Limites - Apostila UFRJ

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Anotac¸o˜es sobre limite de func¸o˜es
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Limite de func¸o˜es 3
1.1 Limite de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Limite e sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Propriedades aritme´ticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Func¸a˜o de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Limite da composic¸a˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Limites e desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Teorema do sandu´ıche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Crite´rio de Cauchy para limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Limites no infinito e limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1 Definic¸o˜es com limites de x→∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Definic¸o˜es com limites de x→ −∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3 Definic¸o˜es de limites tendendo ao infinito . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.4 Definic¸o˜es de limites tendendo a menos infinito . . . . . . . . . . . 18
1.5.5 Crite´rio de comparac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.6 lim
x→a
f(x) =∞ e sequeˆncias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Limites de func¸o˜es em espac¸os me´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Stolz-Cesa`ro para limite de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
Cap´ıtulo 1
Limite de func¸o˜es
1.1 Limite de func¸o˜es
m Definic¸a˜o 1 (Definic¸a˜o de limite). Sejam A ⊂ R um conjunto de nu´meros reais, f de
A em R uma func¸a˜o real cujo domı´nio e´ A e a ∈ A′ um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto
A. Definimos
lim
x→a
f(x) = L
sse
∀ε > 0,∃δ > 0|x ∈ A, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.
Dizemos que L e´ o limite de f quando x tende para a ou que limite de f(x) com x
tendendo para a e´ L.
0 < |x− a| < δ significa que x ∈ (a− δ, a) ∪ (a, a+ δ), ou x ∈ (a− δ, a+ δ), x 6= a.
Pela definic¸a˜o dada, na˜o e´ necessa´rio que a ∈ A em lim
x→a
f(x), precisamos apenas que
a ∈ A′, isto e´, todo intervalo (a− δ, a+ δ) possua pontos de A distintos de a. A func¸a˜o f
pode mesmo na˜o estar definida em a e quando esta´ definida em a, na˜o vale necessariamente
lim
x→a
f(x) = f(a).
Quando falarmos de limites usaremos sempre que a ∈ A′ onde A e´ o domı´nio da func¸a˜o
da qual queremos estudar lim
x→a
f(x).
3
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 4
b Propriedade 1 (Unicidade do limite). Sejam A ⊂ R, f de A em R. Se lim
x→a
f(x) = L1
e lim
x→a
f(x) = L2 enta˜o L1 = L2.
ê Demonstrac¸a˜o. ∀ε > 0 existem (δ1, δ2)(> 0) tais que para x ∈ A vale 0 <
|x− a| < δ1 implica |f(x)−L1| < ε
2
e 0 < |x− a| < δ2 implica |f(x)−L2| < ε
2
, usando a
desigualdade triangular para δ = min{δ1, δ2} segue |L1−L2| ≤ |L1−f(x)|+|f(x)−L2| < ε
o que significa que L1 = L2.
b Propriedade 2 (Limite da func¸a˜o constante). Se g(x) = c para todo x ∈ A enta˜o
lim
x→a
g(x) = c.
ê Demonstrac¸a˜o. Tem-se que g(x)− c = 0 logo |g(x)− c| = 0 ∀x ∈ A enta˜o ∀ε > 0
∃δ > 0| x ∈ A, 0 < |x− a| < δ ⇒ |g(x)− c| = 0 < ε.
Z Exemplo 1. Seja f : R∗ → R dada por f(x) = xb1
x
c enta˜o f(x) = 0 para x > 1,
pois 0 <
1
x
< 1 e da´ı b1
x
c = 0, isso implica que
lim
x→∞
xb1
x
c = 0.
b Propriedade 3 (Limite da func¸a˜o identidade). Seja g : A → R dada por g(x) = x
enta˜o vale
lim
x→a
g(x) = a.
Lembrando que a na˜o necessariamente pertence ao conjunto A, enta˜o a princ´ıpio na˜o
tem-se g(a) = a.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos δ = ε e da´ı Para 0 < |x− a| < δ tem-se |g(x)− a| =
|x− a| < δ = ε.
Z Exemplo 2. Dada uma func¸a˜o r : R → R tal que lim
h→0
r(h)
h
= 0 pode na˜o vale que
lim
h→0
r(h)
h2
= 0, por exemplo, r(h) = h2, tem-se
r(h)
h
= h e
r(h)
h2
= 1.
1.1.1 Limite e sequeˆncias
F Teorema 1 (Crite´rio de sequeˆncias para limite). lim
x→a
f(x) = L ⇔ lim
n→∞
f(xn) = L
para toda sequeˆncia de pontos xn ∈ A \ {a} tal que lim xn = a.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 5
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒.Suponhamos que lim
x→a
f(x) = L e lim xn = a com xn ∈ A\{a}.
Pela definic¸a˜o de limite tem-se que ∀ε > 0 ,∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ, x ∈ A⇒ |f(x)− L| < ε
e pelo limite da sequeˆncia ∀ε1 > 0, ∃n0 ∈ N |n > n0 ⇒ 0 < |xn−a| < ε1, como e´ garantida
a relac¸a˜o para qualquer ε1 > 0, tomamos ε1 = δ de onde segue 0 < |xn − a| < δ, usando
essa desigualdade com a definic¸a˜o do limite de f(x) segue |f(xn) − L| < ε que implica
lim f(xn) = L.
⇐ Agora para provar a rec´ıproca, vamos usar a contrapositiva que e´
lim
x→a
f(x) 6= L⇒ lim f(xn) 6= L.
∃ε > 0 tal que ∀n ∈ N podemos obter xn ∈ A com 0 < |xn − a| < 1
n
e |f(xn)− L)| ≥ ε.
Enta˜o xn → a, mas na˜o se tem lim f(xn) = L.
