza como um atributo
quantificável é relativamente novo na história da
medição, embora erro e análise do erro tenham
uma longa participação da prática da ciência da
medição ou metrologia. É atualmente largamente
reconhecido que, quando todos os componentes
conhecidos ou suspeitos do erro tenham sido
avaliados e as correções apropriadas tenham
sido aplicadas, há ainda uma incerteza
remanescente acerca da correção do resultado
apresentado, isto é, uma dúvida acerca de quão
bem o resultado da medição representa o valor
da quantidade sendo medida.
0.3. Justo como o uso quase universal do
Sistema Internacional de Unidades (SI) trouxe
coerência a todas as medições científicas e
tecnológicas, um consenso universal na
avaliação e expressão da incerteza na medição
permitiria a significância de um vasto espectro de
resultados de medição na ciência, engenharia,
comercio, indústria e legislação a serem
facilmente entendidas a apropriadamente
interpretadas. Nesta era da globalização da
economia, é imperativo que o método para
avaliar e expressar a incerteza seja uniforme
através de todo o mundo de modo que as
medições feitas em diferentes países sejam
facilmente comparadas.
0.4. O método ideal para avaliar e expressar a
incerteza do resultado de uma medição deve ser
- universal: o método deve ser aplicável a
todos os tipos de medições a todos os
tipos de dados de entrada usados nas
medições.
A quantidade real usada para expressar a
incerteza deve ser:
- internamente consistente: deve ser
diretamente derivável dos componentes
que contribuem com a incerteza, bem
como independente de como estes
componentes são agrupados e da
decomposição dos componentes em
subcomponentes;
- transferível: deve ser possível usar
diretamente a incerteza calculada para um
resultado como um componente em
avaliando a incerteza de outra medição
em que o primeiro resultado é usado.
Além disso, em muitas aplicações industriais e
comerciais, bem como em áreas de saúde e
segurança, é geralmente necessário fornecer um
intervalo em torno do resultado da medição que
possa ser esperado incluir uma grande fração da
distribuição dos valores que podem
razoavelmente ser atribuídos à quantidade
sujeita à medição. Assim, o método ideal para
avaliar e expressar a incerteza na medição deve
ser capaz de facilmente fornecer tal intervalo, em
particular, um com uma probabilidade de
cobertura ou nível de confiança que corresponda
de modo realístico com o requerido.
0.5. O enfoque sobre o qual esta recomendação
se baseia é o apresentado na Recomendação
INC-1 (1980) [2] do grupo de trabalho
conveniado com o BIPM em resposta a uma
requisição do CIPM. Este enfoque, a justificativa
do que é discutido no Anexo E, satisfaz todas as
exigências apresentadas acima. Este não é
ocaso para a maioria dos outros métodos em
uso corrente. A recomendação INC-1 (1980) foi
aprovada e reafirmada pelo CIPM em sua
própria Recomendação 1 (CI - 1981) [3] e 1 (Ci
(1986) [4];
0.6. Um sumário sucinto do procedimento
especificado neste documento guia para avaliar
e expressar a incerteza na medição é dado na
cláusula 8 e vários exemplos são apresentados
em detalhes no Anexo H. Outros anexos tratam
dos termos gerais de metrologia (Anexo B),
termos e conceitos básicos de estatística (Anexo
C); valor verdadeiro, erro e incerteza (Anexo D);
sugestões práticas para avaliar os componentes
da incerteza (Anexo F); graus de liberdade e
níveis de confiança (Anexo G); os principais
símbolos matemáticos usados através de todo o
documento (Anexo J) e referências bibliográficas
(Anexo K).
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 0 Introdução
3
0.7. Recomendação INC-1 (1980)
Expressão das incertezas experimentais
1. A incerteza no resultado de uma medição
geralmente consiste de vários componentes que
podem agrupados em duas categorias de acordo
com o modo que seu valor numérico é estimado:
A. aquelas que são avaliadas por métodos
estatísticos,
B. aquelas que são avaliadas por outros meios.
Nem sempre há uma correspondência simples
entre a classificação em categorias A ou B e a
classificada usada anteriormente em incertezas
aleatórias e sistemáticas. O termo incerteza
sistemática pode ser mal entendido e deve ser
evitado.
Qualquer relatório detalhado da incerteza deve
consistir de uma lista completa dos
componentes, especificando cada método usado
para obter seu valor numérico.
2. Os componentes na categoria A são
caracterizados pelas variâncias estimadas si2 (ou
os desvios padrão estimados si) e o numero de
graus de liberdade νi. Quando apropriado, as
covariâncias devem ser dadas.
3. Os componentes na categoria B devem ser
caracterizados pelas quantidades uj2, que podem
ser consideradas como aproximações das
variâncias correspondentes, cujas existências
devem ser assumidas. As quantidades podem
ser tratadas como variâncias e as quantidades uj
como desvios padrão. Onde apropriado, as
covariâncias devem ser tratadas do mesmo
modo.
4. A incerteza combinada deve ser caracterizada
pelo valor numérico obtido pela aplicação do
método usual para a combinação de variâncias.
A incerteza combinada e seus componentes
devem ser expressos na forma de desvios
padrão.
Se, para determinada aplicação, for necessário
multiplicar a incerteza combinada por um fator
para obter a incerteza total, o fator de
multiplicação usado sempre deve ser
estabelecido.
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 1 Escopo
4
GUIA PARA A EXPRESSÃO DA
INCERTEZA NA MEDIÇÃO
1. Escopo
1.1. Este Guide estabelece as regras gerais
para avaliar e expressar a incerteza em
medição que pode ser seguida em vários níveis
de exatidão e em muitos campos - do chão de
fábrica para a pesquisa fundamental. Assim, os
princípios deste Guide podem ser aplicáveis a
um largo espectro de medições, incluindo
aquelas requeridas para:
- manter o controle de qualidade e garantia
da qualidade na produção
- estar de conformidade e atender leis e
regulações
- conduzir pesquisa básica e aplicada e
desenvolvimento em ciência e engenharia
- calibrar padrões e instrumentos e fazer
testes através de um sistema completo
nacional de medição de modo a conseguir
rastreabilidade a padrões nacionais
- desenvolver, manter e comparar padrões
de referência físicos internacionais e
nacionais, incluindo materiais de referência.
1.2. Este Guide está principalmente
relacionado com a expressão de incerteza na
medição de uma quantidade física bem
definida - o mensurando - que pode ser
caracterizada por um valor essencialmente
único. Se o fenômeno de interesse pode ser
representado somente como uma distribuição
de valores ou é dependente de um ou mais
parâmetros, como o tempo, então os
mensurandos requeridos para sua descrição
sãoo conjunto de quantidades descrevendo
esta distribuição ou esta dependência.
1.3. Este Guide é também aplicável para
avaliar e expressar a incerteza associada com
o projeto conceitual e a análise teórica de
experimentos, métodos de medição e
componentes complexos e sistemas. Como um
resultado da medição e sua incerteza podem
ser conceituais e baseados inteiramente em
dados hipotéticos, o termo resultado de uma
medição quando usado neste Guide deve ser
interpretado neste contexto mais amplo.
1.4. Este Guide fornece as regras gerais para
avaliar e expressar a incerteza na medição e
não instruções detalhadas e tecnologicamente
específicas. Além disso, ele não discute como
a incerteza de um resultado particular de uma
medição , uma vez avaliada, pode ser usado
para diferentes objetivos, por exemplo, para
tirar conclusões acerca da compatibilidade
deste resultado com outros resultados
semelhantes, para estabelecer os limites de
tolerância em um processo de fabricação ou
para decidir se um certo modo de ação pode
ser seguramente tomado. Pode ser necessário
desenvolver padrões particulares baseados
neste Guide que trata de problemas peculiares
a campos específicos de medição ou com os
vários usos de expressões quantitativas de
incerteza. Estas normas podem ser versões
simplificadas deste Guide mas devem incluir o
detalhe que é apropriado ao nível de exatidão e
complexidade das medições e usos desejados
Nota - Pode haver situações em que o conceito
de incerteza da medição é acreditado não ser
totalmente aplicável, tal como quando a
precisão de um método de teste é
determinada.
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 2 Definições
5
2. Definições
2.1. Termos metrológicos gerais
A definição de vários termos metrológicos
gerais relevantes para este Guide, tal como
quantidade mensurável, mesurando, e erro
de medição são dados no Anexo B. Estas
definições são tiradas do International
vocabularly of basic and general terms in
metrology (abreviado VIM) [6]. Além disso, o
Anexo C dá as definições de vários termos
estatísticos básicos tirados principalmente da
norma ISO 3534-1 [7]. Quando um destes
termos metrológicos ou estatísticos (ou um
termo intimamente relacionado) é primeiro
usado no texto, começando com a cláusula 3, é
impresso em negrito e o número da
subcláusula em que ele é definido é dado em
parêntesis.
Por causa de sua importância para o Guide, a
definição do termo geral metrológico incerteza
da medição é dado tanto no Anexo B e em
2.2.3. As definições dos termos específicos
mais importantes para este Guide são dadas
em 2.3.1 a 2.36. Em todas estas subcláusulas
e nos anexos B e C, o uso de parêntesis em
torno de certas palavras de alguns termos
significa que estas palavras podem ser
omitidas se isto é improvável de causar
confusão.
2.2. O termo incerteza
O conceito de incerteza é discutido com mais
detalhe na cláusula 3 e Anexo D.
2.2.1. A palavra incerteza significa dúvida e
assim em seu sentido mais amplo incerteza da
medição significa dúvida acerca da validade do
resultado de uma medição. Por causa da falta
de palavras diferentes para este conceito geral
de incerteza e as quantidades específicas que
fornecem medidas quantitativas do conceito,
por exemplo, o desvio padrão, é necessário
usar a palavra incerteza nestes dois diferentes
sentidos.
2.2.2. Neste Guide, a palavra incerteza sem
adjetivos se refere ao conceito geral de
incerteza e a qualquer ou todas medidas
quantitativas deste conceito. Quando uma
medida específica for pretendida, usa-se o
adjetivo apropriado.
2.2.3. A definição formal do termo incerteza da
medição desenvolvida para uso neste Guide e
no VIM [6} é a seguinte:
incerteza (da medição)
parâmetro, associado com o resultado
de uma medição, que caracteriza a
dispersão dos valores que poderiam
razoavelmente ser atribuídos ao
mensurando.
Notas
1. O parâmetro pode ser, por exemplo, um
desvio padrão (ou um dado múltiplo dele) ou
a meia largura de um intervalo tendo
determinado nível de confiança
2. A incerteza de uma medição compreende,
em geral, muitos componentes. Alguns
destes componentes podem ser avaliados da
distribuição estatística dos resultados de
séries de medições e podem ser
caracterizados por desvios padrão
experimentais. Os outros componentes, que
também podem ser caracterizados por
desvios padrão, são avaliados de
distribuições de probabilidade assumidas
