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ESTIMATIVA DE PARÂMETROS

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ESTIMATIVA DE 
PARÂMETROS
➢ No semestre anterior analisamos as técnicas de descrição de dados coletados de
uma amostra extraída de uma população.
➢ Esses dados foram tabulados e organizados em forma de gráficos de frequências.
➢ Estes gráficos nós chamamos de histogramas quando apresentavam barras para
representar as frequências, mas que podiam apresentar outras formas, como o
gráfico de “pizza”.
➢ Analisamos também os principais descritores das amostras, e para isso calculamos as
medidas de tendência central como a média, moda, mediana e, as medidas de
dispersão como a variância e o desvio padrão.
➢ Na sequência utilizamos o conceito de probabilidade.
➢ Falamos em amostragem, cujo objetivo é descrever uma realidade que está presente
na população a partir de uma amostra extraída desta população.
➢ Vamos estudar a partir de agora alguns exemplos de inferência estatística focando
uma característica específica da população: os valores médios. Para isso vamos
considerar um descritor particular da amostra, que é a média amostral.
Seja a população abaixo, constituída pelos pesos em kg de oito pessoas adultas:
PESSOA 1 2 3 4 5 6 7 8
PESO 
(KG)
64 70 65 70 67 57 72 60
Escolha uma amostra de três pessoas e calcule a média do peso delas.
Qual a média do peso da população total?
μ = 65,62 kg
Como podemos ver, mesmo no melhor cenário em que você conheça a população
de origem de suas amostras, talvez você não possa determinar a distribuição
amostral exata da amostra estatística de interesse.
➢ Quando você quer determinar informações sobre uma característica
específica da população (por exemplo, a média), normalmente você
extrai uma amostra aleatória daquela população, porque é inviável medir
toda a população.
➢ Usando esse exemplo, você calcula a característica da amostra
correspondente, que é usada para resumir as informações sobre a
característica desconhecida da população.
➢ A característica de interesse da população é chamada de PARÂMETRO e
a característica da amostra correspondente é a ESTATÍSTICA DA
AMOSTRA.
➢ Como a estatística é um resumo das informações sobre um parâmetro
obtido a partir da amostra, o valor de uma estatística depende da
amostra particular que foi extraída da população, como no caso dos
pesos das pessoas verificados no slide anterior.
Definições: Parâmetro e Estatística da amostra.
Parâmetro:
• Medida usada para descrever uma característica numérica populacional.
• Os parâmetros são normalmente representados por letras gregas para distingui-
los de estatísticas amostrais.
• Por exemplo, a média populacional é representada pela letra grega mu (μ), a
variância pela letra grega sigma elevada ao quadrado (σ2) e o desvio padrão da
população pela letra grega sigma (σ).
• Os parâmetros são constantes fixas, isto é, eles não variam como as variáveis.
• Contudo, seus valores são normalmente desconhecidos, porque é inviável medir
uma população inteira.
Definições: Parâmetro e Estatística da amostra.
Estatísticas da amostra:
• O estimador de um parâmetro populacional é uma característica numérica
determinada na amostra.
• Exemplos de parâmetros amostrais: média amostral (representada por ҧ𝑥 ),
variância amostral (representada por s2 ) e desvio-padrão amostral (representado
por s ).
• Um dos objetivos das análises estatísticas é a obtenção das estimativas dos
parâmetros da população, juntamente com a quantidade de erro associada a
essas estimativas, que são as estatísticas da amostra.
Se retirarmos aleatoriamente de uma população todas as possíveis amostras, cada
uma de tamanho n, calcularmos a média de cada amostra ( ҧ𝑥) e, em seguida,
calcularmos a média das médias das amostras, esta será igual à média da população (µ).
Uma constatação:
PESSOA 1 2 3 MÉDIA
PESO 
(KG)
64 70 65 66,33
PESSOA 1 2 MÉDIA
PESO 
(KG)
64 70 67
PESSOA 1 3 MÉDIA
PESO 
(KG)
64 65 64,5
PESSOA 2 3 MÉDIA
PESO 
(KG)
70 65 67,5
67+64,5+67,5
3
= 
199
3
= 66,33
População
Possíveis
amostras
Suponha que numa companhia o fundo de pensão seja investido em cinco ações 
corporativas com os seguintes retornos:
Ação........................Retorno
A.................................7%
B................................12%
C.................................-3%
D................................21%
E..................................3%
Outro exemplo:
✓ Neste exemplo, a média populacional é igual a 8%, e o desvio padrão da
população é igual a 8,15%.
✓ Agora, suponha que decidimos pegar uma amostra aleatória de três ações.
