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Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
 
(01) Verificar o limite a seguir considerado: 
( ) ( )e,6j.x1i).)y1ln().1e()y.x((lim x2x31
0y
0x
=+++−−
→
→
rr
. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
( )=+++−−
→
→
j.x1i).)y1ln().1e()y.x((lim x2x31
0y
0x
rr
 
=+++−=
→
→
−
→
→
j.x1limi).)y1ln().1e()y.x((lim x
0y
0x
2x31
0y
0x
rr
 
=+++−=
→
→
−
→
→
x
0y
0x
2x31
0y
0x
x1lim.j))y1ln().1e()y.x((lim.i rr
 
=++
+−
=
→
→
→
→
x/1
0y
0x
x3
0y
0x
)x1(lim.j
y
)y1ln(
.2.
x
)1e(lim.i
rr
 
=++








+
−
=
→
→
→
→
→
→
x/1
0y
0x
y/1
0y
0x
x3
0y
0x
)x1(lim.j)y1ln(lim.
x
)1)e((lim.i.2
rr
 
=++
















+=
→
→
→
→
x/1
0y
0x
y/1
0y
0x
3 )x1(lim.j)y1(limln).eln(.i.2 rr
 
( )( ) =++=
→
→
x/1
0y
0x
3 )x1(lim.jeln).eln(.i.2 rr
 
( ) =+= e.j)eln(.i.2 3 rr 
=+= e.j)eln(3.i.2 rr 
)e,6(j.ei.6 =+= rr . 
Logo, de fato, tem-se que: 
( ) ( )e,6j.x1i).)y1ln().1e()y.x((lim x2x31
0y
0x
=+++−−
→
→
rr
. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
(02) Verificar o limite a seguir considerado: 
( ) 





=







++





+
−
−
→
→ 3
e4
,
2
1j.))x3(sen.())ycos(1)).(x4(sen(i.)y1ln(.)x(sen.y.x
))xcos(1(lim
3
1)ysec(3
0y
0x
rr
. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
( ) =






++





+
−
−
→
→
j.))x3(sen.())ycos(1)).(x4(sen(i.)y1ln(.)x(sen.y.x
))xcos(1(lim 1)ysec(3
0y
0x
rr
 
( ) =++





+
−
=
−
→
→
→
→
44444444 344444444 21
r
44444 344444 21
r
II
1)ysec(3
0y
0x
I
0y
0x
))x3(sen.())ycos(1)).(x4(sen(lim.j)y1ln(.)x(sen.y.x
))xcos(1(lim.i
 
Calculando I e II, resulta que: 
(I) =





+
−
→
→
)y1ln(.)x(sen.y.x
))xcos(1(lim
0y
0x
 
=
+−
=




 +−
=
→
→
→
→
→
→ y
)y1ln(lim.)x(sen.x
))xcos(1(lim
y
)y1ln(
.)x(sen.x
))xcos(1(lim
0y
0x
0y
0x
0y
0x
 
=+





+
+−
=
→
→
→
→
y/1
0y
0x
0y
0x
)y1ln(lim.))xcos(1(
))xcos(1(
.)x(sen.x
))xcos(1(lim 
=








+





+
−
=
→
→
→
→
y/1
0y
0x
2
0y
0x
)y1(limln.))xcos(1)).(x(sen.x(
))xcos(1(lim 
( ) =





+
=
→
→
eln.))xcos(1)).(x(sen.x(
))x(sen(lim
2
0y
0x
 
=





+
=
→
→
1.))xcos(1).(x(
)x(senlim
0y
0x
 
=





+
=
→
→
→
→ ))xcos(1(
1lim.)x(
)x(senlim
0y
0x
0y
0x
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
=





+
=
→
→ ))xcos(1(
1lim.1
0y
0x
 
2
1
))xcos(1(
1lim
0y
0x
=





+
=
→
→
; 
(II) ( ) =+ −
→
→
1)ysec(3
0y
0x
))x3(sen.())ycos(1)).(x4(sen(lim 
=
















+





=
→
→
3
)ycos(
1
0y
0x
))ycos(1(.)x3(sen
)x4(senlim
 
=








+





=
→
→
→
→
3
)ycos(
1
0y
0x
0y
0x
))ycos(1(lim.)x3(sen
)x4(senlim
 
=








+












=
→
→
→
→
3
)ycos(
1
0y
0x
Hospital'LPor
0y
0x
))ycos(1(lim.)x3cos(.3
)x4cos(.4lim
43421
 