baseadas na experiência ou em outras
informações.
3. É entendido que o resultado da medição é
a melhor estimativa do valor do mensurando
e que todos os componentes da incerteza,
incluindo os que aparecem de efeitos
sistemáticos, tais como os componentes
associados com correções e padrões de
referência, contribuem para a dispersão.
2.2.4. A definição de incerteza de medição
dada em 2.2.3 é um operacional que focaliza
no resultado da medição e sua incerteza
avaliada. Porém, não é inconsistente com
outros conceitos de incerteza da medição, tais
como
- uma medida do erro possível no valor
estimado do mensurando como
fornecido pelo resultado de uma
medição;
- uma estimativa caracterizando a faixa
de valores dentro da qual o valor
verdadeiro de um mensurando cai (VIM,
entrada 3.09).
Embora estes dois conceitos tradicionais sejam
válidos como ideais, eles focalizam em
quantidades desconhecidas: o erro do
resultado de uma medição e o valor verdadeiro
do mensurando (em contraste ao seu valor
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 2 Definições
6
estimado), respectivamente. Mesmo assim,
qualquer que seja o conceito de incerteza
adotado, um componente de incerteza é
sempre avaliado usando os mesmos dados e
informação relativa (ver também E.5).
2.3. Termos específicos a este Guide
Em geral, termos que são específicos a este
Guide são definidos no teste quando são
introduzidos inicialmente. Porém, as definições
dos mais importantes destes termos são dados
aqui para facilitar a referência.
Nota - Discussão adicional relativa a estes
termos pode ser encontrada como segue:
para 2.3.2, ver 3.3.3 e 4.2; para 2.3.3., ver
3.3.3 e 4.3; para 2.34, ver cláusula 5 e eq.
(10) e (13) e para 2.3.5 e 2.3.6, ver cláusula
6.
2.3.1. incerteza padrão
incerteza do resultado de uma medição
expressa como um desvio padrão.
2.3.2. Avaliação Tipo A (de incerteza)
método de avaliação da incerteza por análise
estatística de séries de observações.
2.3.3. Avaliação Tipo B (de incerteza)
método de avaliação da incerteza por meios
diferentes de análise estatística de séries de
observações.
2.3.4. incerteza padrão combinada
incerteza padrão do resultado de uma medição
quando este resultado é obtido dos valores de
várias outras quantidades, iguais à raiz
quadrada positiva de uma soma de termos, os
termos sendo as variâncias ou covariâncias
destas outras quantidades com pesos de
acordo com o modo que o resultado da
medição varia com alterações destas
quantidades.
2.3.5. incerteza expandida
quantidade definindo um intervalo em do qual o
resultado de uma medição que pode ser
esperado incluir uma grande fração da
distribuição de valores que poderiam
razoavelmente ser atribuídos ao mensurando.
Notas
1. A fração pode ser vista como a
probabilidade de cobertura ou nível de
confiança do intervalo.
2. Para associar um nível específico de
confiança com o intervalo definido pela
incerteza expandida requer hipóteses
explícita ou implícita com relação a
distribuição de probabilidade caracterizada
pelo resultado da medição e sua incerteza
padrão combinada. O nível de confiança que
pode ser atribuído a este intervalo pode ser
conhecido somente na extensão em que tais
hipóteses possam ser justificadas.
3. A incerteza expandida é também chamada
de incerteza total, no parágrafo 5 da
RecomendaçãoINC-1 (1980).
2.3.6. fator de cobertura
fator numérico usado como um multiplicador da
incerteza padrão combinada de modo a obter
uma incerteza expandida.
Nota - Um fator de cobertura, k, é tipicamente
na faixa de 2 a 3.
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
7
3. Conceitos Básicos
A discussão adicional de conceitos básicos
pode ser encontrada no Anexo D, que focaliza
as idéias de valor verdadeiro, erro e incerteza e
inclui ilustrações gráficas destes conceitos e no
Anexo E que explora a motivação e a base
estatística para a Recomendação INC-1
(1980), sobre a qual este Guide se baseia.
Anexo J é um glossário dos principais símbolos
matemáticos usados neste Guide.
3.1. Medição
3.1.1. O objetivo de uma medição (B.2.5) é
determinar o valor (B.2.2.) de um mensurando
(B.2.9), isto é, o valor de uma quantidade
particular (B.2.1, nota 1) a ser medida. Uma
medição então começa com uma especificação
aproximada do mensurando, o método de
medição (B.2.7), e o procedimento de
medição (B.2.8).
Nota - O termo valor verdadeiro (Anexo D)
não é usado neste Guide por razões dadas
em D.3.5; os termos valor de um mensurando
(ou de uma quantidade) e o valor verdadeiro
de um mensurando (ou de uma quantidade)
são vistos como equivalentes.
3.1.2. Em geral, o resultado de uma medição
(B.2.11) é somente uma aproximação ou
estimativa (C.2.26) do valor do mensurando e
assim é completo somente quando
acompanhado por uma expressão da incerteza
(B.2.18) desta estimativa).
3.1.3. Na prática, a especificação requerida ou
a definição de um mensurando é ditado pela
requerida precisão da medição (B.2.14). O
mensurando deve ser definido com suficiente
completude com relação à precisão requerida
de modo que para todos os objetivos práticos
associados com a medição seu valor é único. É
neste sentido que a expressão valor do
mensurando é usado neste Guide.
Exemplo - Se o comprimento de uma barra de
aço nominalmente com um metro é para ser
determinado com a precisão de um
micrômetro (10-6 m), sua especificação deve
incluir a temperatura e a pressão em que o
comprimento é definido. Assim, o
mensurando deve ser especificado como, por
exemplo, o comprimento da barra em 25,00
oC e 101 325 Pa mais qualquer outro
parâmetro definido associado necessário, tal
como o modo como a barra é suportada.
Porém, se o comprimento é para ser
determinado com precisão de milímetro (10-3
m), sua especificação não requer uma
temperatura ou pressão definida ou um valor
para qualquer outro parâmetro definido
Nota - A definição incompleta do mensurando
pode fazer aparecer um componente da
incerteza suficientemente grande que deve
ser incluído na avaliação da incerteza do
resultado da medição (ver D.1.1, D.3.4 e
D.6.2).
3.1.4. Em muitos casos, o resultado de uma
medição é determinado em base de séries de
observações obtidas sob condições de
repetibilidade (B.2.15, nota 1).
3.1.5. Variações em observações repetidas são
assumidas a aparecer por causa das
quantidades de influência (B.2.10) que
podem afetar o resultado da medição não são
mantidas completamente constantes.
3.1.6. O modelo matemático da medição que
transforma o conjunto de observações
repetidas no resultado da medição é de
importância crítica porque, além das
observações, ele geralmente inclui várias
quantidades de influência que são conhecidas
não exatamente. Esta falta de conhecimento
contribui para a incerteza do resultado de
medição, tal como as variações de
observações repetidas e qualquer incerteza
associada com o modelo matemático em si.
3.1.7. Este Guide trata do mensurando como
um escalar (uma quantidade simples). A
extensão para um conjunto de mensurandos
relativos determinados simultaneamente na
mesma medição requer a substituição do
mensurando escalar e sua variância (C.2.11,
C.2.20, C.3.2) por um mensurando vetor e
matriz de covariância (C.3.5). Tal substituição
é considerada neste Guide somente nos
exemplos (H.2, H.3 e H.4).
3.2. Erros, Efeitos e correções
3.2.1. Em geral, uma medição tem
imperfeições que provocam um erro (B.2.19)
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos
8
no resultado da medição. Tradicionalmente, um
erro é visto como tendo dois componentes,
chamados de componente aleatório (B.2.21) e
componente sistemático (B.2.22).
Nota - O erro é um conceito idealizado e os
erros não podem ser conhecidos exatamente.
3.2.2. O erro aleatório presumidamente
aparece de variações imprevisíveis ou
estocásticas de tempo e espaço de
quantidades de influência. Os efeitos de tais
variações, a partir de agora chamados de
efeitos aleatórios, provocam variações em
observações repetidas do mensurando.
Embora não seja possível compensar o erro
aleatório de um resultado da medição, ele pode
usualmente ser reduzido pelo aumento do
número de observações, sua expectativa ou o
valor esperado (C.2.9, C.3.1) é zero.
Notas
1. O desvio padrão experimental da média
aritmética ou média de uma série de
observações (ver 4.2.3) não é o erro aleatório
da média, embora isso possa aparecer em
algumas publicações. Em vez disso, ele é
uma medida da incerteza da média devida
aos efeitos aleatórios. O valor exato do erro
na média resultante destes efeitos não pode
ser conhecido.
2. Neste Guide, toma-se muito cuidado para
distinguir entre os termos erro e incerteza.
Eles não são sinônimos, mas representam
conceitos completamente diferentes e eles
não devem ser confundidos entre si ou mal
usados.
3.2.3. O erro sistemático, como o erro aleatório,
não pode ser eliminado mas ele também pode
ser geralmente reduzido. Se um erro
sistemático aparece de um efeito reconhecido
de uma quantidade de influência sobre o
resultado da medição, a partir de agora
chamado de efeito sistemático, o efeito pode
ser quantificado e, se ele tiver um tamanho
significativo em relação à precisão requerida da
medição, uma correção (B.2.23) ou fator de
correção (B.2.24) pode ser aplicado para
compensar este efeito. É assumido que, depois
da correção, a expectativa ou valor esperado
do erro resultante de um efeito sistemático seja
zero.
Nota - A incerteza de uma correção aplicada
a um resultado da medição para compensar
um efeito sistemático não é o erro
sistemático, muitas vezes chamado de
polarização (bias), no resultado da medição
devido ao efeito como ele é geralmente
chamado. Em vez disso, ele é uma medida
da incerteza do resultado devido ao
conhecimento incompleto do valor requerido
da correção. O erro que aparece da
compensação imperfeita de um efeito
sistemático não pode ser conhecido
exatamente. Os termos erro e incerteza
devem ser usados corretamente e deve-se
cuidar para distinguir um do outro.
3.2.4. É assumido que o resultado de uma
medição tenha sido corrigido para todos os
efeitos sistemáticos reconhecidamente
significativos e que cada esforço tenha sido
feito para identificar estes efeitos.
Exemplo - Uma correção devida à impedância
de um voltímetro usado para determinar a
diferença de potencial (o mensurando)
através de um resistor de alta impedância é
aplicada para reduzir o efeito sistemático
sobre o resultado da medição resultante do
efeito de carga do voltímetro. Porém, os
valores das impedâncias do voltímetro e do
resistor, que são usadas para estimar o valor
da correção e que são obtidas de outras
medições, são também incertezas em si.
Estas incertezas são usadas para avaliar o
componente da incerteza da determinação da
diferença de potencial que aparece da
correção e assim do efeito sistemático devido
à impedância finita do voltímetro.
Notas
1. Muitas vezes, os instrumentos e sistemas
de medição são ajustados ou calibrados
usando padrões de medição e materiais de
referência para eliminar os efeitos
sistemáticos, porém, as incertezas
associadascom estes padrões e materiais
devem também ser consideradas.