✓ Assumindo que a ordem não seja importante, existem dez possibilidades:
Amostra de Ações Retornos Média
1 A, B, C 7% 12% -3% 5,33%
2 A, B, D 7% 12% 21% 13,33%
3 A, B, E 7% 12% 3% 7,33%
4 A, C, D 7% -3% 21% 8,33%
5 A, C, E 7% -3% 3% 2,33%
6 A, D, E 7% 21% 3% 10,33%
7 B, C, D 12% -3% 21% 10,00%
8 B, C, E 12% -3% 3% 4,00%
9 B, D, E 12% 21% 3% 12,00%
10 C, D, E -3% 21% 3% 7,00%
✓ Como mostra o exemplo acima, duas (ou mais) amostras da mesma população terão
provavelmente diferentes valores amostrais (os valores da média variando de 2,33% a
13,33%), e, portanto, possivelmente conduzem a decisões diferentes.
✓ Assim, a média amostral reportada ao tomador de decisões na companhia dependerá
da amostra selecionada: amostra 1, 2, 3,.....ou 10.
Amostra de Ações Retornos Média
1 A, B, C 7% 12% -3% 5,33%
2 A, B, D 7% 12% 21% 13,33%
3 A, B, E 7% 12% 3% 7,33%
4 A, C, D 7% -3% 21% 8,33%
5 A, C, E 7% -3% 3% 2,33%
6 A, D, E 7% 21% 3% 10,33%
7 B, C, D 12% -3% 21% 10,00%
8 B, C, E 12% -3% 3% 4,00%
9 B, D, E 12% 21% 3% 12,00%
10 C, D, E -3% 21% 3% 7,00%
✓ Note que as médias amostrais também são diferentes da média populacional, citada
anteriormente como 8.
✓ Por exemplo, se a amostra 4 for selecionada, o erro amostral (a diferença entre uma
estatística amostral e seu correspondente parâmetro populacional) é bastante
pequeno (8,33 - 8,0 = 0,33).
✓ Porém, se a amostra selecionada for a amostra 2, o erro é muito grande (13,33 - 8,0 =
5,33).
Como o tomador de decisões não pode saber quão grande o erro amostral
será antes de selecionar a amostra, ele/ela deverá saber como as possíveis
médias amostrais são distribuídas.
● Toda medida descritiva e numérica de uma população é única e é
chamada de parâmetro.
● Todo valor obtido por cálculo de uma série de observações de uma
amostra é denominada de estatística.
● Os valores de diversas médias amostrais tiradas de uma população,
não são necessariamente iguais entre si, mas podem variar.
● Os valores das médias amostrais não são necessariamente iguais ao
valor da média da população.
Pelo que foi apresentado até aqui, podemos colocar que:
● O conjunto das médias amostrais forma uma série de médias sobre a qual
podemos calcular uma média e um desvio padrão.
● Cada média amostral é uma variável aleatória, é denominada estatística e é
representada por ҧ𝑥 . Já o desvio padrão da distribuição amostral é chamado de erro
padrão, e é representado por s.
● A média da população é denominada parâmetro e é representada por μ (mu). Já
o desvio padrão da população é denominado parâmetro e é representado por σ (sigma) .
● Na inferência estatística os parâmetros da população μ e σ serão considerados
conhecidos. Na verdade estes parâmetros não são conhecidos, mas essa premissa é útil
para o entendimento do conceito de distribuição amostral e porque é inviável medir uma
população inteira.
POPULAÇÃO AMOSTRA
Parâmetros são funções de valores populacionais, enquanto que
estatísticas são funções de valores amostrais.
𝒔𝟐 =
𝒙𝟏 − ഥ𝒙
𝟐 + 𝒙𝟐 − ഥ𝒙
𝟐 +⋯+ 𝒙𝒏 − ഥ𝒙
𝟐
𝒏 − 𝟏
=
σ 𝒙𝒊 − ഥ𝒙
𝟐
𝒏 − 𝟏
𝒔 =
σ 𝒙𝒊 − ഥ𝒙 𝟐
𝒏 − 𝟏
ഥ𝒙 =
σ 𝒙𝒊
𝒏
μ =
σ 𝑿
𝑵
σ𝟐 =
σ 𝑿 − μ 𝟐
𝑵
σ =
σ 𝐗 − μ 𝟐
𝑵
Suponhaque numa companhia o fundo de pensão seja investido em cinco ações corporativas 
com os seguintes retornos:
Ação........................Retorno
A.................................7%
B................................12%
C.................................-3%
D................................21%
E..................................3%
EXERCÍCIO 1:
Calcule:
1) Para a população:
a) Média populacional.
b) Variância populacional.
c) Desvio-padrão populacional.
2) Supondo que seja tomada uma amostra com as ações A, B e D como representativas da 
população. Calcule:
a) Média amostral.
b) Variância amostral.
c) Desvio-padrão amostral.

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