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ESTIMATIVA DE PARÂMETROS ➢ No semestre anterior analisamos as técnicas de descrição de dados coletados de uma amostra extraída de uma população. ➢ Esses dados foram tabulados e organizados em forma de gráficos de frequências. ➢ Estes gráficos nós chamamos de histogramas quando apresentavam barras para representar as frequências, mas que podiam apresentar outras formas, como o gráfico de “pizza”. ➢ Analisamos também os principais descritores das amostras, e para isso calculamos as medidas de tendência central como a média, moda, mediana e, as medidas de dispersão como a variância e o desvio padrão. ➢ Na sequência utilizamos o conceito de probabilidade. ➢ Falamos em amostragem, cujo objetivo é descrever uma realidade que está presente na população a partir de uma amostra extraída desta população. ➢ Vamos estudar a partir de agora alguns exemplos de inferência estatística focando uma característica específica da população: os valores médios. Para isso vamos considerar um descritor particular da amostra, que é a média amostral. Seja a população abaixo, constituída pelos pesos em kg de oito pessoas adultas: PESSOA 1 2 3 4 5 6 7 8 PESO (KG) 64 70 65 70 67 57 72 60 Escolha uma amostra de três pessoas e calcule a média do peso delas. Qual a média do peso da população total? μ = 65,62 kg Como podemos ver, mesmo no melhor cenário em que você conheça a população de origem de suas amostras, talvez você não possa determinar a distribuição amostral exata da amostra estatística de interesse. ➢ Quando você quer determinar informações sobre uma característica específica da população (por exemplo, a média), normalmente você extrai uma amostra aleatória daquela população, porque é inviável medir toda a população. ➢ Usando esse exemplo, você calcula a característica da amostra correspondente, que é usada para resumir as informações sobre a característica desconhecida da população. ➢ A característica de interesse da população é chamada de PARÂMETRO e a característica da amostra correspondente é a ESTATÍSTICA DA AMOSTRA. ➢ Como a estatística é um resumo das informações sobre um parâmetro obtido a partir da amostra, o valor de uma estatística depende da amostra particular que foi extraída da população, como no caso dos pesos das pessoas verificados no slide anterior. Definições: Parâmetro e Estatística da amostra. Parâmetro: • Medida usada para descrever uma característica numérica populacional. • Os parâmetros são normalmente representados por letras gregas para distingui- los de estatísticas amostrais. • Por exemplo, a média populacional é representada pela letra grega mu (μ), a variância pela letra grega sigma elevada ao quadrado (σ2) e o desvio padrão da população pela letra grega sigma (σ). • Os parâmetros são constantes fixas, isto é, eles não variam como as variáveis. • Contudo, seus valores são normalmente desconhecidos, porque é inviável medir uma população inteira. Definições: Parâmetro e Estatística da amostra. Estatísticas da amostra: • O estimador de um parâmetro populacional é uma característica numérica determinada na amostra. • Exemplos de parâmetros amostrais: média amostral (representada por ҧ𝑥 ), variância amostral (representada por s2 ) e desvio-padrão amostral (representado por s ). • Um dos objetivos das análises estatísticas é a obtenção das estimativas dos parâmetros da população, juntamente com a quantidade de erro associada a essas estimativas, que são as estatísticas da amostra. Se retirarmos aleatoriamente de uma população todas as possíveis amostras, cada uma de tamanho n, calcularmos a média de cada amostra ( ҧ𝑥) e, em seguida, calcularmos a média das médias das amostras, esta será igual à média da população (µ). Uma constatação: PESSOA 1 2 3 MÉDIA PESO (KG) 64 70 65 66,33 PESSOA 1 2 MÉDIA PESO (KG) 64 70 67 PESSOA 1 3 MÉDIA PESO (KG) 64 65 64,5 PESSOA 2 3 MÉDIA PESO (KG) 70 65 67,5 67+64,5+67,5 3 = 199 3 = 66,33 População Possíveis amostras Suponha que numa companhia o fundo de pensão seja investido em cinco ações corporativas com os seguintes retornos: Ação........................Retorno A.................................7% B................................12% C.................................