2. O caso onde uma correção para um efeito
sistemático significativo conhecido não é
aplicada é discutido na nota para 6.3.1 e em
F.2.4.5.
3.3. Incerteza
3.3.1. A incerteza do resultado de uma
medição reflete a falta do conhecimento exato
do valor do mensurando (ver 2.2). O resultado
de uma medição depois da correção de efeitos
sistemáticos conhecidos é ainda somente uma
estimativa do valor do mensurando por causa
da incerteza resultante dos efeitos aleatórios e
da correção imperfeita do resultado dos efeitos
sistemáticos.
Nota - O resultado de uma medição (após a
correção) pode ser não reconhecidamente
muito próximo do valor do mensurando (e
assim ter um erro desprezível) mesmo
assumido que ele tenha uma grande
incerteza. Assim, a incerteza do resultado de
uma medição não deve confundida com o
erro remanescente desconhecido.
3.3.2. Na prática, há várias fontes possíveis de
incerteza em uma medição, incluindo:
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos
9
a) definição incompleta do mensurando
b) realização imperfeita da definição de
um mensurando
c) amostra não representativa - a
amostra medida pode não
representar o mensurando definido
d) conhecimento inadequado dos efeitos
das condições ambientais na medição
ou a medição imperfeita das
condições ambientais
e) polarização pessoal na leitura de
instrumentos analógicos
f) resolução ou limite de discriminação
finito do instrumento
g) valores inexatos dos padrões e
materiais de referência de medição
h) valores inexatos de constantes e
outros parâmetros obtidos de fontes
externas e usados no algoritmo de
redução de dados
i) aproximações e hipóteses
incorporadas no método e
procedimento de medição
j) variações em observações repetidas
do mensurando sob condições
aparentemente idênticas.
Estas fontes não são necessariamente
independentes e algumas fontes (a) até (i)
podem contribuir com a fonte (j). Um efeito
sistemático não reconhecido não pode ser
considerado na avaliação da incerteza do
resultado de uma medição mas contribui com
seu erro.
3.3.3. A Recomendação INC-1 (1980) agrupa
os componentes da incerteza em duas
categorias baseadas em seu método de
avaliação, A e B. Estas categorias se aplicam a
incerteza e não são substitutas para as
palavras aleatória e sistemática. A incerteza de
uma correção para um efeito sistemático
conhecido pode, em alguns casos, ser obtido
por uma avaliação do Tipo A, enquanto em
outros casos por uma avaliação do Tipo B,
como pode a incerteza caracterizando um
efeito aleatório.
Nota - Em algumas publicações, os
componentes da incerteza são categorizados
como aleatórios e sistemáticos e são
associados com erros que aparecem de
efeitos aleatórios e efeitos sistemáticos
conhecidos, respectivamente. Tal
classificação dos componentes da incerteza
pode ser ambígua quando aplicada
genericamente. Por exemplo, um componente
aleatório da incerteza em uma medição pode
se tornar um componente sistemático da
incerteza em outra medição em que o
resultado da primeira medição é usado como
um dado de entrada. Classificando os
métodos de avaliação dos componentes da
incerteza em vez dos componentes em si
evita tal ambigüidade. Ao mesmo tempo, a
classificação exclui de coletar componentes
individuais que possam ter sido avaliados
pelos dois métodos diferentes em designando
grupos a serem usados para um objetivo
particular (ver 3.4.3).
3.3.4. O objetivo da classificação do Tipo A e
Tipo B é indicar os diferentes modos de avaliar
os componentes da incerteza e é por
conveniência de discussão apenas; a
classificação não significa indicar que há
qualquer diferença na natureza dos
componentes resultantes dos dois tipos de
avaliação. Os dois tipos de avaliação são
baseados em distribuições de probabilidade
(C.2.2) e os componentes de incerteza
resultantes de qualquer tipo são quantificados
por variâncias ou desvios padrão.
3.3.5. A variância estimada u2 caracterizando
um componente da incerteza obtido de uma
avaliação do Tipo A é calculada de séries de
observações repetidas e é a familiar
estatisticamente estimada variância s2 (ver
4.2). O desvio padrão estimado (C.2.12,
C.2.21, C.3.) u, a raiz quadrada positiva de u2,
é então u = s e por conveniência, é geralmente
chamado de incerteza padrão do Tipo A. Para
um componente de incerteza obtido de uma
avaliação do Tipo B, a variância estimada u2 é
calculada usando conhecimento disponível (ver
4.3) e o desvio padrão estimado u é
geralmente chamado de incerteza padrão do
Tipo B.
Assim, uma incerteza padrão do Tipo A é
obtida de uma função densidade de
probabilidade (C.2.5) derivada de uma
distribuição de freqüência observada
(C.2.18), enquanto uma incerteza padrão do
Tipo B é obtida de uma função de densidade
de probabilidade assumida baseada no grau de
confiança que um evento irá ocorrer [muitas
vezes chamada de probabilidade subjetiva
(C.2.1)]. Ambos os enfoques empregam
interpretações reconhecidas de probabilidade.
Nota - Uma avaliação do Tipo B de um
componente de incerteza é usualmente
baseada em um conjunto de informação
comparativamente confiável (ver 4.3.1).
3.3.6. A incerteza padrão do resultado de uma
medição, quando este resultado é obtido de
valores de um número de outras quantidades é
chamada de incerteza padrão combinada e
representada por uc. É o desvio padrão
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos
10
estimado associado com o resultado e é igual à
raiz quadrada positiva da variância combinada
obtida de todos os componentes de variância e
covariância (C.3.4), porém calculados usando
o que é chamado neste Guide, a lei de
propagação de incerteza (ver cláusula 5).
3.3.7. Para satisfazer as necessidades de
algumas aplicações industriais e comerciais,
bem como exigências nas áreas de saúde e
segurança, uma incerteza expandida U é
obtida, multiplicando-se a incerteza padrão
combinada uc por um fator de cobertura k. O
objetivo pretendido de U é fornecer um
intervalo em torno do resultado de uma
medição que pode ser esperada incluir uma
grande fração da distribuição de valores que
poderiam razoavelmente ser atribuídos ao
mensurando. A escolha do fator k, que é
usualmente na faixa de 2 para 3, é baseada na
probabilidade de cobertura ou nível de
confiança requerido do intervalo (ver cláusula
6).
Nota - O fator de cobertura k deve ser sempre
estabelecido, de modo que a incerteza
padrão da quantidade medida pode ser
recuperada para uso em cálculo da incerteza
padrão combinada ou outros resultados da
medição que podem depender desta
quantidade.
3.4. Considerações práticas
3.4.1. Se todas as quantidades em que o
resultado de uma medição depende são
variadas, sua incerteza pode ser avaliada por
meios estatísticos. Porém, como isto é
raramente possível, na prática, devido à
limitação de tempo e fontes, a incerteza do
resultado de uma medição é usualmente
calculada usando um modelo matemático da
medição e a lei da propagação da incerteza.
Assim, é implícito neste Guide que uma
medição pode ser modelada matematicamente
em um grau imposto pela precisão requerida
da medição.
3.4.2. Como o modelo matemático pode ser
incompleto, todas as quantidades relevantes
devem ser variadas no máximo de sua
extensão possível de modo que a avaliação da
incerteza possa ser baseada em dados
observados, o máximo possível. Sempre que
possível, o uso de modelos empíricos da
medição encontrados em dados quantitativos
de longa data e o uso de padrões rastreados e
cartas de controle que podem indicar se uma
medição está sob controle estatístico, deve ser
parte do esforço para obter avaliações
confiáveis da incerteza. O modelo matemático
deve ser sempre revisado quandoos dados
observados, incluindo o resultado de
determinações independentes do mesmo
mensurando, demostrar que o modelo é
incompleto. Um experimento bem projetado
pode facilitar grandemente avaliações
confiáveis da incerteza e é uma parte
importante da arte de medição.
3.4.3. De modo a decidir se um sistema de
medição está funcionando corretamente, a
variabilidade observada experimentalmente de
seus valores de saída, quando medido por
seus desvios padrão observados, é geralmente
comparada com o desvio padrão previsto
obtido pela combinação dos vários
componentes da incerteza que caracterizam a
medição. Em tais casos, somente estes
componentes (quer sejam obtidos de
avaliações do Tipo A ou do Tipo B) que
poderiam contribuir para a variabilidade
observada experimentalmente destes valores
de saída devem ser considerados.
Nota - Tal análise pode ser facilitada
tomando-se estes componentes que
contribuem para a variabilidade e os que não
contribuem em dois grupos separados e
identificados corretamente.
3.4.4. Em alguns casos, a incerteza de uma
correção para um efeito sistemático não
necessita ser incluída na avaliação da
incerteza do resultado de uma medição.
Embora a incerteza tenha sido calculada, ela
pode ser ignorada se sua contribuição para a
incerteza padrão combinada do resultado da
medição seja insignificante. Se o valor da
correção em si é insignificante comparado com
a incerteza padrão combinada, ele também
pode ser ignorado.
3.4.5. Ocorre geralmente, na prática,
especialmente no domínio da metrologia legal,
que um equipamento é testado através da
comparação com um padrão de medição e as
incertezas associadas com o padrão e o
procedimento de comparação são desprezíveis
em relação à precisão requerida do teste. Um
exemplo é o uso de um conjunto de padrões de
massa bem calibrados para testar a precisão
de uma balança comercial. Em tais casos,
como os componentes da incerteza são tão
pequenos que podem ser ignorados, a medição
pode ser vista como determinando o erro do
equipamento sob teste (ver também F.2.4.2)
3.4.6. A estimativa do valor de um mensurando
fornecido pelo resultado de uma medição é
geralmente expressa em termos do valor
adotado de um padrão de medição em vez de
ser em termos da unidade relevante do
Sistema Internacional de Unidades (SI). Em
tais casos, o tamanho da incerteza atribuída ao
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 3 Conceitos Básicos
11
resultado da medição pode ser
significativamente menor do que o resultado
que é expresso em unidade SI. (Com efeito, o
mensurando tem sido redefinido como a
relação do valor da quantidade a ser medida
para o valor adotado do padrão.)
Exemplo - Um padrão de voltagem Zener de
alta qualidade é calibrado por comparação
com uma base de referência de voltagem a
efeito Josephson. A incerteza padrão
combinada uc(Vs)/Vs (ver 5.1.6) da diferença
de potencial calibrada V do padrão Zener é 2
x 10-8 quando Vs é reportada em termos do
valor convencional, mas uc(Vs)/Vs é 4 x 10-7
quando Vs é reportada em termos da unidade
SI de diferença de potencial, V, por causa da
incerteza adicional associada com os valores
SI da constante de Josephson.
3.4.7. Enganos em registrar ou analisar dados
podem introduzir um erro desconhecido
significativo no resultado de uma medição.
Grandes enganos podem usualmente ser
identificados pela revisão adequada dos dados;
enganos pequenos podem ser mascarados por
ou mesmo aparecer como variações aleatórias.