( )
3
e4
e.
)x3cos(lim
)x4cos(lim
.
3
4 33
0y
0x
0y
0x
=












=
→
→
→
→
. 
Logo, de fato, tem-se que: 
( ) 





=







++





+
−
−
→
→ 3
e4
,
2
1j.))x3(sen.())ycos(1)).(x4(sen(i.)y1ln(.)x(sen.y.x
))xcos(1(lim
3
1)ysec(3
0y
0x
rr
. 
 
(03) Verificar o limite a seguir considerado: 
( ) )0,1,1(k.t5
))tcos(1.(3j.
v
)v(tgi.
u1ln
)u(senlim
0t
0v
0u
=




 −
++
+
→
→
→
rrr
. 
Solução: 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
Imediatamente, tem-se que: 
( ) =



 −
++
+
→
→
→
k.
t5
))tcos(1.(3j.
v
)v(tgi.
u1ln
)u(senlim
0t
0v
0u
rrr
 
( ) =
−
++
+
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
k.
t5
))tcos(1.(3limj.
v
)v(tglimi.
u1ln
)u(senlim
0t
0v
0u
0t
0v
0u
0t
0v
0u
rrr
 
( )
444 3444 21
r
43421
r
4434421
r
III
0t
0v
0u
II
0t
0v
0u
I
0t
0v
0u t5
))tcos(1.(3lim.k
v
)v(tglim.j
u1ln
)u(senlim.i −++
+
=
→
→
→
→
→
→
→
→
→
. 
Calculando I, II e III, resulta que: 
(I) ( ) ( ) ( )
=
+
=
+
=
+
→
→
→
→
→
→
→
→
→
u1ln.
u
1
.u
)u(senlim
u1ln.
u
u
)u(senlim
u1ln
)u(senlim
0t
0v
0u
0t
0v
0u
0t
0v
0u
 
( ) ( ) =+=+=
→
→
→
→
→
→
→
→
→ u/1
0t
0v
0u
0t
0v
0uu/1
0t
0v
0u u1ln
1lim.
u
)u(senlim
u1ln
1
.
u
)u(senlim 
( )
1)eln(
1
u1limln
1lim
.
u
)u(senlim
u/1
0t
0v
0u
0t
0v
0u
1
0t
0v
0u
==






























+
=
→
→
→
→
→
→
=
→
→
→
43421
; 
(II) 1)vcos(
1lim.1)vcos(
1lim.
v
)v(senlim)vcos(.v
)v(senlim
v
)v(tglim
0t
0v
0u
0t
0v
0u
0t
0v
0u
0t
0v
0u
0t
0v
0u
====
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
; 
(III) ==−=−
→
→
→
→
→
→
→
→
→ t
)2/t(sen.2lim.
5
3
t
))tcos(1(lim.
5
3
t5
))tcos(1.(3lim
2
0t
0v
0u
0t
0v
0u
0t
0v
0u
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
00.
2
3)2/t(senlim.)2/t(
)2/t(senlim.
5
3
2
2
.t
)2/t(sen.2lim.
5
3
0)2/t(
0v
0u
0)2/t(
0v
0u
2
0t
0v
0u
====
→
→
→
→
→
→
→
→
→
. 
Logo: ( ) )0,1,1(t5
))tcos(1.(3lim.k
v
)v(tglim.j
u1ln
)u(senlim.i
III
0t
0v
0u
II
0t
0v
0u
I
0t
0v
0u
=
−
++
+
→
→
→
→
→
→
→
→
→
444 3444 21
r
43421
r
4434421
r
; ou seja: 
( ) =



 −
++
+
→
→
→
k.
t5
))tcos(1.(3j.
v
)v(tgi.
u1ln
)u(senlim
0t
0v
0u
rrr
 
( ) k.0ji)0,1,1(k.t5
))tcos(1.(3j.
v
)v(tgi.
u1ln
)u(senlim
)0,0,0()t,v,u(
rrrrrr
++==




 −
++
+
=
→
. 
 
