Matemática para Concursos Militares - 3Edição

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PREFÁCIO 
 
Este volume corresponde ao primeiro livro virtual lançado pelo Sistema de Ensino Interativo – SEI. 
 
O livro trata de lógica, teoria dos conjuntos, relação, produto cartesiano, funções reais, função do 1° grau e 
2° grau, modular, exponencial e logarítmica ao longo de 12 capítulos. 
 
Cada um dos doze capítulos inicia-se com uma breve introdução do assunto, seguido de questões dos 
últimos concursos da AFA, EFOMM, Escola Naval, IME e ITA, sendo um total de 345 exercícios. 
 
Há ainda um último capítulo onde se encontra o gabarito das questões, bem como a solução daquelas que 
nos capítulos anteriores possuem sua numeração iniciada com a letra R, totalizando 63 soluções. 
 
Os exercícios dos capítulos 10, 11 e 12 que possuem sua numeração iniciada com a letra V serão resolvidos 
em vídeo aulas e postados no site do livro, www.sistemasei.com.br/editora-sei, regularmente e de maneira 
gratuita, bem como este livro. 
 
Com isto o autor e diretor do Sistema de Ensino Interativo – SEI espera estender a sala de aula do SEI à 
residência dos que usarem este livro, principalmente daqueles que não podem frequentar um curso 
preparatório, contribuindo para sua preparação e aprovação. 
 
O autor espera que o uso deste livro ocorra de forma interativa, ou seja, será um prazer receber comentários, 
correções e pedidos, este contato pode ser feito diretamente com o autor pelo email 
luciano@sistemasei.com.br. 
 
 
BOM TRABALHO! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://www.sistemasei.com.br/editora-sei
mailto:luciano@sistemasei.com.br
 
 
 
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SOBRE O AUTOR 
 
 Natural do Rio de Janeiro, Luciano, quando aluno foi medalhista de prata na Olimpíada de 
Matemática do Estado do Rio de Janeiro - OMERJ (1993) e na Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM 
(1994), além disso, foi aprovado nos concursos da Escola Naval, IME e ITA e acabou optando pelo último. 
 Após algum tempo, resolveu seguir seu sonho e trocou a engenharia pela matemática, retornando ao 
Rio de Janeiro, fez vestibular para a UFRJ, onde concluiu a Graduação em Matemática. 
 Paralelamente à graduação foi professor nos principais cursos preparatórios do Rio de Janeiro, tendo 
contribuído na aprovação de centenas de alunos nos concursos da EFOMM, AFA, Escola Naval, IME e ITA. 
 Dois anos após ter terminado a Graduação em Matemática iniciou o Mestrado em Geometria 
Diferencial e em seguida o Doutorado em Sistemas Dinâmicos, tendo participado de congressos nacionais, 
por exemplo, na UFRJ, UFBA, UFAL e USP, e internacionais, como em Warwick (Inglaterra), Cournouaille 
(França) e PUC- CHILE (Santiago do Chile, Chile) nos quais ministrou algumas palestras. 
 Fundador do Sistema de Ensino Interativo – SEI, Luciano é um dos autores dos artigos de 
matemática do SEI Ensina. 
 Atualmente Luciano é Diretor do Sistema de Ensino Interativo – SEI, no qual é coordenador e 
professor de matemática, além disso, é professor adjunto da UFRJ. 
 
 
 
Luciano Nunes Prudente 
 
Diretor do Sistema de Ensino Interativo - SEI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MATEMÁTICA PARA CONCURSOS MILITARES - VOLUME 1 
 
ÍNDICE 
 
1. Lógica............................................................................................. 
2. Teoria dos Conjuntos....................................................................... 
3. Produto Cartesiano.......................................................................... 
4. Relação.......................................................................................... 
5. Conjuntos Numéricos...................................................................... 
6. Função........................................................................................... 
7. Função Constante............................................................................ 
8. Função do 1° Grau.......................................................................... 
9. Função do 2° Grau.......................................................................... 
10. Função Modular.............................................................................. 
11. Função Exponencial........................................................................ 
12. Função Logaritmo.......................................................................... 
13. Gabarito/Soluções............................................................................. 
05 
09 
19 
22 
25 
32 
48 
49 
62 
77 
84 
94 
122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 - LÓGICA 
 
Construção Axiomática da Ciência 
 
A linguagem da Ciência é construída a partir de Termos primitivos e Definições. 
 
Termo primitivo é um vocábulo cujo significado não é descrito por outros vocábulos. 
 
Definir é a ação de descrever o significado de um vocábulo a partir de outros vocábulos previamente definidos ou de 
termos primitivos. 
 
A introdução de novos vocábulos na Ciência será sempre feita a partir de termos primitivos ou de definições. 
 
Proposição ou sentença matemática é uma afirmativa a qual se associa um único valor: verdadeiro ou falso, que 
representaremos respectivamente por 1 ou 0. 
 
Axioma é uma proposição cuja veracidade é assumida por definição e um Teorema é uma proposição cuja veracidade 
deve ser verificada por meio de outros axiomas ou teoremas. 
 
A matemática é construída por meio de Axiomas e Teoremas. 
 
Definição: A negação de uma proposição é uma nova proposição cujo valor é o oposto da original. 
 
 Então dada uma proposição p, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: Conectivo é o elemento utilizado para unir duas proposições. 
 
Os conectivos se dividem em primários e secundários. 
 
Sejam p e q duas proposições, então: 
 
Conectivos Primários 
 
1) Conectivo “e” ( ): 
 
p q p q 
1 1 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 0 
 
 
2) Conectivo “ou” ( ): 
 
p q p q 
1 1 1 
1 0 1 
0 1 1 
0 0 0 
p p 
0 1 
1 0 
 
 
 
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Conectivos Secundários 
 
1) Condicional “se então” ( ): 
 
 
p q p q 
1 1 1 
1 0 0 
0 1 1 
0 0 1 
 
 
2) Condicional “se e somente se” ( ): 
 
 
p q p q 
1 1 1 
1 0 0 
0 1 0 
0 0 1 
 
 
Definição: Tautologia é uma proposição que assume apenas o valor verdadeiro. 
 
Sejam p, q e r proposições, seguem as principais tautologias: 
 
Negação da negação 
1. p p
 
 
Comutatividade do ˄ e do ˅ 
 
 
2. p q q p
3. p q q p
  
  
 
 
Associatividade do ˄ e do ˅ 
 
   
   
4. p q r p q r
5.p q r p q r
    
    
 
 
Distributividade 
 
     
     
6. p q r p q p r
7. p q r p q p r
     
     
 
 
Negação do ˄ e do ˅ 
 
8. p q p q
9. p q p q
  
  
 
 
 
 
 
 
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Implicação lógica 
 
10. p q p q
11. p q q p
12. p q p q
  
  
  
 
 
Equivalência lógica 
 
13. p q p q  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL A 
 
 ESCOLA NAVAL 
R1. (EN 1998) Considere a proposição: 
“Se x > 5 então y = 6”. 
A proposição equivalente é 
(A) “Se x < 5 então y  6” 
(B) “Se y  6 então x < 5” 
(C) “se y > 5 então x = 5” 
(D) “Se y  6 então x  5” 
(E) “Se x  5 então y  6”. 
 
2. (EN 1994) A negação da proposição: 
3x"  e y 2" , 
é: 
(A) 3x"  e "2y  
(B) 3x"  e "2y  
(C) 3x"  ou "2y  
(D) 2x"  e "3y  
(E) 3x"  ou "2y  . 
 
3. (EN 1992) Sabe-se que se x > 4 então y = 2 . Podemos daí concluir que: 
(A) Se x < 4 então y  2 . 
(B) Se x  4 então y  2 . 
(C) Se y = 2 então x > 4 . 
(D) Se y  2 então x  4. 
(E) Se y  2 então x < 4. 
 
NÍVEL B 
 
ESCOLA NAVAL 
 
R1. (EN 1989) Dada a proposição p  (q  r)  ( p  q)  (p  r) podemosafirmar que é: 
(A) logicamente falsa 
(B) uma tautologia 
(C) equivalente a ( p  q)  r 
(D) equivalente a ( p  q)V r 
(E) equivalente a  qp  
 
NÍVEL C 
ITA 
R1. (ITA 2002) Considere as seguintes afirmações sobre números reais positivos: 
I. Se x > 4 e y < 2, então x2 – 2y > 12. 
II. Se x > 4 ou y < 2, então x2 – 2y > 12. 
III. Se x2 < 1 e y2 > 2, então x2 – 2y < 0. 
Então, destas é (são) verdadeira(s) 
(A) apenas I. 
(B) apenas I e II. 
(C) apenas II e III. 
(D) apenas I e III. 
(E) todas. 
 
 
 
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CAPÍTULO 2 - TEORIA DOS CONJUNTOS 
 
Elementos Primitivos 
 
A Teoria dos Conjuntos tem sua estrutura baseada em três termos primitivos: Elemento, Conjunto e na Relação de 
Pertinência. 
 
Embora termos primitivos intuitivamente sabe-se a diferença entre eles. Considere, por exemplo, as proposições: 
 
A é uma Vogal 
 
B não é uma vogal 
 
Primeiramente sabemos que estas proposições têm valor verdadeiro, ou seja, a letra A é um elemento do conjunto das vogais e 
a letra B não é um elemento do conjunto das vogais. 
 
Note que o elemento se liga ao conjunto pela relação de pertinência, nos exemplos acima esta relação foi feita através do verbo 
SER, a fim de evitar as limitações da língua, as mesmas proposições podem ser escritas utilizando uma simbologia universal, que 
respectivamente introduzimos abaixo: 
 
 U,O,I,E,AA 
 
 .U,O,I,E,AB 
 
Um conjunto está bem definido quando dado um elemento podemos julgar se este pertence ou não ao conjunto. 
 
Variável é o símbolo utilizado para representar um elemento qualquer de um dado conjunto, neste caso, este conjunto é 
denominado Domínio da variável. 
 
Função Proposicional ou Proposição aberta é toda proposição que possui uma variável. 
 
Ex.:  U,O,I,E,Ax 
É uma proposição aberta, onde x é a variável e o seu domínio é o conjunto  .U,O,I,E,A 
 
Solução da Função Proposicional é todo elemento pertencente ao Domínio da variável que dá valor verdadeiro à proposição 
aberta. 
 
Ex.: 
 
 
 
 
 
 
.
)V(U,O,I,E,AU
)V(U,O,I,E,AO
)V(U,O,I,E,AI
)V(U,O,I,E,AE
)V(U,O,I,E,AA
U,O,I,E,Ax














 
 
Conjunto Solução da Função Proposicional ou Conjunto Verdade da Função Proposicional é o conjunto de todas as soluções 
de uma Função Proposicional. 
 
Ex.:    .U,O,I,E,ASU,O,I,E,Ax  
 
 
Definição: O Quantificador Universal  todopara é utilizado quando todos os elementos do Domínio da variável 
pertencem ao Conjunto Solução da Função Proposicional. 
 
