Lista 2 de Limites

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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios Bs03C3e04sx3 
 
CDCI/CMCD 
(01) Determinar a equação do plano que passa pelo ponto )4,2,5(P − e com 
vetor normal )3,2,1(n =r . 
Solução: 
Como a equação do plano por )x,x,x(P 3211 com vetor normal 
)a,a,a(n 321
r
 é dada por: 0)zz(a)yy(a)xx(a 131211 =−+−+− , tem-se 
que a equação do plano em questão será: 013z3y2x =−++ . 
Observe que o gráfico de qualquer equação linear 0dczbyax =+++ é 
um plano com vetor normal )c,b,a( . 
 
(02) O vetor bXa
rr
 é ortogonal ao vetor ar e ao vetor b
r
. Sejam 
)a,a,a(a 321
r
 e )b,b,b(b 321
r
. 
Solução: 
Como 0a).bXa( =r
rr
 e 0b).bXa( =
rrr
, resulta que: 
=+−= 3
21
21
2
31
31
1
32
32
a.
bb
aa
a.
bb
aa
a.
bb
aa
a).bXa( r
rr
 
0abaabaabaabaabaaba 312321213231123132 =−++−−= . 
Logo, tem-se que bXa
rr
 é ortogonal ao vetor ar . Prova análoga para o 
segundo caso. 
 
(03) Se θ é o ângulo dos dois vetores não nulos )a,a,a(a 321
r
 e 
)b,b,b(b 321
r
, então )sen(.b.abXa θ=
rrrr
. 
Solução: 
Das definições envolvidas, é imediato que: 
=++=
2
21
21
2
31
31
2
32
322
bb
aa
bb
aa
bb
aa
bXa
rr
 
2
332211
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1 )b.ab.ab.a()bbb).(aaa( ++−++++= . 
Logo: 22
2 )b.a()b.a(bXa
rrrrrr
−= . 
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Mas, sabe-se que: )cos(.b.ab.a θ=
rrrs
. 
Portanto, tem-se que: 
=−=
222 )b.a()b.a(bXa
rrrrrr
=θ−=θ−= ))(cos1.()b.a()(cos.)b.a()b.a( 22222
rrrrrr
)(sen.)b.a( 22 θ=
rr
. 
Ou seja: )sen(.b.abXa θ= rrrr . 
 
(04) Calcular a área do triângulo determinado por )1,3,4(P − , )7,4,6(Q − e 
)2,2,1(R . 
Solução: 
Seja o paralelogramo de lados adjacentes )6,1,2(PQ −= e )1,5,3(PR − e de 
área dada por: 141049400961)7,20,31(PRXPQ =++=−−= . 
Logo: a área do triângulo em questão é 
2
1410
. 
Resposta: 
2
1410
. 
 
(05) A equação 04z4y8x6zyx 222 =+++−++ define que superfície S no 
espaço real tridimensional? 
Solução: 
Observando-se que 
⇒=+++−++ 04z4y8x6zyx 222 
⇒−=++++−⇒ 4)z4z()y8y()x6x( 222 
⇒+++−=+++++++−⇒ 41694)4z4z()16y8y()9x6x( 222 
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CDCI/CMCD 
25)2z()4y()3x( 222 =++++−⇒ 
conclui-se que 3222 )z,y,x(,04z4y8x6zyx:S ℜ∈∀=+++−++ 
define a superfície de uma esfera de centro no ponto )2,4,3(P −− e de raio 
5. 
 
(06) Dados )5,3,8(P − , )7,1,6(Q − e )z,y,x(R estabelecer uma equação em x, 
y, z que assegure a ortogonalidade de PR e PQ . Apresentar uma 
descrição geométrica de todos os pontos )z,y,x(R . 
Solução: 
Como se sabe PR e PQ são ortogonais se, e somente se, 0PQ.PR = . 
Logo, é imediato que 0)5z(12)3y(4)8x(2 =−−++−− . 
Resposta: 
0)5z(12)3y(4)8x(2 =−−++−− . Um plano que passa pelo ponto 
)5,3,8(P − . 
 
(07) Determinar os cossenos diretores de )2,3,4(a −=r . 
Solução: 
Como 294916a =++=r , então )29/2,29/3,29/4(a
a
1
−=
r
r . 
Logo, é imediato que: 
29
4)cos( =α , 
29
3)cos( −=β e 
29
2)cos( =θ . 
Resposta: 
29
4)cos( =α , 
29
3)cos( −=β e 
29
2)cos( =θ . 
 
(08) Se ar , b
r
 e c
r
 são vetores quaisquer e m é um escalar, mostrar que: 
(a) aXbbXa r
rrr
−= ; 
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(b) )bm(Xa)bXa(mbX)am(
rrrrrr
== . 
 
(09) Se ar , b
r
 e c
r
 são vetores quaisquer e m é um escalar, mostrar que: 
(a) )cXa(X)bXa()cb(Xa rr
rrrrr
=+ ; 
(b) )cXb(X)cXa(cX)ba( r
rrrrrr
=+ . 
 
(10) Se ar , b
r
 e c
r
 são vetores quaisquer e m é um escalar, mostrar que: 
(a) )cXb.(ac).Xba( r
rrrr
= ; 
(b) c).bXa(b).c.a()cXb(Xa r
rrrrrrrr
−= .