$ Corola´rio 1 (Crite´rio de divergeˆncia por sequeˆncias). Dadas duas sequeˆncias (xn), (yn) ∈
A \ {a} com lim xn = lim yn = a enta˜o se lim f(xn) 6= lim f(yn) ou um deles na˜o existir,
enta˜o lim
x→a
f(x) na˜o existe.
Z Exemplo 3. Sejam f : gR→ R definidas como
ˆ f(x) = 0 se x ∈ R \Q, f(x) = x se x ∈ Q.
ˆ g(0) = 1 e g(x) = 0 se x 6= 0.
Nessas condic¸o˜es vale lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0 e na˜o existe lim
x→0
g(f(x)).
Vale lim
x→0
f(x) = 0, pois tomamos ε = δ enta˜o par 0 < |x| < δ vale |f(x)| < δ = ε,
tanto para x irracional, pois no caso vale |f(x)| = 0 < ε, tanto no caso de x racional pois
nesse caso vale |f(x)| = |x| < δ = ε, enta˜o em qualquer desses casos temos |f(x)| < ε.
Tambe´m vale que lim
x→0
g(x) = 0, pois tomando ε = δ, 0 < |x| < δ implica x na˜o nulo,
portanto g(x) = 0 e da´ı |g(x)| = 0 < δ = ε.
Na˜o existe lim
x→0
g(f(x)).
Seja xn → 0 por valores racionais, enta˜o f(xn) = xn e da´ı lim g(f(xn)) = lim g(xn) = 0.
Tomando yn → 0 por valores irracionais temos f(yn) = 0 e lim g(f(yn)) = lim g(0) = 1,
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 6
logo na˜o pode existir lim
x→0
g(f(x)), pois o limite depende de como se aproxima de zero
(usamos o crite´rio de divergeˆncia por meio de sequeˆncias).
b Propriedade 4. Se ∀(xn) em A \ {a} com lim xn = a implicar (f(xn)) convergente
enta˜o lim
x→a
f(x) existe.
ê Demonstrac¸a˜o. Usaremos que lim
x→a
f(x) = L⇔ ∀ (zn) ∈ A \ {a} com lim zn = a
vale lim f(zn) = L. Por isso vamos tomar duas sequeˆncias arbitra´rias (xn) e (yn) com
limxn = lim yn = a em A \ {a} e vamos mostrar que lim f(xn) = lim f(yn). Tomamos
(zn) definida como z2n = xn e z2n−1 = yn, da´ı lim zn = a, portanto lim f(zn) existe, como
(f(xn)) e (f(yn)) sa˜o subsequeˆncias de (f(zn)) enta˜o elas convergem para o mesmo limite
L, da´ı provamos que ∀ (zn) ∈ A \ {a} com lim zn = a vale lim f(zn) = L que implica
lim
x→a
f(x) = L.
b Propriedade 5. Seja f : A → R, a ∈ A′, B = f(A \ {a}). Se lim
x→a
f(x) = L enta˜o
L ∈ B.
Tal propriedade significa que o limite L pertence ao fecho da imagem f(A \ {a}), isto
e´, existem pontos de f(A \ {a}) arbitrariamente pro´ximos de L.
ê Demonstrac¸a˜o. Usaremos o crite´rio de sequeˆncias. Como lim
x→a
f(x) = L, enta˜o
existe sequeˆncia (xn) em A \ {a} tal que lim f(xn) = L, da´ı tome f(xn) = yn, (yn) e´ uma
sequeˆncia em f(A \ {a}) tal que lim yn = L, portanto L ∈ B.
Z Exemplo 4. lim
x→0
sen(
1
x
) na˜o existe.
Tomamos as sequeˆncias xn =
1
2npi
e yn =
1
2npi + pi
2
vale limxn = 0 = lim yn e
sen(
1
xn
) = sen(2npi) = 0 e sen(2npi+
pi
2
) = 1 logo os limites sa˜o distintos enta˜o lim
x→0
sen(
1
x
)
na˜o existe.
Em geral, existe t ∈ R tal que sen(t) = v ∈ [−1, 1], tomando xn = 1
t+2pin
vale
limxn = 0 e sen(
1
xn
) = sen(t+ 2pin) = sen(t) = v.
Z Exemplo 5. lim
x→0
1
x
na˜o existe, pois se existisse seria um nu´mero real a e tomando
a sequeˆncia xn =
1
n
, ter´ıamos que ter limn = a o que na˜o acontece, pois vale limn =∞.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 7
Z Exemplo 6. lim
x→a
bxc na˜o existe se a ∈ Z.
Tomamos as sequeˆncias que convergem para a, xn = a− 1
n+ 1
e yn = a+
1
n+ 1
, da´ı
bxnc = a − 1 e bync = a, logo essas sequeˆncias na˜o tem o mesmo limite, implicando que
na˜o existe lim
x→a
bxc.
Z Exemplo 7. Seja f : R \ {0} dada por f(x) = |x|
x
, enta˜o lim
x→0
|x|
x
na˜o existe. Se
x > 0 enta˜o
|x|
x
=
x
x
= 1 se x < 0,
|x|
x
=
−x
x
= −1, tomamos uma sequeˆncia xn = 1
n
da´ı
f(xn) = 1 e tomando yn =
−1
n
tem-se f(yn) = −1, os limites sa˜o distintos, logo lim
x→0
|x|
x
na˜o existe.
Z Exemplo 8. Se a na˜o e´ inteiro, enta˜o lim
x→a
bxc = bac.
Dado a na˜o inteiro, tem-se que a ∈ (m,m+1) onde m e´ inteiro, logo podemos escolher
δ > 0 tal que (a − δ, a + δ) ⊂ (m,m + 1) e da´ı para esses valores, vale bxc = m = bac,
implicando que bxc − bac < ε para qualquer ε > 0.
b Propriedade 6. (ver isso depois) Sejam f, gA → R. Se g(x) e´ limitada numa vizi-
nhanc¸a de a e lim
x→a
f(x) = 0 enta˜o lim
x→a
f(x).g(x) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A tal que lim xn = a, temos
que (g(xn)) e´ limitada e lim f(xn) = 0, logo lim f(xn)g(xn) = 0, por propriedade de
sequeˆncias, como a sequeˆncia (xn) e´ arbitra´ria, segue que lim
x→a
f(x).g(x) = 0.