(04) Verificar o limite a seguir considerado: 
( )( ) )8/1,8/1(
y4
y31
,20x12x.6x5xlim 2
122
2y
2x
=








−
−+−
+−+−
−
→
→
. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
( )( ) =








−
−+−
+−+−
−
→
→ 2
122
2y
2x y4
y31
,20x12x.6x5xlim 
( )( )
444 3444 21
r
444444 3444444 21
r
II
2
2y
2x
I
122
2y
2x y4
y31
lim.j20x12x.6x5xlim.i
−
−+−
++−+−=
→
→
−
→
→
. 
Calculando I e II, resulta que: 
(I) ( )( ) =
−−
−−
=+−+−
→
→
−
→
→ )10x).(2x(
)3x).(2x(lim20x12x.6x5xlim
2y
2x
122
2y
2x
 
8
1
10x
3xlim
2y
2x
=
−
−
=
→
→
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
(II) ( )( )( )( ) =+−−
+−−−=
−
−+−
→
→
→
→ 1y3.y4
1y3.1y3
lim
y4
y31
lim
2
2y
2x2
2y
2x
 
( )( ) ( )( )( ) =+−+− −=+−− −−= →→→→ 1y3y2y2
)y2(lim
1y3.y4
)1y3(lim
2y
2x2
2y
2x
 
( ) 8/1)1y3.(y2
1lim
2y
2x
=
+−+
=
→
→
. 
Logo, de fato, tem-se que: 
( )( ) )8/1,8/1(
y4
y31
,20x12x.6x5xlim 2
122
2y
2x
=








−
−+−
+−+−
−
→
→
. 
 
(05) Calcular o limite: 
( ) 











 −
+−+−−−
→
k.
u4
2e2j).u(gcot.a1i).14.(8.u.4lim
u3
)u(tgu11
0u
rrr
. 
Solução: 
Como: )2ln()4ln(.
2
1
u
)14(lim.
8
4
u
)14(
.
8
4lim)14.(8.u.4lim
4ln(
u
0u
u
0u
u11
0u
==
−
=
−
=−
=
→→
−−
→
4434421
, 
( ) =−−=−=−
→→→ )u(tg
)1a(lim)u(tg
)a1(lim)u(gcot.a1lim
)u(tg
0u
)u(tg
0u
)u(tg
0u
)aln(
y
)1a(lim
y
0y
−=
−
−
→
, e, 
2
3)eln(.3.
2
1)eln(.
2
1
u
1)e(lim.
4
2
u4
2e2lim 3
)eln(
3u
0u
u3
0u
3
===





−
=





−
=
→→
44 344 21
. 
Tem-se, portanto, que: 
( ) =












−
+−+−−−
→
k.
u4
2e2j).u(gcot.a1i).14.(8.u.4lim
u3
)u(tgu11
0u
rrr
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
k.
2
3j)).a(ln(i)).2(ln()2/3),aln(),2(ln( rrr +−=−= . 
 
(06) Verificar o limite a seguir considerado: 
)2,4/3()j).2v2v4v2(i).2u3u.()3u5uu((lim 233123
1v
1u
−=−+−++−+−+ −
→
→
rr
. 
Solução: 
=−+−++−+−+ −
→
→
)j).2v2v4v2(i).2u3u.()3u5uu((lim 233123
1v
1u
rr
 
=





−+−+
+−+
+−
=
→
→
j).2v2v4v2(i.)3u5uu(
)2u3u(lim 2323
3
1v
1u
rr
 
=−+−+
+−+
+−
=
→
→
→
→
j).2v2v4v2(limi.)3u5uu(
)2u3u(lim 23
1v
1u23
3
1v
1u
rr
 
4444 34444 21
r
4444 34444 21
r
II
23
1v
1u
I
23
3
1v
1u
)2v2v4v2(lim.j)3u5uu(
)2u3u(lim.i −+−+
+−+
+−
=
→
→
→
→
 