Ex.: .0x,IRx
2  
 
 
 
 
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Definição: O Quantificador Existencial  existe é utilizado quando existe um elemento do Domínio da variável 
pertencente ao Conjunto Solução da Função Proposicional. 
 
Ex.: .0x:IRx
2  
 
 
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, define-se a relação de inclusão por: 
 
 .BxAx,xBA  
 
Neste caso dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B. 
 
Definição: Conjunto Universo é o conjunto maximal definido pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que contêm todos 
os outros. Assim, 
 
UA,A  . 
 
Definição: Conjunto Vazio é o conjunto minimal dado pela relação de inclusão, ou seja, é o conjunto que está contido em todos 
os outros. Representa-se o conjunto vazio por   . Assim, 
 
  A,A  . 
 
Em particular temos que: 
  xUx,x . 
 
Ex.: Dado  3,2,1A  então         .A3,2,1eA3,2,A1,A  
 
Definição: Conjunto das Partes é o conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto, ou seja, 
 
 AB:B:)A(  
Ex. 
               3,2,1,1,3,3,2,2,1,3,2,1,)A(3,2,1A  
 
Obs.: Seja )C(n é o número de elementos de um conjunto C, então 
.2:))A((n )A(n
 
 
Observe no exemplo acima que .8))A((ne3)A(n  
 
 
 
Definição: Seja A um conjunto o seu Complementar é definido por 
 
 Ax:xAC  . 
 
 
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então 
 
 BxAx,xBA  . 
Ou equivalentemente 
 
    ABBABA  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Operações entre conjuntos 
 
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a União entre A e B é um terceiro conjunto definido por: 
 
 BxAx:xBA  . 
 
Ex. 
 
   5,4,3,2,1BA5,4,3,2B
3,2,1A


 
 
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Interseção entre A e B é um terceiro conjunto definido por: 
 BxAx:xBA  . 
 
Ex. 
 
   3,2BA5,4,3,2B
3,2,1A


 
 
Teorema 1. Sejam A e B conjuntos quaisquer então 
 
.)BA(n)B(n)A(n)BA(n  
 
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença entre A e B é um terceiro conjunto definido por: 
 BxAx:xB\ABA  . 
 
Ex. 
 
     5,4A\Be1B\A5,4,3,2B
3,2,1A


 
 
Teorema 2. Sejam A e B conjuntos quaisquer então 
 
).B(n)A(n)BA(n  
 
Definição: Sejam A e B dois conjuntos, então a Diferença simétrica entre A e B é um terceiro conjunto definido por: 
   ABBABA  . 
 
Ex. 
 
   .5,4,1BA5,4,3,2B
3,2,1A


 
 
 
Sejam A, B e C conjuntos quaisquer, seguem as principais propriedades das operações entre conjuntos. 
 
1. Complementar do complementar 
  AA CC  . 
 
2. Comutatividade 
ABBA  . 
ABBA  . 
 
 
 
3. Associatividade 
 
  C)BA(CBA  . 
  C)BA(CBA  . 
 
 
 
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4. Distributividade 
 
     CABACBA  . 
     CABACBA  . 
 
5. Complementar da união e da interseção 
 
  CCC BABA  . 
  CCC BABA  . 
 
6. Complementar de Sobconjuntos 
CC ABBA  . 
 
7. Diferença 
CBABA  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL A 
 
EFOMM 
 
R1. (EFOMM 2010) Se X é um conjunto com um número finito de elementos, n(X) representa o número de elementos do 
conjunto X. Considere os conjuntos A, B e C com as seguintes propriedades: 
• n(A  B  C) = 25, 
• n(A – C) = 13, 
• n(B – A) = 10, 
• n(A  C) = n(C – (A  B)). 
O maior valor possível de n(C) é igual a 
(A) 9 
(B) 10 
(C) 11 
(D) 12 
(E) 13 
 
R2. (EFOMM 2010) Analise as afirmativas abaixo. 
I - Seja K o conjunto dos quadriláteros planos, seus subconjuntos são: 
P = {x  K / x possui lados opostos paralelos}; 
L = {x  K / x possui 4 lados congruentes}; 
R = {x  K / x possui 4 ângulos retos}; e 
Q = {x  K / x possui 4 lados congruentes e 2 ângulos com medidas iguais}. 
Logo, L  R = L  Q. 
II - Seja o conjunto A = {1,2,3,4}, nota-se que A possui somente 4 subconjuntos. 
III- Observando as seguintes relações entre conjuntos: 
{a, b, c,d} U Z = {a, b, c, d, e}, 
{c,d} U Z = {a, c, d, e} e 
{b, c, d}  Z = {c}; pode-se concluir que Z = {a, c, e}. 
Em relação às afirmativas acima, assinale a opção correta. 
(A) Apenas a afirmativa I é verdadeira. 
(B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
(C) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. 
(D) Apenas a afirmativa III é verdadeira. 
(E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
 
3. (EFOMM 2007) Numa companhia de 496 alunos, 210 fazem natação, 260 musculação e 94 estão impossibilitados de fazer 
esportes. Neste caso, o número de alunos que fazem só natação é 
(A) 116 
(B) 142 
(C) 166 
(D) 176 
(E) 194. 
 
4. (EFOMM 2006) Sejam os conjuntos U = {1,2,3,4} e A = {1,2}. O conjunto B tal que BA = {1} e BA = U é 
(A) 0 
(B) {1} 
(C) {1,2} 
(D) {1,3,4} 
(E) U. 
AFA 
 
5. (AFA 1998) Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam 
basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se 
que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? 
 
 
 
 
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(A) 31 
(B) 37 
(C) 47 
(D) 51. 
 
R6. (AFA 1998) Entrevistando 100 oficiais da AFA, descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave TUCANO, 40pilotam o 
helicóptero ESQUILO e 50 não são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos pilotam o TUCANO e o ESQUILO? 
(A) 5 
(B) 10 
(C) 15 
(D) 20. 
 
7. (AFA 1995) Assinale a afirmação correta. 
(A) A intersecção de conjuntos infinitos pode ser finita. 
(B) A intersecção infinita de conjuntos não vazios é vazia. 
(C) A reunião infinita de conjuntos não vazios tem infinitos elementos. 
(D) A intersecção dos conjuntos A e B possui sempre menos elementos do que o A e do que o B. 
 
8. (AFA 1995) Analisando-se uma amostra populacional, com relação à altura, determinou-se: 
- 95% tem altura maior ou igual a 1,62m; 
- 8% tem altura menor ou igual a 1,62m. 
Qual o percentual de indivíduos com, exatamente, 1,62m? 
(A) 3 
(B) 5 
(C) 8 
(D) 13 
 
ESCOLA NAVAL 
 
R9. (EN 2009) Os 36 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova de 3 questões para estabelecer a antiguidade 
militar. Sabendo que dentre estes alunos, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 
acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira, 7 acertaram a segunda e a terceira e, 4 erraram todas as 
questões, podemos afirmar que o número de alunos que não acertaram todas as 3 questões é igual a 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 26 
(D) 30 
(E) 32. 
 
10. (EN 1989) Considere os conjuntos A={x} e B={x,{A}} e as proposições: 
I - {A}  B 
II- {x}  A 
III- A  B 
IV- B  A 
V- {x , A}  B 
As proposições FALSAS são: 
(A) I , III e V 
(B) II , IV e V 
(C) II , III , IV e V 
(D) I , III , IV e V 
(E) I , III e IV 
 
11. (EN 1991) Sejam A, B e C conjuntos. A condição necessária e suficiente para que A(B∩C) = (AB)∩ C é: 
(A) A = B = C 
(B) A∩C = ∅ 
(C) A – C = ∅ 
(D) A = ∅ 
(E) AC = B 
 
 
 
 
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ITA 
 
R12. (ITA 2009) Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a,b,c, d,e, f , g, h}. Sabendo que (BC  A)C = {f, g, h}, BC 
 A = {a, b} e AC \B = {d, e}, então, n(P( A  B)) é igual a 
(A) 0. 
(B) 1. 
(C) 2. 
(D) 4. 
(E) 8. 
 
13. (ITA 2004) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto 
 U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: 
I.   U e n(U) = 10. 
II.   U e n(U) = 10. 
III. 5  U e {5}  U. 
IV. {0, 1, 2, 5}  {5} = 5 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) 
(A) apenas I e III. 
(B) apenas II e IV. 
(C) apenas II e III. 
(D) apenas IV. 
(E) todas as afirmações. 
 
NÍVEL B 
 
 ITA 
 
R1. (ITA 2007) Se A, B, C forem conjuntos tais que: 
n(AB)= 23, n(B–A)=12, n(C–A)=10, n(B  C)= 6 e n(A  B  C)= 4, então n(A), n(A  C) 
, n(A  B  C), nesta ordem, 
(A) formam uma progressão aritmética de razão 6. 
(B) formam uma progressão aritmética de razão 2. 
(C) formam uma progressão aritmética de razão 8, cujo primeiro termo é 11. 
(D) formam uma progressão aritmética de razão 10, cujo último termo é 31. 
(E) não formam uma progressão aritmética. 
 
R2. (ITA 2006) Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n  1. Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte 
propriedade: 
Se A, B  S, então A  B ou B  A então, o número máximo de elementos que S pode ter é: 
(A) 2n- 1 
(B) n/ 2, se n for par, e (n + 1)/ 2 se n for ímpar 
(C) n + 1 
(D) 2n – 1 
(E) 2n – 1 + 1. 
 
3. (ITA 2006) Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(B\A), n(A\B) e n(AB) formam, nesta 
ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(B\A) = 4 e n(A B) + r = 64, então, n(A\B) é igual a: 
(A) 12 
(B) 17 
(C) 20 
(D) 22 
(E) 24. 
 
4. (ITA 2003) Sejam U um conjunto não-vazio e A  U, B  U. Usando apenas as definições de igualdade, reunião, 
intersecção e complementar, prove que: 
I. Se A  B = , então B  AC. 
II. B\AC = B  A. 
 
 
 
 
Página | 16 
R5. (ITA 2002) Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número 
de elementos de P(B \ A) U P() é igual a 
(A) 8. 
(B) 16. 
(C) 20. 
(D) 17. 
(E) 9. 
 
6. (ITA 2000) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A
B)= 8,n(AC)= 9, n(BC)= 10, n(ABC) = 11 e n (ABC) = 2. 
Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a 
(A) 11 
(B) 14 
(C) 15 
(D) 18 
(E) 25. 
 
IME 
 
7. (IME 2009) Sejam dois conjuntos, X e Y, e a operação , definida por 
X  Y = (X – Y)  (Y – X). 
Pode-se afirmar que 
(A) (X  Y)  (X  Y) = Ø 
(B) (X  Y)  (X – Y) = Ø 
(C) (X  Y)  (Y – X) = Ø 
(D) (X  Y)  (X – Y) = X 
(E) (X  Y)  (Y – X) = X 
 
NÍVEL C 
 
ESCOLA NAVAL 
 
R1. (EN 1988) Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock , quantos por cento da 
população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? 
(A) 5% 
(B) 10% 
(C) 20% 
(D) 45% 
(E) 70%. 
ITA 
 
R2. (ITA 2011) Analise a existência de conjuntos A e B, ambos não vazios, tais que (A\B) U (B\A) = A 
 
3. (ITA 2011) Sejam A e B conjuntos finitos e não vazios tais que A B e n ({C : C  B \ A}) = 128. Então, das afirmações 
abaixo: 
 
I – n(B) – n(A) é único; 
II – n(B) + n(A) ≤ 128; 
III – a dupla ordenada (n(A), n(B)) é única. 
 