Z Exemplo 9. lim
x→0
xb1
x
c = 1 pois escrevemos 1
x
= b1
x
c+ {1
x
} da´ı
xb1
x
c = 1− x{1
x
}
como {1
x
} e´ limitada, segue que lim
x→0
xb1
x
c = 1.
1.2 Propriedades aritme´ticas dos limites
b Propriedade 7 (Limite da soma). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M enta˜o lim
x→a
f(x)+
g(x) = L+M.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 8
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequeˆncias lim f(xn) +
g(xn) = L+M , pela arbitrariedade da sequeˆncia (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x) + g(x) =
L+M.
b Propriedade 8. Se lim
x→a
fk(x) = Lk enta˜o
lim
x→a
n∑
k=1
fk(x) =
n∑
k=1
Lk.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 9 (Limite do quociente). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M 6= 0 enta˜o
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequeˆncias
lim
f(xn)
g(xn)
=
L
M
pela arbitrariedade da sequeˆncia (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
M
.
b Propriedade 10 (Limite do produto). Se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M 6= 0 enta˜o
lim
x→a
f(x)g(x) = L.M
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma sequeˆncia (xn) em A com lim xn = a, da´ı temos
lim f(xn) = L e lim g(xn) = M , e por propriedade de limite de sequeˆncias
lim f(xn)g(xn) = LM
pela arbitrariedade da sequeˆncia (xn) conclu´ımos que lim
x→a
f(x)g(x) = L.M
b Propriedade 11. Se lim
x→a
fk(x) = Lk enta˜o
lim
x→a
n∏
k=1
fk(x) =
n∏
k=1
Lk.
$ Corola´rio 2. Se p ∈ N , f : A→ R dada por f(x) = xp enta˜o
lim
x→a
xp = ap.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 9
$ Corola´rio 3. Se f : A→ R e´ polinomial f(x) = n∑
k=0
akx
k enta˜o
lim
x→c
n∑
k=0
akx
k =
n∑
k=0
akc
k.
ê Demonstrac¸a˜o.
1.2.1 Func¸a˜o de Dirichlet
m Definic¸a˜o 2 (Func¸a˜o de Dirichlet). E´ a func¸a˜o g : R→ R definida como
g(x) =
 1 se x ∈ Q0 se x /∈ Q
b Propriedade 12. Para qualquer a ∈ R na˜o existe lim
x→a
g(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Como Q e R \Q sa˜o ambos densos em R, podemos tomar uma
sequeˆncia de racionais (xn) que converge para a e da´ı g(xn) = 1, enta˜o lim g(xn) = 1,
pore´m tomando uma sequeˆncia (yn) de irracionais tais que lim(yn) = a, temos g(yn) = 0
e lim g(yn) = 0, como os limites sa˜o diferentes segue que lim
x→a
g(x) na˜o existe.
1.2.2 Limite da composic¸a˜o de func¸o˜es
F Teorema 2 (Limite da composic¸a˜o de func¸o˜es). Sejam A,B ⊂ R, f de A em R e g
de B em R com f(A) ⊂ B. Se lim
x→a
f(x) = b e lim
y→b
g(y) = c ainda com c = g(b), tem-se
lim
x→a
g(f(x)) = c.
ê Demonstrac¸a˜o. Da existeˆncia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0
existe δ1 > 0 tal que y ∈ B, |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde tiramos a restric¸a˜o
de y 6= b, pois no caso y = b a propriedade vale. Agora usando a existeˆncia do limite
de f tomando δ1 como εf , ε para f , temos que para δ1 existe δ2 > 0 tal que x ∈ A,
0 < |x− a| < δ2 ⇒ |f(x)− b| < δ1 como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do
primeiro limite que |g(f(x))− c| < ε implicando que lim
x→a
g(f(x)) = c.
Se x 6= a implicar f(x) 6= b ainda teremos a propriedade pois , repetindo o argumento
com pequenas alterac¸o˜es:
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 10
Da existeˆncia do limite de g(x) temos que para todo ε > 0 existe δ1 > 0 tal que y ∈ B,
0 < |y − b| < δ1 ⇒ |g(y) − c| < ε, onde agora mantemos a restric¸a˜o de y 6= b. Usando a
existeˆncia do limite de f tomando δ1 como εf , ε para f , temos que para δ1 existe δ2 > 0
tal que x ∈ A, 0 < |x − a| < δ2 ⇒ 0 < |f(x) − b| < δ1 ( aqui usamos que x 6= a implica
f(x) 6= b) como f(x) ∈ B, podemos tomar y = f(x) de onde do primeiro limite que
|g(f(x))− c| < ε implicando que lim
x→a
g(f(x)) = c.
1.3 Limites e desigualdades
1.3.1 Teorema do sandu´ıche
F Teorema 3 (Teorema do sandu´ıche). Sejam f, g, h de A em R, a ∈ A′ e lim
x→a
f(x) =
lim
x→a
g(x) = L. Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) para todo x ∈ A \ {a} enta˜o lim
x→a
h(x) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. ∀ε > 0 ∃(δ1, δ2)(> 0) tais que x ∈ A,
0 < |x− a| < δ1 ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε
e
0 < |x− a| < δ2 ⇒ L− ε < g(x) < L+ ε
, tomando δ = min{δ1, δ2} tem-se L− ε < f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) < L+ ε
que implica lim
x→a
h(x) = L.
b Propriedade 13. Sejam f, g de A em R, a ∈ A′,se lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M com
M > L enta˜o existe δ > 0 tal que g(x) > f(x) para todo x ∈ A com 0 < |x− a| < δ.