-3% D................................21% E..................................3% Outro exemplo: ✓ Neste exemplo, a média populacional é igual a 8%, e o desvio padrão da população é igual a 8,15%. ✓ Agora, suponha que decidimos pegar uma amostra aleatória de três ações. ✓ Assumindo que a ordem não seja importante, existem dez possibilidades: Amostra de Ações Retornos Média 1 A, B, C 7% 12% -3% 5,33% 2 A, B, D 7% 12% 21% 13,33% 3 A, B, E 7% 12% 3% 7,33% 4 A, C, D 7% -3% 21% 8,33% 5 A, C, E 7% -3% 3% 2,33% 6 A, D, E 7% 21% 3% 10,33% 7 B, C, D 12% -3% 21% 10,00% 8 B, C, E 12% -3% 3% 4,00% 9 B, D, E 12% 21% 3% 12,00% 10 C, D, E -3% 21% 3% 7,00% ✓ Como mostra o exemplo acima, duas (ou mais) amostras da mesma população terão provavelmente diferentes valores amostrais (os valores da média variando de 2,33% a 13,33%), e, portanto, possivelmente conduzem a decisões diferentes. ✓ Assim, a média amostral reportada ao tomador de decisões na companhia dependerá da amostra selecionada: amostra 1, 2, 3,.....ou 10. Amostra de Ações Retornos Média 1 A, B, C 7% 12% -3% 5,33% 2 A, B, D 7% 12% 21% 13,33% 3 A, B, E 7% 12% 3% 7,33% 4 A, C, D 7% -3% 21% 8,33% 5 A, C, E 7% -3% 3% 2,33% 6 A, D, E 7% 21% 3% 10,33% 7 B, C, D 12% -3% 21% 10,00% 8 B, C, E 12% -3% 3% 4,00% 9 B, D, E 12% 21% 3% 12,00% 10 C, D, E -3% 21% 3% 7,00% ✓ Note que as médias amostrais também são diferentes da média populacional, citada anteriormente como 8. ✓ Por exemplo, se a amostra 4 for selecionada, o erro amostral (a diferença entre uma estatística amostral e seu correspondente parâmetro populacional) é bastante pequeno (8,33 - 8,0 = 0,33). ✓ Porém, se a amostra selecionada for a amostra 2, o erro é muito grande (13,33 - 8,0 = 5,33). Como o tomador de decisões não pode saber quão grande o erro amostral será antes de selecionar a amostra, ele/ela deverá saber como as possíveis médias amostrais são distribuídas. ● Toda medida descritiva e numérica de uma população é única e é chamada de parâmetro. ● Todo valor obtido por cálculo de uma série de observações de uma amostra é denominada de estatística. ● Os valores de diversas médias amostrais tiradas de uma população, não são necessariamente iguais entre si, mas podem variar. ● Os valores das médias amostrais não são necessariamente iguais ao valor da média da população. Pelo que foi apresentado até aqui, podemos colocar que: ● O conjunto das médias amostrais forma uma série de médias sobre a qual podemos calcular uma média e um desvio padrão. ● Cada média amostral é uma variável aleatória, é denominada estatística e é representada por ҧ𝑥 . Já o desvio padrão da distribuição amostral é chamado de erro padrão, e é representado por s. ● A média da população é denominada parâmetro e é representada por μ (mu). Já o desvio padrão da população é denominado parâmetro e é representado por σ (sigma) . ● Na inferência estatística os parâmetros da população μ e σ serão considerados conhecidos. Na verdade estes parâmetros não são conhecidos, mas essa premissa é útil para o entendimento do conceito de distribuição amostral e porque é inviável medir uma população inteira. POPULAÇÃO AMOSTRA Parâmetros são funções de valores populacionais, enquanto que estatísticas são funções de valores amostrais. 𝒔𝟐 = 𝒙𝟏 − ഥ𝒙 𝟐 + 𝒙𝟐 − ഥ𝒙 𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏 − ഥ𝒙 𝟐 𝒏 − 𝟏 = σ 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝟐 𝒏 − 𝟏 𝒔 = σ 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝟐 𝒏 − 𝟏 ഥ𝒙 = σ 𝒙𝒊 𝒏 μ = σ 𝑿 𝑵 σ𝟐 = σ 𝑿 − μ 𝟐 𝑵 σ = σ 𝐗 − μ 𝟐 𝑵 Suponhaque numa companhia o fundo de pensão seja investido em cinco ações corporativas com os seguintes retornos: Ação........................Retorno A.................................7% B................................12% C.................................-3% D................................21% E..................................3% EXERCÍCIO 1: Calcule: 1) Para a população: a) Média populacional. b) Variância populacional. c) Desvio-padrão populacional. 2) Supondo que seja tomada uma amostra com as ações A, B e D como representativas da população. Calcule: a) Média amostral. b) Variância amostral. c) Desvio-padrão amostral.
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