É (são) verdadeira(s) 
(A) apenas I. 
(B) apenas II. 
(C) apenas III. 
(D) apenas I e II. 
(E) nenhuma. 
 
 
 
 
Página | 17 
4. (ITA 2010) Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: 
I. A negação de x  A  B é: x  A ou x  B. 
II. A  (B  C) = (A  B)  (A  C) 
III. (A\B)  (B\A) = (A  B) \ (A  B) 
 
Destas, é (são) falsa(s) 
(A) Apenas I 
(B) apenas II 
(C) apenas III 
(D) apenas I e III 
(E) apenas nenhuma. 
 
5. (ITA 2010) Sejam A, B e C conjuntos tais que C  B, n(B\C) = 3n(B  C) = 6n(A  B), 
n(A  B) = 22 e (n(C), n(A), n(B)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. 
a) Determine n(C) 
b) Determine n(P(B\C)). 
 
6. (ITA 2008) Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que (X – Y )  Z = {1, 2, 3, 4}, Y = {5, 6}, Z  Y = , W  (X – 
Z) = {7, 8}, X  W  Z = {2, 4}. Então o conjunto 
[X  (Z  W)] – [W  (Y  Z)] é igual a 
(A) {1, 2, 3, 4, 5} 
(B) {1, 2, 3, 4, 7} 
(C) {1, 3, 7, 8} 
(D) {1, 3} 
(E) {7, 8}. 
 
7. (ITA 2007) Seja A um conjunto com 14 elementos e B um subconjunto de A com 6 elementos. O número de subconjuntos de 
A com um número de elementos menor ou igual a 6 e disjuntos de B é: 
(A) 28 – 9. 
(B) 28 –1. 
(C) 28 – 26. 
(D) 214 – 28. 
(E) 28. 
 
R8. (ITA 2006) Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A1,...,Am} P(A) é 
uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: 
I. Ai ≠  , i = 1 ,... , m 
II. AiAj = , se i ≠ j, para i, j = 1, ... , m 
III. A = A1A2 ∙∙∙Am 
Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(Ai) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(A) = 8, determine: 
a) As ordens possíveis para uma partição de A 
b) O número de partições de A que têm ordem 2 
 
9. (ITA 2004) Seja A um conjunto não-vazio. 
a) Se n(A) = m, calcule n(P(A)) em termos de m. 
b) Denotando P1(A)=P(A) e Pk + 1(A) = = P(Pk(A)), para todo número natural k 1, determine o menor k, tal que n(Pk(A)) 
65000, sabendo que n(A) = 2. 
NÍVEL C 
 
 IME 
 
R10. (IME 2010) Sejam os conjuntos P1, P2 , S1 e S2 tais que 
(P2  S1)  P1, (P1  S2)  P2 
E 
(S1  S2) (P1  P2). 
Demonstre que (S1  S2)  (P1  P2). 
 
 
 
 
 
Página | 18 
11. (IME 2011) Em relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: 
I. Se A  B e B  C então A  C. 
II. Se A  B e B  C então A  C. 
III. Se A  B e B  C então A  C. 
Estão corretas: 
(A) nenhuma das alternativas 
(B) somente a alternativa I 
(C) somente as alternativas I e II 
(D) somente as alternativasII e III 
(E) todas as alternativas 
 
12. (IME 2000) Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinqüenta 
vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas 50 vezes. 
a) em 28 saiu uma face preta para o jogador I; 
b) em 25 saiu uma face branca para o jogador II; 
c) em 27 saiu uma face branca para o jogador III; 
d) em 8 saíram faces pretas para os jogadores I e III e branca para o jogador II; 
e) em 7 saíram faces brancas para os jogadores II e III e preta para o jogador I; 
f) em 4 saíram faces pretas para os três jogadores; 
g) em 11 saíram faces pretas para os jogadores II e III. 
Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador. 
 
R13. (IME 1986-1987) Dados dois conjuntos A e B, define-se 
A B (A B) (B A) .     
 
Prove que dados três conjuntos arbitrários X, Y e Z 
 
X (Y Z) (X Y) (X Z).      
 
 
 
 
Página | 19 
CAPÍTULO 3 - PRODUTO CARTESIANO 
 
 
Definição: Sejam IRB,A  , o produto cartesiano entre A e B é definido por: 
 
  BxAx:y,xBA  . 
 
O Plano Cartesiano é obtido pelo produto cartesiano da reta por ela mesma, ou seja, 
 
  IRyIRx:y,xIRIRIR 2  . 
 
A representação gráfica do plano cartesiano é dada por um par de eixos perpendicurales, chamados eixos coordenados, cujo 
ponto em comum é chamado de origem do plano cartesiano. 
 
O eixo horizontal é chamado eixo das abscissas e seus pontos são representados por   IRx,0,x  . 
Quando 0x o ponto localiza-se à direita da origem, caso contrário à esquerda,. 
 
O eixo vertical é chamado eixo das ordenadas e seus pontos são representados por   IRy,y,0  . 
Quando 0y o ponto localiza-se acima da origem, caso contrário abaixo. 
 
 Assim a origem é o ponto de coordenadas  0,0 . 
 
Os pontos não pertencentes a nenhum dos eixos serão representados por    0\IRy,x,y,x  , onde os valores de x e y 
são obtidos pelas coordenadas dos pontos de interseção das perpendiculares traçadas pelo ponto  y,x aos eixos coordenados. 
 
Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões disjuntas chamadas quadrantes, desta forma 
define-se: 
 
 
 
 
  Quadrante4y,x0ye0x
Quadrante3y,x0ye0x
Quadrante2y,x0ye0x
Quadrante1y,x0ye0x




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 20 
As retas xyexy  são chamadas respectivamente de bissetrizes dos quadrantes ímpares e pares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 21 
EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL C 
 
ITA 
 
R1. (ITA 1999) Sejam E, F, G e H subconjuntos não vazios de R. Considere as afirmações: 
I- Se (E x G)  (F x H), então E  F e G  H. 
II- Se (E x G)  (F x H), então (E x G)  (F x H) = F x H. 
III- Se (E x G)  (F x H) = F x H, então (E x G)  (F x H) 
Então: 
(A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira 
(B) Apenas a afirmações (II) é verdadeira 
(C) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras 
(D) Apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras 
(E) Todas as afirmações são verdadeiras. 
 
2. (ITA 1989) Sejam A, B e C subconjuntos de IR , não vazios, e A–B = {p  IR; p  A e p  B}. Dadas as igualdades: 
1-(A–B)xC = (AxC) – (BxC) 
2-(A–B)xC = (AxB) – (BxC) 
3-(A B)–A (A B) – B 
4-A–(BC) = (A–B)  (A–C) 
5-(A–B)(B–C) = (A–B)(A–B) 
Podemos garantir que: 
(A) 2 e 4 são verdadeiras. 
(B) 1 e 5 são verdadeiras. 
(C) 3 e 4 são verdadeiras. 
(D) 1 e 4 são verdadeiras. 
(E)1 e 3 são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 22 
CAPÍTULO 4 - RELAÇÃO 
 
 
Definição: Sejam IRB,A  , uma Relação R de A em B é um subconjunto qualquer de BA 
. 
Em particular, uma Relação R de IR em IR é um subconjunto qualquer de 
2IR . 
 
Assim, a região abaixo é um exemplo de um gráfico de uma relação de IR em IR. 
 
 
 
 
Definição: O Domínio e a Imagem de uma relação R de A em B são definidos por: 
 
  Ry,x:xD R  . 
  Ry,x:yIm R  . 
 
Definição: Seja R uma Relação de A em B, a Relação Inversa 
1R  de B em A é definida por: 
 
    Ry,x:x,yR 1  . 
 
Em particular, o gráfico de um relação e da sua relação inversa são simétricos em relação a bissetriz dos quadrantes ímpares. 
 
 
 
 
 
Definição: Uma Relação de A em B é dita Reflexiva se e somente, se: 
 
  Rx,x,Ax  . 
 
 
 
Página | 23 
Definição: Uma Relação de A em B é dita Simétrica se e somente, se: 
 
    Rx,yRy,x  . 
 
Definição: Uma Relação de A em B é dita Antissimétrica se e somente, se: 
 
       x,yy,xRx,yRy,x  . 
 
Definição: Uma Relação de A em B é dita Transitiva se e somente, se: 
 
 
 
  Rz,x
Rz,y
Ry,x






. 
 
Definição: Uma Relação de A em B é dita de Equivalência se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Simétrica e Transitiva. 
 
Definição: Uma Relação de A em B é dita uma Relação de Ordem se e somente, se é uma Relação Reflexiva, Antissimétrica e 
Transitiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 24 
EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL A 
 
 EFOMM 
 
R1. (EFOMM 2006) Dados A = {2,3,4} e B = {1,6,8,12}, a relação R1 = {(x,y)  A x B  y = x + 4} de A em B é dada por: 
(A) {(3,6), (4,8)} 
(B) {(2,6), (4,8)} 
(C) {(6,2), (8,4)} 
(D) {(2,6), (3,12), (4,8)} 
(E) {(2,1), (3,6), (4,8)} 
 
NÍVEL C 
 
IME 
 
R1. (IME 1986) Seja N* o conjunto dos números naturais não nulos e n  N*. Mostre que a relação Rn = {((a, b)  a, b  N* e a 
– b é múltiplo de n } é uma relação de equivalência. 
 
R2. (IME 1984) Dada a matriz M = (mij ) 
M = 












1111
1101
1010
1101
 
 
e o conjunto A = {a1; a2; a3; a4}, define-se em A uma relação R por: 
ai R aj  m i j = 1 
Verifique se R é uma relação de equivalência. 
 
3. (IME 1983) Seja m um inteiro positivo. Define-se uma relação m por 
Rm = {(i; j)  i = j + km; k inteiro}. 
Mostre que m é uma relação de equivalência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 25 
CAPÍTULO 5 - CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
OPERAÇÃO 
 
Uma operação definida em um conjunto é uma relação que associa a dois elementos de um conjunto um terceiro elemento, ou 
seja, 
 
    212121 a*a:a,a*a,a
BAA:*



 
 
Quando o resultado da operação for um elemento de A, a operação é dita fechada, assim, 
 
    212121 a*a:a,a*a,a
AAA:*


 
 
É uma operação fechada. 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1-Números Naturais: 
 
 .....,3,2,1,0IN  . 
 
 ....,3,2,1IN*  . 
 