ê Demonstrac¸a˜o. Pela definic¸a˜o de limite temos ∀ε > 0, ∃δ1 > 0 tal que x ∈ A ,
0 < |x−a| < δ1 implica f(x) ∈ (L−ε, L+ε) e o mesmo para g(x) , ∃δ2 > 0 tal que x ∈ A
, 0 < |x− a| < δ2 implica g(x) ∈ (M − ε,M + ε), podemos tentar tomar M − ε = L+ ε,
com isso
M − L
2
= ε, como M > L tal ε cumpre a condic¸a˜o ε > 0, tomando ε =
M − L
2
e δ = min{δ1, δ2} tem-se f(x) < L− ε = M − ε < g(x), isto e´, f(x) < g(x) para x ∈ A,
0 < |x− a| < δ.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 11
$ Corola´rio 4. Se lim
x→a
f(x) = L < M enta˜o existe δ > 0 tal que f(x) < M para todo
x ∈ A com 0 < |x− a| < δ.
Tome g(x) = M para todo x ∈ A, assim lim
x→a
g(x) = M e aplicamos a propriedade
anterior.
$ Corola´rio 5. Sejam lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M . Se g(x) ≥ f(x) para todo
x ∈ A− {a} enta˜o M ≥ L.
Pois se fosse L > M , existiria δ > 0 tal que f(x) > g(x) para 0 < |x − a| < δ o que
entra em contradic¸a˜o com g(x) ≥ f(x).
$ Corola´rio 6 (Conservac¸a˜o de sinal). Se lim
x→a
g(x) = M > 0 enta˜o existe δ > 0 tal que
g(x) > 0 para todo x ∈ A com 0 < |x−a| < δ, tomamos f(x) = 0 e usamos a propriedade
ja´ demonstrada.
b Propriedade 14 (Existeˆncia de limite e limitac¸a˜o da func¸a˜o). Sejam X ⊂ R, f :
X → R, a ∈ X ′. Se existe lim
x→a
f(x) enta˜o f e´ limitada numa vizinhanc¸a de a, isto e´,
existem A > 0, δ > 0 tais que 0 < |x− a| < δ, x ∈ X ⇒ |f(x)| < A.
Seja L = lim
x→a
f(x) e ε = 1 na definic¸a˜o de limite, enta˜o existe
δ > 0|x ∈ X, 0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < 1
L− 1 < f(x) < L+ 1 multiplicando por −1 segue e invertendo as desigualdades tem-se
−L− 1 < −f(x) < −L+ 1
como temos L ≤ |L|e −L ≤ |L| segue L+ 1 ≤ |L|+ 1 e −L+ 1 ≤ |L|+ 1 e
−f(x) ≤ |L|+ 1, f(x) ≤ |L|+ 1⇒ |f(x)| ≤ |L|+ 1
tomando A = |L|+ 1 segue a propriedade.
1.3.2 Crite´rio de Cauchy para limites
b Propriedade 15. lim
x→a
f(x) existe sse
∀ε > 0∃δ > 0 |0 < |x− a| < δ, 0 < |y − a| < δ ⇒ |f(x)− f(y)| < ε.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 12
ê Demonstrac¸a˜o. Se lim
x→a
f(x) = L enta˜o
∀ε > 0, ∃δ > 0 | x, y ∈ A, |x− a| < δ, |y − a| < δ ⇒ |f(x)− b| < ε
2
, |f(y)− b| < ε
2
tomando a desigualdade triangular segue
|f(x)− f(y)| ≤ |f(y)− b|+ |f(x)− b| < ε
2
+
ε
2
= ε
logo nessas condic¸o˜es |f(x)− f(y)| < ε.
Para toda sequeˆncia de pontos (xn) em A com limxn = a, com as condic¸o˜es dadas a
sequeˆncia (f(xn)) e´ de Cauchy em R como R e´ completo ela converge o que implica que
existe o limite lim
x→a
f(x).
1.4 Limites laterais
m Definic¸a˜o 3 (Limite a` direita). Seja a ponto de acumulac¸a˜o a` direita de A, isto e´,
∀δ > 0 vale A ∩ (a, a+ δ) 6= ∅ enta˜o
lim
x→a+
f(x) = L⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < x− a < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.
Podemos escrever 0 < x− a < δ como a < x < a+ δ.
m Definic¸a˜o 4 (Limite a` esquerda). Seja a ponto de acumulac¸a˜o a` esquerda de A, isto
e´,∀δ > 0 vale A ∩ (a− δ, a) 6= ∅ enta˜o
lim
x→a−
f(x) = L⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0, x ∈ A, 0 < a− x < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.
Podemos denotar os limites laterais como
lim
x→a−
f(x) = f(a−)
lim
x→a+
f(x) = f(a+).
b Propriedade 16. Sejam X ⊂ R, f : X → R, a ∈ X ′+. Tomando Y = X ∩ (a,+∞) e
g = f |Y enta˜o
lim
x→a+
f(x) = L⇔ lim
x→a
g(x) = L.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 13
ê Demonstrac¸a˜o. Se x ∈ Y temos x ∈ (a,+∞), de onde segue a < x, 0 < x− a.
Se lim
x→a+
f(x) = L⇒
∀ε > 0, ∃δ > 0 | x ∈ X, 0 < x− a < δ ⇒ f(x) ∈ (L− ε, L+ ε)
de x ∈ X e 0 < x − a, implica x ∈ Y e nesse intervalo g = f logo f(x) ∈ (L − ε, L + ε)
que implica lim
x→a
g(x) = L.
