Avaliação final.1

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Avaliac¸a˜o Final - Teoria das Estruturas II: Dinaˆmica
Data: 19/06/2013 - Hora´rio: 19:00 a`s 22:00 - Valor: 40 pontos
Instruc¸o˜es: Leia atentamente as questo˜es abaixo e as responda, na ordem desejada, de forma leg´ıvel e organizada.
O valor, em pontos, de cada resposta correta encontra-se entre pareˆnteses.
1a. questa˜o (8 pontos) - Considere um corpo que se move ao longo de uma trajeto´ria retil´ınea, e tem sua velocidade escalar
definida pelo gra´fico na figura (a). O corpo tem posic¸a˜o s = 0 quando o t = 0. Para o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 14 s:
i) construa um esboc¸o do gra´fico a− t, acelerac¸a˜o-tempo. (2p)
ii) construa um esboc¸o do gra´fico s− t, posic¸a˜o-tempo. (2p)
iii) determine a distaˆncia total percorrida. (2p)
iv) determine se o corpo retorna a` origem (s = 0). Se sim, determine o instante no qual o retorno ocorre. (2p)
2a. questa˜o (8 pontos) - Considere que a trajeto´ria curvil´ınea de uma part´ıcula pode ser muito bem aproximada pelo polinoˆmio
y = 4− 2x
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onde as coordenadas x e y sa˜o dadas em metros. Sua posic¸a˜o na direc¸a˜o x e´ definida por x = 0, 5t2, onde t e´ dado em segundos.
Considerando a posic¸a˜o ilustrada na figura (b), onde y′ = 3 m, determine:
i) as componentes vx e vy do vetor velocidade, v = vxi+ vyj, e sua magnitude |v| = v. (1p)
ii) as componentes ax e ay do vetor acelerac¸a˜o, a = axi+ ayj. (1p)
iii) o raio da curvatura ρ da trajeto´ria. (2p)
iv) as componentes at e an do vetor acelerac¸a˜o, a = atut + anun. (2p)
v) verifique se as magnitudes dos vetores acelerac¸a˜o a, calculados em ii) e iv) sa˜o iguais. (2p)
3a. questa˜o (10 pontos) - Considere a situac¸a˜o ilustrada na figura (c), onde um bloco de 15 kg esta´ em contato com uma superf´ıcie
horizontal, preso a duas molas, e sujeito a uma forc¸a F. O coeficiente de atrito cine´tico entre o bloco e a superf´ıcie e´ aproximadamente
µc = 0, 2. As molas teˆm rigidez k1 = 3, 28 N/mm e k2 = 7, 35 N/mm. Inicialmente ambas esta˜o indeformadas. A forc¸a F e´ aplicada
ao bloco conforme ilustrado, com θ = 20◦, e tem mo´dulo dado por
F = 160 + 12s− s
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onde a posic¸a˜o s e´ dada em mil´ımetros e F em Newtons. O bloco inicialmente esta´ em repouso, mas logo da aplicac¸a˜o de F ele
entra em movimento para a direita. Despreze a resisteˆncia do ar e considere o campo gravitacional constante. Nestas condic¸o˜es, e
considerando o movimento de s = 0 a s = 60 mm:
i) Construa o diagrama de corpo livre do bloco. (2p)
ii) Responda:
ii.a) As forc¸as das molas realizam algum trabalho? Se sim, positivo ou negativo? (0,5p)
ii.b) A forc¸a peso realiza algum trabalho? Se sim, positivo ou negativo? (0,5p)
ii.c) A forc¸a de atrito realiza algum trabalho? Se sim, positivo ou negativo? (0,5p)
ii.d) A forc¸a aplicada realiza algum trabalho? Se sim, positivo ou negativo? (0,5p)
iii) Determine o trabalho total realizado por todas a forc¸as. (4p)
iv) Determine a velocidade final do bloco. (2p)
4a. questa˜o (6 pontos) - Considere a situac¸a˜o ilustrada na figura (d), onde uma esfera de 4 kg esta´ presa por uma corda deforma´vel
de rigidez k a um poste com hp = 1, 5 m de altura. A corda tem comprimento indeformado `o = 0, 6 m. O caixote tem altura de
hc = 0, 4 m. Despreze a resisteˆncia do ar, a massa da corda e a dimensa˜o da esfera. Considere o campo gravitacional constante.
Nestas condic¸o˜es, determine a rigidez mı´nima da corda deforma´vel de forma que a esfera na˜o se choque com o caixote, quando:
i) a esfera e´ lanc¸ada para baixo com vo = 5 m/s. (3p)
ii) a esfera e´ apenas solta, ou seja, vo = 0. (3p)
5a. questa˜o (8 pontos) - Considere a situac¸a˜o ilustrada na figura (e), onde uma caixa de 30 kg, em contato com um plano
inclinado, e´ ic¸ada utilizando um arranjo com um cabo, uma polia e um motor. A massa e o atrito do arranjo de levantamento
podem ser desconsiderados. O aˆngulo de inclinac¸a˜o e´ θ = 26◦, e o coeficiente de atrito cine´tico entre o bloco e a superf´ıcie inclinada
e´ precisamente µc = 0, 2684. O mo´dulo da forc¸a F exercida pelo motor no cabo e´ definido pelo gra´fico, onde f = 200 N e τ = 5 s.
Despreze a resisteˆncia do ar e considere o campo gravitacional constante. Nestas condic¸o˜es, determine a velocidade da caixa quando
t = 15 s. Inicialmente a caixa tem velocidade inicial vo = 4 m/s.
Avaliac¸a˜o Final - Teoria das Estruturas II: Dinaˆmica
Data: 19/06/2013 - Hora´rio: 19:00 a`s 22:00 - Valor: 40 pontos
(a)
(b) (c)
(d) (e)