A soma e a multiplicação de dois números naturais são exemplos de operações fechadas neste conjunto, logo: 
 
    ba:b,ab,a
INININ:



 
e 
 
    ba:b,ab,a
INININ:



 
 
Em particular, a soma e a multiplicação gozam das seguintes propriedades: 
 
INceb,a  , temos: 
 
1.1-Associatividade (Adição): 
 
   cbacba  . 
 
1.2- Comutatividade (Adição): 
 
abba  . 
 
1.3- Existência de elemento neutro (Adição): 
 
INa,aaeea:INe sss  . 
 
Em relação aos números naturais o elemento neutro da adição é o número zero. 
 
1.4- Associatividade (Multiplicação): 
 
   cbacba  . 
 
 
 
Página | 26 
1.5- Comutatividade (Multiplicação): 
 
abba  . 
 
1.6 - Existência de elemento neutro (Multiplicação): 
 
INa,aaeea:INe ppp  . 
 
Em relação aos números naturais, o elemento neutro da multiplicação é o número um. 
 
1.7- Distributividade da multiplicação em relação à adição: 
 
  cabacba  . 
 
1.8- Não existem divisores de zeros: 
 








0b
ou
0a
0ba:INb,a . 
 
2-Números Inteiros: 
 
 ....,2,1,0,1,2...,Z  . 
 
 ...,2,1,1,2...,Z*  . 
 
Repare que ZIN  , porém existem números inteiros que não são números naturais, cuja necessidade se percebe 
quando se tenta resolver, por exemplo, a seguinte sentença:
 
 
.02x  
 
De fato, suponhaque haja solução natural, então, 
 
.INx022x0xINx  
 
Definindo a soma e a multiplicação de maneira natural, defini-se a operação de subtração por: 
 
    ).b(aba:b,ab,a
ZZZ:



 
 
As operações de adição, subtração e multiplicação são fechadas em relação ao conjunto dos números inteiros, além 
disso, estas operações gozam das mesmas propriedades dos números naturais e da seguinte: 
 
2.1- Inverso aditivo: 
 
ab,0abba:Zb,Za  . 
 
3-Números Racionais: 
 






 *ZqZp:
q
p
Q . 
 






 *** ZqZp:
q
p
Q . 
 
 
 
Página | 27 
 
Repare que QZIN  , porém existem números racionais que não são números inteiros, cuja necessidade é 
percebida quando se tenta resolver a seguinte sentença: 
 
.01x2  
De fato, suponha por absurdo que haja solução inteira, então, 
 
.Zximpar1x2Zx  
 
Definindo a soma, a multiplicação e a subtração de maneira natural, define-se a operação de divisão por: 
 
    .
b
a
b
1
aba:b,ab,a
QQQ: *



 
 
O conjunto dos números racionais é fechado em relação à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão, sempre que definida, e 
goza das mesmas propriedades dos números inteiros e da seguinte: 
 
3.1- Inverso Multiplicativo: 
 
1* ab,1abba:Qb,Qa  . 
 
4-Números Reais: 
 
A esta altura o leitor pode se perguntar se todo número pode ser escrito sob a forma de fração, a resposta para esta pergunta é não. 
Existe a necessidade de outros tipos de números, isto é percebido, por exemplo, quando se tenta resolver a equação: 
2x2  . 
 
De fato, suponha que a solução desta equação seja um número racional, dito isto, sabemos que x pode ser escrito como a razão de 
dois números inteiros, sejam p e q inteiros com q não nulo e tais que: 
1)q,p(mdc,ZqeZp,
q
p
x * 
 
Então
 
.p2p:Zpp|2p|2q2p2
q
p
2x 00
222
2
2 






 
Logo,
 
  00
22
0
222
0 q2q:Zqq|2q|2p2qq2p2  
O que implica 
.2)q,p(mdc 
 
 
O que é um absurdo uma vez que por hipótese p e q são primos entre si. 
 
Logo há a necessidade que existam números que não podem ser escritos como a razão de dois números inteiros. Estes números 
serão chamados de números Irracionais. 
 
Define-se o conjunto dos números reais como a união do conjunto dos números racionais e dos números irracionais. 
 
Geometricamente os números reais IR podem ser representados pela reta, o que define uma bijeção entre estes conjuntos, ou 
seja, a cada ponto da reta corresponde um único número real da mesma forma que a cada número real corresponde um único 
ponto da reta. 
 
Esta bijeção está definida a menos de um ponto fixo chamado origem que representa o número zero e de uma escala que define o 
sistema de unidade, em particular, esta escala também define os números naturais e os números inteiros. 
 
 
 
 
Página | 28 
Os números racionais podem ser obtidos construindo-se primeiramente os racionais positivos menores que um, a partir de 
construções geométricas, depois estes são levados a toda a reta a partir de translações. 
 
Diante do que foi dito acima temos que IRQZIN  . 
 
O conjunto dos números reais é fechado em relação às quatros operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação e 
divisão, esta última estando definida. Além disso, o conjunto dos números reais goza das mesmas propriedades relativas a adição 
e multiplicação que os números racionais. 
 
O conjunto dos números reais munido das operações soma e produto é chamado de corpo dos números reais. 
 
4.1-Intervalos: 
 
   bxa:IRxb,a  
 
   bxa:IRxb,a  
 
   bxa:IRxb,a  
 
   bxa:IRxb,a  
 
   xa:IRx,a  
 
   xa:IRx,a  
 
   ax:IRxa,  
 
   ax:IRxa,  
 
Definem-se também os seguintes conjuntos: 
 
Inteiros Positivos: 
 ...,3,2,1Z*  . 
Inteiros não-negativos: 
 
 ...,3,2,1,0Z  . 
 
Inteiros negativos: 
 
 1,2,3...,Z*  . 
 
Inteiros não-positivos: 
 
 0,1,2,3....,Z  . 
 
Racionais Positivos: 
 






 0
q
p
:Q
q
p
Q* . 
 
Racionais não-negativos: 
 






 0
q
p
:Q
q
p
Q
 
 
 
 
Página | 29 
 
Racionais negativos: 
 






 0
q
p
:Q
q
p
Q* . 
 
Racionais não-positivos: 
 






 0
q
p
:Q
q
p
Q . 
 
Reais Positivos: 
 
 0x:IRxIR*  . 
 
Reais não-negativos: 
 
 0x:IRxIR  . 
 
Reais negativos: 
 
 0x:IRxIR*  . 
 
Reais não-positivos: 
 
 0x:IRxIR  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 30 
EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL A 
 AFA 
 
 
R1. (AFA 2011) Se α = 2. 2 2. 2 2 2 . 2 2 2     , então 
(A) α  (IR – IN) 
(B) α pode ser escrito na forma α = 2k, k  Z 
(C) α  [(Q – Z)  (IR – Q)] 
(D) [(Z ∩ Q) ∩ (IR – IN)]  α 
 
2. (AFA 2008) Analise as alternativas abaixo e marque a correta. 
(A) Se = B {m ∈ N | m² < 40}, então o número de elementos do conjunto B é 6. 
(B) Se α = 
1 1
2 1 2 1

 
, então α ∈[(IR − Q) ∩ (IR − Z)] 
(C) Se c = a + b e b é divisor de a, então c é múltiplo de a, necessariamente. 
(D) Se A =]1, 5[ e B =]−3,3[, então B−A=]−3,1[. 
 
R3. (AFA 2005) Considere um subconjunto A contido em *N e constituído por y elementos dos quais: 
 13 são múltiplos de 4 
 7 são múltiplos de 10 
 5 são múltiplos de 20 e 
 9 são números ímpares. 
É correto dizer que y é um número: 
(A) par menor que 19. 
(B) múltiplo de 12. 
(C) ímpar entre 10 e 20. 
(D) primo maior que 21. 
 
ESCOLA NAVAL 
 
R4. (EN 1993) Sejam A = [0,2], B = (–1,2] e C = (1,3). O complemento de A(B–C) em relação ao conjunto B é igual a: 
(A) (–1,0)  [1,2] 
(B) (–1,2) 
(C) (–1,0]  [1,2] 
(D) (–1,1] 
(E) (–1,0)  (1,2] 
NÍVEL B 
 
 ITA 
 
R1. (ITA 2004) Seja o conjunto S = {r  Q : r  0 e r2  2}, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: 
I. S
5
7
eS
4
5
 
II. {x  IR : 0  x  2 }  S =  
III. 2  S. 
Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas 
 (A) I e II 
(B) I e III 
(C) II e III 
(D) I 
(E) II 
 
 
 
Página | 31 
NÍVEL C 
 ITA 
 
1. (ITA 2012) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que r1−r2 e r1+r2+r3 são racionais. Das afirmações: 
I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3 é racional; 
II. Se r3 é racional, então r1 + r2 é racional; 
III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, 
 
é (são) sempre verdadeira(s) 
(A) apenas I. 
(B) apenas II. 
(C) apenas III. 
(D) apenas I e II. 
(E) I, II e III. 
 IME 
 
 
2. (IME 1993) Indique se é verdadeiro (V) ou falso (F) o que se segue e justifique sua resposta. 
a) O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais; 
b) Existe um número em Q (racionais) cujo quadrado é 2; 
c) O ponto correspondente a 
77
66
 na escala dos números reais R está situado entre os pontos 
66
55
 e 
88
77
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 32 
CAPÍTULO 6 - FUNÇÃO 
 
Definição: Sejam IRB,A  , uma Função de A em B é uma Relação de A em B tal que a cada elemento de A é associado um 
único elemento de B. Representa-se uma Função de A em B por: 
 
 xfx
BA:f


 
O gráfico de uma Função de A em B é a representação dos pontos da função no plano cartesiano, em particular: 
 
    BAAx:xf,xGf  
 
Em seguida o gráfico de uma função e o gráfico de uma relação. 
 
 
 
 
 
De fato, existem pontos no domínio da circunferência tais que a reta perpendicular ao eixo das abscissas intercepta o seu gráfico 
em mais de um ponto. 
 
O Domínio e o Contradomínio e a Imagem de uma Função de A em B, são definidos por: 
 
    yxf,Ax:ByAfIm
BCD
AD
f
f
f



. 
 
 
 
 
Página | 33 
Classificação de Funções: 
 
Função Injetora: 
 
Uma função é injetora se e somente, se quaisquerdois elementos distintos do seu domínio possuírem imagens distintas, ou seja, 
 
     .xfxfxx:Ax,xinjetoraéf 212121  
 
O gráfico abaixo é um exemplo de gráfico de função injetora. 
 
Já o próximo não é um exemplo de gráfico de função injetora, uma vez que existe ponto na imagem tal que a reta perpendicular ao 
eixo das ordenadas intercepta o gráfico da função em mais de um ponto. 
 
 
 
 
 
Função Sobrejetora: 
 
Diremos que uma função é sobrejetora se e somente, se o conjunto imagem for igual ao conjunto contradomínio, ou seja, 
 
ff CDImasobrejetoréf  
 
 
 
 
 
Página | 34 
Seja 
   d,cb,a:f  
 
dependendo do conjunto imagem f pode ser uma função sobrejetora, 
 
 
 
Ou não: 
 
 
No segundo caso existem pontos no contradomínio tais que a reta perpendicular ao eixo das ordenadas por estes pontos não 
intercepta o gráfico da função. 
 