Medidas de incerteza não pretendem
considerar tais enganos.
3.4.8. Embora este Guide forneça uma
referência para estabelecer a incerteza, ele não
pode ser substituto de pensamento crítico,
honestidade intelectual e habilidade
profissional. A avaliação da incerteza não é
nem uma tarefa de rotina nem é puramente
matemática; ela depende do conhecimento
detalhado da natureza do mensurando e da
medição. A qualidade e utilidade da incerteza
cotada para o resultado de uma medição
portanto depende principalmente do
entendimento, análise crítica e integridade de
quem contribui para o estabelecimento de seu
valor.
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
12
4. Avaliando a incerteza padrão
Recomendações adicionais para avaliar os
componentes da incerteza, principalmente de
natureza prática, podem ser encontrados no
Anexo F.
4.1. Modelando a medição
4.1.1. Na maioria dos casos, um mensurando Y
não é medido diretamente, mas é determinado
de N outras quantidades X1, X2, ..., XN, através
de uma relação funcional f:
Y = f(X1, X2, ..., XN) (1)
Notas
1. Por economia de notação, neste Guide, o
mesmo símbolo é usado para a quantidade
física (mensurando) e para a variável
aleatória (ver 4.2.1) que representa a saída
possível de uma observação desta
quantidade. Quando se diz que Xi tem uma
particular distribuição de probabilidade, o
símbolo é usado no último sentido; é
assumido que a quantidade física em si pode
ser caracterizada por um valor
essencialmente único (ver 1.1 e 3.1.3).
2. Em uma série de observações, o ko valor
observado de Xi é denotado por Xi,k; assim se
R denota a resistência de um resistor, o ko
valor observado da resistência é denotado
por Rk.
3. A estimativa de Xi (estritamente falando, de
sua expectativa) é denotada por xi.
Exemplo - Se uma diferença de potencial V é
aplicada aos terminais de um resistor
dependente da temperatura que tem uma
resistência definida Ro em uma temperatura
to e um coeficiente termal linear da
resistência α, a potência P (o mensurando)
dissipado pelo resistor à temperatura t
depende de V, Ro, α e t de acordo com
P f V R t V
R
t to
o
o= = + −( , , , ) [ ( )]α α
2
1
Nota - Outros métodos de medição de P
podem ser modelados por diferentes
expressões matemáticas.
4.1.2. As quantidades de entrada X1, X2, ..., XN
das quais a quantidade de saída Y depende,
podem ser vistas como mensurandos e podem
depender de outras quantidades, incluindo
correções e fatores de correção para efeitos
sistemáticos, gerando assim uma relação
funcional complicada f que pode nunca ser
escrita explicitamente. Além disso, f pode ser
determinada experimentalmente (ver 5.1.4) ou
existir somente como um algoritmo que deve
ser calculado numericamente. A função f como
ela aparece neste Guide é para ser
interpretada neste contexto mais amplo, em
particular como a função que contem cada
quantidade, incluindo todas as correções e
fatores de correção, que pode contribuir um
componente significativo de incerteza para o
resultado da medição.
Assim, se os dados indicam que f não modela
a medição ao grau imposto pela precisão
requerida do resultado da medição,
quantidades de entrada adicionais devem ser
incluídas em f para eliminar a inadequação (ver
3.4.2). Isto pode requerer a introdução de uma
quantidade de entrada para refletir o
conhecimento incompleto de um fenômeno que
afeta o mensurando. No exemplo de 4.1.1,
quantidades de entrada adicionais poderiam
ser necessárias para considerar a distribuição
não uniforme da temperatura através do
resistor, um possível coeficiente termal da
resistência não linear ou uma possível
dependência da resistência com a pressão
barométrica.
Nota - Apesar disso, a eq. (1) pode ser tão
elementar como Y = X1 - X2. Esta expressão
modela, por exemplo, a comparação de duas
determinações da mesma quantidade X.
4.1.3. O conjunto de entradas X1, X2, ..., X3
pode ser classificado como
- quantidades cujos valores e incertezas
são diretamente determinados na
medição em curso. Estes valores e
incertezas podem ser obtidos de, por
exemplo, uma única observação,
observações repetidas ou julgamento
baseado na experiência e pode envolver
a determinação de correções para
leituras do instrumento e correções para
Expressão da Incerteza: 1993 (E)4 Avaliando a incerteza padrão
13
as quantidades de influência, tais como
temperatura ambiente, pressão
barométrica e umidade.
- quantidades cujos valores e incertezas
são trazidos para a medição de fontes
externas, tais como quantidades
associadas com os padrões calibrados
da medição, materiais de referência
certificada e dados de referência obtidos
da literatura técnica.
4.1.4. Uma estimativa do mensurando Y,
denotado por y, é obtida da eq. (1) usando
estimativas de entrada x1, x2, ..., xN. Assim, a
estimativa da saída y, que é o resultado da
medição é dado por:
y = f(x1, x2, ..., xN) (2)
Nota - Em alguns casos a estimativa pode ser
obtida de
y Y
n
Y
n
f X X Xk
k
n
k k N,k= = =
=
∑ ∑1 1
1
1 2( , ,..., ), ,
Isto é, y é tomado como a média aritmética
(ver 4.2.1) de n determinações independentes
Yk de Y, cada determinação tendo a mesma
incerteza e cada uma sendo baseada em um
conjunto completo de valores observados de
N quantidades de entrada Xi, obtidas ao
mesmo tempo. Este modo de fazer média,
em vez de y f X X XN= ( , ,..., )1 2 , onde
X
n
Xi i k
k
n
=
=
∑1
1
, é a média aritmética das
observações individuais Xi,k, pode ser
preferível quando f é uma função não linear
das quantidades de entrada X1, X2, ,..., XN,
mas os dois enfoques são idênticos se f for
uma função linear de Xi (ver H.2 e H.4).
4.1.5. O desvio padrão estimado associado
com a estimativa de saída ou resultado da
medição y, chamado de incerteza padrão
combinada e denotada por uc(y), é determinado
do desvio padrão estimado associado com
cada estimativa de entrada xi, chamada
incerteza padrão e denotada por u(xi) (ver 3.3.5
e 3.3.6).
4.1.6. Cada estimativa de entrada xi e sua
incerteza padrão associada u(xi) é obtida de
uma distribuição de valores possíveis da
quantidade de entrada Xi. Esta distribuição de
probabilidade pode ser baseada na freqüência,
isto é, baseada em uma série de observações
Xi,k de Xi, ou pode ser uma distribuição a priori.
Avaliações do Tipo A de componentes de
incerteza padrão são baseadas em
distribuições de freqüência enquanto as
avaliações do Tipo B são baseadas em
distribuições a priori. Deve ser reconhecido que
em ambos os casos, as distribuições são
modelos que devem ser usados para
representar o estado de nosso conhecimento.
4.2. Avaliação da incerteza padrão
do Tipo A
4.2.1. Em muitos casos, a melhor estimativa
disponível da expectativa ou valor esperado
µq de uma quantidade q que varia
aleatoriamente [uma variável aleatória
(C.2.2)] e para que n observações
independentes qk tem sido obtidas sob as
mesmas condições de medição (ver
B.2.15), é a média aritmética q (C.2.19) de
n observações:
q
n
qk
k
n
=
=
∑1
1
(3)
Assim, para uma quantidade de entrada Xi
estimada de n observações independentes
repetidas Xi,k, a média aritmética Xi obtida da
eq. (3) é usada como a estimativa de entrada xi
na eq. (2) para determinar o resultado da
medição y, isto é, xi = Xi . Estas estimativas de
entrada não calculadas de observações
repetidas devem ser obtidas por outros
métodos, tais como os indicados na segunda
categoria de 4.1.3.
4.2.2. As observações individuais qk diferem
em valor por causa das variações aleatórias
nas quantidades de influência ou efeitos
aleatórios (ver 3.2.2). A variância experimental
das observações, que estima a variância σ2 da
distribuição da probabilidade de q, é dada por:
s q
n
q qk k
k
n
2 2
1
1
1
( ) ( )= − −=∑ (4)
Esta estimativa da variância e sua raiz
quadrada positiva s(qk), chamada de desvio
padrão experimental (B.2.17), caracteriza a
variabilidade dos valores observados qk ou
mais especificamente, sua dispersão em torno
da média q .
4.2.3. A melhor estimativa de σ2( q )=σ2/n, a
variância da média é dada por:
s q s q
n
k2
2
( ) ( )= (5)
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
14
A variância experimental da média s2( q ) e o
desvio padrão experimental da média s( q )
(B.2.17, nota 2), igual à raiz quadrada positiva
de s2( q ), quantifica como q estima a
expectativa µq de q e pode ser usada como
uma medida da incerteza de q .
Assim, para uma quantidade de entrada Xi
determinada de n observações independentes
repetidas Xi,k, a incerteza padrão u(xi) de seu
xi = X estimado é u(xi) = s( iX ), com )X(s i2
calculado de acordo com a eq. (5). Por
conveniência, )X(s)x(u i
2
i
2 = e )X(s)x(u ii =
são geralmente chamados de variância tipo A e
incerteza padrão tipo A, respectivamente.
Notas
1. O número de observações n deve ser
suficientemente grande para garantir que q
seja uma estimativa confiável da expectativa
µq da variável aleatória q e que )q(s2 forneça
uma estimativa confiável da variância
n)q( 22 σ=σ (ver 4.3.2, Nota). A diferença
entre )q(s2 e )q(2σ deve ser considerada
quando se constrói os intervalos de confiança
(ver 6.2.2). Neste caso, se a distribuição de
probabilidade de q for uma distribuição
normal (ver 4.3.4), a diferença é levada em
conta através da distribuição t (ver G.3.2).
2. Embora a variância )q(s2 seja a
quantidade mais fundamental, o desvio
padrão )q(s é mais conveniente, na prática,
porque ele tem a mesma dimensão que q e é
um valor mais facilmente compreendido do
que a variância.
4.2.4. Para procedimentos de medição bem
caracterizados sob controle estatístico, uma
variância combinada (pool) da amostra sp
2 ou
desvio padrão da amostra combinada sp para o
procedimento pode ser disponível. Em tais
casos, a variância da média de n observações
independentes repetidas é sp
2 /n e a incerteza
padrão é u
s
n
p= (ver H.3.6).
4.2.5. Muitas vezes, o valor estimado xi de uma
quantidade de entrada Xi é obtida de uma
curva que foi construída de dados
experimentais pelo método dos mínimos
quadrados. A variância e a incerteza padrão
resultante dos parâmetros que caracterizam a
curva e de qualquer ponto previsível pode
facilmente ser calculada por procedimentos
estatísticos bem conhecidos (ver H.3 e [17]).
4.2.6. Os graus de liberdade (C.2.27) νi de xi e
u(xi) (ver G.3), igual a n - 1 no campo simples
onde xi = Xi e u(xi) = s( Xi ) são calculados de
n observações independentes como em 4.2.1 e
4.2.3, sempre devem ser dados quando
documentando avaliações do Tipo A de
componentes de incerteza.
4.2.7. Se as variações aleatórias nas
observações de uma quantidade de entrada
são correlacionadas, por exemplo, no tempo, a
média e o desvio padrão da média como dados
em 4.2.1 e 4.2.3 podem ser estimadores
(C.2.25) inadequados da estatística desejada
(C.2.23). Em tais casos, as observações
devem ser analisadas usando métodos
estatísticos especialmente projetados para
tratar uma série aleatória correlata de
medições variando aleatoriamente.
Nota - Tais métodos especializados são
usados para tratar medições de padrões de
freqüência. Porém, é possível que, quando se
vai de medições de curto prazo para
medições de longo prazo de outras
quantidades metrológicas, a hipótese de