Se lim
x→a
g(x) = L enta˜o
∀ε > 0,∃δ > 0 | x ∈ Y, 0 < x− a < δ ⇒ |g(x)− L| < ε
mas em Y , g = f enta˜o |f(x)− L| < ε que implica lim
x→a+
f(x) = L.
b Propriedade 17. Seja A ⊂ R, f : A → R e a ∈ A′+ ∩ A
′
− enta˜o lim
x→a
f(x) = L sse
existem e sa˜o iguais os limites laterais
lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x)
ê Demonstrac¸a˜o. Se lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x) enta˜o ∀ε > 0,∃(δ1, δ2)(> 0) tais
que x ∈ X ∩ (a, a+ δ1) implica |f(x)−L| < ε e x ∈ X ∩ (a− δ2, a) implica |f(x)−L| < ε.
Tomando δ = min{δ1, δ2} enta˜o x ∈ (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) implica |f(x) − L| < ε e
lim
x→a
f(x) = L. Falta a outra parte.
b Propriedade 18. Sejam A ⊂ R, f : A→ R uma func¸a˜o mono´tona limitada, a ∈ A′+
e b ∈ A′−. Enta˜o existem os limites laterais
lim
x→a+
f(x) = L, lim
x→b−
f(x) = M.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja B = inf{f(x), x ∈ A, x > a}, tal conjunto e´ na˜o vazio pois a
e´ ponto de acumulac¸a˜o a` direita e limitado inferiormente , pois f e´ limitada inferiormente,
logo ele possui ı´nfimo L . L+ε na˜o e´ cota inferior de B , logo existe δ > 0 tal que a+δ ∈ A
e vale L ≤ f(a + δ) < L + ε, como f e´ na˜o-decrescente tem-se com a < x < a + δ que
L ≤ f(x) < f(a+ δ) < L+ ε da´ı lim
x→a+
f(x) = L.
Z Exemplo 10. Vale lim
x→a+
bxc = a e lim
x→a−
bxc = a− 1 logo na˜o existe o limite lim
x→a
bxc
se a e´ inteiro. Podemos tomar δ < 1 com a < x < a + δ < a + 1 e nesse intervalo vale
bxc = a logo lim
x→a+
bxc = a, da mesma maneira tem-se a − 1 < a − δ < x < a, logo nesse
intervalo vale bxc = a− 1 de onde tem-se lim
x→a−
bxc = a− 1 .
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 14
b Propriedade 19. lim
x→a+
f(x) = L ( lim
x→a−
f(x) = L) ⇔ ∀(xn) em A decrescente (cres-
cente) com lim xn = a tem-se lim f(xn) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale que lim
x→a+
f(x) = L ⇔ lim
x→a
g(x) = L onde g : B → R onde
B = A ∩ (a,∞). Pore´m lim
x→a
g(x) = L⇔ ∀(xn) em B com lim xn = a vale lim g(xn) = L.
Vamos enta˜o provar a propriedade.
⇒). Se lim
x→a+
f(x) = L enta˜o lim
x→a
g(x) = L que implica ∀(xn) em B com limxn = a
vale lim g(xn) = L, em especial para as sequeˆncias (xn) que sejam decrescentes.
⇐). Vamos usar a contrapositiva que e´ se lim
x→a
g(x) 6= L enta˜o existe (xn) em A decres-
cente com limxn = a tal que lim g(xn) 6= L. Supondo que temos lim
x→a
g(x) 6= L enta˜o existe
sequeˆncia (yn) em B com lim yn = a tal que lim g(yn) 6= L, como (yn) ∈ (a, a + ε) ∩ A,
podemos tomar (xn) subsequeˆncia de (yn) tal que lim xn = a e lim g(xn) 6= L (pois as
subsequeˆncias devem convergir para o mesmo valor das sequeˆncias), assim fica provado o
resultado.
Z Exemplo 11. Tomamos f : R \ {0} → R definida como f(x) = 1
1 + a
1
x
com a > 1,
vamos analisar os limites laterais lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x).
Seja (xn) em R \ {0} tal que lim xn = 0 enta˜o vale lim a
1
xn =∞, pois como lim xn = 0
podemos tomar c > 0 tal que ac > M > 0 arbitra´rio e 0 < xn0 <
1
c
< 1 da´ı axn0 < a
1
c ⇒
M < ac < a
1
xn0 e como xn e´ decrescente para n0 < n vale xn < xn0 portanto a
xn < axn0 ⇒
M < a
1
xn0 < a
1
xn logo lim a
1
xn = ∞ de onde segue que lim f(xn) = lim 1
1 + a
1
xn
= 0 que
por sua vez implica lim
x→0+
f(x) = 0.
Admitimos agora (yn) crescente em R \ {0} tal que lim yn = 0. a
1
yn =
1
a
1
−yn
, como
yn+1 > yn segue que −yn > −yn+1, (−yn) e´ decrescente e tende a zero logo pelo resultado
anterior lim a
1
−yn =∞⇒ lim a 1yn = lim 1
a
1
−yn
= 0, portanto lim 1+ a
1
yn = 1 e lim f(xn) =
lim
1
1 + a
1
xn
= 1 da´ı vale lim
x→0−
f(x) = 1.
b Propriedade 20. Seja f : A → R mono´tona. Se existe (xn) em A com xn > a,
limxn = a e lim f(xn) = L enta˜o lim
x→a+
f(x) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha f na˜o decrescente, vamos mostrar que
B = {f(x), x ∈ R, x > a}
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 15
e´ um conjunto limitado inferiormente. Dado x arbitra´rio e fixo tal que x > a existe xn > a
que satisfaz x > xn > a, pois limxn = a, f na˜o decrescente implica f(x) ≥ f(xn), como
(f(xn)) e´ convergente, vale que tal sequeˆncia e´ limitada inferiormente, portanto existe M
tal que f(xn) > M ∀n ∈ N da´ı f(x) ≥ f(xn) > M para f(x) ∈ B arbitra´rio, logo B e´
limitado inferiormente. Por B ser limitado inferiormente ele possui ı´nfimo .