Função Bijetora: 
 
Diremos que uma função é bijetora se e somente se for injetora e sobrejetora, ou seja, 
 
aSobrejetoreInjetoraéfBijetoraéf  
 
Em seguida o gráfico de uma função bijetora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 35 
Classificação de Funções quanto ao crescimento: 
 
Função Crescente: 
 
Seja BA:f  
 
    212121 xfxfxx,Ax,xcrescenteéf  
 
 
Função Decrescente: 
 
Seja BA:f  
    212121 xfxfxx,Ax,xedecrescentéf  
 
 
Obs.: Estas funções também podem ser chamadas de funções estritamente crescentes ou estritamente decrescentes. 
 
Obs.: Toda função crescente ou decrescente é injetora. 
 
Função não Crescente: 
 
    212121 xfxfxx,Ax,xcrescentenãoéf  
 
 
Função não Decrescente: 
 
    212121 xfxfxx,Ax,xedecrescentnãoéf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 36 
Função Monótona: 
 












crescentedenãoéf
ou
crescentenãoéf
ou
crescentedeéf
ou
crescenteéf
monótonaéf 
 
 
Classificação de Funções quanto à Paridade: 
 
Função Par: 
 
Seja BA:f  
   xfxf,Axparéf 
 
 
 
 
 
Obs.: O gráfico de uma função par é simétrico em relação aos eixos das ordenadas. 
 
Função Ímpar: 
 
Seja BA:f  
   xfxf,Axímparéf  
 
 
 
Obs.: O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação a origem do sistema de coordenadas. 
 
 
 
 
Página | 37 
Classificação de Funções quanto à Periodicidade: 
 
Função Periódica: 
 
Seja BA:f  
   xfTxf,Ax:0Tperiódicaéf  
 
O Período de uma função periódica é definido por: 
 
    Ax,xfTxf,IRT:TmínP *   
 
Em seguida o gráfico de uma função periódica: 
 
 
 
Obs.: Existem funções periódicas que não possuem período, por exemplo, as funções constantes, 
 
b)x(fx
BA:f



 
 
 
 
Função Composta: 
 
Sejam BA:f  , DC:g  funções, e os conjuntos B e C tais que, CB  , define-se A Função Composta de f por g por: 
 
))x(f(g)x(fg:yx
DA:fg




 
 
 
 
 
 
Página | 38 
 
Função Inversa: 
 
Uma vez que uma função BA:f  é uma relação, sempre existe a sua relação inversa AB:R f  . O Teorema seguinte dá 
condições para que a relação inversa de uma função também seja uma função. 
 
Teorema: Seja BA:f  uma função, então: 
funçãoéAB:Rbijetoraéf
1
f 

 
 
Se BA:f  é uma Função Bijetora, então a Relação Inversa de B em A é uma função e é chamada de Função 
Inversa de B em A AB:f
1  . Em particular, 
 
 
  A
11
B
11
idffAx,xxff
idffBy,yyff






 
 
Onde idA é a função identidade restrita ao conjunto A. 
 
Obs.: Caso IRIR:f  então 
idffff 11   
 
Ou seja, 
IRx,x)x(ff)x(ff 11   
 
 
Teorema: O gráfico de uma função bijetora e o gráfico da sua função inversa são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, ou seja, a reta xy . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 39 
EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL A 
 
AFA 
 
1. (AFA 2009) Um estudo sobre a concentração de um candidato em provas de memorização indicou que, com o tempo 
decorrido, sua capacidade de reação diminui. 
A capacidade de reação (E), E > 0, e o tempo decorrido (t), medido em horas, podem ser expressos pela relação E = 
3
1
t
1t2


. 
Sendo assim, é INCORRETO afirmar que 
(A) a concentração tende a ser máxima por volta de 20 minutos do início da prova. 
(B) a cada intervalo de 1h de prova há uma queda de 33, 3 % na capacidade de reação. 
(C) a capacidade de reação nunca é menor que 2 
(D) se a capacidade de reação é 24, então o tempo t decorrido é maior que 24 minutos. 
 
R2. (AFA 2005) Observe os gráficos abaixo, das funções f e g, definidas no intervalo ]1,0[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 40 
Com base nos gráficos, assinale a alternativa FALSA. 
(A) ]1,0[x,))x(f(g))4,0(f(g  . 
(B) ))1(f(g))6,0(f(g  . 
(C) ))1,0(f(g))05,0(f(g  . 
(D) ]8,0;3,0[x,x))x(g(g  . 
 
R3. (AFA 2001) Se f e g são funções de IRemIR definidas por f(3x+2) = 
2
2x3 
 e g(x – 3) = 5x – 2, então f(g(x)) ;e: 
(A)
5
4x 
 
(B) 
5x 9
2

 
(C) 5x + 13 
 (D) 
5
11x5 
. 
 
4. (AFA 2001) Os números inteiros do domínio da função real )x32()x25()x(f  são as raízes da equação 0)x(g  . 
Uma expressão analítica da função )x(g é: 
(A) x2xx 23  
(B) x2xx 23  
(C) x2x3x
23  
(D) x2x3x
23  . 
 
R5. (AFA 1999) Seja D =  5,4,3,2,1 e f: D  R, a função definida por f(x) = (x – 2)(x – 4). Então, pode-se afirmar que f 
(A) é bijetora. 
(B) é somente injetora. 
(C) é somente sobrejetora. 
(D) possui conjunto imagem com 3 elementos. 
 
 
ESCOLA NAVAL 
 
R6. (EN 2011) Considere f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n + 2) = 3 + f(n), n  N, f(0) = 
10 e f(1) = 5. Qual o valor de f (81) f (70) ? 
(A) 2 2 
(B) 10 
(C)2 3 
(D) 15 
(E) 3 2 
 
 
R7. (EN 1993) Sejam h(x) = x3, t(x) = 
x1
1

, x  –1 e, f(x) = t(h(2x)). O valor de f-1(1/9) é: 
(A) –2 
(B) –1 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
8. (EN 1990) Se, para todo x real, f(2x + 3) = 3x + 2 então f [f(x)] é igual a: 
(A) x 
 
 
 
Página | 41 
(B) 
2
3x 
 
(C) 
2
5x3 
 
(D) 
4
25x9 
 
(E) 9x + 4 
 
9. (EN 1989) Sabendo que f , g e h são funções reais de variável real e que f e g não se anulam, considere as afirmações abaixo : 
I - fo (g + h) = fog + foh 
II - (g + h) of = gof + hof 
III - og
f
1
fog
1
 
IV - 






g
1
fo
fog
1
 
Podemos afirmar que: 
(A) todas as afirmativas acima são verdadeiras. 
(B) somente I a II são verdadeiras 
(C) somente a IV é falsa 
(D) somente II e III são verdadeiras. 
(E) somente I é falsa. 
R10. (EN 1988) Seja x  {-1, 0, 1}. Se f1 (x) = 
1x
3x


 e fn+1 (x) = f1  nf (x) para todo n natural, então f1988(x) igual a: 
(A) 
1x
3x


 
(B) x 
(C) 
x1
3x


 
(D) 
1x
x3


 
 (E) 
1x
3x


. 
 
NÍVEL B 
 
ITA 
 
R1. (ITA 2005) Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as afirmações: 
I. {0}  S e S  U   
II. {2}  S\ U e S  T  U = {0, 1} 
III. Existe uma função f : S  Tinjetiva. 
IV. Nenhuma função g : T  Sé sobrejetiva. 
Então, é(são) verdadeira(s) 
(A) apenas I. 
(B) apenas IV. 
(C) apenas I e IV. 
(D) apenas II e III. 
(E) apenas III e IV. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 42 
IME 
 
R2 (IME 2007) Seja f : IR  IR, onde IR é o conjunto dos números reais, tal que: 





)4(f.)x(f)4x(f
5)4(f
 
O valor de f(–4) é: 
(A) –
5
4
 
(B) –
4
1
 
(C) –
5
1
 
(D) 
5
1
 
(E) 
5
4
. 
 
R3. (IME 2006-2007) Considere os conjuntos A={(1,2),(1,3),(2,3)} e B={1,2,3,4,5}, e seja a função f : A  B tal que: f(x,y) 
= x + y 
É possível afirmar que f é uma função: 
(A) injetora 
(B) sobrejetora(C) bijetora 
(D) par 
(E) ímpar. 
 
NÍVEL C 
 
EFOMM 
 
R1. (EFOMM 2009_2010) Seja f: R  R uma função estritamente decrescente, quaisquer xl e x2 reais, com xl < x2 tem-se f(xl) > 
f(x2) Nessas condições, analise as afirmativas abaixo. 
I - f é injetora . 
II - f pode ser uma função par. 
III- Se f possui inversa, então sua inversa é estritamente decrescente. 
Assinale a opção correta. 
(A) Apenas as afirmativas I é verdadeira. 
(B) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras. 
(C) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. 
(D) As afirmativas I, II e III são verdadeiras. 
(E) Apenas a afirmativa II é verdadeira. 
 
 
ITA 
 
R2. (ITA 2005) Seja D = R \ {1} e f : D D uma função dada por f(x) = 
1x
1x


. Considere as afirmações: 
I. f é injetiva e sobrejetiva 
II. f é injetiva, mas não sobrejetiva 
III. f(x) + f 





x
1
 = 0,para todo x  D, x  0
IV. f(x) . f(–x) 1 , para todo x  D 
Então, são verdadeiras 
 
 
 
 
 
Página | 43 
(A) apenas I e III. 
(B) apenas I e IV. 
(C) apenas II e III. 
(D) apenas I, III e IV. 
(E) apenas II, III e IV. 
 
R3. (ITA 2003) Considere uma função f : IR  IR não- constante e tal que f(x + y) = f(x)f(y),  x, y  IR. 
Das afirmações: 
I. f(x) > 0,  x  IR. 
II. f(nx) = [f(x)]n,  x  IR,  n  IN*. 
III. f é par. 
 
é (são) verdadeira(s): 
(A) apenas I e II. 
(B) apenas II e III. 
(C) apenas I e III. 
(D) todas. 
(E) nenhuma. 
 
4. (ITA 2003) Mostre que toda função f : IR \ {0}  IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par. 
 
5. (ITA 2002) Sejam a, b, c reais não nulos e distintos, c > 0. Sendo par a função dada por: 
f(x) = 
cx
bax


, –c < x < c. 
Então f(x), para – c < x < c, é constante e igual a 
(A) a + b. 
(B) a + c. 
(C) c. 
(D) b. 
(E) a. 
 
R6. (ITA 2010) Seja f : IR  IR bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f –1 : IR  IR também é ímpar. 
 
7. (ITA 2010) Sejam f, g : R  R tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações 
I. f . g é ímpar, 
II. f g é par, 
III. g f é ímpar, 
 
é (são) verdadeira(s) 
(A) apenas I 
(B) apenas II 
(C) apenas III 
(D) apenas I e II 
(E) todas. 
 