variações aleatórias correlatas pode não mais
ser válida e os métodos especializados
podem ser também usados [16], por exemplo,
para uma discussão detalhada da variância
chamada de Allan.
4.2.8. A discussão acima da avaliação do Tipo
A da incerteza padrão não significa que seja
exaustiva; há muitas situações, algumas mais
complexas, que podem ser tratadas por
métodos estatísticos. Um exemplo importante é
o uso de projetos de calibração, geralmente
baseados no método dos mínimos quadrados,
para avaliar as incertezas que aparecem de
variações aleatórias de curto prazo e de longo
prazo nos resultados de comparações de
artefatos materiais de valor desconhecido, tais
como blocos padrão de comprimento e padrões
de massa, com padrões de referência de valor
conhecido. Em tais situações de mediçãocomparativamente simples, os componentes da
incerteza são freqüentemente tratados por
avaliação estatística, usando projetos
consistindo de seqüências aninhadas de
medições do mensurando para um número de
valores diferentes das quantidades das quais
eles dependem - a assim chamada análise de
variância (ver H.5 e [19]).
Nota - Em níveis mais baixos da cadeia de
calibração onde os padrões de referência são
geralmente assumidos como exatamente
conhecidos por que eles tem sido calibrados
ou padrões primários ou nacionais, a
incerteza de um resultado de calibração pode
incluir somente uma única incerteza padrão
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
15
do Tipo A baseada em um desvio padrão
combinado do procedimento da medição.
4.3. Avaliação da incerteza padrão
do Tipo B
4.3.1. Para uma estimativa xi de uma
quantidade de entrada Xi que foi obtida de
observações repetidas, a variância estimada
u2(xi) ou incerteza padrão u(xi) é avaliada por
julgamento usando todas as informações
relevantes sobre a possível variabilidade de Xi.
O pool de informação pode incluir
- dados de medições anteriores,
- experiência com ou o conhecimento geral
do comportamento e propriedades de
materiais e instrumentos relevantes,
- especificações do fabricante,
- dados fornecidos em calibração e outros
certificados e
- incertezas atribuídas a dados de referência
tomados da literatura técnica.
Por conveniência, u2(xi) e u(xi) estimados deste
modo são geralmente referidas como,
respectivamente, variância do Tipo B e
incerteza padrão do Tipo B.
4.3.2. O uso apropriado do pool de informações
disponíveis para uma avaliação da incerteza
padrão do Tipo B exige uma visão baseada na
experiência e no conhecimento geral, mas é
uma habilidade que pode ser aprendida com a
prática. Deve ser reconhecido que uma
avaliação da incerteza padrão do tipo B pode
ser tão confiável quanto uma avaliação do Tipo
A, especialmente em uma situação de medição
onde uma avaliação do Tipo A é baseada em
um número comparativamente menor de
observações estatisticamente independentes.
Nota - Referindo a 4.2.3, nota 1, se a
distribuição de probabilidade de q é normal,
então s[s( q )/s( q )], o desvio padrão de s( q )
relativo a s( q ), é aproximadamente
[ ( )] /2 1 1 2n− − . Assim, tomando s[s( q )] como a
incerteza de s( q ) para n = 10 observações, a
incerteza relativa em s( q ) é 24%, enquanto
para n = 50 observações é de 10% (Valores
adicionais são dados na Tab. E.1, no Anexo
E).
4.3.3. Se a estimativa xi é tomada de uma
especificação do fabricante, certificado de
calibração, handbook e sua incerteza cotada é
estabelecida como um múltiplo particular de um
desvio padrão, a incerteza padrão u(xi) é
simplesmente o valor cotado dividido pelo
multiplicado e a variância estimada u2(xi) é a
raiz deste quociente.
Exemplo - Um certificado de calibração
estabelece que a massa de padrão de aço
inoxidável mS de valor nominal de um
kilograma é de 1 000,000 325 g e que a
incerteza deste valor é 240 µg ao nível de
três desvios padrão. A incerteza padrão do
padrão de massa é então simplesmente
u(mS) = (240 µg)/3 = 80 µg. Isto corresponde
a uma incerteza padrão relativa u(mS)/mS de
80 x 10-9 (ver 5.1.6). A variância estimada é
u2(mS) = (80 µg)2 =
6,4 x 10-9 g2.
Nota - Em muitos casos pouca ou nenhuma
informação é fornecida acerca dos
componentes individuais dos quais é obtida a
incerteza cotada. Isto é geralmente pouco
importante para expressar a incerteza de
acordo com as práticas deste Guide desde que
todas as incertezas padrão são tratadas do
mesmo modo quando se calcula a incerteza
padrão combinada de um resultado de medição
(ver cláusula 5).
4.3.4. A incerteza cotada de xi não é
necessariamente dada como um múltiplo de
um desvio padrão como em 4.3.3. Em vez
disso, pode-se encontrá-la estabelecendo que
a incerteza cotada define um intervalo tendo
um nível de confiança de 90, 95 ou 99% (ver
6.2.2). A não ser que seja dito diferente, pode-
se assumir que uma distribuição normal
(C.2.14) foi usada para calcular a incerteza
cotada e recuperar a incerteza padrão de xi
dividindo a incerteza cotada pelo fator
apropriado para a distribuição normal. Os
fatores correspondentes aos três níveis de
confiança são 1,64; 1,96 e 2,58 (ver também
tabela G.1 no Anexo G).
Nota - Pode não haver necessidade para tal
hipótese se a incerteza tem sido dada de
acordo dom as recomendações deste Guide
com relação ao relatório da incerteza, que
enfatiza que o fator de cobertura usado deve
sempre ser dado (ver 8.2.3)
Exemplo - Um certificado de calibração
estabelece que a resistência de um resistor
padrão Rs de valor nominal de 10 ohms é
10,000 742 Ω ± 129 µΩ @ 23 oC e que a
incerteza cotada de 129 µΩ define um
intervalo tendo um nível de confiança de 99%.
A incerteza padrão do resistor pode ser
tomada como u(Rs) = (129 µΩ)/2,58 = 50 µΩ,
que corresponde a incerteza padrão relativa
u(Rs)/Rs de 5,0 x 10-6 (ver 5.1..6). A variância
estimada é u2(Rs) = (50 µΩ)2 = 2,5 x 10-9 Ω2.
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
16
4.3.5. Considere-se o caso onde, baseada na
informação disponível, pode-se estabelecer
que há uma chance de 50% que o valor da
quantidade de entrada Xi caia no intervalo a- a
a+ (em outras palavras, a probabilidade que Xi
caia dentro deste intervalo é 0,5 ou 50%).
Pode-se assumir que a distribuição de valores
possíveis de Xi seja aproximadamente normal,
então a melhor estimativa xi de Xi pode ser
tomada como o ponto médio do intervalo. Mais
ainda, se o ponto médio do intervalo é
expresso como
a = (a+ - a-)/2, pode se tomar u(xi) = 1,48a, por
que para uma distribuição normal com
expectativa µ e desvio padrão σ, o intervalo
µ ± σ/1,48 inclui aproximadamente 50% da
distribuição.
Exemplo - Um mecânico determina as
dimensões de uma peça estima que seu
comprimento caia, com probabilidade de
50%, no intervalo 10,07 mm a 10,15 mm e
reporta que L = (10,11 ±0,04) mm,
significando que ±0,04 mm define um
intervalo tendo um nível de confiança de 50%.
Assim, a = 0,04 mm e se é assumida uma
distribuição normal para os valores possíveis
de L, a incerteza padrão do comprimento é
u(L) = 1,48 x 0,04 mm =
0,06 mm e a variância estimada é
u2(L) = (1,48 x 0,04 mm)2 = 3,5 x 10-3 mm2.
4.3.6. Considere-se um caso similar ao de
4.3.5. mas onde, baseada na informação
disponível, pode-se estabelecer que há uma
chance de dois para três que o valor da
quantidade de entrada Xi caia no intervalo a- a
a+ (em outras palavras, a probabilidade que Xi
caia dentro deste intervalo é 0,67 ou 67%).
Pode-se então razoavelmente tomar u(xi) = a,
porque para uma distribuição normal com
expectativa µ e desvio padrão σ, o intervalo µ ±
σ inclui cerca de 68,3% da distribuição.
Nota - Deve-se dar o valor de u(xi)
consideravelmente mais significativo que é
obviamente garantido se fosse usar o desvio
normal real 0,967 42 correspondendo à
probabilidade 2/3, isto, se fosse escrever
u(xi) = a/0,967 42 = 1,033a.
4.3.7. Em outros casos, pode ser possível
estimar somente limites (superior e inferior)
para Xi, em particular, para estabelecer que a
probabilidade que o valor de Xi caia dentro d
intervalo a- a a+, para todos os objetivos
práticos, é igual a um e a probabilidade que Xi
caia fora deste intervalo é praticamente zero.
Se não há conhecimento específico acerca dos
valores possíveis de Xi, dentro do intervalo,
pode-se somente assumir que é igualmente
provável para Xi cair em qualquer lugar dentro
dele (uma distribuição uniforme ou retangular
de valores possíveis p ver 4.4.5 e fig. 2a).
Assim xi, a expectativa ou valor esperado de Xi,
é o ponto médio do intervalo, xi = (a- + a+)/2,
com variância associada
u x a ai
2
2
12
( ) ( )= −+ − (6)
Se a diferença entreos limites a+ e a- é
denotada por 2a, então a eq. (6) se torna
u x ai
2
2
3
( ) = (7)
Nota - Quando um componente da incerteza
determinado deste modo contribuir muito para
a incerteza do resultado da medição, é
prudente obter mais dados adicionais para
sua avaliação posterior.
Exemplos
1. Um handbook dá o valor do coeficiente da
expansão termal linear do cobre puro @ 20
oC, α20(Cu), como 16,52 x 10-6 oC-1 e
simplesmente estabelece que o erro neste
valor não deve exceder 0,40 x 10-6 oC-1.
Baseado nesta informação limitada, é
razoável assumir que o valor de α20(Cu) caia
com igual probabilidade no intervalo 16,12 x
10-6 oC-1 a 16,92 x 10-6 oC-1 e que seja muito
improvável que α20(Cu) caia fora deste
intervalo. A variância desta distribuição
retangular simétrica de valores possíveis de
α20(Cu) da metade do intervalo
a = 0,40 x 10-6 oC-1 é então, da eq. (7),
u2(α20) = (0,40 x 10-6 oC-1)2/3 = 53,3 x 10-15 oC-
2 e a incerteza padrão é u(α20) =
(0,40 x 10-6 oC-1)/ 3 = 0,23 x 10-6 oC-1.
2. As especificações do fabricante para um
voltímetro digital estabelecem que entre um e
dois anos após a calibração do instrumento,
sua precisão na faixa de 1 V é de 14 x 10-6
vezes a leitura mais 2 x 10-6 vezes a faixa.
Considera-se que o instrumento é usado 20
meses após a calibração para medir em sua
faixa de 1 V uma diferença de potencial V e a
média aritmética de um número de
observações independentes repetidas de V
dá um valor de V = 0,928 571 V com uma
incerteza padrão do Tipo A u( V ) = 12 µV.
Pode-se obter a incerteza padrão associada
com as especificações do fabricante de uma
avaliação do Tipo B assumindo que a
precisão estabelecida fornece limites
simétricos para uma correção aditiva para V ,
∆ V , da expectativa igual a zero e com igual
probabilidade de cair em qualquer lugar
dentro dos limites. A metade a da distribuição
retangular simétrica dos valores possíveis de
∆ V é então
a = (14x10-6) x (0,928 571 V) + (2x10-6) x (1
V) = 15 mV
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
17
e da eq. (7),
u2(∆ V ) = 75 mV2 e
u(∆ V ) = 8,7 mV.
A estimativa do valor do mensurando V, por
simplicidade, denotado pelo mesmo símbolo
V, é dado por V = ∆ V + ∆ V = 0,928 571 V.
Pode-se obter a incerteza padrão combinada
desta estimativa combinando a incerteza
padrão do Tipo A, 12 mV com a incerteza
padrão do Tipo B, 8,7 mV. O método geral
para combinar os componentes da incerteza
é dado na cláusula 5, com este exemplo
tratado em 5.1.5.
4.3.8. Em 4.3.7, os limites superior e inferior a+
e a- para a quantidade de entrada Xi podem