Calculando I e II tem-se, respectivamente, que: 
(I) =
+−+
+−
→
→ )3u5uu(
)2u3u(lim 23
3
1v
1u
( )( )
( )( ) =−+
−+
=
−+−
−+−
→
→
→
→ )3u2u(
)2uu(lim
3u2u.1u
2uu.1ulim 2
2
1v
1u2
2
1v
1u
 
( )( )
( )( ) 4
3
)3u(
)2u(lim
3u.1u
2u.1ulim
1v
1u
1v
1u
=
+
+
=
+−
+−
=
→
→
→
→
 
(II) =−+−=−+−
→
→
→
→
2v2v4v2lim)2v2v4v2(lim 23
1v
1u
23
1v
1u
 
22242)2lim()v2lim()v4lim()v2lim(
1v
1u
1v
1u
2
1v
1u
3
1v
1u
−=−+−=−++−+=
→
→
→
→
→
→
→
→
 
Logo: =−+−+
+−+
+−
=
→
→
→
→
4444 34444 21
r
4444 34444 21
r
II
23
1v
1u
I
23
3
1v
1u
)2v2v4v2(lim.j)3u5uu(
)2u3u(lim.i 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
)2,4/3(j.2i.
4
32.j
4
3i =+=+=
rrrr
. 
 
(07) Verificar o limite a seguir considerado: 
( )( ) ( )( )( ) )x4,2/1(j.a.xaxi.u2u3.uu2u4lim 31441223
0a
0u
=−++++− −
−
→
→
rr
. 
Solução: 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
( )( ) ( )( )( )=−++++− −−
→
→
j.a.xaxi.u2u3.uu2u4lim 1441223
0a
0u
rr
 
( )( ) ( )( ) =−++++−= −
→
−
→ 44444 344444 21
r
4444444 34444444 21
r
II
144
)0,0()a,u(
I
1223
)0,0()a,u(
a.xaxlim.ju2u3.uu2u4lim.i 
Calculando I e II, resulta que: 
(I) ( )( ) =++− −
→
1223
)0,0()a,u(
u2u3.uu2u4lim
 ( )
( ) 2
1
)2u3(
)1u2u4(lim
2u3.u
1u2u4.ulim
2
)0,0()a,u(
2
)0,0()a,u(
=
+
+−
=
+
+−
=
→→
 
(II) Como )yx).(yx).(yx(yx,Ry,x 2244 ++−=−∈∀ , tem-se que: 
( )( ) =−+ −
→
144
)0,0()a,u(
a.xaxlim 
=
++++−+
=
−+
→→ a
)x)ax)((x)ax).((x)ax((lim
a
)x)ax((lim
22
)0,0()a,u(
44
)0,0()a,u(
 
=+++=
+++
=
→→
)x)ax)((ax2(lim
a
)x)ax)((ax2).(a(lim 22
)0,0()a,u(
22
)0,0()a,u(
 
32 x4x2.x2 == . 
Logo, de fato, tem-se que: 
( )( ) ( )( )( ) )x4,2/1(j.a.xaxi.u2u3.uu2u4lim 31441223
0a
0u
=−++++− −
−
→
→
rr
. 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
 
(08) Calcular o limite: )j)).35ln(t(i).15.()17((lim t71t5
0t
rr
++−− −
→
. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: =++−− −
→
)j)).35ln(t(i).15.()17((lim t71t5
0t
rr
 
=+
−
−
=++−−=
→→
−
→
j)).35(ln()17(
)15(lim.i))35ln(t(lim.j)15.()17(lim.i t5
t7
0t0t
t71t5
0t
rrrr
 
=+












−
−
=+












−
−
=
→
→
→
→ j)).35(ln(
t
)1)7((lim
t
)1)5((lim
.ij)).35(ln(
t
)17(lim
t
)15(lim
.i t5
0t
t7
0t
t5
0t
t7
0t rrrr
j)).35(ln(i.)7ln(.5
)5ln(.7 rr
+= . 
 