Seja L′ = inf B = inf{f(x), x ∈ R, x > a}, vale que lim
x→a
f(x) = L′ (resultado ja´
demonstrado), disso segue pelo crite´rio de sequeˆncias para limite lateral que lim f(xn) =
L′ = L, pela unicidade de limite, portanto lim
x→a
f(x) = L.
Z Exemplo 12. Seja f : R\{0} dada por f(x) = sen( 1
x
)
1
1 + 2
1
x
. Determine o conjunto
dos pontos L tais que lim f(xn) = L, com lim xn = 0, xn 6= 0.
Tomando o mo´dulo da expressa˜o∣∣∣∣sen( 1x) 11 + 2 1x
∣∣∣∣ = 1
1 + 2
1
x
< 1
pois 0 < 2
1
x , da´ı na˜o podemos ter limites dessa expressa˜o fora do intervalo [−1, 1], vamos
mostrar que temos limites em cada ponto desse intervalo .
Existe −t ∈ R tal que sen(−t) = v ∈ [−1, 1]., Tomando xn = −1
t+ 2pin
vale sen(
1
xn
) =
sen(−t) = v, ale´m disso (xn) e´ decrescente com limxn = 0, portanto vale lim f(xn) =
lim
v
1 + 2
1
xn
= v, pois o limite no denominador resulta em 1 (limite ja´ calculado).
1.5 Limites no infinito e limites infinitos
1.5.1 Definic¸o˜es com limites de x→∞
m Definic¸a˜o 5. Seja A ⊂ R ilimitado superiormente e f : A→ R, dizemos que
lim
x→∞
f(x) = L
⇔
∀ε > 0 ∃A > 0, x > A⇒ |f(x)− L| < ε.
Tal definic¸a˜o abrange a definic¸a˜o para limite de sequeˆncias, que e´ tomada como o caso
A = N.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 16
m Definic¸a˜o 6. lim
x→∞
f(x) =∞ ⇔
∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) > A.
b Propriedade 21. Se lim
x→∞
f(x) =∞ enta˜o lim
x→∞
1
f(x)
= 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Pela primeira propriedade temos ∀B > 0,∃A > 0 | x > A ⇒
f(x) > B enta˜o a func¸a˜o assume apenas valores positivos a partir de certo valor de x, sef(x) > 0 enta˜o 0 <
1
f(x)
1
f(x)
<
1
B
= ε
logo vale lim
x→∞
1
f(x)
= 0.
Z Exemplo 13. Pode acontecer de lim
x→∞
1
f(x)
= 0 pore´m lim
x→∞
f(x) 6=∞, como o caso
de f(x) = −x vale
lim
x→∞
1
−x = 0
e
lim
x→∞
−x = −∞.
m Definic¸a˜o 7. lim
x→∞
f(x) = −∞ ⇔
∀A > 0, ∃B > 0 | x > B ⇒ f(x) < −A.
b Propriedade 22. Seja f : B → R limitada superiormente e na˜o-decrescente, B
ilimitado superiormente enta˜o
lim
x→∞
f(x) = sup{f(x), x ∈ B}.
ê Demonstrac¸a˜o.
f e´ limitada superiormente logo existe sup{f(x), x ∈ B} = L. Como L e´ o supremo,
dado ε > 0, existe xA ∈ B tal que f(xA) ∈ (L − ε, L], como f e´ na˜o-decrescente temos
para x > xA, L ≥ f(x) ≥ f(xA), logo f(x) ∈ (L− ε, L] o que implica
lim
x→∞
f(x) = L.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 17
b Propriedade 23 (Limite da soma). Sejam g, f definidas em B ⊂ R ilimitado. Se
lim
x→∞
f(x) = L1 e lim
x→∞
g(x) = L2 enta˜o
lim
x→∞
f(x) + g(x) = L1 + L2.
ê Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0 arbitra´rio existe A1 > 0 tal que x ∈ B, x > A1
implica |f(x) − L1| < ε e existe A2 > 0 tal que x ∈ B, x > A2 implica |f(x) − L1| < ε
2
|g(x)−L2| < ε
2
pela existeˆncia de lim
x→∞
f(x) = L1 e lim
x→∞
g(x) = L2, tomando A > A1+A2
valem ambas propriedades descritas e da´ı temos por desigualdade triangular
|f(x) + g(x)− (L1 + L2)| ≤ |f(x)− L1|+ |g(x)− L2| < ε
2
+
ε
2
= ε.
1.5.2 Definic¸o˜es com limites de x→ −∞
m Definic¸a˜o 8. Seja A ⊂ R ilimitado inferiormente e f : A→ R, dizemos que
lim
x→−∞
f(x) = L
sse
∀ε > 0 ∃A > 0, x < −A⇒ |f(x)− L| < ε.
m Definic¸a˜o 9. lim
x→−∞
f(x) = −∞ sse
∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) < −A.
m Definic¸a˜o 10. lim
x→−∞
f(x) =∞ sse
∀A > 0, ∃B > 0 | x < −B ⇒ f(x) > A.
1.5.3 Definic¸o˜es de limites tendendo ao infinito
m Definic¸a˜o 11. Dizemos que lim
x→a+
f(x) =∞ quando
∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < x− a < δ ⇒ f(x) > A.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 18
m Definic¸a˜o 12. Dizemos que lim
x→a−
f(x) =∞ quando
∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < a− x < δ ⇒ f(x) > A.
m Definic¸a˜o 13. Dizemos que lim
x→a
f(x) =∞ quando
∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) > A.
Negar que lim
x→a
f(x) =∞ significa dizer
∃A > 0,∀δ > 0 | ∃x ∈ A com 0 < |x− a| < δ e f(x) < A.
b Propriedade 24. Se lim
x→a
f(x) = ∞ e g(x) > c > 0 numa vizinhanc¸a de a enta˜o
lim
x→a
f(x).g(x) =∞.