não ser simétricos com relação a sua melhor
expectativa xi, mas especificamente, se o limite
inferior é escrito como a- = xi - b- e o limite
superior como a+ = xi + b+, então b- ≠ b+. Como
neste caso xi (assumido ser a expetativa de Xi)
não é o centro do intervalo a- a a+, a
distribuição da probabilidade de Xi não pode
ser uniforme através do intervalo. Porém, pode
não haver informação disponível suficiente
para escolher uma distribuição apropriada,
diferentes modelos produzem expressões
diferentes para a variância. Na ausência de tal
informação, a aproximação mais simples é:
u x b b a ai
2
2 2
12 12
( ) ( ) ( )= + = −− + + − (8)
que é a variância de uma distribuição
retangular com comprimento total de b+ + b-.
(Distribuições assimétricas são também
discutidas em F.2.4.4 e G.5.3).
Exemplo - Se no exemplo 1 de 4.3.7 o valor
do coeficiente é dado no handbook como
α20(Cu) = 16,52 x 10-6 oC-1 e é estabelecido
que o menor valor possível é 16,40 x 10-6 oC-1
e o maior valor possível =e 16,92 x 10 -6 oC-1
então b- = 0,12 x 10 -6 oC-1 e b+ = 0,40 x 10 -6
oC-1 e da eq. (8), u(α20) = 0,15 x 10 -6 oC-1.
Notas
1. Em muitos situações práticas de medição
onde os limites são assimétricos, pode ser
apropriado aplicar uma correção para estimar
xi de magnitude (b+ - b-)/2 de modo que a
nova estimativa xi' de Xi está no ponto médio
dos limites: xi' = (a- + a+)/2. Isto reduz a
situação ao caso de 4.3.7, com novos valores
b'+ = b'- =
(b+ + b-)/2 = (a+ - a-)/2 = a.
2. Baseado no princípio de máxima entropia,
a função densidade de probabilidade no caso
assimétrico pode ser mostrado como sendo
p Xi Ae X xi i( ) ( )= − −λ
com
A
b e b eb b
= +− +− +
1
( )λ λ
e
λ
λ
λ=
−
+
− +
− +
+
−
+
+
e
b e b
b b
b b
( )
( )
1
Isto leva à variância
u x b b b bi
2 ( ) ( )= − −+ − + −λ
Para b+ > b-, λ > 0 e para b+ < b-, λ < 0.
4.3.9. Em 4.3.7, como não havia conhecimento
específico acerca dos valores possíveis de Xi
dentro de seus limites estimados a- a a+, podia-
se somente assumir que era igualmente
provável para Xi tomar qualquer valor dentro
destes limites, com zero probabilidade de ser
fora deles. Tais descontinuidades da função
degrau em uma distribuição de probabilidade
são geralmente não físicas. Em muitos casos,
é mais realístico esperar que valores próximos
dos limites são menos prováveis que aqueles
próximos do ponto médio. É então, razoável
substituir a distribuição retangular simétrica por
uma trapezoidal simétrica tendo iguais
inclinações dos lados (um trapézio isósceles),
uma base de comprimento
a+ - a- = 2a e uma altura de 2ab, onde 0 ≤ b ≤ 1.
Quando b →1, esta distribuição trapezoidal se
aproxima da distribuição retangular de 4.3.7,
enquanto para b = 0, é uma distribuição
triangular (ver 4.4.6 e Fig. 2b). Assumindo tal
distribuição trapezoidal para Xi, acha-se que a
expectativa de Xi é xi = (a- + a+)/2 e sua
variância associada é
u x ai
2
2 21
6
( ) ( )= +β (9a)
que se torna uma distribuição triangular, β = 0,
u x ai
2
2
6
( ) = (9b)
Notas
1. Para uma distribuição normal com
expectativa µ e desvio padrão σ, o intervalo
µ ± 3σ engloba aproximadamente 99,73% da
distribuição. Assim, se os limites superior e
inferior a+ e a- definem 99,73% em vez de
100% e Xi pode ser assumido ser
aproximadamente normalmente distribuído
em vez de não tendo conhecimento
específico acerca de Xi, entre os limites como
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
18
em 4.2.7, então u x ai
2 2 9( ) /= . Por
comparação, a variância de uma distribuição
simétrica retangular de meia largura a é a2/3.
[eq. (7)] e que uma distribuição triangular
simétrica de média largura a é a2/6 [eq. (9b)].
Os tamanhos das variâncias das três
distribuições são surpreendentemente
similares em vista das grandes diferenças na
quantidade de informação requerida para
justificá-las.
2. A distribuição trapezoidal é equivalente à
convolução de duas distribuições
retangulares [10], uma com a meia largura a1
igual à média da meia largura do trapezoide,
a1 = a(1 + β)/2; a outra com a meia largura a2
igual à largura média de uma das porções
triangulares do trapezoide, a2= a(1 - β)/2. A
variância da distribuição é u a a2 1
2
2
2
3 3
= + . A
distribuição convolvida pode ser interpretada
como uma distribuição cuja largura 2a1 tem
uma incerteza representada por uma
distribuição retangular de largura 2a2 e
modela o fato que os limites em uma
quantidade de entrada não são exatamente
conhecidos. Mas, mesmo se a2 é maior 30%
que a1, u excede a1/ 3 por menos que 5%.
4.3.10. É importante não contar duplamente
os componentes da incerteza. Se um
componente de incerteza aparece de um
efeito particular obtido de uma avaliação do
Tipo B, ele deve ser incluído como um
componente independente de incerteza no
cálculo da incerteza padrão combinada do
resultado da medição somente no sentido que
o efeito não contribui para a variabilidade
observada das observações. Isto é por que a
incerteza devido a esta porção do efeito que
contribui para a variabilidade já está incluída
no componente da incerteza obtido da análise
estatística das observações.4.3.11. A discussão da avaliação da incerteza
padrão do Tipo B em 4.3.3 a 4.3.9 é
significativa somente por ser indicativa. Além
disso, as avaliações da incerteza devem ser
baseadas em dados quantitativos, como
enfatizado em 3.4.1 e 3.4.2.
4.4. Ilustração gráfica da avaliação
da incerteza padrão
4.4.1. A Fig. 1 representa a estimativa do valor
de uma quantidade de entrada Xi e a avaliação
da incerteza que esta estimativa da distribuição
desconhecida de valores medidos possíveis de
Xi ou a distribuição de probabilidade de Xi, que
é amostrada por meios de observações
repetidas.
4.4.2. Na Fig. 1a é assumido que a quantidade
de entrada Xi é uma temperatura t e que dus
distribuição desconhecida é uma distribuição
normal com expectativa µ1 = 100 oC e desvio
padrão σ = 1,5 oC. Sua função densidade de
probabilidade é então (ver C.2.14):
p t e
i
( )
( )
= −
−1
2
1
2
22
σ π
µ
σ
Nota - A definição de uma função de
densidade de probabilidade p(t) requer que a
relação p z dz( ) =∫ 1 seja satisfeita
4.4.3. A Fig. 1b mostra um histograma de n =
20 observações repetidas tk da temperatura t
que são assumidas serem tomadas
aleatoriamente da distribuição da Fig. 1a. Para
obter o histograma, as 20 observações ou
amostras, cujos valores são dados na Tab. 1,
são agrupados em intervalos de largura de 1
oC. (A preparação de um histograma não é
necessária para a análise estatística dos
dados).
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
19
Fig. 1. Ilustração gráfica da avaliação da
incerteza padrão de uma quantidade de
entrada de observações repetidas
Tab.1. 20 observações repetidas da
temperatura t agrupadas em intervalos de 1 oC
Intervalo t1 ≤ t ≤ t2 Temperatura t
t1/oC t2/oC t/oC
94,5 95,5 -
95,5 96,5 -
96,5 97,5 96,90
97,5 98,5 98,18; 98,25
98,5 99,5 98,61; 99,03; 99,49
99,5 100,5 99,56; 99,74; 99,89;
100,07; 100,33;
100,42
100,5 101,5 100,68; 100,95;
101,11; 101,20
101,5 102,5 101,57; 101,84;
102,36
102,4 103,5 102,72
103,5 104,5 -
104,5 105,5 -
A média aritmética t das n = 20 observações,
calculada de acordo com eq. (3) é t = 100,145
oC ≅ 100,14 oC e assumido ser igual à melhor
expectativa µ1 de t baseando-se nos dados
disponíveis. O desvio padrão experimental s(tk)
calculada pela eq. (4) é s(tk) = 1,489 oC ≅ 1,49
oC e o desvio padrão experimental da média
s( t ), calculado da eq. (5), que é a incerteza
padrão u( t ) da média t , é u( t ) = s( t ) =
s(tk)/ 20 = 0,333 oC ≅ 0,33 oC.
Nota - Embora os dados na Tab. 1 não sejam
implausíveis considerando o uso corrente de
termômetros eletrônicos digitais de alta
resolução, eles são para fins ilustrativos e não
devem ser necessariamente interpretados
como descrevendo uma medição real.
4.4.4. A Fig. 2 representa a estimativa do valor
de uma quantidade de entrada Xi e a avaliação
da incerteza desta estimativa de uma
distribuição a priori de valores possíveis de Xi
ou distribuição de probabilidade de Xi, baseada
em toda informação disponível. Para ambos os
casos mostrados, a quantidade de entrada é
ainda assumida como a temperatura t.
4.4.5. Para o casos ilustrado na Fig. 2a, é
assumido que pouca informação é disponível
acerca da quantidade de entrada t e que tudo
que pode ser assumido é que t é descrita por
uma distribuição de probabilidade a priori,
retangular e assimétrica com limite inferior a- =
96 oC, limite superior a+ = 104 oC e com meia
largura
a = (a+ - a-)/2 = 4 oC (ver 4.3.7). A função
densidade de distribuição de t é dada por:
p(t) = 1/2a a- < t < a+
p(t) = 0, para os outros valores
Como indicado em 4.3.7, a melhor estimativa
de t é sua expectativa µ1 = (a+ + a-)/2 = 100 oC,
que segue de C.3.1. A incerteza padrão desta
estimativa é u a( )µ1 3= ≅ 2,3 
oC, que segue de
C.3.2 [ver eq. (7)]
4.4.6. Para o caso ilustrado na Fig. 2b, é
assumido que a informação disponível acerca
de t é menos limitada e que t pode ser descrita
por um distribuição de probabilidade a priori
simétrica e triangular, com o mesmo limite
inferior a- = 96 oC e mesmo limite superior a+ =
104 oC e portando com mesma meia largura a
= (a+ - a-)/2 = 4 oC como em 4.4.5 (ver 4.39). A
função de densidade de probabilidade de t é
então:
p(t) = (t - a-)/a2 a- ≤ t ≤ (a- + a+)/2
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 4 Avaliando a incerteza padrão
20
p(t) = (a- - t)/a2 (a- + a+)/2 ≤ t ≤ a+
p(t) = 0, para os outros valores
Fig. 1. Ilustração gráfica da avaliação da
incerteza padrão de uma quantidade de
entrada de uma distribuição a priori
Como indicado em 4.3.9, a expectativa de t é
µ1 = (a+ + a-)/2 = 100 oC, que segue C.3.1. A
incerteza padrão desta estimativa é
u a( )µ1 6= ≅ 1,6 
oC, que segue C.3.2. [ver eq.
(9b)].
O valor acima, u( )µ1 ≅ 1,6 oC pode ser
comparada com u( )µ1 ≅ 2,3 oC obtido em 4.4.5
de uma distribuição retangular de mesma
largura 8 oC. Com σ = 1,5 oC da distribuição
normal da Fig. 1a cujo intervalo de -2,58s a
+2,58s que inclui 99% da distribuição, é
aproximadamente
8 oC e com u( t ) = 0,33 oC obtido em 4.4.3 de
20 observações assumidas tendo sido tomadas
aleatoriamente da mesma distribuição normal.
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 5. Determinando a incerteza padrão combinada
21
5. Determinando a incerteza padrão combinada
5.1. Quantidades de entrada não
correlacionadas
Esta subcláusula trata do caso onde todas as
quantidades de entrada são independentes
(C.3.7). O caso onde duas ou mais
quantidades de entrada são relacionadas, isto
é, são interdependentes ou correlatas (C.2.8),
é discutido em 5.2.
5.1.1. A incerteza padrão de y, onde y é a
estimativa do mensurando Y e assim o
resultado da medição, é obtido combinando de
modo apropriado as incertezas padrão das
estimativas de entrada x1, x2, ..., xN (ver 4.1).
Esta incerteza padrão combinada da estimativa
y é chamada de uc(y).
Nota - Por razões similares às dadas na nota
de 4.3.1, os símbolos uc(y) e u yc
2 ( ) são
usados em todos os casos.
5.1.2. A incerteza padrão combinada uc(y) é a
raiz quadrada positiva da variância combinada
u yc
2 ( ) , que é dada por
u y f
x
u xc
i
i
i
N
2
2
2
1
( ) ( )= 