(09) Verificar o limite a seguir considerado: 
)1,1()j.))bx(sen)ax(sen(
)ee(i.u).2)ucos(2((lim
bxax
2
0x
0u
−=
−
−
+− −
→
→
rr
. 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
=
−
−
+− −
→
→
)j.))bx(sen)ax(sen(
)ee(i.u).2)ucos(2((lim
bxax
2
0x
0u
rr
 
4444 34444 21
r
444 3444 21
r
II
bxax
0x
0u
I
2
0x
0u ))bx(sen)ax(sen(
)ee(lim.ju).2)ucos(2(lim.i
−
−
+−=
→
→
−
→
→
. 
Calculando I e II, resulta que: 
(I) =−=−
→
→
→
→ 2
0x
0u2
0x
0u u
)1)u(cos(lim.2
u
)2)ucos(2(lim 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
=
+−
−−
=








+−
+−
−−
=
→
→
→
→ )1)u(sen1.(u
)1)u(sen1(lim.2
)1)u(sen1(
)1)u(sen1(
.
u
)1usen1(lim.2
22
2
0x
0u2
2
2
2
0x
0u
( ) =+−−=+−−= →→→→ )1)u(sen1(
1
.
u
)u(senlim.2
1usen1.u
)u(senlim.2
2
2
0x
0u22
2
0x
0u
1
2
1
.2
)1)u(sen1(
1lim.
u
)u(senlim.2
2
0x
0u
2
0x
0u
−=−=
+−







−=
→
→
→
→
 
 
(II) =





 +





 −
−
=
−
−
→
→
→
→
2
bxax
cos.
2
bxax
sen.2
)ee(lim))bx(sen)ax(sen(
)ee(lim
bxax
0x
0u
bxax
0x
0u
 
=





 +





 −
−
=
→
→
→
→
2
bxax
cos
1lim.
2
bxax
sen2
)ee(lim
0x
0u
bxax
0x
0u
 
=
−





 −
−
−
=





 −
−
=
→
→
→
→
2
)bxax(
1
.
2
bxax
sen2
2
)bxax(
1).ee(
lim
2
bxax
sen2
)ee(lim
bxax
0x
0u
bxax
0x
0u
 
=
−





 −
−
−
=
−





 −
−
−
=
→
−
→
→
→
→
→
→
→
2
x).ba(
1
.
2
x).ba(
senlim
)bxax(
)ee(
.2lim
.
2
1
2
)bxax(
1
.
2
bxax
senlim
)bxax(
)ee(
.2lim
.
2
1
0
2
x).ba(
0u
bxax
0x
0u
0x
0u
bxax
0x
0u
 
=
−
−
=
−





 −
−
−
=
→
→
=
→
−
→
→
→
)bxax(
)ee(
.2lim.
2
1
2
)bxax(
2
bxax
sen
lim
)bxax(
)ee(
.2lim
.
2
1 bxax
0x
0u
1
0
2
)bxax(
0u
bxax
0x
0u
4444 34444 21
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
=
−
−
=
−
−
=
→
→
→
→ )bxax(
)ee(lim)bxax(
)ee(lim.2.
2
1 bxax
0x
0u
bxax
0x
0u
 
 
=
−
−
=
−
−
=
→
→
→
→ x
)ee(lim.)ba(
1
x).ba(
)ee(lim
bxax
0x
0u
bxax
0x
0u
 
=








−
−
=





−
−
=
→
→
→
→
→
→ x
elim
xelim.)ba(
1
x
e
x
elim.)ba(
1 bx
0x
0u
ax
0x
0u
bxax
0x
0u
 
=








−
−
=
→
→
→
→ x
)e(lim
x
)e(lim.)ba(
1 xb
0x
0u
xa
0x
0u
 
=







 +−
−
+−
−
=
→
→
→
→ x
)11)e((lim
x
)11)e((lim.)ba(
1 xb
0x
0u
xa
0x
0u
 
=







 +−
−
+−
−
=
→
→
→
→ x
)1)1)e(((lim
x
)1)1)e(((lim.)ba(
1 xb
0x
0u
xa
0x
0u
 
=








−
−
−+
−
−
=
→
→
→
→
→
→
→
→ x
1lim
x
)1)e((lim
x
1lim
x
)1)e((lim.)ba(
1
0x
0u
xb
0x
0u
0x
0u
xa
0x
0u
 
