AP1 EDO

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UAB - UFJF - AP1 de Equac¸o˜es Diferenciais e Aplicac¸o˜es
Professor: Grigori Chapiro
Aluno(a):
Polo: Data: 24/11/2012
Obs.: Conte´m 4 questo˜es. Prova individual sem consulta e sem calculadora. Resposta final
a caneta.
Questa˜o 1 (25 pts.). Analise as equac¸o˜es a seguir
(a) y′ = 2(1 + x)(2 + 3y),
(b) y′ = −sen(t) y + t exp(cos(t)),
(c) y′ = y − y
x
,
(d) y′ = − y
x
+ y2 = 0,
(e) y′ + 2x = sen(8x).
De acordo com os cinco tipos de EDO que no´s estudamos classifique estas equac¸o˜es.
Dica: As categorias sa˜o: fundamental, linear homogeˆnea e na˜o homogeˆnea, Bernoulli, Ric-
cati, varia´veis separa´veis. Uma equac¸a˜o pode entrar em mais de uma categoria.
Soluc¸a˜o:
(a) Varia´veis separa´veis, Linear na˜o homogeˆnea;
(b) Linear na˜o homogeˆnea;
(c) Linear homogeˆnea, varia´veis separa´veis;
(d) TEM UM ERRO NA EQUAC¸A˜O, SE DESCONSIDERAR “= 0”: Bernoulli e Riccati;
(e) Fundamental, (Varia´veis separa´veis e Linear na˜o homogeˆnea).
Pontuac¸a˜o:
Cada ı´tem 5 pts. Citou apenas um dos tipos nas letras (a), (c) e (d) 3 pts.
Citou tipos a mais 3 pts. Erro de algum tipo 0 pts.
Na letra (e) considerei a resposta “Fundamental” por se tratar de um caso muito particular.
Quem escreveu “Homogeˆnea e na˜o homogeˆnea” 0 pts por erro de lo´gica,
Questa˜o 2 (25 pts.). Encontre a soluc¸a˜o do seguinte PVI:
y′ = −sen(t) y + t exp(cos(t)).
Soluc¸a˜o: Na questa˜o 1 ja´ identificamos esta equac¸a˜o como linear na˜o homogeˆnea.
1. Reescrevemos a equac¸a˜o na forma geral de equac¸o˜es lineares da apostila y′+p(t)y = q(t),
onde p(t) = sen(t) e q(t) = t exp(cos(t)).
2. Encontramos a func¸a˜o auxiliar
µ(t) = exp
[∫
p(t)dt
]
= exp
[∫
sen(t)dt
]
= exp(− cos(t) + k1) = k2 exp(− cos(t)),
onde k2 = e
k1 6= 0.
3. Agora encontramos a soluc¸a˜o (note que eu esqueci de dar t0 e y0, enta˜o vamos fazer com
eles indefinidos):
y(t) =
1
µ(t)
[
µ(t0)y0 +
∫ t
t0
µ(s)q(s)ds
]
=
ecos(t)
k2
[
k2e
− cos(t0)y0 +
∫ t
t0
k2e
− cos(t)tecos(t)dt
]
=
2
ecos(t)
[
e− cos(t0)y0 +
∫ t
t0
tdt
]
= y0e
cos(t)−cos(t0) +
(t2 − t20)
2
ecos(t).
Pontuac¸a˜o: Erro de conta -5 pts. Contas sem sentido 0 pts. Deixou o resultado como
integral sem calcular -5 pts. Aceitei a soluc¸a˜o de quem encontrou a soluc¸a˜o geral.
Questa˜o 3 (25 pts.). Encontre a soluc¸a˜o geral da seguinte equac¸a˜o:
y′ = y − y
x
.
Soluc¸a˜o: Na questa˜o 1 ja´ identificamos esta equac¸a˜o como de varia´veis separa´veis. Ree-
screvemos a equac¸a˜o separando tudo que depende de y para um lado e tudo que depende de
x do outro.
y′
y
= 1− 1
x
.
Integramos dos dois lados:∫
dy
y
=
∫ (
1− 1
x
)
dx; =⇒ ln(|y|) = x− ln(|x|) + k1 =⇒ |y| = exp(x− ln(|x|) + k1).
Fazendo K = exp(k1),
|y| = K|x|−1ex
Pontuac¸a˜o: Erro de conta -5pts. Muitos erros -10 pts. Contas sem sentido 0 pts.
Podia resolver como linear homogeˆnea (quem parou no meio do caminho 15 pts.)
Aceitei a resposta na forma impl´ıcita.
Questa˜o 4 (25 pts.). Encontre a soluc¸a˜o geral da seguinte equac¸a˜o:
y′ = −y
x
+ y2 = 0.
Soluc¸a˜o: Na hora de copiar cometi um erro e apareceu “= 0”que na˜o deveria existir. Vamos
resolver a equac¸a˜o y′ = −y/x+ y2.
Na questa˜o 1 ja´ identificamos esta equac¸a˜o como de Bernoulli. Dividimos os dois lados por
y2 obtendo
y′
y2
+
1
xy
= 1.
Trocando a varia´vel y por z = 1/y temos dz = −dy/y2 e a equac¸a˜o fica:
−z′ + z
x
= 1 =⇒ z′ − z
x
= −1.
Esta e´ uma equac¸a˜o linear na˜o homogeˆnea. Resolvemos usando a func¸a˜o auxiliar µ:
µ(x) = exp
[∫
p(x)dx
]
= exp
[∫ −1
x
dx
]
= exp(− ln |x|+ k1) = k2|x|−1,
onde k2 = e
k1 > 0.
z(x) =
1
µ(x)
[
µ(x0)y0 +
∫ x
x0
µ(t)q(t)dt
]
= k−12 |x|
[
k2|x0|−1y0 +
∫ x
x0
k2|t|−1(−1)dt
]
=
= |x|
[
|x0|−1y0 −
∫ x
x0
|t|−1dt
]
= |x| (|x0|−1y0 − ln |x|+ ln |x0|) = K|x| − |x| ln |x|,
3
onde K = x−10 y0 + ln |x0|. Finalmente
y(x) =
1
z(x)
=
1
K|x| − |x| ln |x| .
Pontuac¸a˜o: Erro de conta -5 pts. Muitos erros de conta -10 pts. Contas sem sentido 0 pts.
Quem chegou na equac¸a˜o em termos da nova varia´vel 10 pts.
Quem chegou na equac¸a˜o de µ(x) 15 pts.
Podia deixar a resposta na forma impl´ıcita.
Teve alunos que ignoraram o primeiro “=”, deu uma equac¸a˜o ana´loga e eu aceitei.
Desconsiderei todos os erros de sinal que aconteceram por causa do erro no enunciado.