=∑
∂
∂ (10)
onde f é a função dada na eq. (1). Cada u(xi) é
uma incerteza padrão calculada como descrito
em 4.1 (avaliação do Tipo A) ou como em 4.3
(avaliação do Tipo B). A incerteza padrão
combinada uc(y) é um desvio padrão estimado
e caracteriza a dispersão dos valores que
poderiam ser razoavelmente atribuídos ao
mensurando Y (ver 2.2.3).
A eq. (10) e sua contrapartida para
quantidades de entrada correlatas, eq. (13),
ambas das quais são baseadas em uma
aproximação de primeira ordem de Taylor de Y
= f(X1, X2, ..., XN), expressa o que é chamado
neste Guide, a lei de propagação da incerteza
(ver E.3.1 e E.3.2).
Nota - Quando a não linearidade de f é
significativa, termos de maior ordem na série
de expansão de Taylor devem ser incluídos
na expressão para u yc
2 ( ) , eq. (10). Quando a
distribuição de cada Xi é simétrica em relação
à sua média, os termos mais importantes da
próxima ordem mais alta a serem adicionados
aos termos da eq. (10) são:
1
2
2 2 3
2
11
2 2∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂ ∂
f
x x
f
x
f
x x
u x u x
i j i i jj
N
i
N
i j