=














−
−
−
−
=
=
→
→
=
→
→
44 344 2144 344 21
)eln(
xb
0x
0u
)eln
xa
0x
0u
ba
x
)1)e((lim
x
)1)e((lim.)ba(
1
 
[ ] [ ] =−
−
=−
−
= )eln(.b)eln(.a.)ba(
1)eln()eln(.)ba(
1 ba
 
1)ba(
)ba()ba.()ba(
1
=
−
−
=−
−
= . 
Logo: 1))bx(sen)ax(sen(
)ee(lim
bxax
0x
0u
=
−
−
→
→
. 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
Portanto: )1,1()j.))bx(sen)ax(sen(
)ee(i.u).2)ucos(2((lim
bxax
2
0x
0u
−=
−
−
+− −
→
→
rr
. 
 
(10) Verificar o limite a seguir considerado: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =+−+−++− −−
→
→
→
)k.w1ln.1ej.v.asenavseni)).u(gcot).a1(((lim 1w1)u(tg
0w
0v
0u
rrr
 
)1,)acos(,)aln((kj)).a(cos(i)).aln(( −=++−= rrr . 
Solução: 
Imediatamente, tem-se que: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =+−+−++− −−
→
→
→
)k.w1ln.1ej.v.asenavseni)).u(gcot).a1(((lim 1w1)u(tg
0w
0v
0u
rrr
 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =+−+−++− −
→
→
→
−
→
→
→
→
→
→
4444 34444 21
r
44444 344444 21
r
4444 34444 21
r
III
1w
0w
0v
0u
II
1
0w
0v
0u
I
)u(tg
0w
0v
0u
w1ln.1elim.kv.asenavsenlim.j)u(gcot).a1(lim.i 
Calculando I, II e III, resulta que: 
(I) =−
→
→
→
)u(gcot).a1(lim )u(tg
0w
0v
0u
=
−
−=
−
→
→
→
→
→
→ )u(tg
)1a(lim)u(tg
)a1(lim
)u(tg
0w
0v
0u
)u(tg
0w
0v
0u
 
)aln(
y
)1a(lim
y
0w
0v
0y
−=
−
−=
→
→
→
; 
(II) ( ) ( )( ) =−+ −
→
→
→
1
0w
0v
0u
v.asenavsenlim 
( ) ( )( ) =−+=−+
→
→
→
−
→
→
→ v
))a(sen)av(sen(limv.asenavsenlim
0w
0v
0u
1
0w
0v
0u
 
Cálculo Diferencial e Integral 
Lista de Exercícios BsN01C3e01 
 
CDCI/CMCD 
=
++−+
=
→
→
→ v
)
2
ava
cos().
2
aav(sen.2
lim
0w
0v
0u
 
=
+
=
→
→
→ v
)2/)va2cos(().2/v(sen.2lim
0w
0v
0u
 
=+=
→
→
→
→
→
→
)2/)va2cos((lim.
v.
2
2
)2/v(senlim.2
0w
0v
0u
0w
0v
0u
 
)acos()acos(.)2/v(
)2/v(senlim)2/a2cos(.)2/v(
)2/v(senlim.
2
2
1
0w
0)2/v(
0u
0w
0)2/v(
0u
===
=
→
→
→
→
→
→
44 344 21
; 
(III) ( ) ( )( ) =+− −
→
→
→
1w
0w
0v
0u
w1ln.1elim 
( ) ( )( )
( ) ( )
=
+





 −
=
+
−
=+−=
→
→
→
→
→
→
−
→
→
→ w/1
)eln(
w
0w
0v
0u
w
0w
0v
0u
1w
0w
0v
0u w1ln
1
.
w
1elim
w1ln.
w
w
)1e(limw1ln.1elim
4434421
( ) ( ) 1)eln(
1
w1limln
1
w1ln
1lim
w/1
0w
0v
0u
w/1
0w
0v
0u
==
+
=
+
=
→
→
→→
→
→
. 
Portanto, de fato, tem-se que: 
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =+−+−++− −−
→
→
→
)k.w1ln.1ej.v.asenavseni)).u(gcot).a1(((lim 1w1)u(tg
0w
0v
0u
rrr
 
)1,)acos(,)aln((kj)).a(cos(i)).aln(( −=++−= rrr .

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