4ª lista Calculo

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IV Lista - Cálculo Diferencial e Integral I - GMA 005 - Matemática
Exercício 1. Um atleta percorre uma pista de 100m de modo que a distância s(t) percorrida após t segundos
é dada por s(t) = 15 t
2 + 8t. Determine a velocidade do atleta:
a) no início da corrida. b) quando t = 5. c) na reta final.
Exercício 2. Em cada caso, obtenha o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado, a equação da reta
tangente e da normal no ponto dado:
a) y =
√
x em P = (4, 2); b) y = 3
√
x em P = (−8,−2).
Exercício 3. Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa na qual a área A da superfície
da mancha varia em relação ao raio r para
a) r arbitrário; b) r = 200m.
Exercício 4. A relação entre a temperatura F na escala Fahrenheit e a temperatura C na escala Celsius é
dada por C = 59 (F − 32). Determine a taxa de variação de F em relação a C.
Exercício 5. Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. O que o valor L representa
em cada caso?
a) f(x) =

x3 − 8
x− 2 se x 6= 2
L se x = 2
em p = 2 b) f(x) =

√
x−√5√
x+ 5−√10 se x 6= 5
L se x = 5
em p = 5
Exercício 6. Seja f(x) = x2 + 1. Calcule f ′(1), f ′(0) e f ′(x).
Exercício 7. Dê exemplo (por meio de um gráfico) de uma função f , definida e contínua em R, tal que f ′(1)
não exista.
Exercício 8. Calcule e esboce os gráficos de f ′, f ′′ e f ′′′ onde:
a) f(x) = x2|x|; b) f(x) =
 x
2 + 3x se x ≤ 1
5x− 1 se x > 1
Exercício 9. Calcule a derivada.
a) g(x) = x4 − 4
√
x3; b) g(x) = (x3 − 7)(2x2 + 3); c) H(z) = (z5 − 2z3)(7z2 + z − 8)
d) f(x) =
1
1 + x+ x2 + x3
; e) p(x) = 1 +
1
x
+
1
x2
+
1
x3
; f) k(s) = (3s)−4;
g) f(t) =
3
5t − 1
( 2t2 ) + 7
; h)N(z) =
4
z2
3
z + 2
i)T (z) =
5z4 + z3 − 2z
z3
Exercício 10. Determine as coordenadas x de todos os pontos do gráfico de y = x3 + 2x2 − 4x+ 5 em que a
tangente é: a) horizontal; b) paralela à reta 2y + 8x = 5
Exercício 11. Determine o ponto P do gráfico de y = x3 em que a tangente intercepta o eixo-x em x = 4.
Exercício 12. Ache os pontos do gráfico de y = x
3
2 − x 12 em que a tangente é paralela à reta y − x = 3.
Exercício 13. Ache os pontos do gráfico de y = x
5
3 + x
1
3 em que a tangente é perpendicular à reta x+2y = 7.
Exercício 14. Calcule a derivada.
a)f(x) = 2xcot(x) + x2tg(x) b)g(x) =
1
sen(x)tg(x)
c)K(θ) = (sen(θ) + cos(θ))2
d)h(θ) =
1 + sec(θ)
1− sec(θ) e)g(x) = sen(−x) + cos(−x) f)f(x) =
1 + sec(x)
tg(x) + sen(x)
g)g(x) =
x4 − 3x2 + 1
(2x+ 3)4
h)f(x) = (8x3 − 2x2 + x− 7)5 i)S(t) =
(
3t+ 4
6t− 7
)3
j)N(x) = (6x− 7)3(8x2 + 9)2 k)H(x) = 2x+ 3√
4x2 + 9
l)g(x) = sen4(x3)
Exercício 15. Determine a derivada:
a) y = x arc tg(x) b) f(x) =
e−xarc tg(ex)
tgx
bf c) y = arc sen(ex)
Exercício 16. Determine as equações da tangente e da normal ao gráfico da equação em P . Determine a
coordenada x no gráfico em que a tangente é horizontal.
a) y = (4x2 − 8x+ 3)4 em P = (2, 81); b) y = √2x2 + 1 em P = (−1,√3).
Exercício 17. Se um objeto de massa m tem velocidade v, então sua energia cinética K é dada por K = 12mv
2.
Se v é função do tempo t, estabeleça
dK
dt
.
Exercício 18. A fórmula para a expansão adiabática do ar é pv1,4 = c, onde p é a pressão, v o volume e c uma
constante. Estabeleça a taxa de variação da pressão em relação ao volume.
Exercício 19. A relação comprimento-peso de certo peixe do Pacífico é dada por W = 10, 375L3, onde L é o
comprimento em metros e W é o peso em quilogramas. A taxa de crescimento do comprimento
dL
dt
é dada por
0, 18(2− L), onde t é o tempo em anos.