8. (ITA 2009) Seja f: IR → IR \ {0} uma função satisfazendo às condições: 
f(x + y) = f(x) f(y), para todo x, y  IR e f(x) ≠ 1, para todo x  IR \ {0}. 
Das afirmações: 
I. f pode ser ímpar. 
II. f (0) =1. 
III. f é injetiva. 
IV. f não é sobrejetiva, pois f (x) > 0 para todo x  IR. 
é(são) falsa(s) apenas 
(A) I e III. 
(B) II e III. 
(C) I e IV. 
(D) IV. 
(E) I. 
 
 
 
 
Página | 44 
9. (ITA 2009) Seja f : IR \ {–1} → IR definida por f(x) = 
1x
3x2


 
a) Mostre que f é injetora. 
b) Determine D= {f(x), x  IR \ {−1}} e f −1 : D → IR\ {−1}. 
 
R10. (ITA 2001) Se f : ] 0,1 [  IR é tal que,  x  ] 0, 1[ , 
2
1
)x(f  e 
f(x) = 










 






2
1x
f
2
x
f
4
1
 
então a desigualdade válida para qualquer n = 1, 2, 3, ... e 0 < x < 1 é: 
(A)
2
1
2
1
)x(f
n
 
(B)
2
1
)x(f
2
1
n
 
(C)
2
1
)x(f
12
1
n


 
(D)
n2
1
)x(f  
(E)
n2
1
)x(f  . 
 
11. (ITA 1999) Sejam f, g, h: R R funções tais que a função composta 
h o g o f : R  R 
é a função identidade. Considere as afirmações: 
I– A função h é sobrejetora. 
II– Se xo  R é tal que f(x0) = 0, então f(x)  0 para todo x  R com x  x0. 
III– A equação h(x) = 0 tem solução em R. 
Então: 
(A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. 
(B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. 
(C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. 
(D) Todas as afirmações são verdadeiras. 
(E) Todas as afirmações são falsas. 
 
12. (ITA 1997) Se Q e I representam, respectivamente, o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, 
considere as funções f , g : R  R definidas por: 












I x se 0,
Q x se ,1
)x(g 
 
I x se 1,
Q x se ,0
)x(f
 
 
Seja J a imagem da função composta f o g: R  R. Podemos afirmar que: 
(A) J = R 
(B) J = Q 
(C) J = {0} 
(D) J = {1} 
(E) J = {0, 1}. 
 
R13. (ITA 1997) Seja f, g : R R funções tais que g(x) = 1 – x e f(x) + 2f(2 – x) = (x – 1)3, para todo x R. Então f[g(x)] é 
igual a 
(A) (x – 1)3 
(B) (1 – x)3 
(C) x3 
(D) x 
(E) 2 – x. 
 
 
 
 
Página | 45 
14. (ITA 1996) Seja f : *R  R uma função injetora tal que f (1) = 0 e f (x . y) = f (x) + f (y) para todo x > 0 e y > 0. Se x1, x2, 
x3, x4 e x5 formam nessa ordem uma progressão geométrica, onde xi > 0 para i = 1, 2, 3, 4, 5 e sabendo que 

5
1i
i )x(f = 13 f (2) 
+ 2 f (x1) e 
4
i
i 1 i 1
x
f( )
x 
 = – 2 f (2 x1), então, o valor de x1 é: 
(A) –2 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 1. 
 
15. (ITA 1993) Seja f: IR  IR uma função não nula, ímpar e periódica de período p. Considere as seguintes informações: 
I. f(p)  0 
II. f(–x) = –f(x–p), x  IR 
III. f(–x) = f(x–p), x  IR 
IV. f(x) = –f(–x), x  IR 
Podemos concluir que: 
(A) I e II são falsas 
(B) I e III são falsas 
(C) II e III são falsas 
(D) I e IV são falsas 
(E) II e IV são falsas 
 
R16. (ITA 1992) Dadas as funções f:IR  IR e g: IR  IR, ambas estritamente decrescentes e sobrejetoras, considere h = fog. 
Então podemos afirmar que: 
(A) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
(B) h é estritamente decrescente, inversível e sua inversa é estritamente crescente. 
(C) h é estritamente crescente, mas não necessariamente inversível. 
(D) h é estritamente crescente, inversível e sua inversa é estritamente decrescente. 
(E) n.d.a 
 
17. (ITA 1991) Considere as afirmações: 
I- Se f: IR  IR é uma função par e g: IR  IR uma função qualquer, então a composição gof é uma função par. 
II- Se f: IR  IR é uma função par e g: IR  IR uma função ímpar, então a composição fog é uma função par. 
III- Se f: IR  IR é uma função ímpar e inversível então f -1: IR  IR é uma função ímpar. 
Então: 
(A) Apenas a afirmação I é falsa; 
(B) Apenas as afirmações I e II são falsas; 
(C) Apenas a afirmação III é verdadeira; 
(D) Todas as afirmações são falsas; 
(E) n.d.a. 
 
18. (ITA 1990) Seja a função f: IR – {2}  IR – {3} definida por f(x) = 1
2x
3x2



. Sobre sua inversa podemos garantir que: 
(A) não está definida pois f é não injetora. 
(B) não está definida pois f não é sobrejetora. 
(C) está definida por f-1 (y) = 
3y
2y


, y  3. 
(D) está definida por f-1 (y) = 
3y
5y


 – 1, y  3. 
(E) está definida por f-1 (y) = 
3y
5y2


, y  3. 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 46 
IME 
 
(19) (IME 2011_2012) Seja a, b e c números reais e distintos. Ao simplificar a função real, de variável real, 
2 2 2(x b) (x c) (x c) (x a) (x a) (x b)
f (x) a b c
(a b) (a c) (b c)(c a) (c a)(c b)
     
  
     
, obtém –se f(x) igual a : 
 
(A) x2 – (a + b + c)x + abc 
(B) x2 + x – abc 
(C) x2 
(D) –x2 
(E) x2 – x + abc 
 
20. (IME 2009) Sejam f uma função bijetora de uma variável real, definida para todo conjunto dos números reais e as relações h 
e g, definidas por: 
      
2 2
3
h : IR IR
x, y h x, y x , x f y

  
 
e 
      
2 2
3
g : IR IR
x, y g x, y x , x f y

  
 
Pode-se afirmar que 
(A) h e g são sobrejetoras. 
(B) h é injetora e g sobrejetora. 
(C) h e g não são bijetoras. 
(D) h e g não são sobrejetoras. 
(E) h não é injetora e g é bijetora. 
 
R21. (IME 2004) Seja uma função 
f : IR – {0}  IR, 
onde IR representa o conjunto dos números reais, tal que f(a / b) = f(a) – f(b) para ae b pertencentes ao domínio de f. 
Demonstre que f é uma função par. 
 
R22. (IME 2007) Seja IRIN:f  uma função tal que 




n
0k
)2n(
)1n(
2008)k(f , onde N e IR são, respectivamente, o conjunto 
dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de 
)2006(
1
f
. 
 
R23. (IME 1996) Seja f uma função real tal que  x, a  IR : f(x + a) = 
2
1
 + 2)]x(f[)x(f  , f é periódica? Justifique. 
 
24. (IME 1992-1993) 2. Considere uma função 
L:IR IR  
que satisfaz: 
1. L é crescente, isto é, para quaisquer    0 x y L x L y    . 
2.      L xy L x L x , x, y IR    . 
Mostre que: 
a)  L 1 0 ; 
b)  
1
L L x , x IR
x
      
 
; 
c)    
x
L L x L y , x e y IR
y
      
 
; 
 
 
 
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d)    nL x nL x , x IR e n IN     ; 
e)    n 1L x L x , x IR e n IN,n 2
n
      ; 
f)    0 x 1 y L x 0 L y      L. 
 
 
R25. (IME 1987) Seja f uma função bijetora de uma variável real e a relação h, definida por 
      
2 2
3
h :IR IR
x, y h x, y x , x f y

  
 
Verifique se h é bijetora e calcule uma relação g, tal que 
   
   
g h x, y x, y , x, y IR
h g x, y x, y , x, y IR
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 48 
CAPÍTULO 7 - FUNÇÃO CONSTANTE 
 
Definição: Seja IRb , a relação: 
,b)x(fx
IRIR:f



 
 
é uma função, chamada função constante. 
 
Definida a função temos 
 
 .bIm
IRCD
IRD
f
f
f



 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 49 
CAPÍTULO 8 - FUNÇÃO DO 1° GRAU 
 
Definição: Sejam IRbeIRa
*  , a relação: 
 
,bxa)x(fx
IRIR:f



 
 
é uma função, chamada Função do 1° Grau ou Função Afim, denomina-se o parâmetro a por coeficiente angular e o parâmetro 
b por coeficiente linear. Definida assim temos: 
 
.IRIm
IRCD
IRD
f
f
f



 
 
Gráfico: 
 
O gráfico de uma função do 1° grau é uma reta. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que se determine a sua raiz, 
bem como seu comportamento. 
A raiz de uma função é o valor de x tal que 0)x(f  , em particular, a raiz de uma função do 1° grau é obtida resolvendo-se a 
equação do 1° grau associada. 
Ou seja, 
 
.
a
b
xbax0a,0bax0)x(f  . 
O próximo passo é determinar o comportamento da função do 1° Grau, que é dado pelo coeficiente angular. 
 
Se 0a  então a função do 1° Grau é crescente. 
De fato 
.xx
xaxa
bxabxa
)x(f)x(f
21
21
21
21




 
 
Analogamente se 0a a Função do 1° Grau é decrescente. 
 
 Resumindo: 
 
O gráfico de uma função do 1° grau tem em comum com o eixo das abscissas o ponto de coordenadas )0,
a
b
(  e com o eixo das 
ordenadas o ponto de coordenadas )b,0( e o seu comportamento é dado pelo sinal do coeficiente angular, caso este seja positivo a 
função será crescente, caso contrário, será decrescente. 
 
 
 
 
 
 
Em particular a função do 1 ° grau é sobrejetora, pois, ff ImCD  e é injetora, pois, 
 
.0a,xx
xaxa
bxabxa
)x(f)x(f
21
21
21
21




 
A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do 1° grau, nos diferentes casos.
 
 
 
 
Página | 50 
 
 1° Caso: a < 0 e b > 0 
 
 
 
 
 
 
 
2°Caso: a < 0 e b < 0 
 
 
 
3° Caso: a > 0 e b < 0 
 
 
 
4°Caso: a > 0 e b > 0 
 
 
 
 
Página | 51 
 
 
Analisando os gráficos acima concluímos que o sinal da função do 1° grau é obtido de acordo com o sinal do coeficiente 
angular, ou seja, com o sinal de a. 
 
Resumindo: 
 
À direita da raiz a função do 1° grau tem o mesmo sinal do coeficiente angular. 
 
 
 
 
Obs.: Se 0b  a função do 1° grau pode ser chamada de função linear, neste caso o gráfico contém a origem do plano 
cartesiano. 
 