ê Demonstrac¸a˜o. Para todo A > 0 existe ε > 0 tal que x ∈ (a− ε, a+ ε) implica
g(x) > c e f(x) >
A
c
, da´ı g(x).f(x) > A o que implica lim
x→a
f(x).g(x) =∞.
Z Exemplo 14.
lim
x→0
1
x2
(2 + sen(
1
x
)) =∞
pois o limite da primeira func¸a˜o e´ infinito e a segunda func¸a˜o e´ limitada inferiormente
por 1 .
1.5.4 Definic¸o˜es de limites tendendo a menos infinito
m Definic¸a˜o 14. Dizemos que lim
x→a+
f(x) = −∞ quando
∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < x− a < δ ⇒ f(x) < −A.
m Definic¸a˜o 15. Dizemos que lim
x→a−
f(x) = −∞ quando
∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < a− x < δ ⇒ f(x) < −A.
m Definic¸a˜o 16. Dizemos que lim
x→a
f(x) = −∞ quando
∀A > 0,∃δ > 0 | 0 < |x− a| < δ ⇒ f(x) < −A.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 19
$ Corola´rio 7. Se lim
x→a
f(x) =∞ enta˜o f e´ ilimitada numa vizinhanc¸a de a. Pois para
qualquer A > 0 que escolhermos, ira´ existir δ > 0 tal que |x− a| < δ implique f(x) > A,
logo f na˜o e´ limitada.
$ Corola´rio 8. Se lim
x→a
f(x) = −∞ enta˜o f e´ ilimitada numa vizinhanc¸a de a. Pois para
qualquer A > 0 que escolhermos, ira´ existir δ > 0 tal que |x−a| < δ implique f(x) < −A,
logo f na˜o e´ limitada.
b Propriedade 25 (Unicidade do limite). Se lim
x→a
f(x) = ∞ enta˜o na˜o acontece de
lim
x→a
f(x) = L para algum L real ou lim
x→a
f(x) = −∞.
ê Demonstrac¸a˜o. Se lim
x→a
f(x) = L enta˜o f seria limitada numa vizinhanc¸a de a,
o que na˜o pode acontecer. Se lim
x→a
f(x) = −∞ enta˜o existiria δ > 0 tal que |x − a| < δ
implicaria f(x) < −A e por lim
x→a
f(x) = ∞ implicaria existir δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1
implica f(x) > A, tomando δ2 < min{δ, δ1} ter´ıamos que ter f(x) > A e f(x) < −A, logo
f(x) > 0 e f(x) < 0 o que e´ absurdo.
1.5.5 Crite´rio de comparac¸a˜o
b Propriedade 26 (Crite´rio de comparac¸a˜o). Se g(x) ≥ f(x) numa vizinhanc¸a qualquer
de a, enta˜o lim
x→a
f(x) = ∞ implica lim
x→a
g(x) = ∞, isto e´, se a func¸a˜o ”menor”tende ao
infinito a ”maior”tambe´m tende ao infinito.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe δ > 0 tal que x ∈ A, |x − a| < δ implica g(x) ≥ f(x),
como lim
x→a
f(x) = ∞ enta˜o para todo A > 0 existe δ1 > 0 tal que |x − a| < δ1 implica
f(x) > A, tomando δ2 < min{δ1, δ} tem-se que g(x) ≥ f(x) e f(x) > A da´ı g(x) > A o
que implica lim
x→a
g(x) =∞.
$ Corola´rio 9. Se lim
x→a
f(x) existe e lim
x→a
g(x) =∞ enta˜o g(x) > f(x) numa vizinhanc¸a
de a, pois f e´ limitada valendo f(x) ≥ |f(x)| < A e g e´ ilimitada numa vizinhanc¸a de a
valendo g(x) > A > f(x).
Z Exemplo 15. lim
x→0
1
|x| = ∞ pois para qualquer A > 0 tomando δ =
1
A
tem-se de
0 < |x| < 1
A
que A <
1
|x| logo limx→0
1
|x| =∞.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 20
Z Exemplo 16. Tomando −1 < x < 1, x 6= 0 tem-se 0 < |x| < 1 e da´ı |x|2 < |x|, isto
e´, x2 < |x| logo 1
x2
>
1
|x| isso implica que limx→0
1
x2
= 0 pelo crite´rio de comparac¸a˜o.
b Propriedade 27 (Teorema do sandu´ıche). Se vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para x sufici-
entemente grande, se lim
x→∞
f(x) = lim
x→∞
h(x) = L enta˜o lim
x→∞
g(x) = L.
ê Demonstrac¸a˜o. Existem A1, A2 > 0 tais que para x > A1 vale
L− ε ≤ f(x) ≤ L+ ε
para x > A2 vale
L− ε ≤ g(x) ≤ L+ ε
e para x > A3 vale f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) , tomando B > A1 + A2 + A3 e x > B segue que
L− ε ≤ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ≤ L+ ε
que implica lim
x→∞
g(x) = L.
1.5.6 lim
x→a f(x) =∞ e sequeˆncias.
b Propriedade 28. lim
x→a
f(x) =∞ sse lim f(xn) =∞ com xn ∈ B \ {a} e lim xn = a.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒. Do limite da func¸a˜o tem-se ∀A > 0, ∃δ > 0 tal que
0 < |x− a| < δ implica f(x) > A, do limite da sequeˆncia temos que existe n0 ∈ N tal que
n > n0 implica |xn − a| < δ e da´ı f(xn) > A que significa lim f(xn) =∞.
