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Instituto Federal Farroupilha – Campus Santa Rosa Licenciatura em Matemática 2º semestre – Fundamentos de Matemática Elementar II Prof. Morgani Mumbach Método da Identidade de Polinômios (Descartes) Há uma outra maneira de dividir um polinômio f(x) por um g(x) e obter um quociente q(x) e um resto r(x). Este método se utiliza da identidade de polinômios e se baseia no fato de que o grau do resto deve ser menor do que o do divisor. Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥 − 1𝑝𝑜𝑟 𝑔(𝑥) = 𝑥2– 𝑥. 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 4𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑝𝑜𝑟 𝑏(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 2 Teorema do resto O resto da divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) por um binômio (𝑥 − 𝑎) é o próprio valor numérico do polinômio para 𝑥 = 𝑎, que indicamos por 𝑝(𝑎). 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) 𝑝(𝑎) = (𝑎 − 𝑎)⏟ 0 . 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) Logo, 𝑝(𝑎) = 𝑟(𝑥) Exemplo: O resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 2) é dado pelo valor do polinômio 𝑝(𝑥) para 𝑥 = 2, ou seja, para x igual à raiz do binômio. 𝑝(2) = 4(2)3 − 2(2)2 + 2 + 1 𝑝(2) = 27 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 é 𝑟(𝑥) = 27 Teorema de D’Alembert A divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) por um binômio (𝑥 − 𝑎) é exata se, e somente se, 𝑝(𝑎) = 0 Exemplo: A divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 11𝑥 + 10 pelo binômio (𝑥 − 2) é exata, pois 𝑝(2) = 0 Divisão: dispositivo prático de Briot-Ruffini O dispositivo de Briot-Ruffini nos permite encontrar o quociente e o resto da divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 (𝑛 ≥ 1) por um binômio 𝑥 − 𝑎, sendo (𝑛 − 1) o grau do quociente. Exemplo: Dividir (3𝑥3 − 8𝑥2 + 5𝑥 + 6) 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 2) Exemplo 2: Dividir (𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 − 6)𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 3) Ex 3: Obter o quociente e o resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 6𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 pelo binômio (2𝑥 − 1). Atividades: 1) Obtenha o quociente q(x) e o resto r(x), na divisão de P(x) por B9x), usando o método da identidade de polinômios. a) 𝑝(𝑥) = 6𝑥3 − 2𝑥 + 1 𝑒 𝑏(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 b) 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 2 𝑒 𝑏(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 c) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥 − 4 𝑒 𝑏(𝑥) = 𝑥3 − 2 2) (UFGO) Na divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 pelo polinômio 𝑑(𝑥) = 𝑥2 + 1 encontra-se para o quociente o polinômio 𝑞(𝑥) = 2𝑥 − 1 e para o resto o polinômio 𝑟(𝑥) = −𝑥 + 1. Então, p(x) é o polinômio? 3) Determine o resto da divisão do polinômio d(x) pelo binômio a(x) nos seguintes casos: a) 𝑑(𝑥) = 2𝑥³ + 𝑥² 𝑒 𝑎(𝑥) = (𝑥 − 2) b) 𝑑(𝑥) = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 𝑒 𝑎(𝑥) = (𝑥 + 1) 4) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto, na divisão do polinômio pelo binômio, em cada caso: a) 𝑑(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 − 5) b) 𝑑(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 − 1) c) 𝑑(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 + 2) d) 𝑑(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥 + 4 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 − 4) 5) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto, na divisão do polinômio pelo binômio, em cada caso: a) 𝑑(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑒 𝑏(𝑥) = (2𝑥 − 1) b) 𝑑(𝑥) = −6𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 4 𝑒 𝑏(𝑥) = (2𝑥 + 1) c) 𝑑(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 1 𝑒 𝑏(𝑥) = (2𝑥 − 3) 6) Qual é o coeficiente do termo em x, no quociente da divisão de 3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 4)? Essa é uma divisão exata? Se não, qual o resto? 7) (UCMG) Se o polinômio 𝑥4 − 4𝑥3 − 10𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é divisível por 𝑥2 − 𝑥 + 5, então 𝑎 + 𝑏 é igual a: 𝑎) − 90 𝑏) − 87 𝑐) − 10 𝑑) 5 𝑒) 10 8) (UFBA) Na divisão de um polinômio pelo binômio 𝑎𝑥 + 𝑏, usou-se o dispositivo prático de Briot-Ruffini e encontrou-se: -2 1 p -3 4 -5 q -4 5 r 7 ooooo Os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑝, 𝑞 𝑒 𝑟 são respectivamente:
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