 
 
Obs.: Nem toda relação cujo gráfico é uma reta é uma função do 1° grau, em particular podemos ter uma função constante 
 
 
 
Página | 52 
b)x(fx
IRIR:f



 
 
 
 
 
 
Ou simplesmente uma relação 
 
 IRy:)y,c(:R 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1° GRAU 
 
Definição: Sejam
*a IR , b IR  , a equação do 1° grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente à: 
a x b 0. 
 
Discussão de equações do tipo ax b 0  : 
 
Seja 0bax  onde IRb,a  , então: 
 
Se 0a a equação 0bax  é uma equação do 1° grau, neste caso a equação é classificada como possível e determinada e 







a
b
S . 
 
 
0a A equação 0bax  se reduz à: 
x 
 
 
 
Página | 53 
0bx0  
Assim temos dois casos a analisar 0be0b  . 
 
Se 0be0a  a equação se reduz a 
00x0 
 
Assim IRS  já que todo número real é solução, neste caso a equação é classificada como possível e indeterminada. 
 
Se 0be0a  a equação se reduz a 0bx0  e neste caso  S já que nenhum número real é solução, neste caso a equação 
é classificada como impossível. 
 
Resumindo: 
 
possívelImEquação0be0a
adaminerdetinePossívelEquação0be0a
adaminerdetePossívelEquação0a



 
 
INEQUAÇÃO DO 1° GRAU 
 
Definição Sejam
*a IR , b IR  , uma inequação do 1° grau de coeficientes a e b é uma sentença aberta equivalente a 
a x b 0
ou
a x b 0
ou
a x b 0
ou
a x b 0
 
 
 
 
 
 
 A solução de uma inequação do 1° grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do 1° grau correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 54 
EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL A 
 
AFA 
 
R1. (AFA 2012) Para angariar fundos de formatura, os cadetes do 1º ano da AFA vendem camisas de malha com o emblema da 
turma. Se o preço de venda de cada camisa é de 20 reais, eles vendem por mês 30 camisas. Fizeram uma pesquisa e verificaram 
que, para cada 2 reais de desconto no preço de cada camisa, são vendidas 6 camisas a mais por mês. Dessa forma é correto afirmar 
que 
(A) é possível fazer mais de 10 descontos de 2 reais. 
(B) tanto faz vender as camisas 12 reais cada uma ou 18 reais cada uma que o faturamento é o mesmo. 
(C) o máximo faturamento ocorre se são vendidas menos de 40 camisas por mês. 
(D) se o preço de venda de cada camisa é de 14 reais, então o faturamento é maior que 680 reais. 
 
 
R2. (AFA 2010) Na figura abaixo, tem-se representado as funções f, g e h que indicam os valores pagos, respectivamente, às 
locadoras de automóveis α , β e γ para x quilômetros rodados por dia. Uma pessoa pretende alugar um carro e analisa as três 
opções. 
 
 
Após a análise, essa pessoa conclui que optar pela locadora α ao invés das outras duas locadoras, é mais vantajoso quando x  
]m, + ∞[ , m  IR. 
O menor valor possível para m é 
(A) 60 
(B) 70 
(C) 80 
(D) 90 
 
3. (AFA 2009) Considere as funções reais f : IR → IR dada por f(x) = x + a, g : IR → IR dada por g(x) = x – a, h : IR → IR dada 
por h(x) = – x – a 
Sabendo-se que a < 0, é INCORRETO afirmar que 
(A) h(x)  f(x) < g(x)  x  –a 
(B) ∄x  IR  g(x)  f(x) 
(C) se x < a, então f(x) < g(x) < h(x) 
(D) se a < x < – a, então f(x) < h(x) < g(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 55 
R4. (AFA 2008) " A Arrecadação da CPMF, devido à ampliação de sua abrangência, e ao aumento da alíquota, cresceu mais de 
140% nos últimos anos (em bilhões de reais por ano)". 
 
 
Supondo que o crescimento da arrecadação representado no gráfico acima é linear do ano 2005 ao ano de 2007 e que y% 
representa o aumento da arrecadação do ano de 2005 ao ano de 2006, é correto afirmar que y é um número do intervalo: 
(A) [8, 9[ 
(B) [9, 10[ 
(C) [10, 11[ 
(D) [11, 12[ 
 
5. (AFA 2008) Considere a tabela para cálculo do imposto de renda a serpago à Receita federal no ano de 2007 – ano base 2006 
(valores arredondados para facilitar os cálculos). 
 
Rendimento para base de 
cálculos (R$) 
Alíquota 
(%) 
Parcela a deduzir 
(R$) 
até 14.999,99 Isento – 
de 15.000,00 a 30.000,00 15 2.250,00 
acima de 30.000,00 27,5 6.000,00 
 
Para se conhecer o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair do rendimento bruto todas as deduções a que se tem direito. 
Esse rendimento para base de cálculo é multiplicado pela alíquota correspondente. Em seguida, subtrai-se a parcela a deduzir 
correspondente, de acordo com a tabela acima, obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago. 
Um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ 50.000,00 teve direito às seguintes deduções: R$ 4.400,00 com o total de gastos 
em educação, R$ 5.000,00 com o total pago à Previdência, e R$ 1.500,00 por dependente. 
Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por este trabalhador, no ano de 2007, foi de R$ 3.515,00, o número de 
dependentes considerado foi: 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 6 
 
R6. (AFA 2005) Seja: 






 NN nen
x
24
|xA * 
Seja: 









  01
9x2
4x3
|xB Z 
É incorreto afirmar que: 
(A) BA tem 8 elementos. 
(B) BA  . 
(C)  0AB  . 
(D) BBA  . 
 
 
 
 
Página | 56 
7. (AFA 2005) Seja f a função real cujo gráfico se apresenta a seguir: 
 
 
Analisando o gráfico, é INCORRETO afirmar que: 
(A) )5,0(f))1(f(f  . 
(B) R x,)x(f)0(f . 
(C) se 1)x(f)x(g  , então 






2
5
f)2(g . 
(D) R x,01)x(f . 
 
8. (AFA 2003) Analise o gráfico abaixo das funções f e g e marque a opção correta. 
 
 
(A) O gráfico da função h(x) = g(x) – f(x) é uma reta ascendente. 
(B) O conjunto imagem da função s(x) = f(g(x)) é IR 
(C) f(x) . g(x)  0  x  t 
(D) g(f(x)) = g(x)  x  IR. 
 
R9. (AFA 2003) Considere a função f: IRIR tal que 






1xse,x1
1xse,1x
)x(f e assinale a alternativa verdadeira. 
(A) f é sobrejetora. 
(B) f é par. 
(C) f não é par nem ímpar. 
(D) Se f é definida de IR em IR + , f é bijetora. 
 
10. (AFA 2003) Na figura abaixo, tem-se o gráfico da função real f em que f(x) representa o preço, pago em reais, de x 
quilogramas de um determinado produto. (Considere f(x) IR) 
 
 
 
 
 
Página | 57 
De acordo com o gráfico, é INCORRETO afirmar que 
(A) o preço pago por 30 quilogramas do produto foi R$ 18,00. 
(B) com R$ 110,00, foi possível comprar 55 quilogramas do produto. 
(C) com R$ 36,00, foi possível comprar 72 quilogramas do produto. 
(D) com R$ 32,00, compra-se tanto 53,333... quilogramas, quanto 64 quilogramas do produto. 
 
R11. (AFA 2002) Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor 
comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte. 
 
 
 
Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do 
veículo atinge seu valor mínimo após 20 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era 
novo, então esse valor mínimo é, em reais, 
(A) menor que 4500 
(B) maior que 4500 e menor que 7000 
(C) múltiplo de 7500 
(D) um número que NÃO divide 12000. 
 
R12. (AFA 1999) Seja f uma função real do primeiro grau com f(0) = 1 + f(1) e f(–1) = 2 – f(0). Então, o valor de f(3) é 
(A) –3. 
(B) –2,5. 
(C) –2. 
(D) –1,5. 
 
R13. (AFA 1994) O valor de uma máquina decresce linearmente com o tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale 
10.000 dólares e daqui a 5 anos 1.000 dólares, o seu valor em dólares, daqui a 3 anos, será: 
(A) 3600 
(B) 4200 
(C) 4600 
(D) 5000 
 
ESCOLA NAVAL 
R14. (EN 1993) Temos 
x
1
 < 2 se e somente se: 
(A) x > 1/2 
(B) x < 1/2 
(C) 0 < x < 1/2 
(D) x < 0 ou x > 1/2 
(E) x < 0 
 
NÍVEL B 
 
EFOMM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 58 
R1. (EFOMM 2010) O gráfico das três funções polinomiais do 1° grau a, b e c definidas, respectivamente, por a(x), b(x) e c (x) 
estão representadas abaixo. 
 
 
Nessas condições, o conjunto solução da inequação 
5 6
3
(a(x)) .(b(x))
0
(c(x))
 
(A) (–4;–1) U [3;+) 
(B) [–4;–1] U [3;+ ) 
(C) (–;–4) U [–1;+ ) 
(D) [4;+ ) 
(E) R – {4} 
 
2. (EFOMM 2007) Uma empresa mercante A paga R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B R$ 
400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se que Marcos trabalha na empresa A e Cláudio na B e obtiveram o mesmo 
valor salarial. Quantos dias eles ficaram embarcados? 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7 
(E) 9. 
AFA 
 
3. (AFA 2011) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total 
mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas. 
 
 
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender 
(A) no mínimo 2 bolsas. 
(B) pelo menos 1 bolsa. 
(C) exatamente 3 bolsas. 
(D) no mínimo 4 bolsas. 
 
 
 
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5. (AFA 2002) “O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No dia 1o de junho começa o plano de racionamento de energia.” 
“O modelo energético brasileiro é baseado quase que exclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da energia consumida 
no país. Sem chuva, entra em colapso”. 
Revista Veja – 16/05/01 
No gráfico abaixo, tem-se o nível da água armazenada em uma barragem ao longo dos últimos anos, que foi construída para 
represar água a fim de mover as turbinas de uma usina hidrelétrica. 
 
 
 
Analise as alternativas e marque a opção correta. 
(A) O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos. 
(B) O nível de 80 metros foi atingido exatamente duas vezes até o ano 2000. 
(C) Após o ano de 2000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia. 
(D) No período de 1995 a 2000, o nível da água só diminuiu. 
 