⇐. Usaremos a contrapositiva. Existe A > 0 tal que podemos construir uma sequeˆncia
xn que satisfaz 0 < |xn − a| < 1
n
e f(xn) < A, da´ı lim xn = a e lim f(xn) 6=∞.
b Propriedade 29. Seja P : R → R com P (x) =
n∑
k=0
akx
k com an 6= 0, n ≥ 1. Se n e´
par enta˜o lim
x→∞
P (x) = lim
x→−∞
P (x) sendo∞ se an > 0 e −∞ se an < 0. Se n e´ ı´mpar enta˜o
lim
x→∞
P (x) =∞ e lim
x→−∞
P (x) = −∞ com an > 0 e lim
x→∞
P (x) = −∞ e lim
x→−∞
P (x) =∞ se
an < 0.
êDemonstrac¸a˜o. Escrevemos P (x) = anxn
→1︷ ︸︸ ︷
(
n−1∑
k=0
ak
anxn−k︸ ︷︷ ︸
→0
+1). Se n e´ par lim
x→∞
xnan =
∞ = lim
x→−∞
xnan com an > 0 e lim
x→∞
xnan = −∞ = lim
x→−∞
xnan se an < 0, portanto o mesmo
segue para P (x).
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 21
Se n e´ ı´mpar, lim
x→∞
xnan = ∞ e lim
x→−∞
xnan = −∞ com an > 0, caso an < 0 tem-se
lim
x→∞
xnan = −∞ e lim
x→−∞
xnan =∞.
b Propriedade 30. Seja f : [a,∞)→ R limitada. Para cada t ≥ a definimos
Mt = sup{f(x) | x ∈ [t,∞)} = supAt
mt = inf{f(x) | x ∈ [t,∞)} = supAt
wt = Mt − mt, chamada de oscilac¸a˜o de f em I = [t,∞). Nessas condic¸o˜es, existem
lim
t→∞
Mt e lim
t→∞
mt.
∃ lim
t→∞
f(t)⇔ lim
t→∞
wt = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Mt e´ na˜o-crescente e mt e´ na˜o-decrescente. Se s > t vale
que {f(x) | x ∈ [s,∞} = As ⊂ {f(x) | x ∈ [t,∞)} = At, portanto supAt ≥ supAs,
implicando Mt ≥ Ms logo mt e´ na˜o-crescente. Da mesma maneira mt e´ na˜o-decrescente,
pois de As ⊂ At segue inf As ≥ inf At e da´ıms ≥ mt que significa quemt e´ na˜o-decrescente.
Ambas func¸o˜es sa˜o limitadas logo os limites lim
t→∞
Mt e lim
t→∞
mt existem.
lim
t→∞
Mt = L, lim
t→∞
mt = l⇒ lim
t→∞
wt = L− l.
Agora provamos a equivaleˆnciaenunciada. ⇐). Se lim
t→∞
wt = 0 enta˜o ⇒ lim
t→∞
f(t)
existe. Vale que mt ≤ f(t) ≤ Mt (pois mt e Mt sa˜o ı´nfimo e supremo respectivamente),
se ⇒ lim
t→∞
wt = 0 enta˜o L− l = 0⇒ L = l, da´ı por teorema do sandu´ıche tem-se
L = lim
t→∞
mt ≤ lim
t→∞
f(t) ≤ lim
t→∞
Mt = L
de onde segue lim
t→∞
f(t) = L.
⇒). Se lim
t→∞
f(t) = L enta˜o ∀ε > 0 ∃x ≥ a tal que para t ≥ a vale L−ε < f(t) < L+ε,
logo L − ε ≤ mt ≤ f(t) ≤ Mt ≤ L + ε pois mt e´ ı´nfimo e Mt e´ supremo, portanto
Mt − mt ≤ 2ε (pois ambos pertencem ao intervalo (L − ε, L + ε)) e isso implica que
lim
t→∞
Mt = lim
t→∞
mt = L da´ı limwt = 0.
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 22
1.6 Limites de func¸o˜es em espac¸os me´tricos
m Definic¸a˜o 17. Sejam A ⊂M , a ∈ A e f : A→ N , b ∈ N e´ o limite de f(x) quando
x tende a a quando
∀ε > 0, ∃δ > 0 | d(x, a) < δ ⇒ d(f(x), b) < ε.
1.7 Stolz-Cesa`ro para limite de func¸o˜es
b Propriedade 31 (Stolz-Cesa`ro para limite de func¸o˜es). Sejam f, g : R+ → R limita-
das em cada intervalo limitado, g crescente, com
lim
x→∞
∆f(x)
∆g(x)
= L lim
x→∞
g(x) =∞
enta˜o
lim
x→∞
f(x)
g(x)
= L.
ê Demonstrac¸a˜o. Dado ε > 0 existe, tal que para x > M vale
ε− L < ∆f(x)
∆g(x)
< ε+ L
como g e´ crescente vale ∆g(x) > 0 enta˜o podemos multiplicar a desigualdade por tal
termo, substituir x por x+ k onde k natural e aplicar a soma
n−1∑
k=0
, que resulta em
(ε− L)(g(x+ n)− g(x)) + f(x) < f(x+ n) < (ε+ L)(g(x+ n)− g(x)) + f(x)
por soma telesco´pica, dividimos por g(x+ n), que pode ser considerado positivo pois
g →∞
(ε− L)(1− g(x)
g(x+ n)
) +
f(x)
g(x+ n)
<
f(x+ n)
g(x+ n)
< (ε+ L)(1− g(x)
g(x+ n)
) +
f(x)
g(x+ n)
agora passamos as sequeˆncias, tomamos x = yn em [M,M + 1] e xn = n + yn e´ uma
sequeˆncia arbitra´ria que tende a infinito, g e f sa˜o limitadas em [M,M + 1] da´ı
(ε− L)(1− g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
<
f(xn)
g(xn)
< (ε+ L)(1− g(yn)
g(xn)
) +
f(yn)
g(xn)
CAPI´TULO 1. LIMITE DE FUNC¸O˜ES 23
a passagem do limite nos garante que lim
f(xn)
g(xn)
= L pois g(yn) e f(yn) sa˜o limitadas e
lim g(xn) =∞ .