 +





== ∑∑ ( ) ( )
5.1.3. As derivadas parciais ∂ ∂f x i/ são iguais
a ∂ ∂f X i/ calculadas em Xi = xi (ver nota 1
abaixo). Estas derivadas, muitas vezes
chamadas de coeficientes de sensitividade,
descrevem como as estimativas de saída y
variam com alterações nos valores das
estimativas de entrada x1, x2,..., xN. Em
particular, a variação em y produzida por uma
pequena variação ∆xi na estimativa de entrada
xi é dada por ( )∆ ∆y fx xi i i
= ∂∂ . Se estavariação
é gerada pela incerteza padrão da estimativa xi,
a variação correspondente em y é
( / ) ( )∂ ∂f x u xi i . A variância combinada u yc2 ( )
pode, portanto, ser vista como uma soma de
termos, cada um representando a variância
estimada associada com a estimativa de saída
y gerada pela variância estimada associada
com cada estimativa de entrada xi. Isto sugere
escrever a eq. (10) como
u y c u x u yc i i i
i
N
i
N
2 2 2
11
( ) [ ( )] ( )= ≡
==
∑∑ (11a)
onde
c f
xi i
≡ ∂∂ e u y c u xi i i( ) ( )≡ (11b)
Notas
1. Estritamente falando, as derivadas parciais
são ∂ ∂ ∂ ∂f x f Xi i/ /= calculadas nas
expectativas de Xi. Porém, na prática, as
derivadas parciais são estimadas por:
∂
∂
∂
∂
f
x
f
Xi i X X XN
=
1 2, ,...,
2. A incerteza padrão combinada uc(y) pode
ser calculada numericamente substituindo c,
u(xi) na eq. (11a) com
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 5. Determinando a incerteza padrão combinada
22
Z f x x u x x
f x x u x x
i i i N
i i N
= +
− −
1
2 1
1
[ ( ,..., ( ),..., )
( ,..., ( ,..., )]
Isto é, ui(y) é avaliada numericamente
calculando a variação em y devida à variação
em xi de +u(xi) e de -u(xi). O valor de ui(y)
pode então ser tomado como Zi e o valor
do coeficiente de sensitividade
correspondente ci como Zi/u(xi).
Exemplo - Para o exemplo de 4.2.2, usando o
mesmo símbolo para ambas as quantidades e
sua estimativa por simplicidade de notação,
c P V V R t t P Vo o1 2 1 2= = + − =∂ ∂ α/ / [ ( )] /
c P R V R t t P Ro o o o2
2 2 1= = − + − = −∂ ∂ α/ / [ ( )] /
c P V t t R t t
P t t t t
o o o
o o
3
2 21
1
= = − − + −
= − − + −
∂ ∂α α
α
/ ( ) / [ ( )]
( ) / [ ( )]
c P t V R t t
P t t
o o
o
4
2 21
1
= = − + −
= − + −
∂ ∂ α α
α α
/ / [ ( )]
/ [ ( )]
e
u P P
V
u V P
R
u R
P u P
t
u t
o
o
2
2
2
2
2
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= 

 +




+
+ 

 +




∂
∂
∂
∂
∂
∂α α
∂
∂
ou
u P c u V c u R c u c u to
2
1
2
2
2
3
2
4
2( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]= + + +α
ou ainda
u P u P u P u P u P2 1
2
2
2
3
2
4
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +
5.1.4. Em vez de serem calculados da função f,
os coeficientes ∂ ∂f x i/ são geralmente
determinados experimentalmente: mede-se a
variação em Y produzida por uma variação em
um particular Xi, enquanto mantendo as outras
quantidades de entrada constantes. Neste
caso, o conhecimento da função f (ou uma
porção dela quando somente alguns
coeficientes de sensitividade são assim
determinados) é reduzido a uma expansão de
primeira ordem da série de Taylor empírica
baseada nos coeficientes de sensitividade
medidos.
5.1.5. Se a eq. (1) para o mensurando Y é
expandida em torno de valores nominais Xi,0
das quantidades de entrada Xi, então para a
primeira ordem (que é usualmente uma
aproximação adequada),
Y Y c c co N N= + + + +1 1 2 2δ δ δ...
onde
Y f X X Xo N,= ( , ,..., ), ,1 0 2 0 0
c f
Xi i X Xi i
=
=
∂
∂
,0
e
δ i i iX X= − ,0
Assim, para os objetivos de uma análise de
incerteza, um mensurando é usualmente
aproximado por uma função linear de suas
variáveis, transformando suas quantidades de
entrada de Xi para δi (ver E.3.1).
Exemplo - Do exemplo 2 de 4.3.7, a
estimativa do valor do mensurando V é
V V V= + ∆ onde V =0,928 571 V, u( V ) =
12 µV, a correção aditiva ∆ V = 0 e u(∆ V ) =
8,7 µV. Desde que
∂ ∂V V/ = 1 e ∂V d V/ ( )∆ = 1, a variância
combinada associada com V é dada por
u V u V u V V Vc
2 2 2 2 212 8 7( ) ( ) ( ) ( ) ( , )= + = +∆ µ µ
u V Vc
2 12 2219 10( ) = × − 
e a incerteza padrão combinada é uc(V) = 15
mV, que corresponde a incerteza padrão
combinada relativa uc(V)/V de 16 x 10-6 (ver
5.1.6). Este é um exemplo do caso onde o
mensurando já é uma função linear das
quantidades de que ele depende, com
coeficientes ci = +1. Segue-se da eq. (10) que
se
Y c X c X c XN N= + + +1 1 2 2 ...
e se as constantes ci = +1 ou -1, então
u y u xc i
i
N
2 2
1
( ) ( )=
=
∑
Expressão da Incerteza: 1993 (E) 5. Determinando a incerteza padrão combinada
23
5.1.6. Se Y é da forma Y cX X Xp p N
pN= 1 21 2 ... e os
expoentes pi são números conhecidos
positivos ou negativos tendo incertezas
desprezíveis, a variância combinada, eq. (10),
pode ser expressa como:
u y
y
p u x
x
c i i
ii
N( ) ( )


 =



=∑
2 2
1
(12)
Esta é da mesma forma que a eq. (11a) mas
com a variância combinada u yc
2 ( ) expressa
com a variância combinada relativa [uc(y)/y)]2 e
a variância estimada u2(xi) associada com cada
expectativa de entrada expressa como uma
variância relativa estimada [u(xi)/xi]2. A
incerteza padrão combinada relativa é uc(y)/ y
e a incerteza padrão relativa de cada
estimativa de entrada u(xi)/ xi com y ≠ 0 e
xi ≠ 0.
Notas: Quando Y tem esta forma, sua
transformação para uma função linear de
variáveis (ver 5.1.5) é facilmente conseguida
fazendo Xi = Xi,0 (1 + δi), para assim resultar a
seguinte relação aproximada:
( )Y Y
Y
pi i
i
N− =
=
∑0
0 1
δ
Por outro lado a transformação logarítmica
Z = ln Y e Wi = ln Xi leva a uma linearização
exata em termos das novas variáveis:
Z c p Wi i
i
N
= +
=
∑ln
1
2. Se cada pi é +1 ou -1, a eq. (12) se torna
u y
y
u x
x
c i
ii
N( ) (



= 


=∑
2 2
1
que mostra que para este caso especial a
variância combinada relativa associada com a
estimativa y é simplesmente igual à soma das
variâncias relativas estimadas associadas
com as estimativas de entrada xi.
5.2. Quantidades de entrada
correlatas
As eq. (10) e as suas derivadas eq. (11) e (12)
são válidas somente se as quantidades de
entrada Xi são independentes e não correlatas
(as variáveis aleatórias, não as quantidades
físicas que são assumidas serem invariantes -
ver 4.1.1). Se algumas das Xi são
significativamente correlatas, as correlações
devem ser consideradas.
5.2.2. Quando as quantidades de entrada são
correlatas, a expressão apropriada para a
variância combinada associada com o
resultado de uma medição é:
u y f
x
f
x
u x xc
i j
i j
j
N
i
N
2
11
( ) ( , )=
==
∑∑ ∂∂ ∂∂
= 



+
= +=
−
=
∑∑∑ ∂∂ ∂∂ ∂∂fx u x fx fx u x xi i ij i
N
i
N
j
i j
i
N 2
2
11
1
1
2( ) ( , )
(13)
onde xi e xj são as estimativas de Xi e Xj e u(xi,
xj) = u(xj,xi) é a covariância estimada associada
com xi e xj. O grau de correlação entre xi e xj é
caracterizado pelo coeficiente de correlação
estimado (C.3.6)
r x x
u x x
u x u xi j
i j
i j
( , )
( , )
( ) ( )
= (14)
onde r(xi,xj) = r(xj,xi) e -1 ≤ r(xi,xj) ≤ +1. Se as
estimativas xi e xj são independentes, r(xi,xj) = 0
e a variação de uma não implica em variação
esperada na outra. (ver C.2.8, C.3.6 e C.3.7
para discussão adicional).
Em termos de coeficientes de correlação, que
são mais facilmente interpretadas do que
covariâncias, a covariância da eq. (13) pode
ser escrito como
2
11
∂
∂
∂
∂
f
x
f
x
u x x r x x
i j
i j i j
j i
N
i
N
( , ) ( , )
= +=
∑∑ (15)
 A eq. 13 se torna, com a ajuda da eq. (11b):
u y c u x c c u x u x r x xc i i
i
N
i j i j i j
j i
N
i
N
2 2 2
1 11
2( ) ( ) ( ) ( ) ( , )= +
= = +=
∑ ∑∑
(16)
Notas
1. Para o caso muito especial onde todas as
estimativas de entrada são correlacionadas
com coeficientes r(xi,xj) = +1, a eq. (16) se
reduz a
u y c u x f
x
u xc i i
i
N
i
i
i
N
2
1
2
1
2
( ) ( ) ( )= 



= 


= =∑ ∑
∂
∂
A incerteza padrão combinada uc(y) é então
simplesmente a raiz quadrada positiva de uma
soma linear de termos

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