6. (AFA 1995) A função linear f, dada por f(x) = ax + b, satisfaz a condição f(5x + 2) = 5f(x) + 2. Então 
(A) a = 2b 
(B) a = b + 2 
(C) a = 2b + 1 
(D) a = 2(b + 1) 
 
ESCOLA NAVAL 
 
R7. (EN 1991) Representemos por min (a , b) o menor dos números a e b, isto é, 
min (a , b) = 





base,b
base,a
 
A solução da inequação min (2x + 3, 3x – 5) < 4 é: 
(A) x < 1/2 
(B) x < 3 
(C) 1/2< x < 3 
(D) x > 1/2 
(E) x > 3 
NÍVEL C 
 
AFA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 60 
1. (AFA 2007) No gráfico abaixo estão representadas as funções reais f e g sendo A = f  g 
 
 
 
É FALSO afirmar sobre as mesmas funções que 
(A) (fog)(x)  0  g(x)  –2 
 
(B) se s(x) = 
101100 )]x(g[.)]x(f[
1
, então o domínio de s é dado por IR * –{–2} 
(C) o gráfico da função j definida por j(x) = 
)x(g
)x(f
1
1


 possui pontos no 4º quadrante 
(D) se h: IR → B tal que h(x) = f(x) . g(x), então h será bijetora se B = [–2, +[ 
 
 
ESCOLA NAVAL 
 
 
2. (EN 1991) Determine o conjunto-imagem da função (fog) para: 
 
0 se x 0 1 se x 0
f (x) 2x se 0 x 1 e g(x) x / 2 se 0 x 1
0 se x 1 1 se x 1
  
 
      
   
 
 
(A) [0 , 1]  {2} 
(B) (–∞ , +∞) 
(C) [0 , 1] 
(D) [0 , +∞) 
(E) {1} 
ITA 
 
R3. (ITA 2006) Seja f : [0, 1) IR definida por f(x) = .
1x2/1,1x2
2/1x0,x2





 
Seja g : (-1/2, 1/2) IR dada por g(x) ,
2/1x0),2/1x(f1
0x2/1),2/1x(f





 
com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. 
 
4. (ITA 1994) Dadas as funções reais de variável real f(x) = mx + 1 e g(x) = x + m, onde m é uma constante real com 0 < m < 1, 
considere as afirmações: 
 
 
 
 
 
 
Página | 61 
I.(f o g)(x) = (g o f)(x), para algum x  R. 
II. f(m) = g(m). 
III.Existe a  R tal que (f o g)(a) = f(a). 
IV.Existe b  R tal que (g o f)(b) = mb. 
V.0 < (g o f)(m) <3. 
 
Podemos concluir que: 
(A)todas são verdadeiras 
(B)apenas três são verdadeiras 
(C)apenas uma é verdadeira 
(D)apenas quatro são verdadeiras 
(E)apenas duas são verdadeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 9 - FUNÇÃO DO 2° GRAU 
 
Definição: Sejam
*a IR , b , c IR  , a relação: 
2
f : IR IR
x f ( x ) a x bx c,

  
 
 
é uma função, chamada função do 2° grau . 
 
Definida assim tem-se 
 
f
f
D IR
CD IR


 
 
Gráfico: 
 
O gráfico de uma função do 2° grau é uma curva chamada parábola. Para fazer um esboço do seu gráfico é fundamental que 
analisemos as raízes da equação do 2° grau associada à função, bem como sua concavidade. 
Primeiramente vamos estudar a existência de raízes reais. As raízes de uma função do 2° grau são obtidas resolvendo-se a 
equação do 2° grau associada. 
Então 
0
a4
ac4b
a2
b
xa
0
a
c
a4
b
a2
b
xa
0
a
c
x
a
b
xa
0a,0cbxax
2
22
2
22
2
2








 































 
 
Chamando  ac4b
2
 temos 
2
2
2
2
a4a2
b
x0
a4a2
b
xa















 






 
 
Discussão da equação: 
 0 A equação não possui raízes reais  S 
 0 A equação possui duas raízes reais e iguais, pois 
a2
b
xx0
a2
b
x 21
2






 







a2
b
S 
 0 A equação possui duas raízes reais e desiguais, pois 
2
2
b
x
2a 4a
 
   
 
 
 
1
2
b
x
b b b2a
x S ,
2a 2 a 2a 2ab
x
2a
   
          
      
      

 
 
O próximo passo é a determinação do vértice da parábola, aproveitando a fatoração acima temos que: 
2
f : IR IR
b
x f ( x ) a x ,
2a 4a

 
   
 
 
 
 
 
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Como 
2
b
x 0
2a
 
  
  
Temos que 
2
2
b b
a 0 f (x) a x f ( )
2a 4a 4a 2a
b b
a 0 f (x) a x f ( )
2a 4a 4a 2a
  
         
 
  
         
 
 
De qualquer maneira 
b
V , .
2a 4a
 
   
  
Em particular, obtemos que 
f
f
a 0 Im ,
4a
e
a 0 Im ,
4a
 
    
 
 
     
 
 
Quanto à concavidade, se a > 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e caso contrário voltada para baixo. 
 
A seguir seguem os esboços do gráfico de uma função do 2° grau, nos diferentes casos. 
 
1° caso: 
a 0
0

  
 
 
2° caso:
 
a 0
0

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página | 64 
3° caso:
 
a 0
0

  
 
 
 
4° caso: 
a 0
0

  
 
 
5° caso:
 
a 0
0

  
 
 
 
 
6° caso:
 
a 0
0

  
 
 
 
 
 
Página | 65 
Dos gráficos acima podemos concluir que: 
 
Se 0 a função do 2° grau tem o sinal oposto ao sinal do parâmetro a no intervalo compreendido pelas raízes e o 
mesmo sinal do parâmetro a no complemento do intervalo das raízes. 
 
Se 0 a função do 2° grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real diferente das raízes. 
 
Se 0 a função do 2° grau tem o mesmo sinal do parâmetro a para todo número real. 
 
 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
 
Definição: Sejam
*a IR , b , c IR  , a equação do 2° grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à: 
2a x bx c 0  
 
Apenas lembrando, temos que: 
 
 
b b
0 S ,
2a 2a
b
0 S
2a
0 S
       
   
  
 
   
 
  
 
 
Soma e Produto das raízes: 
 
Sejam 21 xex as raízes da equação do 2° grau 
2a x bx c 0   , podemos escrever 
)xx()xx(acbxax 21
2  
Logo, 
2
1 2
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 21 2
a x b x c a ( x x ) ( x x )
a x b x c a x a (x x ) x a x x
ba a x x
b ca
b a (x x ) S e P .
c a a
x xc a x x
a
     
      
   
        
   
 
Em particular temos as seguintes identidades: 
 
0c,
P
SP3S
x
1
x
1
.5
SP3Sxx.4
0c,
P
P2S
x
1
x
1
.3
P2Sxx.2
0c,
P
S
x
1
x
1
.1
3
3
3
2
3
1
33
2
3
1
2
2
2
2
2
1
22
2
2
1
21









 
 
 
 
 
 
 
 
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Discussão de equações do tipo 2ax bx c 0   : 
 
Seja 0cbxax
2  onde IRceb,a  , então: 
 
0a A equação 0cbxax
2  é uma equação do 2° grau e basta resolver conforme feito anteriormente. 
 
0a A equação 0cbxax
2  se reduz a 0cbx  e a discussão é feita conforme a discussão de uma equação do tipo 
0bax  , veja o capítulo 8. 
 
INEQUAÇÃO DO 2° GRAU 
 
Definição Sejam
*a IR , be c IR.  , uma inequação do 2° grau de coeficientes a, b e c é uma sentença aberta equivalente à: 
2
2
2
2
a x bx c 0
ou
a x bx c 0
ou
a x bx c 0
ou
a x bx c 0
  
  
  
  
 
 
 A solução de uma inequação do 2° grau pode ser obtida pela analise do gráfico da função do 2° grau correspondente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
NÍVEL A 
 
EFOMM 
 
R1. (EFOMM 2006) Se M e N são as raízes de x2 – 6x + 10 = 0, então 
N
1
M
1
 vale: 
(A) 6 
(B) 2 
(C) 1 
(D) 3/5 
(E) 1/6. 
 
R2. (EFOMM 2005) O intervalo onde a função f (x) = 
xax
2ax
2 

 com 
*IRa  , apresenta sinal positivo é 
(A) 






a
2
, 
(B) 





0,
a
1
 
(C) 





,
a
1
 
(D) 





a
1
,
a
2
 
(E) 





0,
a
2
. 
 
AFA 
 
3. (AFA 2010) Considere o esboço dos gráficos das funções reais f, g e h, tais que f é do 2º grau e g e h são do 1º grau. Sabe-se 
que V é o vértice da parábola. 
 
 
O conjunto de todos os valores de x para os quais h(x) > g(x) > f(x) é 
(A) IR − ]1, 5[ 
(B) IR −[1, 5] 
(C) IR − [1, 3] 
(D) IR − ]1, 3[ 
 
 
 
 
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4. (AFA 2009) Considere que g : IR → B, definida por g(x) = –bx2 + cx – a é função par e possui como gráfico o esboço abaixo. 
 
 
 
Marque a alternativa INCORRETA. 
(A) Se B = [– a, +∞[ , então a função g é sobrejetora. 
(B) A função t : IR → IR dada por t(x) = g(x) + a é positiva x  IR 
(C) b < c < a 
(D) A função h: IR → IR dada por h(x) = – g(x) – a possui um zero real duplo. 
 
 
R5. (AFA 2004) Seja 
)0a(cxbxa)x(f 2  
uma função real definida para todo número real. Sabendo-se que existem dois números x1 e x2, distintos, tais que 0)x(f.)x(f 21 
, pode-se afirmar que: 
(A) f passa necessariamente por um máximo. 
(B) f passa necessariamente por um mínimo. 
(C) 21 x.x é necessariamente negativo. 
(D) 0ac4b
2  . 
 
R6. (AFA 1994) O polinômio do 2º grau y = 
2
b
(x2 + 1) + ax, com coeficientes reais, não possui raiz real se, e somente se: 
(A) a – b < 0 
(B) a2 – b2 < 0 
(C) b2 – 4a > 0 
(D) b2 – 2ab < 0 
 
R7. (AFA 1994) A solução da inequação 2x2 – 3x + 8 > 
2x
10x5xx3 23


 , no conjunto dos números reais, é dada pelo 
intervalo: 
(A) –2 < x < 5 
(B) –2 < x < 3 
(C) –1 < x < 3 
(D) –1 < x < 5 
 
IME 
 
R8. (IME 1999) Sejam as funções g(x) e h(x) assim definidas: g(x) = 3x – 4 ; h(x) = f (g(x)) = 9x2 – 6x + 1. Determine a função 
f(x) e faça seu gráfico. 
 
R9. (IME 1994) Seja f : IR  IR uma função quadrática tal que f(x)=ax2+bx+c, a  0,  x  IR. Sabendo que x1 = –1 e 
x2 = 5 são as raízes e que f (1) = –8. Pede-se: 
a)Determinar a, b, c; 
b)Calcular f (0); 
c)Verificar se f (x) apresenta máximo ou mínimo, justificando a resposta; 
d)As coordenadas do ponto extremo; 
e)O esboço do gráfico. 
 
 
 
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NÍVEL B 
 
AFA 
 
R1. (AFA 2011) Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo, onde a IR 
I) IRxax
ax
ax2



 
II)se 
a
1
x
1
 e a > 0, então {x  IR | x < 0 ou x > a} 
III)se a > 0 e |x| < a, então x2 – a < 0 
 
Tem-se a sequência correta em 
(A) F – V – F 
(B) F – F – V 
(C) V