a) Estabeleça uma fórmula para a taxa de crescimento no peso
dW
dt
em termo de L.
b) Use a fórmula do item anterior para estimar o crescimento do peso de um peixe que pesa 20 quilogramas.
Exercício 20. Calcule e esboce os gráficos de f ′, f ′′ e f ′′′ onde:
a) f(x) = x2|x|; b) f(x) =
 x
2 + 3x se x ≤ 1
5x− 1 se x > 1
Exercício 21. A lei de Boyle afirma para os gases confinados que se a temperatura permanece constante, então
pv = c, onde p é a pressão, v é o volume e c uma constante. Suponha que no instante t (em minutos) a pressão
seja 20 + 2t cm de mercúrio para 0 ≤ t ≤ 10. Se o volume é de 60 cm3 em t = 0, determine a taxa na qual o
volume varia em relação t quando t = 5.
Exercício 22. Encontre as derivadas das funções hiperbólicas abaixo, utilizando da derivadas de senhx e coshx:
a) f(x) = tghx b) g(x) = cossechx c)h(x) = sechx d) j(x) = cotghx
Em quais pontos da curva y = coshx a tangente tem inclinação 1?
Exercício 23. Use a regra da cadeia para encontrar
dy
dx
.
a) y = u2, onde u = x3 − 4 b) y = usenu, onde u = x2 + 5x c) y = 3√u, onde u = √3x− 2.
Exercício 24. Calcule a derivada.
a) f(x) = (x2 − 3x+ 8)3 b) f(x) = (4x3 + 2x2 − x− 3)2 c) g(x) = (8x− 7)−5.
Exercício 25. Admitindo que a equação determine uma função diferenciável f tal que y = f(x), calcule y′.
a) 8x2 + y2 = 10; b) x
2
3 + y
2
3 = 4; c) y2 = xcosy.
Exercício 26. Utilizando derivação implícita, encontre coeficiente angular da tangente ao gráfico da equação
em P .
a) xy + 16 = 0 em P = (−2, 8); b) y2 − 4x2 = 5 em P = (−1, 3).
Exercício 27. Quantas funções implícitas são definidas pela equação x2 + y2 = 1?
Exercício 28. Suponha que y = f(x) seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y3+2xy2+
x = 4. Suponha, ainda, que 1 ∈ Df .
a) Calcule f(1).
b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.
Exercício 29. Uma escada de 8m está encostada em uma parede. Se a extremidade inferior da escada for
afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2m/s, com que velocidade a extremidade superior
estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parece?
Exercício 30. As extremidades de um cocho de 2,5 cm de comprimento são triângulos equiláteros cujos lados
têm 60 cm de comprimento. Se a água está entrando à razão de 142 l/min, determine a taxa em que o nível da
água está subindo quando a profundidade de água é de 20 cm. (Resposta: 23,6 cm/min)
Exercício 31. Joga-se uma pedra em um lago, produzindo ondas circulares cujos raios aumentam a uma razão
constante de 0,5 m/seg. A que taxa está aumentando a circunferência de uma onda quando o raio é de 4m?
Exercício 32. Encontre a diferencial das funções:
a) y = x2sen2x, b) y = ln
√
1 + t2 c) y =
u+ 1
u− 1 d) y = (1 + r
3)−2
Exercício 33. Encontre a diferencial dy e calcule dy para os valores dados de x e dx.
a) y = e
x
10 , x = 0 e dx = 0, 1 b) y = tgx, x =
pi
4
e dx = −0, 1.
Exercício 34. Calcule as derivadas:
a) f(x) = 5x+ log3x b) y = 10x− 10−x c) y = xx
x
d) y = xpi +pix e) y = (1+x)e
−x
Exercício 35. Use de diferencial para estimar o número (2, 001)5.
Exercício 36. A aresta de um cubo tem 30 cm, com um possível erro de medida de 0,1 cm. Use diferenciais
para estimar o erro máximo no cálculo:
a) Do volume do cubo.
b) Da área da superfície do cubo.
Exercício 37. A lei de atração gravitacional de Newton afirma que a força F de atração entre duas partículas
de massas m1 e m2 é dada por F = Gm1m2s2 , onde G é uma constante e s é a distância entre as partículas. Se
s = 20 cm, use diferenciais para aproximar a variação de s que aumente F em 10%.